Um anel R diz-se semiperfeito se R/JR é semissimples (isto é, R é semi- local) e os idempotentes de R/JR podem ser levantados para R.
Proposição 10.48 Se R é um anel artiniano à esquerda, então R é semiperfeito.
Demonstração. Suponhamos que R é um anel artiniano à esquerda. En- tão R/JR é um anel artiniano à esquerda e J(R/JR) = 0. De acordo com o teorema 8.18, o anel R/JR é semissimples. Por outro lado, de acordo com a proposição 6.12, JR é nilpotente. De acordo com a proposição 10.40, os idempotentes de R/JR podem ser levantados para R. Logo, R é semiperfeito.
Proposição 10.49 Se R é anel local, então R é semiperfeito.
Demonstração. Se R é anel local, então R/JR é anel de divisão e 0 + JR e 1 + JR são os únicos idempotentes de R/JR.
Exemplo 10.50 Seja R um domínio comutativo semilocal com exata- mente dois ideais maximais m1 e m2. (5) Então
R JR = R m1\ m2 ⇠ = R m1 ⇥ R m2 .
O produto do lado direito tem idempotentes não triviais, (6) por exemplo,
(1 + m1, m2). Estes idempotentes não triviais não podem ser levantados para
R,porque os domínios não têm idempotentes não triviais.
Exercício 10.51 Mostre que, o produto finito de anéis semiperfeitos é um anel semiperfeito.
Proposição 10.52 Sejam R um anel semiperfeito e e um idempotente primitivo de R. Então e é local.
Demonstração. Como R é semiperfeito, os idempotentes de R/JR podem ser levantados para R. De acordo com a proposição 10.39, o idempotente e + JR é primitivo. Assim, o módulo (R/JR)(e + JR) é indecomponível. Como o anel R/JR é semissimples, (R/JR)(e + JR) é simples. Portanto, e + JRé irredutível à esquerda. De acordo com a proposição 10.26, e é local. Lema 10.53 Seja R um anel e suponhamos que R = Rx1 · · · Rxn,
onde x1, . . . , xn2 R.
Existem idempotentes e1, . . . , en2 R ortogonais tais que 1 = e1 · · · en
e Rei = Rxi, i2 {1, . . . , n}.
Demonstração. Suponhamos que 1 = e1 · · · en, onde ei 2 Rxi. É
fácil deduzir que e1, . . . , en são idempotentes ortogonais. Como
R = Re1+· · · + Ren✓ Rx1 · · · Rxn= R
e Re1 ✓ Rxi,é fácil deduzir que Rei = Rxi.
5Um tal domínio existe. Cf. exercício 10.8. 6Isto é, idempotentes diferentes de 0 e de 1.
Teorema 10.54 Um anel R é semiperfeito se e só se existem idempo- tentes e1, . . . , en2 R ortogonais e locais tais que 1 = e1+· · · + en.
Demonstração. Seja R um anel semiperfeito. Como R/JR é semissim- ples, R JR = R JRx1 · · · R JRxn,
onde, para cada i 2 {1, . . . , n}, o módulo (R/JR)xi é simples e, portanto, xi
é irredutível à esquerda. Tendo em conta o lema anterior, podemos supor, sem perda de generalidade, que x1, . . . , xnsão idempotentes ortogonais e
1 + JR = x1+· · · + xn.
De acordo com a proposição 10.38, existem idempotentes e1, . . . , en2 R tais
que xi = ei+ JR, i 2 {1, . . . , n}. De acordo com a proposição 10.26, ei é
local. Seja e = e1+· · · + en. Então
e + JR = (e1+ JR) +· · · + (en+ JR) = x1+· · · + xn= 1 + JR.
Donde, e = 1 (1 e) 2 1 + JR ✓ U(R). Como e é idempotente, e = 1. Reciprocamente, suponhamos que existem idempotentes e1, . . . , en 2 R
ortogonais e locais tais que 1 = e1+· · · + en. Então
R JR = R JR(e1+ JR) +· · · + R JR(e1+ JR). (10.15) Tendo em conta a proposição 10.26, os idempotentes ei+ JRsão irredutíveis
à esquerda e, portanto, o anel R/JR é semissimples.
Vejamos que a soma (10.15) é direta. Seja j 2 {1, . . . , n} e suponhamos que R JR(ej+ JR) \ X i6=j R JR(ei+ JR)6= JR. (10.16) Como ej + JR é irredutível à esquerda, a intersecção em (10.16) é igual a
(R/JR)(ej+ JR). Donde,
ej+ JR =
X
i6=j
riei+ JR,
para alguns ri2 R. Donde,
ej X i6=j riei 2 JR e ej = (ej X i6=j riei)ej 2 JR.
Como ej é idempotente, ej = 0,de acordo com a proposição 10.36. Esta con-
clusão é absurda, pois ej é local e, portanto, não nulo. Logo, a desigualdade
Seja x 2 R/JR um idempotente. Então R JR = R JRx R JR(1 x).
Tendo em conta a decomposição (10.15) de R/JR como soma direta de ideais esquerdos minimais, deduzimos que (R/JR)x é soma de alguns dos ideais esquerdos (R/JR)(ei + JR) e (R/JR)(1 x) é soma dos restantes. Para
simplificar a escrita, suponhamos que R JRx = R JR(e1+ JR) · · · R JR(ek+ JR), R JR(1 x) = R JR(ek+1+ JR) · · · R JR(en+ JR). De acordo com o exercício 10.42, existe u 2 U(R/JR) tal que
u 1xu = (e1+· · · + ek) + JR.
Suponhamos que u = y + JR e u 1 = y0 + JR, onde y, y0 2 R. Assim,
1 + JR = u 1u = y0y + JR ) 1 y0y 2 JR ) y0y 2 U(R) ) y 2 Ue(R).
Analogamente, deduzimos que y 2 Ud(R). Donde, y 2 U(R) e u 1 =
y 1+ JR. Então
x = u(e1+· · · + ek+ JR)u 1= y(e1+· · · + ek)y 1+ JR,
o que mostra que x pode ser levantado para R. Logo, R é um anel semiperfeito.
Proposição 10.55 Um módulo M sobre um anel k é soma direta finita de submódulos fortemente indecomponíveis se e só se R = Endk(M ) é um
anel semiperfeito.
Demonstração. Suponhamos que M = M1 · · · Mn,onde M1, . . . , Mn
são submódulos fortemente indecomponíveis. Para cada i 2 {1, . . . , n}, seja ei : M ! Mi a i-ésima projeção associada àquela decomposição. As proje-
ções e1, . . . , ensão elementos idempotentes ortogonais do anel R = Endk(M )
cuja soma é igual a idM. Seja i 2 {1, . . . , n}. É fácil verificar que
eiRei={f 2 R : f(Mi)✓ Mi e f(Mj) = 0, qualquer que seja j 6= i}.
Donde, deduzimos que eiRei⇠= Endk(Mi). Como Mi é fortemente indecom-
ponível, o anel Endk(Mi) é local. Portanto, o idempotente ei é local. Pelo
teorema anterior, R é um anel semiperfeito.
Reciprocamente, suponhamos que R é semiperfeito. Então, idM = e1+
· · · + en, onde e1, . . . , en são idempotentes ortogonais e locais. Para cada
i 2 {1, . . . , n}, seja Mi = ei(M ). É fácil verificar que eiRei ⇠= Endk(Mi).
Como ei é local, o anel eiRei é local e Mi é fortemente indecomponível.
Corolário 10.56 Se k é um anel semiperfeito, kn⇥n é semiperfeito.
Demonstração. Seja k um anel semiperfeito. A aplicação : kn⇥n! R = Endk((kn⇥1)k),
que a cada A 2 kn⇥n faz corresponder
A 2 R, definida por A(x) = Ax,
é um isomorfismo de anéis. Assim, basta provar que R é semiperfeito. Pela proposição anterior, como k ⇠= Endk(kk) é semiperfeito, kk é soma direta
finita de submódulos fortemente indecomponíveis. Como (kn⇥1)
k é soma
direta de n submódulos isomorfos a kk,concluímos que (kn⇥1)ké soma direta
finita de submódulos fortemente indecomponíveis. Pela proposição anterior, R é semiperfeito.
Teorema 10.57 Seja R um anel. São equivalentes as afirmações se- guintes:
(a10.57) R é semiperfeito e R/JR é simples.
(b10.57) Existe um anel local k tal que R ⇠= kn⇥n.
Demonstração. (b10.57)) (a10.57). Suponhamos que existe um anel local
ktal que R ⇠= kn⇥n. Pela proposição 10.49, k é semiperfeito. Pelo corolário 10.56, R ⇠= kn⇥né semiperfeito.
Por outro lado, como k é local, k/Jk é anel de divisão e, portanto, (k/Jk)n⇥n é simples. Como R JR ⇠= kn⇥n J(kn⇥n) = kn⇥n (Jk)n⇥n ⇠= ✓ k Jk ◆n⇥n , R/JRé simples.
(a10.57)) (b10.57). Suponhamos que R é semiperfeito e R/JR é simples.
Seja R = R/JR e, para cada x 2 R, seja x = x + JR.
Como R é semiperfeito, de acordo com o teorema 10.54, existem idem- potentes ortogonais e locais e1, . . . , en2 R tais que 1 = e1+· · · + en. É fácil
deduzir que
R = e1R · · · enR.
Para cada i 2 {1, . . . , n}, como eié local, eié irredutível à direita e, portanto,
eiR é simples. Por outro lado, como R é semissimples e simples, R tem
uma única componente simples e todos os ideais esquerdos minimais de R são isomorfos (como R-módulos). Assim, os R-módulos e1R, . . . , enR são
isomorfos, isto é, os idempotentes e1, . . . , en são isomorfos. De acordo com
a proposição 10.34, os idempotentes e1, . . . , en são isomorfos, isto é, os R-
módulos e1R, . . . , enR são isomorfos. Assim, RR é isomorfo ao produto de
ncópias de V = e1R. Seja
O isomorfismo resulta da proposição 10.16. Como o idempotente e1 é local,
o anel k é local. Além disso,
R ⇠= EndR(RR) ⇠= EndR(VR⇥ · · · ⇥ VR) ⇠= kn⇥n.
O primeiro isomorfismo resulta do lema 7.39 e o último resulta da proposição 7.37.
Proposição 10.58 Um anel comutativo R é semiperfeito se e só se R é produto de anéis locais comutativos.
Demonstração. Exercício.