CILÍNDRICA
5.4 VIBRAÇÃO FORÇADA DA CASCA CILÍNDRICA COM GRADAÇÃO FUNCIONAL SANDUÍCHE INVERSA
Analisa-se nesta seção as principais modificações que a função de gradação funcional sanduíche inversa exerce nas oscilações não lineares forçadas da casca cilíndrica gradativa. Na Figura 5.23 são apresentadas as curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por um fluido interno e com efeitos térmicos para a relação geométrica L/R = 0,5, considerando a lei de gradação sanduíche inversa (N = 0,1) e a pressão lateral PL = 12×104 N/m².
Observa-se pela Figura 5.23, que as curvas de ressonância apresentaram o mesmo formato da Figura 5.17, casca com fluido interno e gradação sanduíche, constituído por novas soluções estáveis, diferentes da situação no vácuo, devido a um acoplamento com outros modos de vibração provocados pelo fluido interno. Quanto a temperatura aplicada a essa relação geométrica pode-se afirmar que o estado inicial de membrana foi alterado, imprimindo uma maior não linearidade geométrica ao sistema já observado nas relações frequência amplitude do Capítulo 4.
Figura 5.23 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido e com influência térmica para geometria L/R = 0,5, considerando gradação sanduíche inversa, N = 0,1 e PL = 12×104 N/m². (a) Modo
fundamental, (b) Companion mode e (c) Máximo módulo do companion mode.
(a) (b)
(c)
A Figura 5.24 mostra as bacias de atração e planos fase correspondentes à Figura 5.23, para os seguintes valores de frequências: Ω = 0,51, 0,55, 0,59 rad/s. A projeção considerada é no plano
c W
W11× 11 as demais condições iniciais são iguais a 1×10
-4. As coordenadas das seções de
Figura 5.24 – Bacias de atração (a), (c) (e) e planos fase (b), (d), (f) da casca com fluido interno e temperatura para geometria L/R = 0,5, gradação sanduíche inversa, PL = 12×104 N/m², Ω = 0,51, 0,55, 0,59 rad/s.
(a) Ω = 0,51 (b) Ω = 0,51
(c) Ω = 0,55 (d) Ω = 0,55
Tabela 5.13 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.24. Ponto Ω W11 dW11dτ W13 dW13dτ W02 dW02dτ Wc 11 d 11dτ c W W13c d 13dτ c W Azul 0,51 -0,144 -0,014 0,001 0,001 -0,010 -0,007 0,000 0,000 0,000 0,000 Vermelho -0,096 -0,119 -0,002 -0,005 0,031 -0,012 -0,018 -0,092 0,000 -0,004 Preto -0,096 -0,119 -0,002 -0,005 0,031 -0,012 0,018 0,092 0,000 0,004 Azul 0,55 0,253 -0,111 -0,003 0,004 -0,022 0,007 -0,190 -0,140 0,001 0,002 Vermelho 0,253 -0,111 -0,003 0,004 -0,022 0,007 0,190 0,140 -0,001 -0,002 Azul 0,59 -0,072 -0,176 0,002 0,014 -0,036 0,035 0,000 0,000 0,000 0,000
Ao analisar as bacias de atração das Figuras 5.24 (a) e (c), é possível observar que a simetria entre as soluções estáveis dos companion mode e a quebra de simetria com relação às coordenadas dos driven mode, não são afetadas pela alteração da função de gradação funcional, além de manter claramente a natureza fractal da bacia de atração em suas bordas. Ao comparar os planos fase da Figura 5.18 (gradação sanduíche) com os planos fases da Figura 5.24 (gradação sanduíche inversa) identifica-se apenas que as coordenadas das seções de Poincaré na amplitude do driven mode são negativas, que ocorreu pela troca das funções de gradação acarretada pela mudança do período da resposta permanente.
A Figura 5.25 apresenta as curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por um fluido interno e com efeitos térmicos para a relação geométrica L/R = 2, considerando a lei de gradação sanduíche (N = 0,1) e a pressão lateral PL = 6×102 N/m².
A Figura 5.26 mostra as bacias de atração e planos fase correspondentes à Figura 5.25, para os seguintes valores de frequências: Ω = 0,42, 0,47, 0,49 rad/s. A projeção é no planoW11×W11c, e as demais condições iniciais são iguais a 1×10-4. As coordenadas das seções de Poincaré dos
Figura 5.25 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido e com influência térmica para geometria L/R = 2, considerando gradação sanduíche, N = 0,1 e PL = 6×102 N/m². (a) Modo fundamental, (b)
Companion mode e (c) Máximo módulo do companion mode.
(a) (b)
(c)
A presença do fluido interno juntamente com os efeitos térmicos, para esta geometria, não alterou significativamente a área da bacia de atração quando comparada à Figura 5.20 (casca somente com fluido interno). O que há é um aumento da participação do par de soluções simétricas do companion mode decorrente da adição do campo térmico ao problema.
Por fim, a Figura 5.27 apresenta as curvas de ressonância para o caso em que a lei de gradação é a sanduíche inversa (N = 0,1) e os demais parâmetros são os mesmos da Figura 5.25, objetivando a comparação da influência da função de gradação nas curvas de ressonância.
Figura 5.26 – Bacias de atração (a), (c), (e) e planos fase (b), (d), (f) da casca com fluido interno e temperatura para geometria L/R = 2, gradação sanduíche, PL = 6×102 N/m², Ω = 0,42, 0,47, 0,49 rad/s.
(a) Ω = 0,42 (b) Ω = 0,42
(c) Ω = 0,47 (d) Ω = 0,47
Tabela 5.14 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.26. Ponto Ω W11 dW11dτ W13 dW13dτ W02 dW02dτ c W11 d 11c dτ W W13c d 13dτ c W Azul 0,42 -0,004 0,001 0,000 0,000 -0,001 0,002 0,001 0,001 0,000 0,000 Vermelho 0,204 -0,057 0,003 0,000 -0,002 0,006 -0,206 0,054 -0,002 0,001 Preto 0,204 -0,057 0,003 0,000 -0,002 0,006 0,206 -0,054 0,002 -0,001 Azul 0,47 -0,040 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,002 0,000 0,000 0,000 Vermelho 0,100 -0,019 0,000 0,000 -0,002 0,001 -0,119 0,015 0,000 0,000 Preto 0,100 -0,019 0,000 0,000 -0,002 -0,001 0,119 -0,015 0,000 0,000 Azul 0,49 0,045 -0,001 0,000 0,000 0,002 -0,003 -0,001 -0,003 0,000 0,000
Figura 5.27 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido e com influência térmica para geometria L/R = 2, considerando gradação sanduíche inversa, N = 0,1 e PL = 6×102 N/m². (a) Modo fundamental,
(b) Companion mode e (c) Máximo módulo do companion mode.
(a) (b)
Figura 5.28 – Bacias de atração (a), (c), (e) e planos fase (b), (d), (f) da casca com fluido interno e temperatura para geometria L/R = 2, gradação sanduíche inversa, PL = 6×102 N/m², Ω = 0,37, 0,42, 0,44 rad/s.
(a) Ω = 0,37 (b) Ω = 0,37
(c) Ω = 0,42 (d) Ω = 0,42
Tabela 5.15 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.28. Ponto Ω W11 dW11dτ W13 dW13dτ W02 dW02dτ c W11 d 11c dτ W W13c d 13dτ c W Azul 0,37 -0,008 0,001 0,000 0,000 0,000 0,002 -0,002 0,002 0,000 0,000 Vermelho 0,187 -0,054 0,002 -0,003 -0,004 0,002 -0,188 0,055 -0,002 0,003 Preto 0,187 -0,054 0,002 -0,003 -0,004 0,002 0,188 -0,055 0,002 -0,003 Azul 0,42 -0,042 0,001 0,000 0,000 0,000 -0,002 0,003 0,000 0,000 0,000 Vermelho 0,092 -0,014 0,000 -0,001 -0,003 0,002 -0,109 0,011 0,000 0,001 Preto 0,092 -0,014 0,000 -0,001 -0,003 0,005 0,109 -0,010 0,000 -0,001 Azul 0,44 0,033 -0,001 0,000 0,000 0,000 0,002 0,003 0,001 0,000 0,000
A partir das Figuras 5.25 e 5.27, referentes às curvas de ressonância para a mesma geometria
L/R = 2, mas considerando as duas leis de gradação “sanduíche” e “sanduíche inversa”,
respectivamente, pode-se afirmar que as curvas de ressonância da gradação sanduíche inversa apresentam uma não linearidade maior do que as curvas traçadas para a gradação sanduíche, devido a mudança da massa e da rigidez total do sistema, já que há mudanças na distribuição dos materiais ao longo da espessura. Além disso, a gradação sanduíche provoca maiores amplitudes de vibração do modo fundamental da casca cilíndrica do que a gradação sanduíche inversa, pois há mais material flexível na sua composição para o expoente de gradação considerado (N = 0,1).
A Figura 5.28 ilustra as bacias de atração e os planos fase correspondentes à Figura 5.27, para os valores de frequências: Ω = 0,37, 0,42, 0,44 rad/s. A projeção é no planoW11×W11c as demais condições iniciais são iguais a 1×10-4. As coordenadas das seções de Poincaré dos respectivos atratores detectados nas bacias de atração são apresentadas na Tabela 5.15.
As bacias de atração da Figura 5.26 (gradação sanduíche) e da Figura 5.28 (gradação sanduíche inversa), ambas referentes à relação geométrica L/R = 2, apresentam uma ligeira diferença quanto à área das suas bacias de atração, em que a sanduíche é um pouco maior que a sanduíche inversa. A participação do companion mode nas oscilações não lineares é bem semelhante, independentemente da lei de gradação do material. As coordenadas destes modos são simétricas em relação ao eixo vertical, e não simétricas em relação às coordenadas do driven mode, o que indica a quebra de simetria, assim como identificada nos casos anteriores. É importante destacar a inexistência de soluções desacopladas.
Nesta dissertação de mestrado foi apresentado um modelo de baixa dimensão para avaliar as vibrações não lineares de cascas cilíndricas feitas com material com gradação funcional. As análises das vibrações livres foram feitas através das relações frequência-amplitude, e as vibrações forçadas por meio das curvas de ressonância, das bacias de atração e dos planos fase. Foi considerada uma casca cilíndrica simplesmente apoiada, livre de imperfeições geométricas inicias, e submetida a um carregamento lateral. Foram investigados os efeitos da interação fluido-estrutura, considerando a casca cilíndrica com gradação funcional totalmente preenchida por um fluido irrotacional, incompressível e não viscoso, descrito por um potencial de velocidade. Avaliou-se, também, os efeitos de um campo térmico nas oscilações não lineares do problema. Quanto a geometria da casca cilíndrica, foram analisados três casos geométricos da relação L/R (= 0,5; 1; 2). Para descrever o campo de deformações e mudanças de curvatura da superfície média da casca cilíndrica, foram utilizadas as teorias não lineares de Donnell e de Sanders para as vibrações livres, e somente a teoria de Donnell para as vibrações forçadas.
6.1
CONCLUSÕES
Em relação à análise dinâmica não linear das vibrações livres, obtida pelas relações frequências- amplitude, conclui-se que:
a) As leis de gradação, a presença do fluido interno e o campo térmico, não alteram o comportamento inicial da relação frequência-amplitude do sistema, entretanto, influencia no grau de não linearidade da relação frequência-amplitude e, consequentemente, nos valores das frequências naturais;
b) A teoria não linear de Sanders apresenta uma maior não linearidade quando comparada a teoria de Donnell, medida pela maior inclinação da relação frequência-amplitude; c) Ao incrementar o valor da temperatura em ambas as hipóteses de variação do campo
térmico ao longo da espessura, linear ou uniforme, a relação frequência-amplitude apresenta maior não linearidade em relação aos resultados que não considera a variação
de temperatura, pois o efeito térmico adiciona tensões iniciais de compressão à casca cilíndrica;
d) A presença do fluido interno intensifica a não linearidade da relação frequência- amplitude, independentemente da teoria empregada para descrever o campo de deformação da superfície média da casca cilíndrica ou da lei de gradação do material, pois a alteração da massa total do sistema provocada pelo fluido modifica a inércia do sistema;
e) A alteração da massa total do sistema provocado pelo fluido, associada aos efeitos térmicos, provoca uma redução ainda maior nos valores das frequências naturais, considerando as duas teorias utilizadas, Donnell e Sanders, e as diferentes leis de gradação funcional do material;
f) Os valores nominais das frequências naturais são influenciadas pela lei de gradação funcional do material. Para a gradação sanduíche, o aumento do valor das mesmas ocorre pelo incremento do expoente N, pois tende ao caso perfeitamente isotrópico de aço inoxidável. Já para a formulação sanduíche inversa, ocorre a redução do valor das frequências naturais ao aumentar o expoente N, pois, nesse caso, tem-se com o incremento de N a aproximação do caso isotrópico de cerâmica;
g) Para as relações geométricas L/R = 1 e 2, todas as relações frequência-amplitude obtiveram o comportamento softening, ou seja, ocorreu uma perda de rigidez do sistema já que a frequência natural não linear decresce com o incremento da amplitude de vibração, fato observado pela inclinação das relações frequência-amplitude à esquerda do gráfico;
h) Para a relação geométrica L/R = 0,5, as relações frequência-amplitude tiveram uma divergência entre as teorias de Donnell e Sanders. Independentemente da lei de gradação, para a teoria de Donnell, a casca teve um comportamento inicial de perda de rigidez (softening). Entretanto, para a teoria de Sanders, estas relações resultaram em um comportamento inicial de ganho de rigidez (hardening) para a gradação sanduíche (N = 0,1) e sanduíche inversa (N = 5);
i) É importante destacar que, como mostrado em todas as análises de vibração livre não linear, a gradação funcional não altera o comportamento das relações frequência- amplitude, apenas são encontrados valores diferentes para os valores das frequências naturais, da mesma forma, com a consideração dos efeitos da temperatura e da presença do fluido interno.
É importante ressaltar que para a análise das vibrações forçadas foi utilizada apenas a teoria de Donnell, pois pelo estudo das vibrações livres foi possível obter resultados satisfatórios e condizentes com a literatura, além disso, o modelo de baixa dimensão (cinco graus de liberdade) aplicado a esta teoria reduz significativamente o tempo de processamento computacional. Ainda em todos os casos geométricos o modo de vibração fundamental apresenta um número de ondas circunferenciais maior, ou igual, a cinco, que é uma condição necessária para que a teoria de Donnell para cascas abatidas seja aplicada. Já para a teoria de Sanders, em função do maior número de grau de liberdade (vinte e nove), este tempo de processamento numérico é significativamente superior em comparação à teoria de Donnell. Através da obtenção das curvas de ressonância, bacias de atração e planos fase, foi possível observar que:
a) Para as geometrias consideradas, a não linearidade das curvas de ressonância é do tipo softening, seguindo o mesmo comportamento das relações frequências-amplitude. A influência da pressão lateral na amplitude máxima de vibração é direta, ao incrementar o valor deste carregamento, aumentam-se as amplitudes máximas de vibração. O pico de ressonância destas curvas se torna linear com o aumento do comprimento da casca, aproximando as curvas de ressonância de um pico vertical em torno do valor da frequência natural;
b) As curvas de ressonância que contemplam apenas o máximo módulo do companion mode não conseguem identificar os pares simétricos de soluções dos companion mode em certas regiões das curvas de ressonância. Existe um par de soluções simétricas não detectadas nos planos fase e nas seções de Poincaré que a curva de ressonância que contêm os máximos módulos do companion mode não identifica, pois ambas soluções simétricas apresentam o mesmo módulo;
c) Após o trecho de ressonância, a solução estável detectada está desacoplada, ou seja, as amplitudes do modo companion são nulas, apenas na amplitude do driven mode é diferente de zero, o que mostra a pouca influência do companion mode nesta região das curvas de ressonância. Porém para a relação geométrica L/R = 2 o fluido e a temperatura acoplam as respostas entre os modos driven e companion;
d) A partir das análises das bacias de atração é possível afirmar que sua área e formato podem ser associados como uma medida do grau de segurança da estrutura. Observa-se que ao incrementar o comprimento da casca cilíndrica, a área da bacia de atração decresce, reduzindo a região de segurança do sistema apesar da redução da amplitude da pressão lateral;
e) As curvas de ressonância referentes à casca preenchida por um fluido, se deslocam para a esquerda em comparação às curvas para a casca no vácuo, seguindo a tendência das relações frequência-amplitude, devido o fluido provocar uma perda de rigidez do sistema e um acréscimo da massa total do sistema e, consequentemente, acarreta um aumento da não linearidade do sistema;
f) O fluido interno ocasiona alterações nas bacias de atração da casca cilíndrica. Para a relação geométrica L/R = 0,5, a área da bacia de atração foi reduzida em comparação à casca no vácuo. Já para a geometria com L/R = 1, a área das bacias de atração são maiores do que a casca no vácuo, devido ao alongamento da bacia em todas as direções. E para a geometria com L/R = 2, a presença do fluido interno não alterou significativamente a área da bacia de atração, mas ocorreu uma redução da participação do par de soluções simétricas do companion mode. É importante ressaltar que o aumento da área da bacia de atração significa, ampliar o número de soluções estáveis e aumentar a região de segurança da mesma;
g) O acréscimo dos efeitos térmicos não alterou significativamente a área e o formato da bacia de atração quando comparado com a casca cilíndrica apenas com fluido interno. Entretanto, ocorre uma participação maior da solução simétrica do companion mode e do número de soluções estáveis;
h) A presença do fluido interno gera novas soluções estáveis, diferentes da situação no vácuo, devido a um acoplamento com outros modos de vibração. Quanto a temperatura aplicada, pode-se afirmar que o estado inicial de membrana foi alterado, imprimindo uma maior não linearidade geométrica ao sistema;
i) Quanto à gradação funcional, as curvas de ressonância da gradação sanduíche inversa apresentam uma não linearidade maior do que as curvas traçadas para a gradação sanduíche, devido a mudança da massa e da rigidez total do sistema. Além disso, a gradação sanduíche provoca maiores amplitudes de vibração do modo fundamental da casca cilíndrica do que a gradação sanduíche inversa, pois há mais material flexível na sua composição para o mesmo expoente de gradação;
j) Independentemente da lei de gradação do material, a área das bacias de atração possui pouca mudança. Da mesma forma, a participação do companion mode nas oscilações não lineares é bem semelhante. Foi observado que as bacias possuem uma geometria complexa, inclusive com regiões fractais;
k) Um ponto importante a ser destacado é que as bacias de atração, são simétricas em relação à coordenada do companion mode do modo fundamental e são assimétricas com
relação à coordenada do driven mode, o que mostra a influência do driven mode na quebra de simetria da solução.
6.2
SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
A obtenção de um modelo de baixa dimensão para o estudo do comportamento dinâmico não linear de estruturas é de grande interesse para a avaliação do comportamento global de cascas cilíndricas ou de qualquer outra estrutura esbelta, devido à redução do número de graus de liberdade e consequentemente, a redução do esforço computacional. Como pode ser observado no desenvolvimento deste trabalho, existem alguns tópicos que devem ser aprofundados, mantendo o estudo da interação fluido-estrutura e da gradação funcional, dentre eles:
a) Análise mais detalhada da energia de membrana e de flexão, para geometrias com a relação L/R menor que 1, utilizando a teoria não linear de Sanders, para avaliar a divergência detectada entre as duas teorias, no comportamento dinâmico da casca cilíndrica;
b) Análise da vibração forçada não linear para a teoria de Sanders, considerando o alto custo computacional necessário para obter as curvas de ressonância e as bacias de atração, devido ao grande número de graus de liberdade que esta teoria gera;
c) Influência da altura do fluido no interior da casca cilíndrica no seu comportamento dinâmico, considerando inclusive a participação da superfície livre do fluido;
d) Analisar a casca cilíndrica submetida a elevadas temperaturas, incluído a dependência das propriedades físicas do material com a variação de temperatura;
e) Avaliação, de forma sistemática, a região de segurança das soluções estáveis do problema, avaliando o grau de segurança das bacias de atração a partir de sua erodibilidade e calculando o fator de integridade das mesmas;
f) Análise paramétrica das oscilações não lineares de uma casca cilíndrica submetida a uma carga axial dependente do tempo a partir das fronteiras de estabilidade, diagramas de bifurcação e bacias de atração.
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