Análise a posteriori dos problemas da 2ª sessão de experimentação

O Quadro 12 traz a sistemática e cronograma de aplicação dessa 2ª. sessão de experimentação. Discutiremos cada problema em separado na sequência do texto.

Quadro 12: Cronograma dos encontros na 2ª. sessão de experimentação

Encontro Data Atividade desenvolvida Duração

aprox. TA TB TC 1º. 16/07/18 17/07/18 17/07/18 Aplicação do teste individualmente, atividades 1A e 2A. 40 min 2º. 16/07/18 17/07/18 17/07/18 Aplicação do teste individualmente,

atividades 3A, 4A e 5A.

45 min

3º. 17/07/18 20/07/18 20/07/18

Discussão oral e em grupo sobre o teste aplicado e correção.

45 min

Entrevistas 20/07/18 23/07/18 23/07/18

Realização de

entrevistas com alunos que deixaram o teste em branco ou cujas repostas deixaram dúvida.

30 min

O problema 1B, classificado como falso problema por Marchand e Bednarz (1999, apud ALMEIDA, 2016) pois os procedimentos aritméticos (E1, E2) puros são suficientes para solucioná-los, traz ainda assim a ideia de equivalência implícita na igualdade.

Apresenta-se em linguagem natural e pode ser representado por uma equação do tipo 2x + 20 = 50, e expressar um raciocínio de incógnita. Segundo Duval (2003) uma simples decodificação faria a mudança da linguagem natural para a linguagem algébrica, por serem muitos próximos os registros de partida e de chegada. Segundo Marchand e

Bednarz (1999, apud ALMEIDA, 2016) o foco destes problemas está na técnica de resolução, o que evidencia a função da álgebra enquanto ferramenta apenas, não favorecendo o desenvolvimento do pensamento algébrico.

Os ostensivos associados às possíveis técnicas são a representação de números inteiros, os naturais em nosso estudo, na forma numérica e algébrica e o não-ostensivo em jogo são as ideias associadas às operações entre números na forma algébrica e numérica, e seus múltiplos.

Não era esperado mas observamos dois casos de uso de operação inversa nas resoluções, conforme discutimos no problema 1A. Exemplos desses casos podem ser observados nas produções destacadas nos protocolos de pesquisa que seguem.

Figura 21: Resoluções do problema 1B pelo aluno TC2

Fonte: Dados da pesquisa (2018)

Observamos nos protocolos de pesquisa que nenhum aluno equacionou o problema. E assim previmos, visto que ainda não lidam com os objetos algébricos, como as letras, expressando valores desconhecidos. No entanto observamos raciocínio de operação inversa bem definido como retrata o protocolo destacado na Figura 21. O que nos induz à premissa de que o aluno domina as operações e trabalha a linguagem seja o ponto mais importante na resolução de problemas, significando assim essas operações.

O nível de acerto a esse problema foi em torno de 45%, com estratégias aritméticas, basicamente. Evidencia-se assim uma função da álgebra como ferramenta para encontrar uma solução que, conforme discutimos teoricamente, não acrescenta ao desenvolvimento do pensamento algébrico, por ter um nível de conhecimento considerado técnico.

Trata-se de uma tarefa dentro da aritmética generalizada (USISKIN, 1995), auto instrutiva, e com recursos de memória, onde a ação inicial é escrever o que se lê, independente de usar a notação algébrica para dobro, e os aspectos da álgebra envolvidos consistem basicamente na linguagem e na equivalência entre ostensivo e estrutura. Assim, para a sua solução o ostensivo dobro deveria evocar o não-ostensivo que é a ideia de múltiplo de um número.

Observamos também erros operacionais ou falta de atenção em não considerar o dobro, enquanto múltiplo, na resolução. O protocolo abaixo retrata uma dessas situações.

Figura 22: Resolução do problema 1B pelo aluno TA21

Fonte: Dados da pesquisa (2018)

Os problemas 2B e 3B, que seguem, são problemas algébricos que também envolvem aspectos da linguagem e equivalência entre ostensivo e a estrutura do problema. As operações aritméticas da memória podem dar conta (E1, E2), e então classificamos de raciocínio simples, na condição de estabelecer relações entre os ostensivos, como números e expressões como dobro, triplo, a mais, ao todo e os não-ostensivos ideias a eles associados.

O nível de acerto a esses problemas ficou em média de 30%, resultado que consideramos não satisfatório e que associamos mais à interpretação do que às próprias operações que exigem, que já estão disponíveis na memória do aluno, como observamos

2B) Pedro tem 12 figurinhas, Rodrigo tem o dobro de figurinhas de Pedro e Antônio tem 10 figurinhas a mais que João. Quantas figurinhas os três têm, ao todo?

3B) André, Maria e Luna têm, juntos, 72 figurinhas. Maria tem o dobro de figurinhas de André e Luna tem o triplo de figurinhas de André. Quantas figurinhas têm cada um?

em problemas anteriores, e mostraram-se acessíveis. Os exemplos destacados na Figura 23 mostra os recursos de memória, principalmente recursos de operações, presentes e sendo acessados pelos alunos.

Figura 23: Resoluções dos problemas 2B e 3B pelos alunos TA18 e TB12, respec.

Fonte: Dados da pesquisa (2018)

Como discutimos no capítulo teórico, os problemas algébricos trabalham os aspectos relacionados à álgebra que estão ligados à linguagem e significação do contexto onde eles vivem e dentro dos saberes já construídos e que podem ser evocados, rebuscados pela memória. Confirma-se assim nossa premissa sobre a importância da linguagem, numa visão mais cognitivista, em que para resolver um problema em linguagem natural, e a resposta seja obtida, como os problemas dessa 2ª. sessão, é necessária uma conversão do enunciado, isto é, passagem da linguagem natural das situações contextualizadas para a linguagem numérica da aritmética (DUVAL, 2003, 2009).

Os problemas 4B e 5B são classificados como problemas algébricos de partilha (composição) que se diferenciam apenas por operações e pelas relações que solicitam para a suas resoluções. Como necessitam de conexões com um todo a que se refere o

4B) Paulo, Beto e Mário vão repartir entre eles 90 figurinhas de modo que Beto receba o dobro de figurinhas de Paulo e Mário receba o triplo de Beto. Quantas figurinhas cada um vai receber?

5B) Paulo, Beto e Mário vão repartir entre eles 90 figurinhas de modo que Beto fique com o dobro de figurinhas de Paulo e Mário fique com quatro figurinhas a mais que Beto. Quantas figurinhas cada uma vai receber?

problema, diferentemente dos problemas 2B e 3B, os classificamos como de raciocínio sofisticado.

Dentre as estratégias de resolução observadas para esse tipo de problema destacam-se E1 e E2, estratégias de cálculo que não levaram ao resultado final pois as relações entre os dados do problema era necessário.

E o resultado foi baixo índice de acertos, chegando a quase 70% de testes em branco, mas dentro do previsível. Muitas dúvidas surgiram desde a leitura, interpretação, a ordem das operações que deveriam seguir para solucionar os problemas, gerando muitas solicitações. Não se observou o estabelecimento de conexões (E3) em quantidade necessária para chegar à solução do problema. Trata-se de um problema onde todas as relações se referem a um todo, e essa teia de conexões a serem organizadas pode ter dificultado a ordenação das ideias dos alunos não acostumados a esse tipo de problema (algébrico de partilha).

Entrevistamos dois alunos desse grupo e trazemos os protocolos da entrevista realizada com um deles e que destacamos como informação verbal a seguir.

De posse do teste desse aluno (TB3) e indicando gestualmente para o problema 4B e depois para o 5B, começou a entrevista:

P: Por que você não respondeu esse problema? A: Porque não sei. Não entendi...

P: Mas você leu todo o problema? Qual foi a dificuldade?

A: Se fosse igual eu sabia. (referindo-se à divisão em partes iguais) P: Vamos ler de novo então? (e lemos juntos)

P: E agora?

A: Eu vou ter que dividir esse 90, né?

E o aluno, rememorando algumas ideias operatórias, ou seja, os não-ostensivos associadas aos ostensivos presentes no enunciado, como as palavras triplo, repartir, foi organizando o pensamento. Nesse momento entendemos que estava pensando algebricamente através das conexões que demonstrava realizar e pela significação que passou a dar ao problema. E então começou a ordenar suas ideias.