Deste ponto em diante, a melhor estratégia replicante escolhida no item anterior será a mencionada quando for apresentado qualquer resultado de um swap de volatilidade. O Gráfico 4 apresenta o resultado líquido de cada transação simulada, sendo apresentado em bases mensais, e a data de referência é a data de concepção do mesmo. O resultado é apresentado em percentual e representa a taxa de retorno da estratégia replicante.
Gráfico 4 - Resultado líquido da estratégia replicante Fonte: elaboração do Autor
Observa-se que o resultado da estratégia replicante se comporta como um hedge durante a maior parte da amostra, tendo resultado próximo de zero e oscilando entre valores positivos e negativos. Por outro lado, apresenta outliers que, embora intensos, são viesados positivamente para os agentes que vendem o swap de volatilidade e o replicam com a metodologia proposta. Ou seja, o erro é favorável ao vendedor de volatilidade via swap.
Este viés é explicado pelo método utilizado para se replicar um swap de volatilidade com swaps de variância. A equivalência GD : { žbŸ ¡Ÿ ¡ foi concebida ao se equiparar a
volatilidade realizada com o CDEF dado que em D+0 esta é a volatilidade realizada esperada, por não arbitragem. Desta forma, quando o CDEF é inferior à volatilidade
realizada, tem-se um notional do portfólio replicante superior ao ideal. Dado que o resultado do derivativo será negativo, espera-se que o resultado do portfólio replicante seja positivo e, portanto, tende-se a ter um resultado final mais positivo ou menos negativo que o esperado. Quando CDEF é superior à volatilidade realizada, o
inverso ocorre, também apresentando resultado final positivo por motivos equivalentes.
O Gráfico 5 apresenta os resultados da estratégia replicadora do swap de volatilidade comparados com estratégia similar realizada para um swap de variância.
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Para fins comparativos, o resultado da estratégia com o swap de variância está ponderado por b
Ÿ ¡.
Gráfico 5 – Resultado líquido da estratégia replicadora comparada com o de um swap de variância Fonte: elaboração do Autor
Embora o viés de resultado seja favorável ao vendedor de swap de volatilidade, este é o principal fator que leva a estratégia a possuir correlação diferente de 1, embora elevada, e um EQM maior que o desejado. Análise equivalente feita ao se utilizar o
swap de variância produz um EQM de 0,16% ao período, correlação de 99,6% e
retorno médio de –0,007%, ou seja, para o período em análise o modelo proposto para o swap de variância é ainda mais eficiente, o que reforça a afirmação acima. O Gráfico 6 compara o strike utilizado em cada swap de volatilidade, antes e após o ajuste sugerido no modelo, com a volatilidade realizada para cada período. Este gráfico ressalta a diferença entre a volatilidade esperada e a volatilidade realizada, o que explica porque se tem resultados tão elevados em alguns períodos da amostra.
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Gráfico 6 – Strikes do swap de volatilidade, com e sem ajuste, comparados com a volatilidade realizada Fonte: elaboração do Autor
Outro ponto importante no Gráfico 5 é que em alguns períodos da série, tem-se o resultado do swap de volatilidade marginalmente inferior ao do swap de variância. Esses eventos ocorrem devido ao ajuste feito no strike do swap de volatilidade para se minimizar os impactos da desigualdade de Jensen. Como este ajuste reduz o
strike, em alguns casos, esta redução pode não ser compensada pelo benefício do
viés.
O Gráfico 7 compara os dois strikes utilizados, com e sem ajuste, em conjunto com as volatilidades implícitas ATM e a média das volatilidades ATM, 25 delta call e 25
delta put. O objetivo deste gráfico é apresentar os impactos relacionados ao ajuste
do strike do swap de volatilidade. Observa-se que este ajuste possui impacto econômico mínimo na maior parte da série e que, quando é mais representativo, apresenta-se em linha com o nível de volatilidade implícita de mercado para o dia em referência. Entende-se que este ajuste é necessário para que o swap de volatilidade mantenha a boa aderência ao portfólio replicante dado que sua correlação se deteriora marginalmente sem a presença do ajuste.
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Gráfico 7 – Strikes do swap de volatilidade, com e sem ajuste, comparados com volatilidades de mercado Fonte: elaboração do Autor
Desta forma, o processo de ajuste para se replicar um swap de volatilidade com
swaps de variância possui resultado satisfatório, embora menos preciso que o
processo replicador do swap de variância. Em termos de risco, compara-se a correlação do swap de variância de 99,6%, com EQM de 0,16%, aos resultados do
swap de volatilidade que possui correlação de 96,5% com EQM de 0,471%, porém
com um prêmio de 0,133%, dado pelo retorno esperado positivo para os agentes que vendem swap de volatilidade.
Na série de resultados do swap de variância que, por consequência, impacta o swap de volatilidade, observa-se ainda um outlier que demanda análise criteriosa. No
swap concebido em set/2008, tem-se um resultado muito negativo, de -0,8%, que
está fora da banda de resultados apresentados pela série ao longo da amostra. Este período é um dos responsáveis pelo retorno médio marginalmente negativo desta estratégia replicadora. Ao se analisar os dados, observa-se que a razão para este impacto está relacionada ao movimento brusco do ativo-objeto no período em que este swap esteve ativo. O BRL encerrou o período cotado a 1,9143 enquanto o maior strike do portfólio replicante era de 1,8250, ou seja, 5% fora da banda de cobertura. Este evento extremo significou uma variação na cotação do BRL de 15,2%, ou 4,76 desvios padrão considerando a volatilidade utilizada para se apreçar
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 8 2 % % + 5 6" 2 3& 0 0
o strike do swap. Todavia, este impacto foi absorvido no swap de volatilidade via processo de ajuste do notional.
O impacto de eventos extremos é previsto por Demeterfi et al (1999), ao explicar que a eficiência do swap de variância possui relação direta com a quantidade de strikes utilizados no portfólio replicante. O Vega do portfólio decai a medida que o ativo- objeto é cotado acima ou abaixo da banda de strikes utilizados. Por outro lado, pode-se considerar a modelagem proposta para o swap de volatilidade como um
hedge natural contra eventos extremos, embora gere ganhos somente quando se
neutraliza uma posição vendida em swap de volatilidade.
Os demais ruídos nos resultados, embora pequenos, podem ser explicados principalmente pelos jumps. Como uma das poucas premissas desta modelagem é que o ativo-objeto evolui continuamente, este fator é uma fonte de ruído em diversos momentos. Ao se comparar os resultados da estratégia envolvendo o swap de variância, com o jump11 do período, observa-se que ruído da série é proporcional ao mesmo. Conforme demonstrado por Jacquier (2007), o impacto dos jumps no resultado da estratégia replicadora é inversamente proporcional ao jump ocorrido (¢), ou seja:
”™ —L•U˜¢–™ — { Z¢\O 5.3. Propostas de Melhoria
A principal restrição deste modelo está contida na necessidade de ter-se strikes suficientes para cobrir todo e qualquer movimento do ativo-objeto. A base de dados utilizada foi eficiente neste estudo, mesmo com as fortes premissas estabelecidas no quarto capítulo, que apenas permitem o uso de opções com liquidez. Em média, utilizou-se 10,5 opções para se replicar cada swap de variância, porém, ocorreram
11 Considerou-se por jump os períodos em que a cotação do BRL variou em módulo acima da taxa de juros de referência da economia brasileira (i.e CDI projetado para o período).
casos em que se utilizou apenas quatro ou cinco opções. Entretanto, as condições de mercado não levaram o ativo-objeto a ser cotado fora da banda de strikes no vencimento dos swaps.
Por outro lado, o curto prazo de vencimento do instrumento testado propiciou muitas das condições necessárias à adequada replicação do derivativo, tais como maior liquidez nas opções disponíveis e até mesmo o prazo para a oscilação na cotação do ativo-objeto. Porém, para prazos de vencimento superiores, estas características podem não ser encontradas, o que pode inviabilizar a negociação deste instrumento. A proposta de melhoria aqui mencionada tem por objetivo superar esta dificuldade de maneira bem simples e utiliza o arcabouço teórico apresentado neste trabalho. O modelo de implementação sugerido por Demeterfi et al (1999) parte da premissa que não se tem um continuum de strikes disponíveis para se replicar o swap de variância exigido em sua concepção teórica e, para tanto, sugere uma implementação que mitiga este entrave e permite a utilização de strikes distribuídos discretamente. Esta proposta limita a replicação perfeita do instrumento, porém garante que o resultado final será pelo menos superior ao esperado, aumentando o peso de cada opção do portfólio replicante com o objetivo de incrementar o payoff até o strike seguinte, conforme apresentado na Figura 2.
Figura 2 - Payoff de um contrato log (linha curva) e da metodologia de implementação sugerida por Demeterfi et al (1999) como função do nível do ativo objeto no vencimento, definido pelos Strikes Fonte: Demeterfi et al (1999).
Tendo por base o conceito proposto por Demeterfi et al (1999), é possível aumentar o peso das opções disponíveis de strikes extremos para aumentar a abrangência do portfólio replicante. Na implementação originalmente sugerida pelo autor, o peso da última opção de cada tipo (put/call) é calculado com base na variação entre o strike da mesma com o strike da opção anterior. Esta nova proposta considera para este cálculo a variação entre o strike da opção em questão e um strike sintético equivalente à cotação ATM acrescida de um intervalo de confiança para calls e decrescido do mesmo intervalo para puts. Criando assim, uma banda sintética maior que a disponível no mercado financeiro.
Com base neste estudo, identificou-se que um intervalo de confiança que considere 2,33 desvios padrão, utilizando o strike do swap como volatilidade projetada, são suficientes para cobrir mais de 97% da variação na cotação do BRL para um mês. Esta cobertura é inferior a 99% porque a variação na cotação do BRL, tal como de diversos ativos financeiros, não pode ser considerada como normalmente distribuída. Este intervalo pode ser ajustado conforme o prazo e comportamento do ativo-objeto, mas não se sugere uma redução do mesmo.
Os 2,33 desvios padrão tendem a garantir a maioria dos casos, embora falhem em eventos extremos, como verificado em set/08 e em mai/06 da série em estudo. Por outro lado, aumentar em demasia o intervalo tende a encarecer o strike do swap, o que pode inviabilizar a operação. Dado o benefício que se tem contra efeitos extremos no modelo de conversão de swap de variância para o swap de volatilidade, entende-se que este se apresente como cobertura suficiente contra estes efeitos. Outro fato relevante nesta proposta é que a mesma é válida apenas quando o portfólio replicante é utilizado para se neutralizar uma posição vendida em swap de volatilidade. A estratégia para posições compradas em swap de volatilidade deve revisitar todo o arcabouço aqui proposto, sem considerar o aumento do portfólio de opções e ainda, rever a estratégia de conversão de swap de variância para o swap de volatilidade. Este trabalho não terá como foco esta outra posição dado que a exposição natural de muitos agentes é vendida em volatilidade e têm como objetivo comprar volatilidade e não vendê-la para se proteger no mercado financeiro.
6. CONCLUSÕES
Os derivativos de volatilidade se apresentam como instrumentos de proteção ao risco de volatilidade e são bastante utilizados nos mercados financeiros. Embora o mercado brasileiro ainda não tenha aderido plenamente a esta prática, entende-se que a proteção deste risco se faz necessária, dado que a maioria dos portfólios de investimento possui exposição direta ou indireta ao mesmo.
O mercado brasileiro de opções vivenciou um aumento na liquidez e na disponibilidade de contratos negociados para o BRL recentemente e, de maneira geral, os derivativos de volatilidade são replicados utilizando-se inúmeros contratos de opções. Por outro lado, mesmo em um cenário com baixa liquidez em alguns vencimentos de opções, ainda se têm alternativas mais ou menos sofisticadas para que os agentes se protejam do risco de volatilidade.
Este trabalho apresenta uma modelagem para se apreçar e replicar um swap de volatilidade, verificando os resultados gerados ao se neutralizar posições vendidas em volatilidade, com parâmetros e premissas ajustadas ao mercado brasileiro, em especial à taxa de câmbio USD/BRL. Este modelo utiliza um portfólio replicante quase estático, contendo apenas um delta-hedge rebalanceado dinamicamente no mercado Spot.
Como demonstrado, o modelo sugerido apresenta-se muito eficiente, porém com algumas particularidades. Dentre elas, destaca-se o impacto ocasionado pela proposta de se utilizar swaps de variância para neutralizar o risco de volatilidade, o que leva o modelo a possuir maior eficiência na proteção das posições vendidas em volatilidade, especialmente quando se tem eventos extremos. Por esta razão, o modelo possui viés relacionado à posição do investidor.
Uma restrição ao modelo ocorre quando a disponibilidade de opções para o vencimento do instrumento é limitada. Neste caso, é apresentado um ajuste que mitiga esse impacto, embora não em sua plenitude, dado que eventos extremos podem ocorrer além do ajuste sugerido. Este ajuste possui eficácia em mais de 97%
da amostra e, para os casos em que o mesmo não é eficaz, possui como atenuante o viés mencionado anteriormente.
O modelo escolhido como o mais eficiente é composto pela implementação sugerida por Demeterfi et al (1999) com rebalanceamento pela Ptax Venda 800 e possui a volatilidade realizada medida através do desvio padrão instantâneo dos retornos da cotação Ptax Venda 800.
Desta forma, o modelo apresentou um desempenho superior a estratégias menos robustas, possuindo um EQM de 0,471% e uma correlação entre o resultado do
swap de volatilidade e do portfólio replicante de 96,5%. Devido ao viés mencionado,
o retorno esperado da estratégia é positivo em 0,133%, o que explica o porquê da correlação, embora muito elevada, ser diferente de 1. Como alternativa de hedge, o resultado ao se neutralizar uma posição vendida em swap de variância, utilizando estratégia equivalente, teria uma correlação de 99,6% e EQM de apenas 0,16%, embora o risco da variância não seja o mesmo risco da volatilidade.
Diante dos resultados, entende-se que o modelo sugerido pode ser considerado como sendo adequado para o mercado brasileiro nas condições e prazos propostos neste estudo e, portanto, não apresenta riscos significativos sob estas condições. Adicionalmente, entende-se que testes e estudos adicionais do modelo com prazos superiores a 30 dias fazem-se necessários para que os agentes tenham a segurança necessária ao utilizar o instrumento para o prazo desejado.