Muitos estudos têm como objetivo identificar as dificuldades dos alunos com relação à aprendizagem da Álgebra. Os enfoques desses estudos vêm sendo os mais diversos, como a compreensão da simbologia algébrica, a resolução de equações e a classificação de erros entre outros. A busca pela compreensão de quais aspectos interferem na aprendizagem da Álgebra, tanto no sentido de uma aprendizagem efetiva como no sentido de apontar os possíveis motivos de não se aprender vem sendo o objetivo constante de muitos pesquisadores em Educação Matemática.
Nosso percurso profissional vem mostrando que a aprendizagem da Álgebra não tem alcançado bons resultados. Em nossas reuniões de professores, temos debatido sobre o desempenho dos alunos nas aulas, nas avaliações internas e também nas externas, especialmente, em relação ao Saresp.
Tendo em vista esse cenário, procuramos pesquisas de mestrado e doutorado no banco de teses da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal do Nível Superior (CAPES) e nas bibliotecas de diferentes universidades, como a Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC-MG), Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS), Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), Universidade de São Paulo (USP), Universidade Estadual Paulista (Unesp Rio Claro), Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT) e Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) que, de alguma forma, estivessem relacionadas aos erros e dificuldades em Álgebra e pudessem nos auxiliar no aprofundamento da compreensão sobre como vem se dando a aprendizagem de Álgebra e que também servissem para a fundamentação da nossa pesquisa.
Ao acessar os mecanismos de busca, tanto do site da CAPES como das bibliotecas das universidades usávamos as palavras-chave: Álgebra, educação algébrica, erros, dificuldades, erros em Álgebra, dificuldades em Álgebra e Saresp.
A cada busca, procurávamos ler os resumos das pesquisas encontradas e selecionar aquelas que tinham como enfoque os erros e as dificuldades em Álgebra. Eram muitos os trabalhos relacionados ao assunto que nos interessavam. De todos os resumos lidos, escolhemos oito pesquisas, sendo uma tese e sete dissertações.
Na etapa seguinte, passamos, então, a analisar cada um desses estudos procurando identificar o problema e os objetivos da pesquisa, os procedimentos metodológicos empregados, a abordagem metodológica utilizada e a fundamentação teórica com vistas a entrar em contato com os principais autores da área, uma revisão de literatura para conhecer os estudos importantes relacionados ao tema da pesquisa e os resultados alcançados. Essa etapa foi importante por se caracterizar como um momento de imersão na problemática de nossa pesquisa.
A dissertação de mestrado de Ribeiro (2001) nos interessou pelo fato de que o pesquisador investigou o desempenho dos alunos em questões de Álgebra do Saresp, procurando analisar e classificar os erros revelados. Como já tínhamos a intenção de propor uma pesquisa sobre a análise de erros em Álgebra e a prova do Saresp era uma das opções para se fazer isso. Decidimos, após a leitura da pesquisa desenvolvida por Ribeiro (2001), também propor um estudo que investigasse as resoluções apresentadas pelos alunos em um instrumento composto por questões de Álgebra do Saresp. A próxima etapa, então, era escolher as provas do Saresp para a seleção das questões que iriam compor esse instrumento.
Atualmente, as provas do Saresp não ficam disponíveis na escola, após a aplicação tal como acontecia anteriormente. Só é possível ter acesso a algumas questões por meio dos relatórios pedagógicos publicados pela SEE-SP, sempre no ano seguinte ao da aplicação da prova. Procurando utilizar as questões mais atuais, escolhemos selecioná-las a partir de 2008, que foi o ano do primeiro relatório publicado pela SEE-SP. Todo o processo de seleção das questões para compor nosso instrumento de coleta de dados explicaremos no capítulo sobre os procedimentos metodológicos.
Ribeiro (2001) realizou uma pesquisa no qual investigou os procedimentos e as estratégias que os alunos utilizam para resolver as questões de Álgebra elementar, como as que estão presentes no Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp). Dividiu a investigação em duas etapas, a primeira com a aplicação de uma prova com dez questões com alternativas, retiradas do Saresp/97 e, na segunda etapa, utilizou cinco
questões abertas. Participaram da investigação 20 alunos de duas escolas da periferia da cidade de São Paulo.
Após a aplicação das questões, foram feitas as análises quantitativas e qualitativas dos resultados. Na análise quantitativa, o pesquisador buscou comparar os resultados das produções dos sujeitos de sua pesquisa com os resultados do Saresp/97. Já a análise qualitativa foi realizada somente nas questões da segunda etapa. Para essa análise, Ribeiro (2001) buscou identificar nas estratégias utilizadas pelos alunos ao resolver as questões os aspectos estrutural e processual conforme Kieran (1992) e também categorizar os erros cometidos de acordo com classificação proposta por Cortés e Kavafian (1999).
Segundo Ribeiro (2001), os resultados da primeira etapa foram insuficientes. Já na segunda etapa, os resultados foram melhores, pelo fato dos alunos desenvolverem as atividades em duplas em um esquema de oficina, com o pesquisador mediando as atividades e também pelo motivo de ter sido possível analisar os procedimentos e as estratégias empregados pelos alunos. De acordo com Ribeiro (2001), essa melhora nos resultados pode ser pelo fato de que o modelo de avaliação, como o Saresp, não contribui para uma análise mais minuciosa dos erros e estratégias utilizadas nas resoluções dos problemas.
A pesquisa desenvolvida por Ribeiro (2001) tem pontos comuns em relação à investigação que propomos nesse estudo. O pesquisador teve como objetivo analisar os procedimentos e as estratégias que os alunos utilizam para resolver questões de Álgebra do Saresp, buscando identificar os erros cometidos por eles e classificá-los, de acordo com as categorias propostas por Cortés e Kavafian (1999). Do mesmo modo, analisaremos as estratégias dos alunos ao resolverem as questões de Álgebra do Saresp com foco nos erros e procurando classificá-los de acordo com as categorias propostas por Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987).
No entanto, diferente de Ribeiro (2001), não pretendemos comparar os resultados dos sujeitos de nossa pesquisa com os do Saresp. Entendemos que os procedimentos de coleta de dados que empregamos se difere do ambiente do qual a prova do Saresp normalmente acontece. Além do que, propomos as questões sem as alternativas, por conta do nosso interesse nas diferentes estratégias que os alunos apresentaram. Algo que Ribeiro (2001) não fez na primeira etapa da sua investigação.
Outra diferença que podemos destacar é em relação ao referencial sobre as categorias de erros propostas por Cortés e Kavafian (1999). Tal referencial categoriza erros relacionados à resolução de equações e foi importante na investigação desenvolvida por Ribeiro (2001), já que a segunda etapa de sua pesquisa era composta por duas questões sobre equações, duas questões em que era preciso traduzir uma situação-problema em expressões algébricas e uma questão sobre sistema de inequações.
Cortés e Kavafian (1999) realizaram um estudo com alunos franceses que estavam no nível escolar correspondente aos 8º e 9º anos do Brasil. Os pesquisadores basearam-se em cinco tarefas que consideravam, como fontes de erros, quando os alunos resolviam equações:
1. Transformações algébricas com números negativos (particularmente com coeficientes negativos).
2. Cálculos numéricos com números negativos.
3. Fatoração e a redução de termos contendo incógnitas. 4. Processamento de produto de fatores.
5. Passagem de termos contendo a incógnita para o outro membro da equação (na resolução de equações do tipo ax + b = cx + d). (CORTÉS e KAVAFIAN, 1999, p. 50).
Assim, foram construídas equações que abordavam uma ou mais dessas tarefas. Após as resoluções apresentadas pelos alunos, os pesquisadores elaboraram cinco categorias de erros, levando em conta as propriedades matemáticas não respeitadas.
Erros relacionados ao conceito de equação e incógnita.
Erros de transformações idênticas nos dois membros da equação. Erros relacionados à escolha da prioridade da operação.
Erro na escrita de uma nova equação: falta de atenção. Erro de cálculo numérico. (p. 51-52).
Conforme já mencionamos, o enfoque dado por Cortés e Kavafian (1999) foi a respeito dos erros dos alunos, quando resolviam equações. Em nosso estudo algumas das questões que selecionamos tratam de situações-problema que podem ser resolvidas por meio de diferentes estratégias, das quais um referencial somente sobre erros em equações não daria conta de classificar os possíveis erros que ocorreram. Por exemplo, uma das categorias de nosso referencial discute erros ocorridos, quando os dados dos problemas são mal utilizados, algo que não é discutido pelo referencial adotado por Ribeiro (2001).
Não temos como objetivo comparar os resultados de nossa pesquisa com os de Ribeiro (2001), pois as investigações foram realizadas em momentos diferentes, com os objetivos bem semelhantes, mas baseadas em referenciais distintos e com procedimentos de coletas de dados também diferentes. No entanto, ressaltamos que, de 1997 até os dias atuais,
muitas mudanças aconteceram na avaliação do Saresp e que a pesquisa que realizamos insere-se nesse novo cenário, apresentando novos dados a respeito do desempenho dos alunos. Queremos destacar que a pesquisa de Ribeiro (2001) foi importante na decisão sobre os caminhos que tomaríamos. Após a leitura da dissertação apresentada por esse pesquisador, conseguimos estabelecer os objetivos e o problema de pesquisa de nosso estudo.
Outra pesquisa que escolhemos para analisar foi a de Freitas (2002), que propôs um estudo no qual procurou realizar um diagnóstico dos principais erros e dificuldades dos alunos ao resolverem equações de 1º grau, seu objetivo foi tentar evidenciar as habilidades implícitas nas resoluções apresentadas pelos alunos. O interesse do pesquisador por esse estudo é justificado pelo fato de que o estudante utiliza o conhecimento de resolução de equações em outros momentos da escolaridade, seja no âmbito da Matemática como em outras disciplinas e dessa forma esse conhecimento é de grande relevância.
Para a realização do estudo, Freitas (2002) contou com a participação de 104 alunos do Ensino Médio de uma escola particular da cidade de São Paulo, que resolveram 24 equações do 1º grau e, posteriormente, oito participaram de uma entrevista que teve como objetivo discutir os principais erros revelados na resolução do instrumento de pesquisa.
Buscando compreender os procedimentos que os alunos utilizam para resolver equação com coeficientes na forma ax = b e ax + b = cx + d, Freitas (2002) propôs seis categorias de erros:
1ª - Alteração do sinal do coeficiente, na divisão do termo independente: b ax b x a . 2ª - Transformação de ax = b em x = b - a
3ª - Trocar a posição do coeficiente de x pela do termo independente na divisão: a
ax b x b .
4ª - Efetuar a transposição de termos independentes sem alterar o sinal: ax + b = c ax = b + c.
5ª - Efetuar a transposição de termos em x sem alterar o sinal: ax = b + c ax + bx = c.
6ª - O zero como um complicador em equações em que é solução e nas equações sem solução: ax = 0 ou 0.x = b, (b0). (p. 46)
Além do interesse pela análise de erros desenvolvida por Freitas (2002), encontramos nos referenciais utilizados por ele um estudo de Kieran (1981) a respeito do entendimento do significado do sinal de igualdade pelo aluno que nos chamou a atenção.
Kieran (1981) comenta que, muitos alunos, têm intuições sobre símbolos aritméticos, aprendem a ler e escrever esses símbolos, mas, isso não significa que compreendem seus significados. A pesquisadora remete às ideias de Ginsburg (1977), que relata que, por exemplo, os sinais de + e = são entendidos em termos de ações a serem executadas. Assim, o aspecto da equivalência do sinal de igualdade não é compreendido corretamente por alguns alunos. Essa ideia é verificada, quando os alunos são questionados sobre a expressão
= 3 + 4. Muitos dizem não ser possível resolver desta maneira que é necessário trocar os
elementos do primeiro membro com os do segundo para se conseguir solucionar a questão. De acordo com a pesquisadora, “uma das consequências da interpretação da igualdade pela criança em termos de ações é que ela tem dificuldade em frases aritméticas que não refletem a ordem de seus cálculos” (KIERAN, 1981, p. 320).
Suas ideias também são corroboradas por Booth (1995) ao dar um exemplo sobre a interpretação do sinal de adição (+). Quando compreendido como uma ação a ser realizada alguns alunos fazem 2a + 5b = 7ab, quando deveriam aceitar que 2a + 7b já é o resultado de uma adição. Booth (1995), afirma que:
A ideia do símbolo de adição possa indicar tanto o resultado de uma adição a ação, ou de que o sinal de igualdade possa ser visto como indicador de uma relação de equivalência em vez de um símbolo “escreva a resposta”, pode não ser percebida de imediato pelo alunos, embora essas duas noções seja necessárias para a compreensão algébrica. (p. 27-28)
As discussões apresentadas por Kieran (1981) e Booth (1995) levam em conta aspectos relacionados à importância da compreensão de alguns símbolos presentes na Álgebra. Em Kaput (1999), há uma imagem que representa muito bem a maneira como deveríamos enxergar os símbolos, nosso olhar deveria captar toda a carga de significado que um símbolo traz e não nos determos somente em sua representação pura e simples.
Figura 1 - Olhando para versus através dos símbolos
Muitas vezes é isso que ocorre, os alunos manipulam os símbolos, sem de fato, conseguirem entender efetivamente o que significam. É necessário fazer com que olhem através dos símbolos, olhem além da representação simbólica para conseguirem compreender sua significação.
Ainda sobre essa questão, temos a contribuição de Arcavi (1994) que também aponta a necessidade de enfatizarmos mais os aspectos semânticos de toda a simbologia algébrica, como acontece em aritmética com o senso de número. Ele chama esse aspecto de senso de símbolo que, segundo ele, é complexo e tem características multifacetadas. O não entendimento do significado do símbolo é uma fonte de dificuldade, conforme já vimos nas considerações de Kieran (1981) e Booth (1995).
Retomando as pesquisas escolhidas, apresentaremos o estudo feito por Cury (1994), esta pesquisadora, em sua tese de doutorado, tinha como objetivo analisar as relações entre as concepções de Matemática assumidas pelos professores e suas formas de considerarem os erros dos alunos com vistas a sugerir mudanças na organização curricular dos cursos superiores.
Com esse objetivo, Cury (1994) propôs questionários e entrevistas a professores do Ensino Superior. Em suas análises, pôde perceber que as concepções absolutistas7 prevaleceram entre os sujeitos de sua pesquisa. As consequências dessa concepção são nocivas ao modo como o professor aceita o erro. Baseados nas ideias de que a Matemática é infalível, esses professores, muitas vezes, adotam uma prática autoritária, não dando aberturas para os erros cometidos pelos alunos. Com as suas análises, a pesquisadora pretendeu propor reflexões para uma possível reformulação para o ensino nos cursos de Licenciatura em Matemática.
Na tese de Cury (1994), há um capítulo intitulado Análise de erros: retrospectiva histórica e perspectivas atuais, da qual a pesquisadora faz uma abordagem histórica a respeito dos estudos dos erros e aponta também as influências, tanto da pedagogia como da psicologia nesse campo. Ao longo do capítulo cita os principais estudos sobre erros do século XX fornecendo um importante panorama sobre esse cenário.
7 De acordo com essa visão, a Matemática é considerada “como domínio das verdades absolutas que se dispõem em uma estrutura complexa, onde imperam a ordem e o rigor” (CURY, 1994, p. 224).
A leitura do capítulo possibilitou o contato com outros estudos sobre erros, como por exemplo, os estudos de Radatz (1980) e por meio de pesquisas encontramos o artigo de Rico (1995) que apresenta os fundamentos epistemológicos sobre os erros, além de diferentes estudos sobre classificação de erros. Entendemos, dessa forma que a pesquisa desenvolvida por Cury (1994) foi de grande importância na nossa trajetória de estudos e pesquisa.
Agora, analisaremos, duas pesquisas, que têm professores como sujeitos de pesquisa, portanto relacionadas mais aos aspectos do ensino de Álgebra. A escolha desses estudos deve-se ao fato de que o desempenho dos alunos, tanto em Álgebra como em outras áreas da Matemática está diretamente ligado ao envolvimento do professor nesse processo de ensino. Embora não tenhamos como objetivo analisar a prática dos professores, entrar em contato com esse aspecto é relevante para poder ampliar nossa visão sobre os erros que os alunos cometem. Pode ocorrer que nas resoluções dos alunos apareçam erros recorrentes e sirvam de discussão a respeito do papel do professor frente a tais erros.
Em sua pesquisa, Vidal (2008), teve como objetivo principal “investigar estratégias dos professores diante dos erros ou dificuldades dos alunos no estudo de equação do 1º grau [...]” (p.17). Os dados foram coletados durante 30 aulas, nas quais a pesquisadora observou as aulas de um professor, enquanto ensinava equação do 1º grau, sempre tendo como foco o modo, como ele lidava com os erros dos alunos.
Em suas conclusões, a pesquisadora comenta que o professor sempre incentivava os alunos quando eles erravam de modo que eles não temiam o erro. As intervenções feitas ajudavam o aluno a pensar, pois não eram dadas as respostas prontas. A maneira como o professor entendia os erros dos alunos contribuía nesse processo, de acordo com a pesquisadora.
O outro estudo que teve o foco sobre as práticas dos professores frente aos erros dos alunos é o de Anastácio (1997). A pesquisadora tinha como questão norteadora: “como o professor trata/enfrenta, com os alunos, os erros e dificuldades que surgem em situações de aula envolvendo atividades algébricas.” (p. 14).
Tendo em vista o problema de pesquisa, Anastácio (1997, p. 15) propôs “investigar como o professor trata/enfrenta ou explora com os alunos os erros e dificuldades que surgem em situação de aula envolvendo atividades de ensino/aprendizagem em álgebra elementar.”
As duas professoras, sujeitos de pesquisa, são entrevistadas por Anastácio (1997) como um modo de situar profissionalmente cada uma delas. Para a coleta de dados, a pesquisadora usa a observação das aulas das professoras. Nessas aulas, Anastácio (1997) analisa os episódios definidos por ela, como situações de aula nas quais percebeu a existência de erros dos alunos, da professora e do enfrentamento de erros do material adotado.
É Interessante o modo dinâmico, como a pesquisa de Anastácio (1997) se desenvolveu. De início, tinha como objetivo analisar como o professor tratava os erros e dificuldades dos alunos em situações, envolvendo atividades algébricas. No entanto, logo que iniciou as observações em sala de aula percebeu que era relevante analisar os erros cometidos pelas professoras e também os erros que o material didático continha.
Anastácio (1997, p. 97) tece considerações sobre os dados coletados em sala de aula somente a respeito de uma das professoras e comenta o modo como lida com os erros dos alunos, os seus próprios e os do material didático. Essa professora tem uma “concepção não-negativista do erro”, por incentivar os alunos sempre os interrogando e não dizendo diretamente o que está errado. Dessa forma, considera que a professora tem uma prática que proporciona um tratamento dos erros de maneira adequada.
Há ainda a pesquisa de Silva (2006), que procura analisar as dificuldades dos alunos do Ensino Médio em questões de Matemática do Ensino Fundamental. A problemática desta pesquisa surge baseada na experiência profissional da pesquisadora que questiona o fato de que, sempre ao abordar um determinado conteúdo de Matemática no Ensino Médio, é necessário retomar alguns conteúdos, que são básicos para o entendimento dos conceitos próprios dessa etapa de ensino.
As questões da pesquisa levantadas por Silva (2006) são:
Se for possível prever alguns tipos de erro, por que não mudar a forma de ensinar para que o erro não ocorra?
Que fatores levam o aluno ao erro?
Como é possível identificar as dificuldades e fazê-lo superá-las? (p. 93)
Com vistas à investigação das questões propostas, elaborou um instrumento de coleta de dados com três categorias e uma delas procurava identificar os sujeitos, a outra a respeito de afirmações ligadas a sentimentos relacionados à Matemática e, por último, uma categoria composta das questões de Matemática que o aluno deveria responder. No total, 150 alunos participação do estudo.
A pesquisadora aponta que muitos erros em Matemática devem-se ao fato de que o ensino não tem sido significativo, baseado mais na memorização de conceitos e na aplicação