CILÍNDRICA
5.2 VIBRAÇÃO FORÇADA DA CASCA CILÍNDRICA COM FLUIDO INTERNO
O objetivo deste tópico é a avaliar a influência da interação fluido-estrutura nas vibrações forçadas não lineares da casca cilíndrica com gradação funcional e as principais modificações que o fluido interno provoca nestas análises a partir das curvas de ressonância, bacias de atração e planos fase.
Figura 5.15 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido para geometria L/R = 1, considerando gradação sanduíche para N = 0,1 e PL = 12×103 N/m². (a) Modo fundamental, (b) Companion mode
e (c) Máximo módulo do companion mode.
(a) (b)
Na Figura 5.15 têm-se as curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por um fluido interno para a relação geométrica L/R = 1, considerando a lei de gradação sanduíche (N = 0,1) e a pressão lateral PL = 12×103 N/m².
Ao observar as Figuras 5.5 e 5.15, comparando-se a casca cilíndrica com gradação funcional no vácuo e com fluido interno, é possível constatar que as curvas de ressonância se deslocam para a esquerda – menores valores de Ω – seguindo a tendência das relações frequência- amplitude (curvas em cinza da Figura 5.15 (a)), assim como apresentado nas análises de vibração livre não linear, o fluido provoca uma perda de rigidez do sistema e um acréscimo da massa total do sistema e, consequentemente, nota-se um aumento da não linearidade do sistema.
A Figura 5.16 ilustra as bacias de atração e planos fase correspondentes à Figura 5.15, considerando os seguintes valores de frequências: Ω = 0,48, 0,54, 0,58 rad/s. O eixo horizontal refere-se ao driven modeW11,e o eixo vertical ao seu companion modeW As coordenadas das 11c. seções de Poincaré estão apresentadas na Tabela 5.9.
Figura 5.16 – Bacias de atração (a), (c), (e) e planos fase (b), (d), (f) da casca cilíndrica preenchida por fluido para geometria L/R = 1, gradação sanduíche (N = 0,1), PL = 12×103 N/m², Ω = 0,48, 0,54, 0,58 rad/s.
Figura 5.16 - Continuação.
(c) Ω = 0,54 (d) Ω = 0,54
(e) Ω = 0,58 (f) Ω = 0,58
Tabela 5.9 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.16.
Ponto Ω W11 dW11dτ W13 dW13dτ W02 dW02dτ c W11 d 11c dτ W W13c d 13dτ c W Azul 0,48 -0,025 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Vermelho 0,339 -0,074 0,004 -0,004 -0,021 0,016 -0,355 0,074 -0,003 0,003 Preto 0,339 -0,074 0,004 -0,004 -0,021 0,016 0,355 -0,074 0,003 -0,003 Azul 0,54 -0,065 -0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Vermelho 0,211 -0,040 0,001 -0,001 -0,011 0,005 -0,251 0,039 -0,001 0,000 Preto 0,211 -0,040 0,001 -0,001 -0,011 0,005 0,251 -0,039 0,001 0,000 Violeta 0,586 -0,175 -0,009 0,028 -0,033 0,031 0,000 0,000 0,000 0,000 Azul 0,58 0,223 -0,021 -0,001 0,001 -0,006 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000
Observa-se nas Figuras 5.16 (a) e (c) que existe uma solução estável a mais que a apresentada nas curvas de ressonância das Figuras 5.15 (a) e (c), da mesma forma que para a casca cilíndrica no vácuo, mostrando a incapacidade de se trabalhar com a curva de ressonância indicando apenas o máximo da órbita do modo companion, pois não se detecta os pares de soluções simétricas dos companion mode para esta região.
A área da bacia de atração da casca cilíndrica com fluido interno para esta geometria é maior do que a casca no vácuo, devido ao alongamento da bacia em todas as direções, o que permite dizer que existe um conjunto maior de soluções estáveis para o caso com fluido interno.
Após o trecho de ressonância, a solução estável desacoplada apresenta apenas uma região identificada pelas Figuras 5.16 (e) e (f), e as coordenadas do companion mode são nulas, identificando apenas a participação do driven mode nesta região das curvas de ressonância.
As curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por um fluido interno para a relação geométrica L/R = 0,5, considerando a lei de gradação sanduíche (N = 0,1) e a pressão lateral
PL = 12×104 N/m² estão apresentadas na Figura 5.17. Observa-se ao comparar com a Figura
5.11 (casca no vácuo) com a Figura 5.17, o fluido interno gera um acoplamento com outros modos de vibração que fornecem um trecho de soluções estáveis diferente da situação no vácuo.
Figura 5.17 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido para geometria L/R = 0,5, considerando gradação sanduíche, N = 0,1 e PL = 12×104 N/m². (a) Modo fundamental, (b) Companion mode e
(c) Máximo módulo do companion mode.
Figura 5.17 – Continuação.
(c)
A Figura 5.18 apresenta as bacias de atração e os planos fase referentes à Figura 5.17, considerando os valores de frequências: Ω = 0,62, 0,64, 0,66 rad/s. A janela de observação é para o planoW ×11 W11c, as coordenadas das seções de Poincaré estão na Tabela 5.10, e as demais condições iniciais são iguais a 1×10-4.
Figura 5.18 – Bacias de atração (a), (c) e (e) e planos fase (b), (d) e (f) da casca cilíndrica preenchida por fluido para geometria L/R = 0,5, gradação sanduíche (N = 0,1), PL = 12×104 N/m², Ω = 0,62, 0,64, 0,66 rad/s.
Figura 5.18 - Continuação.
(c) Ω = 0,64 (d) Ω = 0,64
(e) Ω = 0,66 (f) Ω = 0,66
Tabela 5.10 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.18.
Ponto Ω W11 dW11dτ W13 dW13dτ W02 dW02dτ c W11 d 11c dτ W W13c d 13dτ c W Azul 0,62 -0,150 -0,035 -0,001 -0,002 0,017 0,004 0,000 0,000 0,000 0,000 Vermelho 0,266 -0,215 -0,001 0,006 -0,030 0,008 -0,338 -0,176 0,002 0,003 Preto 0,266 -0,215 -0,001 0,006 -0,030 0,008 0,338 0,176 -0,002 -0,003 Azul 0,64 0,220 -0,112 -0,003 0,003 -0,022 0,007 -0,151 -0,169 0,001 0,003 Vermelho 0,220 -0,112 -0,003 0,003 -0,022 0,007 0,151 0,169 -0,001 -0,003 Azul 0,66 -0,233 -0,183 0,005 -0,005 -0,005 0,047 0,000 0,000 0,000 0,000
Através das Figuras 5.18 (a) e (c), é possível identificar a simetria entre as soluções estáveis do
companion mode e a assimetria com relação às coordenadas dos driven mode, o que caracteriza
a quebra de simetria da solução. Para a relação geométrica L/R = 0,5, a área da bacia de atração da casca cilíndrica com fluido interno foi reduzida em comparação à casca no vácuo, ou seja, o fluido para este caso diminuiu a região de segurança da bacia de atração.
Figura 5.19 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido para geometria L/R = 2, considerando gradação sanduíche, N = 0,1 e PL = 6×102 N/m². (a) Modo fundamental, (b) Companion mode e (c)
Máximo módulo do companion mode.
(a) (b)
(c)
A Figura 5.19 apresenta as curvas de ressonância da casca com fluido interno para a relação geométrica L/R = 2, considerando gradação sanduíche (N = 0,1) e a pressão lateral PL = 6×102
a esquerda em comparação à casca no vácuo (Figura 5.13), o que demonstra a influência da massa adicionada e a perda de rigidez ocasionada pela presença do fluido.
A Figura 5.20 exibe as bacias de atração e os planos fase, correspondentes à Figura 5.19, para os seguintes valores de frequências: Ω = 0,44, 0,48, 0,51 rad/s. O eixo horizontal refere-se ao
driven mode W11,e o eixo vertical ao seu companion mode 11.
c
W As condições iniciais dos planos
fase da Figura 5.20 estão na Tabela 5.11.
Figura 5.20 – Bacias de atração (a), (c), (e) e planos fase (b), (d), (f) da casca cilíndrica preenchida por fluido para geometria L/R = 2, gradação sanduíche (N = 0,1), PL = 6×102 N/m², Ω = 0,44, 0,48, 0,51 rad/s.
(a) Ω = 0,44 (b) Ω = 0,44
Figura 5.20 – Continuação.
(e) Ω = 0,51 (f) Ω = 0,51
Tabela 5.11 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.20.
Ponto Ω W11 dW11dτ W13 dW13dτ W02 dW02dτ c W11 d 11c dτ W W13c d 13dτ c W Azul 0,44 -0,005 0,002 0,000 0,000 -0,001 0,002 0,006 0,000 0,000 0,000 Vermelho 0,197 -0,069 0,002 -0,002 -0,004 0,000 -0,202 0,070 -0,002 0,002 Preto 0,197 -0,069 0,002 -0,002 -0,004 0,000 0,202 -0,070 0,002 -0,002 Azul 0,48 -0,017 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Vermelho 0,140 -0,033 0,001 0,000 -0,001 -0,007 -0,148 0,032 -0,001 0,000 Preto 0,140 -0,033 0,001 0,000 -0,001 0,001 0,148 -0,032 0,001 0,000 Azul 0,51 0,061 -0,002 0,000 0,000 0,002 0,000 -0,002 0,000 0,000 0,000
A presença do fluido interno para esta geometria, não alterou significativamente a área da bacia de atração quando se compara com a Figura 5.14 (casca no vácuo). O que se nota é uma redução da participação do par de soluções simétricas do companion mode. Em relação à simetria das soluções e do acoplamento dos modos, manteve-se o comportamento detectados para os demais casos geométricos.
Ainda ao analisar a Figura 5.20 (f), referente ao plano fase da solução após o pico de ressonância, é importante destacar que o acoplamento do fluido provoca uma solução estável acoplada entre o driven mode e o companion mode, identificado pelas coordenadas não nulas do companion mode, fato que não acontece nos outros casos geométricos analisados.