PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA,
ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL
MODELO DE BAIXA DIMENSÃO PARA
ANÁLISE DAS VIBRAÇÕES NÃO
LINEARES DE CASCAS CILÍNDRICAS
COM GRADAÇÃO FUNCIONAL
ROGER OTÁVIO PIRES MONTES
D0109E15
GOIÂNIA
MODELO DE BAIXA DIMENSÃO PARA
ANÁLISE DAS VIBRAÇÕES NÃO
LINEARES DE CASCAS CILÍNDRICAS
COM GRADAÇÃO FUNCIONAL
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Geotecnia, Estruturas e Construção Civil da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.
Área de concentração: Mecânica das Estruturas Orientador: Dr. Frederico Martins Alves da Silva
D0109E15
GOIÂNIA
Montes, Roger Otávio Pires
Modelo de baixa dimensão para análise das vibrações não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional [manuscrito] / Roger Otávio Pires Montes. - 2015.
146 f.: il.
Orientador: Prof. Dr. Frederico Martins Alves da Silva.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Goiás, Escola de Engenharia Civil (EEC) , Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - Geotecnia, Estruturas e Construção Civil, Goiânia, 2015. s llBibliografia.
Inclui fotografias, símbolos, gráfico, tabelas, lista de figuras, lista de tabelas.
1. Casca cilíndrica. 2. Vibrações não lineares. 3. Gradação funcional. 4. Fluido e temperatura. 5. Modelo de baixa dimensão. I. Silva, Dr. Frederico Martins Alves da, orient. II. Título.
À Deus, por ter me iluminado e guiado ao longo desta caminhada.
Aos meus pais, pelo amor, apoio e incentivo incondicional, sempre com palavras de motivação para alcançar todos os objetivos, e sendo a base e projeção da minha formação.
À minha irmã Renata pelo carinho e companheirismo de sempre.
À Cibelle, por ter caminhado ao meu lado desde o início do mestrado, compreendendo a importância dessa conquista e aceitar a minha ausência quando necessário.
À todos professores, em especial ao Prof. Zenón J. G. N. Del Prado e ao Prof. Paulo B. Gonçalves, pelas valiosas contribuições no desenvolvimento desta dissertação.
Ao meu orientador, Prof. Frederico M. A. da Silva, que desde a graduação através da iniciação científica e trabalho de conclusão de curso, forneceu seus conhecimentos em torno das cascas cilíndricas. Agradeço a sua dedicação e disponibilidade, as quais ajudaram a minimizar os desafios impostos por este trabalho.
“O começo de todas as ciências é o espanto de as coisas serem o que são.”
Nesta dissertação são analisadas as vibrações, livres e forçadas, não lineares de uma casca cilíndrica simplesmente apoiada feita com um material com gradação funcional, que as propriedades dos materiais constituintes são descritas por determinadas leis de gradação ao longo da espessura. As equações não lineares de movimento são obtidas utilizando-se as teorias não lineares de Donnell e de Sanders, sendo que os campos de deslocamentos e as deformações referentes à teoria não linear de Donnell para cascas abatidas podem ser obtidos como uma simplificação da formulação não linear de Sanders. Serão investigados os efeitos da presença de um fluido interno, incompressível, não viscoso e irrotacional, sendo descrito a partir de um potencial de velocidade, considerando a interação fluido-estrutura, além da influência de um campo térmico no comportamento dinâmico não linear da casca cilíndrica com gradação funcional. É desenvolvido um modelo de baixa dimensão, em que o sistema de equações de equilíbrio da casca é resolvido através de um procedimento analítico, o qual permite obter os campos de deslocamento axial e circunferencial em função dos deslocamentos transversais, além de atender as condições de contorno do problema. A determinação dos deslocamentos transversais é feita a partir do método da perturbação, o qual possibilita a obtenção dos principais modos não lineares que devem estar presentes nos campos de deslocamentos da casca cilíndrica. Para analisar as vibrações livres não lineares, aplica-se o método de Galerkin-Urabe para se obter o sistema de equações algébricas não lineares, sendo, em seguida, resolvido a partir do método de Newton-Raphson. Os resultados mostram a influência da gradação funcional, da geometria, do efeito do fluido interno, considerando uma casca totalmente preenchida, e da ação térmica nas vibrações livres não lineares da casca por meio das relações frequência-amplitude. Por fim, é feita uma análise paramétrica das vibrações forçadas não lineares da casca cilíndrica submetida a um carregamento lateral harmônico para algumas relações geométricas. Neste caso o sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem no tempo é obtido a partir da aplicação do método de Galerkin e integrado ao longo do tempo a partir do método de Runge-Kutta de quarta ordem. Da mesma forma avalia-se a influência do fluido interno e dos efeitos térmicos nas oscilações não lineares da casca cilíndrica com gradação funcional, utilizando-se as curvas de ressonância, as bacias de atração, as respostas no tempo e os planos fase.
Palavras-chave: Casca cilíndrica. Vibrações não lineares. Gradação funcional. Fluido e temperatura. Modelo de baixa dimensão.
This master’s thesis analyses the free and forced nonlinear vibrations of a simply supported functionally graded cylindrical shell which the material’s properties are described by gradient’s law along the shell’s thickness. The nonlinear equations of motion are obtained using nonlinear theories Donnell and Sanders, where the field displacements and field strain of nonlinear Donnell’s shallow shell theory is obtained as a simplification of the nonlinear Sanders’s formulation. The effects of the internal fluid, that is incompressible, irrotational and inviscid and it has been described as a potential velocity to consider the fluid-structure interaction, and the influence of a thermal field in the nonlinear dynamic behavior of the functionally graded cylindrical shell will be investigated. It is developed a low-dimensional model, wherein the shell of the system equilibrium equations is solved by an analytical procedure, which yields the longitudinal and circumferential displacement field as a function of transverse displacement, satisfying the boundary conditions problem. The determination of transverse displacement is obtained by the perturbation techiniques, which enables the achievement of the main nonlinear modes that should be present in the displacement fields of the functionally grade cylindrical shell. To analyze the nonlinear free vibration, it is applied the Galerkin-Urabe method to obtain the system of non-linear algebraic equations, and then resolved by the Newton-Raphson method. The results show the influence of functional gradation, geometry, the effect of the internal fluid, considering a fluid-filled shell, and the thermal action of the nonlinear free vibrations of the shell by the frequency-amplitude relations. Finally, a parametric analysis to study the nonlinear forced vibrations of the cylindrical shell subjected to a harmonic loading side for some geometric relations is conducted. In this case the system of ordinary differential equations of second order in time is obtained from the application of the Galerkin method and integrated over time from the Runge-Kutta fourth order method. The results evaluates the influence of the internal fluid and the thermal effects in the nonlinear oscillation of functionally graded cylindrical shell, using the resonances’ curves, the basins’ attraction, time responses and the phase portraits.
Keywords: Cylindrical shell. Nonlinear vibrations. Functionally graded materials. Fluid and temperature. Low-dimensional model.
Figura 1.1 – Exemplos de estruturas cilíndricas aeroespaciais: (a) Proton-K; (b) Ariane 5; (c) OV-103. ... 23 Figura 1.2 – Exemplos de grandes estruturas cilíndricas civis: (a) Armazenamento a granel; (b) Silos de grãos; (c) Reservatório elevado de água. ... 24 Figura 1.3 – Microestrutura com variação gradual dos materiais constituintes (ABOUDI; PINDERA; ARNOLD, 1999) – “Adaptada pelo autor”. ... 29 Figura 2.1 – Geometria e campos de deslocamentos da casca cilíndrica. ... 43 Figura 2.2 – Resultante dos esforços de membrana (a) e de flexão (b) e convenção de sinais do elemento de casca cilíndrica na configuração deformada (SILVA, 2008). ... 46 Figura 2.3 – Parte de uma casca cilíndrica com MGF, considerando as duas leis de gradação: (a) casca com gradação sanduíche e (b) casca com gradação sanduíche inversa. ... 47 Figura 2.4 – Variação do volume de cerâmica ao longo da espessura da casca cilíndrica: (a) função sanduíche e (b) função sanduíche inversa. ... 48 Figura 2.5 – Representação dos carregamentos aplicados na casca cilíndrica. ... 49 Figura 2.6 – Representação de uma casca cilíndrica com a presença de fluido interno. ... 54 Figura 4.1 – Geometrias da casca cilíndrica: (a) Geometria I – L/R = 0,5. (b) Geometria II - L/R = 1. (c) Geometria III - L/R = 2. ... 67 Figura 4.2 – Espectro das frequências naturais para a geometria I (L/R = 0,5), considerando as duas leis de gradação e m = 1. (a) Teoria de Donnell e (b) teoria de Sanders. ... 69 Figura 4.3 – Espectro das frequências naturais para a geometria II (L/R = 1), considerando as duas leis de gradação e m = 1. (a) Teoria de Donnell e (b) teoria de Sanders. ... 69
Figura 4.4 – Espectro das frequências naturais para a geometria III (L/R = 2), considerando as duas leis de gradação e m = 1. (a) Teoria de Donnell e (b) teoria de Sanders. ... 70 Figura 4.5 – Temperaturas críticas, em função da variação de n, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando a geometria L/R = 0,5 e as leis de gradação para m = 1. (a) Variação uniforme. (b) Variação linear. ... 72 Figura 4.6 – Temperaturas críticas, em função da variação de n, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando a geometria L/R = 1 e as leis de gradação para m = 1. (a) Variação uniforme. (b) Variação linear. ... 73 Figura 4.7 – Temperaturas críticas, em função da variação de n, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando a geometria L/R = 2 e as leis de gradação para m = 1. (a) Variação uniforme. (b) Variação linear. ... 73 Figura 4.8 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando as leis de gradação para N = 0,1 e 5, L/R = 0,5: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 76 Figura 4.9 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando as leis de gradação para N = 0,1 e 5, L/R = 1: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 77 Figura 4.10 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo, para as teorias de Donnell e Sanders, considerando as leis de gradação para N = 0,1 e 5, L/R = 2: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 78 Figura 4.11 – Comparação das relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo entre as três geometrias, para a teoria de Donnell, e considerando as leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 78 Figura 4.12 – Comparação das relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo entre as três geometrias, para a teoria de Sanders, e considerando as leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 79 Figura 4.13 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo e com fluido interno, para a teoria de Donnell, L/R = 0,5 e as duas leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 81
Figura 4.14 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo e com fluido interno, para a teoria de Sanders, L/R = 0,5 e as duas leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 81 Figura 4.15 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo e com fluido interno, para a teoria de Donnell, L/R = 1 e as duas leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 82 Figura 4.16 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo e com fluido interno, para a teoria de Sanders, L/R = 1 e as duas leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 82 Figura 4.17 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo e com fluido interno, para a teoria de Donnell, L/R = 2 e as duas leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 83 Figura 4.18 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica no vácuo e com fluido interno, para a teoria de Sanders, L/R = 2 e as duas leis de gradação: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 83 Figura 4.19 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com o fluido interno e o campo térmico, para a teoria de Donnell, considerando as leis de gradação para N = 5 e L/R = 0,5: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 84 Figura 4.20 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com o fluido interno e o campo térmico, para a teoria de Sanders, considerando as leis de gradação para N = 5 e L/R = 0,5: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 85 Figura 4.21 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com o fluido interno e o campo térmico, para a teoria de Donnell, considerando as leis de gradação para N = 5 e L/R = 1: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 85 Figura 4.22 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com o fluido interno e o campo térmico, para a teoria de Sanders, considerando as leis de gradação para N = 5 e L/R = 1: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 86 Figura 4.23 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com o fluido interno e o campo térmico, para a teoria de Donnell, considerando as leis de gradação para N = 5 e L/R = 2: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 86
Figura 4.24 – Relações frequência-amplitude da casca cilíndrica com o fluido interno e o campo térmico, para a teoria de Sanders, considerando as leis de gradação para N = 5 e L/R = 2: (a) sanduíche e (b) sanduíche inversa. ... 87 Figura 5.1 – Influência da magnitude PL nas curvas de ressonância da casca cilíndrica
no vácuo para geometria L/R = 0,5, considerando gradação sanduíche (N = 0,1). Modo fundamental. ... 93 Figura 5.2 – Influência da força de magnitude PL nas curvas de ressonância da casca
cilíndrica no vácuo para geometria L/R = 1, considerando gradação sanduíche (N = 0,1). Modo fundamental. ... 94 Figura 5.3 – Influência da força de magnitude PL nas curvas de ressonância da casca
cilíndrica no vácuo para geometria L/R = 2, considerando gradação sanduíche (N = 0,1). Modo fundamental. ... 95 Figura 5.4 – Modo como os multiplicadores de Floquet podem sair do círculo de raio unitário (DEL PRADO, 2001). ... 96 Figura 5.5 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica no vácuo para geometria L/R = 1, considerando gradação sanduíche, N = 0,1 e PL = 12×103 N/m². (a) Modo fundamental,
(b) Companion mode e (c) Máximo módulo do companion mode. ... 99 Figura 5.6 – Representação dos planos e seções de Poincaré (DEL PRADO, 2001). ... 100 Figura 5.7 – Bacias de atração (a), (c), (e), (g) e planos fase (b), (d), (f), (h) da casca cilíndrica no vácuo para geometria L/R = 1, gradação sanduíche (N = 0,1), PL = 12×103
N/m², Ω = 0,94, 0,96, 0,98, 1,02 rad/s. ... 101 Figura 5.8 – Resposta no tempo da casca cilíndrica no vácuo para geometria L/R=1, gradação sanduíche (N = 0,1), PL = 12×103 N/m², Ω = 0,96 rad/s. Condições iniciais:
1 ; 1 11 11=− = c W
W e as demais condições iguais a 1×10-4. ... 104 Figura 5.9 – Bacias de atração (a), (c), (e), (g) e planos fase (b), (d), (f), (h) da casca cilíndrica no vácuo para geometria L/R = 1, gradação sanduíche (N = 0,1), PL = 12×103
N/m², Ω = 0,94, 0,96, 0,98, 1,02 rad/s. ... 105 Figura 5.10 – Bacias de atração (a), (c), (e), (g) e planos fase (b), (d), (f), (h) da casca cilíndrica no vácuo para geometria L/R = 1, gradação sanduíche (N = 0,1), PL = 12×103
Figura 5.11 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica no vácuo para geometria L/R = 0,5, considerando gradação sanduíche, N = 0,1 e PL = 12×104 N/m². (a) Modo
fundamental, (b) Companion mode e (c) Máximo módulo do companion mode. ... 110 Figura 5.12 – Bacias de atração (a), (c), (e) e planos fase (b), (d), (f) da casca cilíndrica no vácuo para geometria L/R = 0,5, gradação sanduíche (N = 0,1), PL = 12×104 N/m², Ω
= 0,96, 0,98, 1,02 rad/s. ... 111 Figura 5.13 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica no vácuo para geometria L/R = 2, considerando gradação sanduíche, N = 0,1 e PL = 6×102 N/m². (a) Modo fundamental,
(b) Companion mode e (c) Máximo módulo do companion mode. ... 112 Figura 5.14 – Bacias de atração (a), (c) e planos fase (b), (d) da casca cilíndrica no vácuo para geometria L/R = 2, gradação sanduíche (N = 0,1), PL = 6×102 N/m², Ω =
0,98, 1,01 rad/s. ... 114 Figura 5.15 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido para geometria L/R = 1, considerando gradação sanduíche para N = 0,1 e PL = 12×103 N/m².
(a) Modo fundamental, (b) Companion mode e (c) Máximo módulo do companion
mode. ... 115
Figura 5.16 – Bacias de atração (a), (c), (e) e planos fase (b), (d), (f) da casca cilíndrica preenchida por fluido para geometria L/R = 1, gradação sanduíche (N = 0,1), PL =
12×103 N/m², Ω = 0,48, 0,54, 0,58 rad/s. ... 116
Figura 5.17 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido para geometria L/R = 0,5, considerando gradação sanduíche, N = 0,1 e PL = 12×104 N/m². (a)
Modo fundamental, (b) Companion mode e (c) Máximo módulo do companion mode. ... 118 Figura 5.18 – Bacias de atração (a), (c) e (e) e planos fase (b), (d) e (f) da casca cilíndrica preenchida por fluido para geometria L/R = 0,5, gradação sanduíche (N = 0,1),
PL = 12×104 N/m², Ω = 0,62, 0,64, 0,66 rad/s. ... 119
Figura 5.19 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido para geometria L/R = 2, considerando gradação sanduíche, N = 0,1 e PL = 6×102 N/m². (a)
Modo fundamental, (b) Companion mode e (c) Máximo módulo do companion mode. ... 121 Figura 5.20 – Bacias de atração (a), (c), (e) e planos fase (b), (d), (f) da casca cilíndrica preenchida por fluido para geometria L/R = 2, gradação sanduíche (N = 0,1), PL = 6×102
Figura 5.21 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido e com influência térmica para geometria L/R = 1, considerando gradação sanduíche, N = 0,1 e
PL = 12×103 N/m². (a) Modo fundamental, (b) Companion mode e (c) Máximo módulo
do companion mode. ... 124 Figura 5.22 – Bacias de atração (a), (c), (e) e planos fase (b), (d), (f) da casca com fluido interno e influência térmica para geometria L/R = 1, gradação sanduíche, PL = 12×103
N/m², Ω = 0,46, 0,52, 0,56 rad/s. ... 126 Figura 5.23 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido e com influência térmica para geometria L/R = 0,5, considerando gradação sanduíche inversa,
N = 0,1 e PL = 12×104 N/m². (a) Modo fundamental, (b) Companion mode e (c) Máximo
módulo do companion mode... 128 Figura 5.24 – Bacias de atração (a), (c) (e) e planos fase (b), (d), (f) da casca com fluido interno e temperatura para geometria L/R = 0,5, gradação sanduíche inversa, PL =
12×104 N/m², Ω = 0,51, 0,55, 0,59 rad/s. ... 129 Figura 5.25 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido e com influência térmica para geometria L/R = 2, considerando gradação sanduíche, N = 0,1 e
PL = 6×102 N/m². (a) Modo fundamental, (b) Companion mode e (c) Máximo módulo
do companion mode. ... 131 Figura 5.26 – Bacias de atração (a), (c), (e) e planos fase (b), (d), (f) da casca com fluido interno e temperatura para geometria L/R = 2, gradação sanduíche, PL = 6×102 N/m², Ω
= 0,42, 0,47, 0,49 rad/s. ... 132 Figura 5.27 – Curvas de ressonância da casca cilíndrica preenchida por fluido e com influência térmica para geometria L/R = 2, considerando gradação sanduíche inversa, N = 0,1 e PL = 6×102 N/m². (a) Modo fundamental, (b) Companion mode e (c) Máximo
módulo do companion mode... 133 Figura 5.28 – Bacias de atração (a), (c), (e) e planos fase (b), (d), (f) da casca com fluido interno e temperatura para geometria L/R = 2, gradação sanduíche inversa, PL = 6×102
Tabela 4.1 – Valores das frequências naturais (rad/s) da casca cilíndrica vazia para a teoria não linear de Donnell, considerando as diferentes leis de gradação e as diferentes
geometrias. ... 70
Tabela 4.2 – Valores das frequências naturais (rad/s) da casca cilíndrica vazia para a teoria não linear de Sanders, considerando as diferentes leis de gradação e as diferentes geometrias. ... 71
Tabela 4.3 – Valores das temperaturas críticas (ºC) da variação uniforme para as teoria de Donnell e Sanders, considerando as diferentes geometrias e leis de gradação com N = 0,1 e 5. ... 74
Tabela 4.4 – Valores das temperaturas críticas (ºC) da variação linear para as teoria de Donnell e Sanders, considerando as diferentes geometrias e leis de gradação com N = 0,1 e 5. ... 74
Tabela 4.5 – Valores das frequências naturais (rad/s) da casca cilíndrica com o fluido interno para a teoria não linear de Donnell, considerando as leis de gradação e as diferentes geometrias. ... 80
Tabela 4.6 – Valores das frequências naturais (rad/s) da casca cilíndrica com o fluido interno para a teoria não linear de Sanders, considerando as leis de gradação e as diferentes geometrias. ... 80
Tabela 4.7 – Valores das frequências naturais (rad/s) da casca cilíndrica com o fluido interno e ação térmica para a teoria não linear de Donnell, considerando as leis de gradação e as diferentes geometrias. ... 88
Tabela 4.8 – Valores das frequências naturais (rad/s) da casca cilíndrica com o fluido interno e ação térmica para a teoria não linear de Sanders, considerando as leis de gradação e as diferentes geometrias. ... 88
Tabela 5.1 – Valores utilizados para a magnitude de PL para cada relação geométrica... 93
Tabela 5.2 – Multiplicadores de Floquet para os pontos P1-P12 da Figura 5.2. ... 97
Tabela 5.4 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.7. ... 103
Tabela 5.5 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.9. ... 106
Tabela 5.6 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.10. ... 109
Tabela 5.7 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.12. ... 112
Tabela 5.8 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.14. ... 114
Tabela 5.9 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.16. ... 117
Tabela 5.10 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.18. ... 120
Tabela 5.11 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.20. ... 123
Tabela 5.12 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.22. ... 127
Tabela 5.13 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.24. ... 130
Tabela 5.14 – Coordenadas das seções de Poincaré dos planos fase da Figura 5.26. ... 133
Símbolos romanos
( )
tAim - amplitudes modais, em função do tempo, do potencial de velocidade do fluido considerando uma casca flexível e sem superfície livre
E - módulo de elasticidade do material
A
E - módulo de elasticidade do aço inoxidável
C
E - módulo de elasticidade da cerâmica
h - espessura da casca cilíndrica
H - altura do fluido interno na casca cilíndrica
K - constante para análise do problema pela teoria não linear de Donnell, ou pela teoria não linear de Sanders
L - comprimento da casca cilíndrica
L - função lagrangeana
m - número de semiondas longitudinais
x
M - momento axial
F x
M - momento axial fundamental
I x
M - momento axial incremental
θ
M - momento circunferencial
F
Mθ - momento circunferencial fundamental
I
Mθ - momento circunferencial incremental
θ
x
M - momento torçor
F x
M θ - momento torçor fundamental
I x
n - número de ondas circunferenciais
N - expoente da lei de gradação funcional
x
N - esforço axial
F x
N - esforço axial fundamental
I x
N - esforço axial incremental
θ
N - esforço circunferencial
F
Nθ - esforço circunferencial fundamental
I
Nθ - esforço circunferencial incremental
θ
x
N - esforço cisalhante
F x
N θ - esforço cisalhante fundamental
I x
N θ - esforço cisalhante incremental
p - pressão lateral
P - carregamento axial
H
P - pressão hidrodinâmica
L
P - magnitude da pressão lateral
q - parâmetro adimensional
(
=mπ R L)
r - coordenada na direção radialR - raio da casca cilíndrica
E
R - trabalho das forças de dissipação
t - tempo
T - temperatura
C
T - energia cinética da casca cilíndrica
ext
T - temperatura externa à casca cilíndrica
int
u - campo de deslocamento na direção axial
j i
U - amplitude dos driven modes na direção axial
c j i
U - amplitude dos companion modes na direção axial
( )
tUij - amplitude modal, em função do tempo, do campo de deslocamento na direção axial
I
U - energia interna de deformação da casca cilíndrica
v - campo de deslocamento na direção circunferencial
E
V - trabalho das cargas externas
j i
V - amplitude dos driven modes na direção circunferencial
c j i
V - amplitude dos companion modes na direção circunferencial
( )
tVij - amplitude modal, em função do tempo, do campo de deslocamentos na direção circunferencial
A
V - volume de aço em uma determinada posição z da espessura da casca cilíndrica
C
V - volume de cerâmica em uma determinada posição z da espessura da casca cilíndrica
x - coordenada na direção axial
w - campo de deslocamento na direção transversal
x
w, - rotação na direção axial
xx
w, - mudança de curvatura na direção axial
θ ,
w - rotação na direção circunferencial
θθ ,
w - mudança de curvatura na direção circunferencial
θ
x
w, - mudança de curvatura na direção angular
j i
W - amplitude dos driven modes na direção transversal
c j i
W - amplitude dos companion modes na direção transversal
( )
tWij - amplitude modal, em função do tempo, do campo de deslocamentos na direção transversal
Símbolos gregos
α
- coeficiente de dilatação térmicaA
α
- coeficiente de dilatação térmica do aço inoxidávelC
α - coeficiente de dilatação térmica da cerâmica
x
β - rotação na direção axial
θ
β - rotação na direção circunferencial
1
β
- amortecimento viscoso2
β
- amortecimento viscoelásticoθ
γx - deformação específica angular
θ
γx - deformação específica angular de um ponto qualquer da casca
δ
- parâmetro de perturbação(
=h R)
x
ε - deformação específica axial
θ
ε - deformação específica circunferencial
x
ε - deformação específica axial de um ponto qualquer da casca
θ
ε - deformação específica circunferencial de um ponto qualquer da casca
1
η
- coeficiente de amortecimento viscoso2
η
- coeficiente de amortecimento viscoelástico θ - coordenada na direção circunferencialΘ - campo térmico de flexão
x
κ - mudança de curvatura axial
θ
κ - mudança de curvatura circunferencial
θ
κx - mudança de curvatura angular ν - coeficiente de Poisson
A
C
ν - coeficiente de Poisson da cerâmica
ξ - coordenada adimensional na direção axial (=x/R) ρ - densidade da casca cilíndrica
1
ρ
- densidade da casca cilíndrica com gradação funcionalA
ρ
- densidade do aço inoxidávelC
ρ - densidade da cerâmica
F
ρ
- massa específica do fluidox
σ - tensão na direção axial
θ
σ - tensão na direção circunferencial
τ - parâmetro adimensional do tempo
θ
τx - tensão cisalhante
φ
- potencial de velocidade do fluidoΦ - campo térmico de membrana
0
ω
- frequência naturalL
ω
- frequência de excitação da pressão lateralΩ - parâmetro adimensional da frequência de excitação
Símbolos matemáticos
n
I - função modificada de Bessel de primeira classe e de ordem n
( )
L - operador diferencial linear
( )
1D - operador diferencial não linear que gera termos quadráticos
( )
2
1. INTRODUÇÃO ... 23
1.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 24
1.1.1 Interação fluido-estrutura ... 25
1.1.2 Material com gradação funcional e efeitos térmicos ... 28
1.1.3 Métodos analíticos e modelo de dimensão reduzida... 35
1.2 OBJETIVOS ... 39
1.3 METODOLOGIA ... 39
1.4 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO ... 41
2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA ... 42
2.1 FORMULAÇÃO DA CASCA CILÍNDRICA ... 43
2.2 ESFORÇOS DE MEMBRANA E DE FLEXÃO... 44
2.3 GRADAÇÃO FUNCIONAL EMPREGADA NAS ANÁLISES ... 46
2.4 FUNCIONAIS DE ENERGIA DA CASCA CILÍNDRICA ... 49
2.5 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO NÃO LINEARES ... 51
2.6 MODELAGEM DO FLUIDO INTERNO ... 53
3. MODELO DE DIMENSÃO REDUZIDA PARA A CASCA CILÍNDRICA ... 57
3.1 MÉTODO DA PERTURBAÇÃO ... 58
3.2 DETERMINAÇÃO DOS CAMPOS DE DESLOCAMENTOS u E v ... 61
4. ANÁLISE PARAMÉTRICA DAS VIBRAÇÕES LIVRES NÃO LINEARES .. 67
4.1 ANÁLISE DA VIBRAÇÃO LIVRE LINEAR PARA A CASCA NO VÁCUO . 68
4.2 ANÁLISE DA TEMPERATURA CRÍTICA DE FLAMBAGEM ... 71
4.3 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO LINEAR ... 75
4.3.2 Influência do campo térmico na vibração livre não linear ... 84
5. ANÁLISE PARAMÉTRICA DAS VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO
LINEARES... 91
5.1 VIBRAÇÃO FORÇADA DA CASCA CILÍNDRICA NO VÁCUO ... 92
5.2 VIBRAÇÃO FORÇADA DA CASCA CILÍNDRICA COM FLUIDO
INTERNO ... 115
5.3 VIBRAÇÃO FORÇADA DA CASCA CILÍNDRICA COM FLUIDO
INTERNO SUBMETIDO A UM CAMPO TÉRMICO ... 124
5.4 VIBRAÇÃO FORÇADA DA CASCA CILÍNDRICA COM GRADAÇÃO
FUNCIONAL SANDUÍCHE INVERSA ... 127
6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES ... 136
6.1 CONCLUSÕES ... 136
6.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ... 140
Nos últimos anos, impulsionada por fatores técnicos e econômicos, a engenharia estrutural passou por significativas mudanças, principalmente em relação aos avanços nos procedimentos de cálculo, processos executivos e utilização de novos materiais, o que permitiu a construção de estruturas cada vez mais leves e esbeltas. As cascas cilíndricas são um exemplo de elementos esbeltos, que podem sofrer com os efeitos da instabilidade estrutural e vibrações excessivas quando sujeitas a cargas estáticas ou dinâmicas. Portanto, conhecer seu comportamento e suas características dinâmicas é de fundamental importância para se executar bons projetos.
As cascas cilíndricas possuem diversas aplicações nas engenharias civil, mecânica, naval, aeronáutica e off-shore, como por exemplo, para o armazenamento e transporte de água, ou outro tipo de fluido. Nas Figuras 1.1 e 1.2, apresentam-se exemplos de utilização de cascas cilíndricas em estruturas aeroespaciais e civis.
Figura 1.1 – Exemplos de estruturas cilíndricas aeroespaciais: (a) Proton-K; (b) Ariane 5; (c) OV-103.
(a) (b) (c)
Fonte: Disponível em: a) <http://noticias.terra.com.br/ciências>; b) <http://fr.wikipedia.org/wiki>; c) <http://pt.wikipedia.org/wiki>. Acesso em: 13 de abril de 2014.
Figura 1.2 – Exemplos de grandes estruturas cilíndricas civis: (a) Armazenamento a granel; (b) Silos de grãos; (c) Reservatório elevado de água.
(a) (b) (c)
Fonte: Disponível em: a) <http://portogente.com.br/portopedia>; b)
<http://ww.haverbrasil.com.br/pt/equipamentos>; c) <http://noticias-do-concelho.blogspot.com.br>. Acesso em: 13 de abril de 2014.
Estas estruturas possuem uma geometria simples, mas podem apresentar um complexo comportamento não linear quando submetidas a carregamentos dinâmicos e preenchidas por um fluido. A interação entre o fluido e a estrutura é de grande importância na análise dinâmica das cascas cilíndricas, devido a maior parte de suas aplicações estarem ligadas ao armazenamento ou ao transporte de fluidos.
Recentemente, com o intuito de atender as diversas exigências impostas às cascas cilíndricas, tem se estudado a construção das mesmas com material de gradação funcional (MGF). Estes compostos não homogêneos são feitos pela associação de dois ou mais materiais com diferentes propriedades, obtendo um material que seja capaz de unir diferentes características presentes em sua matriz. A utilização de MGF em cascas cilíndricas, comparado aos casos isotrópicos e laminados, reduz as tensões térmicas e a concentração de tensões, apresentando grande capacidade de proteção térmica.
1.1
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O comportamento dinâmico não linear das cascas cilíndricas tem sido interesse de muitos pesquisadores ao longo dos anos. Existem diversos trabalhos na literatura abordando este assunto, o qual vem incorporando novas variáveis, como por exemplo, o estudo da influência de um fluido interno, a ação térmica e o uso de materiais com gradação funcional para a construção destas estruturas. A seguir será apresentada uma revisão bibliográfica envolvendo
um breve histórico sobre a análise das vibrações não lineares de cascas cilíndricas, materiais com gradação funcional, e a influência do fluido e da temperatura na análise estrutural de cascas cilíndricas, posicionando as principais contribuições deste trabalho no contexto científico.
Um dos trabalhos pioneiros sobre o estudo de cascas cilíndricas foi feito por Donnell (1933), submetendo estas estruturas a uma carga torcional. Continuando seus estudos, Donnell (1934) analisa de forma experimental o comportamento de cascas cilíndricas submetidas a cargas axiais e à flexão, confrontando os valores obtidos com as teorias existentes à época. O autor observa que os valores de carga crítica para a casca cilíndrica obtidos de forma experimental, são bem menores que os valores teóricos.
No início da década de 60, Sanders (1963) desenvolveu uma teoria não linear para análise de cascas esbeltas, a qual é considerada como uma das melhores aproximações de primeira ordem para a análise de dinâmica não linear e problemas de instabilidade estrutural de cascas cilíndricas (GONÇALVES, 1987).
1.1.1 Interação fluido-estrutura
A interação entre o fluido e a estrutura é de grande importância na análise dinâmica das cascas cilíndricas, devido a maior parte de suas aplicações estarem ligadas ao armazenamento ou ao transporte de fluidos. Na literatura, a maioria das pesquisas é desenvolvida para cascas no vácuo, e um número bem menor de trabalhos está relacionado ao estudo de cascas preenchidas por fluido.
Um dos primeiros estudos em que se considera a interação fluido-estrutura foi desenvolvido por Kana, Lindholm e Abramson (1966), apresentando resultados experimentais de um fenômeno de instabilidade, ocorridos pelas vibrações livres de um tanque composto por material elástico e parcialmente cheio. Segundo os autores, esse fenômeno ocorre próximo aos modos de ressonância do sistema, observando pequenas vibrações no tanque e na superfície livre do fluido. Além disso, o fluido e a estrutura apresentaram um significativo comportamento não linear, e devido a este fato, os autores afirmam que é necessário melhorar a precisão dos resultados, acrescentando-se mais graus de liberdade ao sistema, com o intuito de descrever melhor o problema.
Posteriormente, Chu e Kana (1967) investigaram as vibrações não lineares na direção transversal de um tanque cilíndrico parcialmente cheio. Eles obtiveram resultados satisfatórios,
apesar da divergência entre valores numéricos e experimentais, e por isso, sugeriram o acréscimo de mais termos na expansão modal do campo de deslocamentos do sistema. Os autores afirmaram que o fenômeno observado ocorre em consequência do carregamento não linear, o qual provoca uma amplitude dependente da massa do tanque.
Dym (1973) analisou as vibrações de cascas cilíndricas utilizando, pela primeira vez, a teoria de primeira ordem de Sanders, comparando com as teorias existentes de Donnell, Flügge e Timoshenko. De forma análoga a estas teorias, observou-se que as frequências na direção radial são sensíveis às variações da espessura, ao contrário das frequências na direção tangencial, da energia de membrana e da distribuição modal.
Hunt, Williams e Cowell (1986) estudaram a influência de soluções modais para o campo de deslocamentos transversais na análise não linear de cascas cilíndricas submetidas a cargas axiais, em que é apresentada a importância da correta consideração do acoplamento modal na inclusão de modos axissimétricos ao campo de deslocamentos estudado.
No mesmo ano, Gonçalves e Batista (1986) investigaram as vibrações não lineares de cascas cilíndricas simplesmente apoiadas, parcialmente, ou completamente, preenchidas por um fluido considerado incompressível, irrotacional e não viscoso. Foi utilizada a teoria de Sanders para descrever as deformações e as mudanças de curvatura da casca e o método de Rayleigh-Ritz para obter as equações não lineares de movimento. Através destas soluções analíticas, eles fizeram uma análise paramétrica da geometria e da altura do fluido no interior da casca, e validaram seus resultados com valores experimentais existentes na literatura. Foi observado que a presença do fluido reduz de forma significativa as frequências naturais, além de alterar os modos de vibração.
Continuando seus estudos, Gonçalves e Batista (1988) estudaram as vibrações não lineares de cascas cilíndricas simplesmente apoiadas e preenchidas por um fluido ideal. Para obter as vibrações não lineares da casca, são utilizadas as equações não lineares de Sanders e o potencial de velocidade do fluido é obtido pela equação de Laplace. Os autores demonstraram a influência do fluido e dos parâmetros geométricos nas vibrações não lineares das cascas cilíndricas. Eles concluíram que o comportamento inicial da relação frequência-amplitude caracteriza-se pela não linearidade do acoplamento modal que reduz a rigidez de membrana da casca e aumenta os efeitos de inércia associado com os modos harmônicos de segunda ordem. Os autores afirmaram
ainda que a interação fluido-estrutura provoca uma maior não linearidade na casca cilíndrica cheia do que a mesma no vácuo.
Chiba (1993a) realizou um trabalho experimental sobre as vibrações não lineares de um tanque cilíndrico vazio engastado em uma extremidade e livre na outra. Seus resultados confirmam que, para vibrações de grande amplitude, há perda de rigidez do tanque no intervalo inicial da relação frequência-amplitude. Continuando este trabalho experimental, Chiba (1993b) analisou a mesma estrutura, mas agora parcialmente cheia por água, observando a não linearidade da resposta do tanque com a variação do nível do líquido. Estes resultados foram comparados com os estudos desenvolvidos para tanques vazios. O autor concluiu que o grau de não linearidade do sistema depende dos modos de vibração, do comprimento do tanque e do nível do líquido contido nele.
Amabili (1997) analisou as vibrações livres de um tanque cilíndrico simplesmente apoiado nas extremidades, parcialmente cheio por um fluido não-viscoso e incompressível, desconsiderando a influência da superfície livre. Além disso, é investigada a flexão das paredes do tanque, sendo a solução obtida como um problema de autovalor, utilizando o método de Rayleigh-Ritz. Os resultados mostraram que as frequências naturais e os modos de vibração de tanques com espessuras pequenas são bastante afetadas pela presença de diferentes níveis de água.
Na mesma linha de pesquisa, Lakis e Neagu (1997) fizeram uma análise dinâmica dessa estrutura, utilizando uma combinação do método dos elementos finitos e a teoria clássica de Sanders, com o intuito de determinar as funções de deslocamentos que representam as deformações da estrutura, reduzindo inclusive o tempo de processamento computacional. Além disso, é analisada a influência da superfície livre do fluido presente na casca cilíndrica, observando as vibrações causadas pela interação fluido-estrutura. Os resultados obtidos mostram concordância com valores de experimentos físicos encontrados na literatura. Os autores observaram que, para diferentes geometrias da casca e de níveis de fluido, há uma significativa influência nos modos de vibração do sistema.
Pellicano e Amabili (2003) estudaram a instabilidade dinâmica de cascas cilíndricas simplesmente apoiadas e submetidas a cargas axiais periódicas, preenchidas por um fluido. Foi usada a teoria não linear de Donnell para cascas abatidas. Os resultados mostraram que a presença do líquido aumenta o amortecimento e incorpora uma massa adicional ao sistema, o que reduz o valor das frequências naturais além de alterar as cargas de estabilidade dinâmica.
1.1.2 Material com gradação funcional e efeitos térmicos
Recentemente, o estudo de estruturas feitas com material com gradação funcional (MGF) tem recebido bastante atenção de pesquisadores, principalmente na análise das vibrações não lineares de cascas cilíndricas. MGF são compostos não homogêneos feitos pela associação de materiais, que possuem uma variação de suas propriedades de forma contínua ao longo da espessura. A maioria destes compostos é constituída por cerâmica e metal. O uso de MGF em cascas cilíndricas, comparado aos casos isotrópicos e laminados, reduz as tensões térmicas e a concentração de tensões, tendo uma grande capacidade de suportar cargas a elevadas temperaturas sem perder sua integridade estrutural. Diante destas vantagens, estes compostos têm substituído materiais convencionais em diversas aplicações para barreira térmica, como por exemplo, na indústria aeroespacial e no setor energético. Alguns destes trabalhos serão discutidos a seguir.
Segundo Koizumi (1997), a concepção dos MGF foi proposta inicialmente por cientistas japoneses em 1984, com o objetivo de produzir materiais com proteção térmica. Estes compostos foram concebidos para resistir à exposição de altas temperaturas, como por exemplo, em estruturas aeroespaciais, células de combustível, pás de turbinas a gás, entre outras aplicações. A partir de então, foram desenvolvidas várias pesquisas para estudar as vibrações e estabilidade de cascas e placas com MGF.
Loy, Lam e Reddy (1999) analisaram as vibrações livres de cascas cilíndricas simplesmente apoiadas com MGF. Os autores utilizaram nesta análise a teoria de Love para descrever as relações de deformações e deslocamentos da casca e o método de Rayleigh-Ritz para obter as equações discretizadas de movimento. Foi aplicada a seguinte função exponencial para descrever a variação dos materiais ao longo da espessura:
( )
N A h z z V + = 2 1 (1.1)Os resultados mostram que as frequências naturais são semelhantes ao observado pelas cascas cilíndricas constituídas por um único material homogêneo e isotrópico, e que estas são afetadas pela fração de volume dos materiais constituintes e pela configuração dos mesmos.
Em seguida, Aboudi, Pindera e Arnold (1999) apresentaram um estudo desenvolvido sobre a aplicação da teoria de alta ordem para materiais com gradação funcional, a qual permite a
análise da variação do volume de material nas três direções cartesianas. Os autores mostraram a partir de seus resultados, a influência da microestrutura em quantidades microscópicas e macroscópicas que regulam a resposta dos compósitos cuja função principal é produzir uma composição continuamente variável. As aplicações destes materiais estão relacionadas a cargas termomecânicas uniformes e variáveis ao longo da espessura. Um exemplo mostrado pelos autores é indicado na Figura 1.3, a qual representa uma microestrutura característica dos MGF com duas fases constituintes (fase cerâmica e fase metálica). Nesta figura, é possível perceber uma variação gradual dos materiais, em que a cor preta representa a fase metálica e a cor branca a fase cerâmica.
Figura 1.3 – Microestrutura com variação gradual dos materiais constituintes (ABOUDI; PINDERA; ARNOLD, 1999) – “Adaptada pelo autor”.
Pradhan et al. (2000) estendeu o trabalho de Loy, Lam e Reddy (1999) para outras condições de contorno, avaliando a influência das mesmas e da fração de volume dos materiais constituintes nas frequências naturais das cascas cilíndricas. Os autores mostraram que para os casos em que ambas as extremidades estão apoiadas, engastadas ou livres, as frequências naturais aumentam ao incrementar a relação h/R, e diminuem quando L/R aumenta. Eles também observam que os valores destas frequências são alterados ao variar o volume de fração dos materiais constituintes.
Ng et al. (2001) estudaram a instabilidade dinâmica de cascas cilíndricas simplesmente apoiadas submetidas a um carregamento axial periódico, aplicando várias leis de gradação. As equações de movimento foram obtidas pela formulação de Mathieu-Hill, utilizando o método de Bolotin para análise das regiões de instabilidade do sistema, além de observar os efeitos da
fração de volume dos materiais constituintes, utilizando a equação (1.1). Os resultados mostraram a influência do expoente da lei de gradação que define o volume dos materiais constituintes ao longo da espessura, e que variando este expoente corretamente, é possível controlar os valores das frequências naturais e as regiões de instabilidade dinâmica.
Sofiyev (2003) investigou cascas cilíndricas feitas com material com gradação funcional, submetidas a uma pressão externa periódica. O volume de fração dos materiais constituintes é dado pela equação (1.1). Os resultados revelaram que os parâmetros críticos de instabilidade são afetados pelas configurações dos materiais constituintes e a variação da pressão externa.
Em relação aos estudos sobre a inclusão dos efeitos térmicos em cascas, Tanaka et al. (1993) apresentaram uma solução aprimorada para materiais termoelásticos em cascas cilíndricas feitas com MGF, com o intuito de reduzir as tensões térmicas, analisando sua influência nos parâmetros geométricos e nas frações de volumes dos materiais constituintes da gradação funcional. Os resultados mostraram que as tensões térmicas são reduzidas com o incremento do expoente da lei de gradação, e que os valores das temperaturas são reduzidos com o aumento do raio da casca cilíndrica.
A instabilidade térmica de cascas cilíndricas simplesmente apoiadas feitas com MGF é estudada por Shahsiah e Eslami (2003). As relações de deformação e deslocamento da casca foram obtidas pela teoria de primeira ordem de Sanders, aplicando-as nas equações de equilíbrio aprimoradas de Donnell. As cargas provenientes da temperatura são variáveis ao longo da espessura, considerando tal variação de forma uniforme, linear e não linear. Os autores concluíram alguns pontos interessantes sobre a temperatura crítica, dentre eles: seu valor em cascas cilíndricas com MGF é menor do que as correspondentes isotrópicas; ela aumenta ao se incrementar as relações geométricas h/R e L/R; seu valor para a variação linear ao longo da espessura é duas vezes maior do que o caso uniforme; o caso não linear possui valores maiores do que o caso linear.
Shen (2003) fez uma análise pós-crítica para uma casca cilíndrica feita com material com gradação funcional sujeita a pressões externas e em ambientes térmicos. As propriedades dos materiais são dependentes da temperatura e a distribuição dos materiais constituintes ao longo da espessura é regida pela lei de gradação apresentada pela equação (1.1). As equações de movimento são baseadas na teoria clássica não linear de von-Karmàn-Donnell. Utiliza-se uma técnica de perturbação para determinar a carga de flambagem e o caminho pós-crítico. Os
resultados mostraram que o comportamento pós-crítico da casca sob as condições de carregamento citadas é considerado estável. O autor também confirma que o caminho pós-crítico é bastante influenciado pelo aumento da temperatura, pela distribuição da fração de volume dos materiais constituintes, imperfeições geométricas iniciais e pelos parâmetros geométricos.
Sofiyev e Schnack (2004) avaliaram a estabilidade de cascas cilíndricas feitas com MGF e submetidas à carga dinâmica torcional. Foi utilizada a teoria de Donnell para formular as equações de equilíbrio da casca. Posteriormente foi aplicado o método de Galerkin e o princípio de Lagrange-Hamilton para obter as equações de movimento do sistema. Eles mostraram que a carga crítica de torção é afetada pela forma de variação dos materiais constituintes ao longo da espessura da casca.
Continuando seus estudos, Sofiyev (2005) analisa o comportamento de cascas cilíndricas com MGF, composta por cerâmica e metal, sendo agora sujeitas a cargas axiais periódicas. A gradação funcional do material é definida por uma fração de volume da fase cerâmica, em que foram consideradas os casos linear, quadrática, quadrática inversa e cúbica como funções de variação deste volume, as quais são definidas, respectivamente, pelas seguintes equações:
( )
+ = 2 1 h z z VC (1.2)( )
2 2 1 + = h z z VC (1.3)( )
2 2 1 1 − − = h z z VC (1.4)( )
2 3 2 1 2 2 1 3 + − + = h z h z z VC (1.5)Desta vez, foi utilizada a teoria de Love para cascas cilíndricas. Os resultados revelaram que estes parâmetros desempenham uma ação importante na perda de estabilidade de cascas com MGF.
Estendendo o trabalho de Shahsiah e Eslami (2003), Wu, Jiang e Liu (2005) investigaram a estabilidade de cascas cilíndricas simplesmente apoiadas feitas com material com gradação funcional sujeitas à ação térmica na direção axial. Segundo o autor, cascas feitas com MGF
possuem muitas aplicações como barreira térmica de estruturas aeroespaciais e reatores de fusão. A partir da teoria de Donnell, o estudo foi desenvolvido analisando três diferentes tipos de ação térmica ao longo da espessura, com a temperatura variando de forma uniforme, linear e não linear. Os resultados mostraram que a temperatura crítica de flambagem corresponde aos valores das cascas cilíndricas feitas com material homogêneo. Outras conclusões importantes dos autores em relação à temperatura crítica são: ela aumenta linearmente à medida que a relação h/R aumenta; ela reduz ao passo que se incrementa a relação R/L e o expoente da lei de gradação.
Na mesma linha de pesquisa, Bahtui e Eslami (2007) estudam a resposta termoelástica acoplada de uma casca cilíndrica com gradação funcional, obtendo-se os deslocamentos, a temperatura crítica e as tensões geradas pela ação térmica, validando-se os resultados com os existentes na literatura.
Arshad, Naeem e Sultana (2007) analisaram as vibrações de cascas cilíndricas com MGF, em que foi feito um estudo comparativo das frequências da casca cilíndrica pelas leis de gradação com funções exponenciais e trigonométricas. Além da equação (1.1), foram utilizadas também as seguintes expressões:
( )
+ − − = N A h z z V 2 1 exp 1 (1.6)( )
N A h z z V + = 2 1 sen2 (1.7)( )
N A h z z V + = 2 1 cos2 (1.8)Os autores utilizaram a teoria de Love para descrever as relações de deformações e deslocamentos da casca e o método de Rayleigh-Ritz para obter as equações discretizadas de movimento. Os autores destacaram a importância da utilização das leis de gradação dependendo da aplicação tecnológica do seu problema, em que os resultados são validados com a literatura.
Gonçalves, Silva e Del Prado (2007) estudaram a dinâmica não linear de cascas cilíndricas contendo fluido, e feitas com material com gradação funcional, o qual é constituído por cerâmica e metal, e estão em função da lei de gradação definida pela equação (1.1). O fluido é considerado não viscoso e incompressível, e seu movimento irrotacional é descrito por um
potencial de velocidade que atende a equação de Laplace. As análises foram feitas empregando a teoria não linear de von-Karmàn-Donnell. A expansão modal é obtida pelo método de perturbação (GONÇALVES; BATISTA, 1988; GONÇALVES; DEL PRADO, 2002; GONÇALVES; SILVA; DEL PRADO, 2008; SILVA; GONÇALVES; DEL PRADO, 2011), a qual é usada como base para o desenvolvimento de um modelo de dimensão reduzida que satisfaz as condições de contorno, continuidade e simetria, além de apresentar o comportamento com perda de rigidez (softening), que é característico das cascas cilíndricas. Os resultados mostraram que a interação de fluido-estrutura reduz as frequências naturais e as cargas críticas do sistema, devido ao efeito da massa adicional de fluido. A gradação do material influencia as fronteiras de instabilidade no espaço de controle da carga. Os autores afirmaram que o fluido e a gradação não afeta o comportamento softening da casca, e nem o fenômeno de bifurcação relacionado com as fronteiras de instabilidade.
Shen (2009) fez um estudo de cascas e placas feitas com material com gradação funcional. Foi utilizada a teoria não linear de von-Karmàn-Donnell para descrever as deformações e mudanças de curvatura das cascas e placas. O autor investigou o comportamento pós-crítico de placas sujeitas a cargas térmicas, elétricas e mecânicas, além de uma análise não linear das vibrações de placas com MGF. Também foi analisado o comportamento pós-crítico de cascas cilíndricas submetidas a vários tipos de carregamento.
Duc e Tung (2010) investigam a resposta não linear de painéis cilíndricos com gradação funcional sob pressão lateral uniforme e com a incorporação de efeitos térmicos. As propriedades dos materiais constituintes estão em função da lei de gradação definida na equação (1.1), e assume-se que estas propriedades sejam independentes da temperatura. As análises foram feitas aplicando a teoria não linear de von-Karmàn-Donnell, e são considerados uma imperfeição geométrica inicial. As equações de movimento são discretizadas pelo método de Galerkin. Os resultados mostram que a resposta não linear dos painéis cilíndricos é muito influenciada pelas condições de contorno e pelos efeitos térmicos, principalmente pelo aumento da não linearidade, assim como os demais parâmetros avaliados: gradação funcional, geometria e a imperfeição inicial.
Em um trabalho semelhante ao desenvolvido por Loy, Lam e Reddy (1999), Arshad et al. (2011) analisaram os efeitos do valor do expoente do volume de fração dos materiais constituintes, cuja lei de gradação é apresentada pela equação (1.6). Além disso, foram consideradas diversas condições de contorno. Os resultados são confrontados com os existentes
na literatura, observando a influência de diversos expoentes da gradação e dos parâmetros geométricos.
Soares (2013) estudou as vibrações não lineares de cascas cilíndricas esbeltas com gradação funcional. Para isto, foi utilizada a teoria não linear de Sanders para descrever as mudanças de curvatura e as deformações da casca. As equações de movimento são discretizadas pelo método de Galerkin, e as equações algébricas resultantes são resolvidas pelo método de Newton-Raphson. A lei de gradação é apresentada pela equação (1.1). Foi feita uma análise paramétrica, através das relações frequência-amplitude, investigando a influência da geometria da casca, da gradação do material funcional e dos modos de vibração no grau e tipo de não linearidade da casca cilíndrica.
Strozzi e Pellicano (2013) avaliaram as vibrações não lineares de cascas cilíndricas com MGF sob algumas condições de contorno, utilizando a teoria de Sanders-Koiter. Os campos de deslocamento são expandidos por meio de uma série baseada nos polinômios de Chebyshev, para as variáveis longitudinais, e funções harmônicas para as circunferenciais, analisando também a participação dos driven modes e dos companion modes. As análises são feitas para cascas submetidas à carga harmônica externa, considerando a convergência dos modos assimétricos e axissimétricos. Os resultados mostraram alguns pontos importantes, como por exemplo, as cascas que possuem resposta hardening (ganho de rigidez) com poucos termos na expansão modal, ao incorporar mais modos de vibração passam a apresentar comportamento
softening (perda de rigidez). Em relação aos efeitos nos parâmetros geométricos, as cascas
cilíndricas muito curtas e com maiores espessuras mostram um comportamento não linear
hardening, enquanto a maioria das geometrias de cascas tem uma resposta softening. Quanto
ao MGF, as frequências naturais podem aumentar ou reduzir seus valores, dependendo da lei de gradação utilizada, a qual foi adotada pela equação (1.1).
Recentemente, Thai e Kim (2015) fizeram uma vasta revisão bibliográfica sobre placas e cascas feitas com material com gradação funcional. Os autores enfatizaram os modelos analíticos existentes na literatura para estas estruturas submetidas a cargas e efeitos térmicos. Esta avaliação concentra-se principalmente, nas teorias clássica de placas e de deformação de cisalhamento de primeira ordem. Os autores concluem que as teorias existentes são bastante recomendadas para o estudo de cascas e placas com MGF, e que os efeitos térmicos e as imperfeições e não linearidades geométricas podem ser incorporadas nas equações propostas pelas teorias. Além disso, eles afirmam que a maioria dos estudos envolvendo análises
tridimensionais destas estruturas estão limitados a modelos analíticos associados a cargas críticas de flambagem e vibrações não lineares, para cascas e placas simplesmente apoiadas ou engastadas.
1.1.3 Métodos analíticos e modelo de dimensão reduzida
Devido número reduzido de trabalhos existentes na literatura, envolvendo soluções analíticas para as equações diferenciais de movimento de uma casca cilíndrica, é preciso aplicar um método de discretização para reduzir as equações diferenciais de movimento do sistema contínuo para um sistema discreto. Entre as técnicas de discretização podem ser citadas as seguintes: Galerkin, Rayleigh-Ritz, diferenças finitas, elementos finitos e elementos de contorno.
O método dos elementos finitos (MEF) é uma boa ferramenta para projetos estruturais, devido a sua eficiência em análises de sistemas complexos. Entretanto, no estudo de cascas cilíndricas é necessária uma refinada discretização para obter valores coerentes, sobretudo na consideração dos efeitos não lineares e na consideração de uma análise paramétrica detalhada. A seguir, são mostrados alguns trabalhos que utilizaram este método para análise destas estruturas.
Sansour (2004) investigou a resposta não linear de cascas cilíndricas sujeitas à carga dinâmica transiente através do método dos elementos finitos. Um processo de integração no tempo, com sete parâmetros, formulado para uma casca foi proposto aplicando não linearidades geométricas e materiais arbitrários, em que a energia, momento fletor e momento torçor foram conservados. Santos et al. (2009) estudaram as vibrações livres de cascas cilíndricas com MGF através de um procedimento numérico pela expansão das séries de Fourier, na direção circunferencial da casca, e o método dos elementos finitos no plano transversal da mesma. Os autores observam que as frequências naturais obtidas para cascas feitas com material com gradação funcional são semelhantes às cascas cilíndricas isotrópicas.
Rahman, Jansen e Tiso (2011) propõem uma análise via elementos finitos baseados no método da perturbação para estudar as vibrações não lineares de cascas cilíndricas compostas. Os resultados são validados com trabalhos existentes na literatura, em que se observa a partir do MEF, um comportamento softening mais suave.
O fato é que em certas circunstâncias, o uso do método dos elementos finitos se torna computacionalmente inviável para a análise dinâmica de cascas cilíndricas, pois uma análise
paramétrica criteriosa requer um grande número de casos a serem avaliados. Com o intuito de reduzir este esforço computacional, referente a procedimentos numéricos demorados, alguns pesquisadores estudam possibilidades de solucionar tal problema, desenvolvendo modelos matemáticos que sejam ao mesmo tempo precisos e de baixa dimensão.
Popov, Thompson e Mcrobie (1998) estudaram o comportamento dinâmico não linear de cascas cilíndricas submetidas a um carregamento axial periódico, discretizando o sistema com dois graus de liberdade para encontrar as equações de Lagrange. Estes modos utilizados são os mais importantes do acoplamento modal, sendo possível obter as fronteiras de instabilidade paramétrica e diagramas de bifurcação, utilizando um modelo de baixa dimensão.
Gonçalves e Del Prado (2002) investigaram as vibrações não lineares e a instabilidade dinâmica de uma casca cilíndrica sujeita a uma carga axial periódica, utilizando a teoria de Donnell. Foram usados os dois termos mais importantes na expansão modal, e as equações de movimento são discretizadas pelo método de Galerkin. O conjunto de equações não lineares geradas é resolvido pelo método Runge-Kutta. Para esta análise, foram utilizadas seções de Poincaré, expoentes de Lyapunov, diagramas de bifurcação e bacias de atração, com o intuito de avaliar os mecanismos de escape do vale potencial pré-flambagem, tanto na região primária quanto na região secundária de ressonância, tópicos fundamentais em projetos de controle de vibrações.
Amabili, Sarkar e Païdoussis (2003a) utilizam o método Karhunen-Loève para obter essa base de menor dimensão, aplicando-o no estudo das vibrações não lineares de cascas cilíndricas. Este método utiliza uma série de dados, obtida por simulação numérica usando um modelo de precisão elevada ou a partir de experimentos físicos.
Silva (2008) apresenta um trabalho sobre modelos de baixa dimensão para análise das vibrações não lineares e estabilidade de cascas cilíndricas. Segundo o autor, as soluções modais utilizadas nos métodos de Galerkin ou Ritz podem conter dados redundantes, em que a dinâmica do sistema pode ser aproximada com menor número de modos de vibração, ou até mesmo não conter os modos essenciais. O autor utiliza o método de Karhunen-Loève para extrair uma base de menor dimensão que tenha todas as informações importantes da base de maior dimensão.
Na mesma linha de pesquisa, Gonçalves, Silva e Del Prado (2008) investigaram modelos de baixa dimensão para a análise de vibração não linear de cascas cilíndricas, utilizando a teoria de Donnell para cascas abatidas. Os autores aplicaram o método da perturbação para formular uma expansão modal para o campo de deslocamentos transversais e o sistema foi discretizado
