CAPÍTULO 4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
4.5 Análise a priori do instrumento de coleta de dados
Na análise a priori do instrumento, procuramos resolver as questões de diferentes maneiras, tentando antecipar as estratégias que os alunos poderiam utilizar.
Quadro 8 - Habilidade e enunciado da Questão 1
H20 – Resolver problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau.
Carla está calculando o custo de uma viagem de carro. Ela sabe que, para andar 120 km, seu carro consome 15 litros de combustível, cujo preço é R$ 2,00 o litro. Quanto Carla gastará em uma viagem de 960 km?
Fonte: Relatório pedagógico do Saresp/2008 Resoluções possíveis
O problema traz a informação de que para andar 120 km o consumo será de 15 litros e pergunta o consumo para percorrer um trecho de 960 km. Trata-se de um problema de proporcionalidade direta entre duas grandezas.
I) O aluno pode calcular a quantidade de litros para percorrer 960 e multiplicar esse valor pelo preço do litro. Para isso pode usar a regra de três:
km litros 120 --- 15 960 --- x 120x = 960 . 15 120x =14400 14400 x 120 = 120
Multiplicando 120 pelo preço de cada litro temos: 120 . 2 = 240 Resposta: Para percorrer uma viagem de 960 km gasta-se R$ 240,00.
II) O aluno pode calcular o custo para 120 km e em seguida calcular o custo para 960 km. Para percorrer 120 km, gasta-se R$ 30,00.
km Custo (R$) 120 --- 30 960 --- x 120x = 960 . 30
28800 x
120
x = 240
Resposta: O custo de uma viagem de 960 km será de R$ 240,00.
III) É possível resolver esta questão também por meio de uma tabela de custos em função da distância percorrida.
Distância percorrida (km) Consumo (litros) Custo (R$)
120 15 30 240 30 60 360 45 90 480 60 120 600 75 150 720 90 180 840 105 210 960 120 240
Resposta: Dessa maneira, conclui-se que o custo para percorrer os 960 km é de R$ 240,00.
Quadro 9 - Habilidade e enunciado da Questão 2
H07 – Identificar a relação entre as representações algébricas e geométricas de um sistema de equações do 1º grau. O sistema 3x y 2 x y 2
é representado geometricamente pelo gráfico:
Quais são as coordenadas do ponto de intersecção das duas retas? Fonte: Relatório pedagógico do Saresp/2008 Resoluções possíveis
Esta questão avalia se o aluno relaciona a solução de um sistema de equações do 1º grau com o ponto de intersecção de duas retas no plano cartesiano. Ou seja, procura verificar se o aluno compreende essas duas formas de representação da solução de um sistema.
I) O aluno resolve o sistema de equações e interpreta que essa solução é o ponto de intersecção das duas retas que estão representadas no plano cartesiano.
Ele pode resolver o sistema 3x y 2 (1) x y 2 (2)
pelo método da substituição:
Isolando y em (1), temos: 3x – y = 2 - y = - 3x + 2 Substituindo (1) na equação (2): - x – 3x + 2 = - 2 - 4x = - 4 x = 1
Substituindo o valor de x em (1), calculamos y: - y = - 3.1 + 2
-y = - 3 + 2 - y = - 1
Multiplicando ambos os membros por (-1) chegamos ao valor de y = 1
Resposta: A solução do sistema é (1, 1) que é o ponto de intersecção da representação das retas.
II) Resolução do sistema 3x y 2 (1) x y 2 (2)
pelo método da adição:
O aluno pode multiplicar qualquer uma das equações por (-1) para anular a incógnita y ou multiplicar a equação (2) pelo número 3 para anular a incógnita x da equação (1).
Multiplicando a primeira equação por -1 3x - y = 2 . (-1)
-3x + y = - 2
Dessa forma temos um sistema equivalente ao primeiro
3x y 2 x y 2
Adicionando as duas equações, chegamos ao resultado: - 4x = - 4 e resolvendo essa equação, chegamos ao valor de x = 1
Por fim, pode-se substituir o valor da incógnita x na equação (1) e calcular o valor da incógnita y. 3x - y = 2 3.1 - y = 2 3 - y = 2 3 - 2 = y y = 1
Resposta: Assim, determina-se que a solução do sistema (1,1) é o ponto de intersecção das retas representadas no plano cartesiano.
O mesmo processo poderia ser empregado multiplicando a equação (2) por 3. 3x y 2 (1) x y 2 (2) - x - y = - 2 .(3) - 3x - 3y = - 6
Adicionando as equações (3x - y = 2) + (-3x - 3y = - 6), temos: - 4y = - 4 4 y 4 = 1
Substituindo y = 1, na primeira equação, temos: 3x - 1 = 2 3x = 2 + 1 3x = 3 3 x 1 3
Resposta: O par (1,1), que é solução do sistema, representa graficamente o ponto de intersecção das representações das retas no plano cartesiano.
Quadro 10 - Habilidade e enunciado da Questão 3
H35 – Aplicar o Teorema de Tales como uma forma de ocorrência da ideia de proporcionalidade, em diferentes contextos.
Cristina vai fazer um armário para guardar os produtos de limpeza e utensílios domésticos. Percebeu que para ocupar melhor o espaço deve organizar as prateleiras internas em três alturas diferentes: a segunda prateleira terá o dobro da altura da primeira, e a terceira, o triplo da altura da primeira. A altura total do armário é 1,80 m.
Qual é a altura da primeira, segunda e terceira prateleiras?
Resoluções possíveis
I) O aluno pode resolver essa situação convertendo o problema que está na linguagem natural para a linguagem algébrica. Dessa forma, ao resolver a equação poderá avaliar o resultado obtido e optar pela solução do problema.
Sendo x a altura da primeira coluna, 2x e 3x, da segunda e terceira, respectivamente, equacionamos o problema da seguinte forma:
x + 2x + 3x = 1,80 6x = 1,80 1,80 x 6 x = 0,30
Resposta: Assim, sabendo que a altura da primeira prateleira é de 0,30 m, as demais alturas serão de 0,60 m e 0,90 m.
II) Outro modo de se resolver o problema é testando valores até que se chegue a três medidas que satisfaçam tanto a condição de que as três alturas somam 1,80 m e também de que a segunda é o dobro da primeira e que a terceira é o triplo da primeira.
Quadro 11 - Habilidade e enunciado da Questão 4 H06 – Identificar um sistema de equação do 1º grau que expressa um problema.
Numa gincana de Matemática, Hélio calculou mentalmente dois números de modo que sua soma fosse igual a 12 e sua diferença 2. Lúcia utilizou outra estratégia, determinando esses dois números algebricamente. Determine um sistema de equações que represente o raciocínio de Lúcia.
Fonte: Relatório pedagógico do Saresp/2009 Resolução possível
Para resolver esse problema o aluno deve fazer a correspondência entre o que está escrito e correspondente símbolo matemático que deve ser usado. Assim, expressões como soma e diferença devem fazer sentido para ele. Não se trata de um problema onde ele deve resolver algo, mas que consiga transformar linguagens.
Resposta: x y 12 x y 2
Quadro 12 - Habilidade e enunciado da Questão 5 H18 – Resolver sistemas lineares (métodos da adição e da subtração) Considere o sistema de equações abaixo:
6x y 2 x y 5
Determine o valor do produto x.y:
Fonte: Relatório pedagógico do Saresp/2009 Resoluções possíveis I) Resolvendo o sistema 6 x y 2 (1) x y 5 (2)
pelo método da substituição: Iniciando a resolução pela equação (2) e isolando y tem-se: y = - x + 5. Substituindo (2) em (1) 6x – (- x + 5) = 2 6x + x – 5 = 2 7x = 2 + 5 7x = 7 x = 1 Substituindo x = 1 em (2): y = - 1 + 5 y = 4
Resposta: Assim, a solução do sistema é (1, 4) e o produto x.y é igual 4.
II) Resolvendo o sistema 6 x y 2 x y 5
pelo método da adição 6 x y 2 x + y = 5 7 x 7 Calculando o valor de x: 7x = 7 x = 7 7 x = 1 Substituindo x = 1 em x + y = 5: 1 + y = 5 y = 5 – 1 y = 4
Quadro 13 - Habilidade e enunciado da Questão 6 H12 – Realizar operações simples com polinômios.
Considerando os polinômios A = x – 2, B = 2x + 1 e C = x, qual é o valor mais simplificado para a expressão A . A – B + C?
Fonte: Relatório pedagógico do Saresp/2009 Resolução possível
Para resolver essa questão, o aluno primeiro precisa organizar os cálculos substituindo os valores de A, B e C na expressão A.A – B + C.
Após essa substituição, a expressão ficará da seguinte forma: (x – 2).(x – 2) – (2x + 1) + x Resolvendo cada uma das partes separadamente:
(x – 2). (x – 2) = x² - 4x + 4 - (2x + 1) = - 2x – 1
Reorganizando a expressão, teremos: x² - 4x + 4 – 2x – 1 + x = x² - 5x + 3. Resposta: x² - 5x + 3.
Quadro 14 - Habilidade e enunciado da Questão 7
H30 – Resolver problemas em diferentes contextos que envolvam triângulos semelhantes
Priscila está subindo uma rampa a partir do ponto A em direção ao ponto C. Após andar 5 metros, ela para no ponto B, situado a 3 metros do chão, conforme figura.
Priscila precisa andar quantos metros para chegar ao ponto C?
Fonte: Relatório pedagógico do Saresp/2009 Resoluções possíveis
Assim, a representação ficará da seguinte forma: Equacionando o problema: ( 5 x ) 5 12 3 3(5 + x) = 12. 5 15 + 3x = 60 3x = 45 x = 15
Resposta: Priscila precisa andar 15 m para chegar até o ponto C.
II) Outra possibilidade de resolver o problema seria pela análise da figura.
A altura do triângulo maior mede 12 m, que é quatro vezes maior do que a altura do triângulo menor. Logo, o aluno poderia concluir que a medida AC também mede quatro vezes o segmento AB, valendo 20 m. Mas como Priscila já percorreu 5 m, então, ainda faltam 15m.
Quadro 15 - Habilidade e enunciado da Questão 8
H28 – Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados; coordenadas cartesianas e equações lineares.
Determine a equação que define a reta representada no plano cartesiano abaixo.
Fonte: Relatório pedagógico do Saresp/2009 Resolução possível
I) O aluno pode resolver esta questão, tendo em vista a representação geral de uma equação da reta: y = ax + b
A partir das coordenadas dos pontos (4, - 1) e (0,3), é possível determinar a equação da reta por meio de um sistema de equações do 1º grau.
1 4a b (1) 3 0a b (2)
Iniciando pela equação (2), determina-se diretamente o valor de b = 3 Substituindo b = 3 na equação (1), temos:
- 1 = 4a + 3 4a = - 4 a = - 1
Substituindo os valores de a e b na expressão y = ax + b y = - x + 3
Quadro 16 - Habilidade e enunciado da Questão 9
H36 – Resolver problemas em diferentes contextos, envolvendo as relações métricas dos triângulos retângulos. (Teorema de Pitágoras)
Na casa ilustrada, a estrutura de madeira que sustenta o telhado apoia-se na laje. Devem-se dispor caibros (peças de madeira) na vertical, indo da laje ao ponto mais alto do telhado, como a peça BD da ilustração. Devido a presença da caixa d’água, essas peças são cortadas com dois metros de comprimento e postas a meia distância das extremidades A e C da laje. Assim, ABD é um triângulo retângulo de catetos quatro metros e dois metros.
Calcule o comprimento aproximado da peça de madeira com extremidades em A e em B. Fonte: Relatório pedagógico do Saresp/2010
Resolução possível
Pelo fato de que o valor a ser calculado se referir a uma medida, consideraremos somente o valor positivo de 20.
Partindo das informações dadas, o aluno poderá modelar o problema da seguinte forma:
E por meio do Teorema de Pitágoras encontrar o comprimento da peça de madeira que pela figura está representada pelo segmento AB.
x² = 4² + 2² x² = 16 + 4 x² = 20
x 20 x 2 5 x 2.2,24 x 4,48
Resposta: O comprimento aproximado da peça de madeira é 4,48 m.
Quadro 17 - Habilidade e enunciado da Questão 10
H30 – Resolver problemas em diferentes contextos, envolvendo triângulos semelhantes. Na figura abaixo há dois triângulos semelhantes. As figuras não estão desenhadas em escala.
Calcule a medida do lado DE.
Fonte: Relatório pedagógico do Saresp/2010 Resoluções possíveis
I) O aluno poderá resolver o problema, utilizando o conceito de semelhança de triângulos:
,
x 6
1 5 2 2x = 9 x = 4,5
Resposta: A medida do lado DE vale 4,5 cm.
II) Outra possível forma de se resolver esta questão é por meio da análise da figura.
A medida do lado EF é o triplo da medida do lado BC. Logo, a medida do lado DE é igual a 4,5 cm.
Quadro 18 - Habilidade e enunciado da Questão 11 H12 – Realizar operações simples com polinômios
Observe a figura
Determine a expressão que representa o perímetro da figura.
Fonte: Relatório pedagógico do Saresp/2011 Resolução possível
Somando todos os lados da figura: 2x – 5 + x + 4 + x – 2 + x = 5x – 3 Resposta: 5x – 3.
Quadro 19 - Habilidade e enunciado da Questão 12 H12 – Realizar operações simples com polinômios
Ao calcular a multiplicação (x + 2) . (2x + 1), obtém-se:
Fonte: Relatório pedagógico do Saresp/2011 Resolução possível
(x + 2) . (2x +1) = 2x² + x + 4x + 2 = 2x² + 5x + 2 Resposta: 2x² + 5x + 2.
Quadro 20 - Habilidade e enunciado da Questão 13 H17 – Resolver problemas que envolvam equações com coeficientes racionais
Uma pessoa gastou 3
4 do seu 13º salário para comprar uma geladeira e 3
5 da quantia restante para comprar um colchão novo. Após as duas compras, ela aplicou os R$ 250,00 restantes na poupança. Qual é o valor do 13º salário dessa pessoa?
Fonte: Relatório pedagógico do Saresp/2011 Resolução possível
I) O aluno deverá converter a sentença escrita para uma equação. Assim:
13º Salário --- x Gasto com a geladeira --- 3x
4
Sobra após a compra da geladeira --- x 3x 1x
4 4
Gasto com o colchão --- 3 1. x 3 x 5 4 20 Aplicação na poupança--- R$ 250,00
O 13º salário dessa pessoa será a soma de todas essas operações:
3 3 x x x 250 4 20 80x 60x 12x 20000 80 80 80x 60x 12x 20000 8x 20000 20000 x 2500 80
Gasto com a geladeira --- 2 500 00. , .31 875 00. ,
4
Sobra após a compra da geladeira --- 2.500 – 1.875 = 625 Gasto com o colchão --- 625.3 375
5 625 – 375 = 250