Chamamos socle (3) de um módulo M sobre um anel R à soma de todos
os submódulos simples de M. Representamos o socle de um módulo M por soc(M ). Claramente, soc(M) é o maior submódulo semissimples de M. Se M não tem submódulos simples, então soc(M) = 0.
Proposição 8.25 Se R é um anel, então soc(RR) é um ideal de R.
Demonstração. Como soc(RR) é a soma dos ideais esquerdos minimais
de R, soc(RR) é um ideal esquerdo de R. Sejam x 2 soc(RR) e r 2 R.
Então x = x1+· · · + xn, onde xj 2 ej e ej é um ideal esquerdo minimal,
j 2 {1, . . . , n}. Donde, xr = x1r +· · · + xnr 2 e1r +· · · + enr. De acordo
com o lema 7.3, e1r, . . . , enr são ideais esquerdos de R nulos ou minimais.
Logo, xr 2 soc(RR) e soc(RR) é um ideal de R.
Resulta da proposição anterior que, se R é um anel simples e tem um ideal esquerdo minimal, então soc(RR) = Re, portanto, o anel R é semissimples,
facto que já conheciamos da proposição 7.24.
Proposição 8.26 Se M é um módulo esquerdo sobre um anel R, então soc(M )✓ {x 2 M : (JR)x = 0}
com igualdade se o anel R/JR é artiniano. (4)
Demonstração. Seja x 2 soc(M). Com vista a uma contradição, supo- nhamos que (JR)x 6= 0. Seja a 2 JR tal que ax 6= 0. Como x 2 soc(M), x = x1 +· · · + xn, onde xi 2 Mi e Mi é um submódulo simples de M,
i2 {1, . . . , n}. Como ax 6= 0, axj 6= 0, para algum j 2 {1, . . . , n}. Assim,
3Do francês: socle = pedestal, suporte.
4De acordo com o exercício 6.16, J(R/JR) = {JR} e, portanto, o anel R/JR é semi-
primitivo. De acordo com a observação 8.19, o anel R/JR é artiniano à esquerda se e só se é artiniano à direita.
(JR)Mj 6= 0. Como Mj é simples, (JR)Mj = Mj. Pelo lema de Nakayama,
Mj = 0,o que é absurdo. Logo, (JR)x = 0.
Suponhamos agora que R/JR é um anel artiniano. Como J(R/JR) = 0, o anel R/JR é semiprimitivo. De acordo com o teorema 8.18, R/JR é semissimples.
Seja x 2 M tal que (JR)x = 0. Como JR é um ideal de R, (JR)(Rx) = 0. É fácil verificar que Rx é um (R/JR)-módulo com o produto escalar definido do seguinte modo: quaisquer que sejam a 2 R, y 2 Rx, (a + JR)y = ay. De acordo com a proposição 7.26, Rx é um (R/JR)-módulo semissimples. Claramente, os R-submódulos de Rx coincidem com os (R/JR)-submódulos de Rx. Assim, Rx também é um R-módulo semissimples. Donde, x 2 Rx ✓ soc(M ).
Corolário 8.27 Seja R um anel artiniano à esquerda (ou à direita). Então
soc(RR) ={a 2 R : (JR)a = 0} e soc(RR) ={a 2 R : a(JR) = 0}
Demonstração. Como R é um anel artiniano à esquerda, R/JR é um anel artiniano à esquerda. Resulta da observação 8.19 que o anel R/JR também é artiniano à direita. Assim, as duas igualdades são casos particulares da proposição 8.26.
Exemplo 8.28 Z4é um espaço vetorial sobre o corpo Z2,com o produto
escalar definido da única maneira possível: qualquer que seja x 2 Z4, 0x = 0
e 1x = x.
Consideremos o anel triangular (cf. pág. 27) R =
Z2 Z4
0 Z4 .
Os elementos de R invertíveis à esquerda coincidem com os elementos inver- tíveis à direita e são os elementos da forma
x y 0 z , onde x = 1 e z 2 {1, 1} = U(Z4). Os conjuntos a = ⇢ 0 y 0 z : y, z2 Z4 e b = ⇢ x y 0 2z : x2 Z2, y, z2 Z4 são ideais de R diferentes de R.
Exercício. Mostre que a e b são os únicos ideais esquerdos maximais de R e também os únicos ideais direitos maximais de R.
Assim, JR = a \ b. Utilizando a proposição 8.27, deduzimos que soc(RR) =
⇢ r s
Capítulo 9
Primos e semiprimos
9.1 Ideais primos e semiprimos
Definição 9.1 Um ideal p de um anel R chama-se primo se p 6= R e, para quaisquer ideais a e b de R, ab ✓ p ) a ✓ p ou b ✓ p.
Proposição 9.2 Seja p um ideal de um anel R.
Se p 6= R e, quaisquer que sejam a, b 2 R, ab 2 p ) a 2 p ou b 2 p, então p é um ideal primo.
Se R é comutativo, p é um ideal primo se e só se, quaisquer que sejam a, b2 R, ab 2 p ) a 2 p ou b 2 p.
Demonstração. Exercício.
Proposição 9.3 Seja p um ideal de um anel R. As afirmações seguintes são equivalentes:
(a9.3) pé um ideal primo.
(b9.3) Quaisquer que sejam x, y 2 R, (RxR)(RyR) ✓ p ) x 2 p ou y 2 p.
(c9.3) Quaisquer que sejam x, y 2 R, xRy ✓ p ) x 2 p ou y 2 p.
(d9.3) Quaisquer que sejam os ideais esquerdos a e b de R, ab ✓ p ) a ✓ p
ou b ✓ p.
(e9.3) Quaisquer que sejam os ideais direitos a e b de R, ab ✓ p ) a ✓ p ou
b✓ p.
Demonstração. (a9.3)) (b9.3). Sejam x, y 2 R tais que (RxR)(RyR) ✓
p. De acordo com (a9.3), RxR✓ p ou RyR ✓ p. Donde, x 2 p ou y 2 p.
(b9.3) ) (c9.3). Sejam x, y 2 R tais que xRy ✓ p. Como p é ideal,
RxRyR ✓ p. Donde, (RxR)(RyR) ✓ RxRyR ✓ p. De acordo com (b9.3),
(c9.3) ) (d9.3). Sejam a e b ideais esquerdos de R tais que ab ✓ p.
Suponhamos que a * p. Seja x 2 a tal que x /2 p. Seja y 2 b. Então xRy✓ ab ✓ p. De acordo com (b9.3), y 2 p. Logo, b ✓ p.
É imediato que (d9.3)) (a9.3).
Analogamente, (c9.3)) (e9.3)) (a9.3).
Definição 9.4 Uma parte não vazia S de um anel R diz-se um sistema multiplicativo ou sistema-m se, quaisquer que sejam a, b 2 S, existe x 2 R tal que axb 2 S.
Claramente, se S é uma parte não vazia de um anel R fechada para o produto, então S é um sistema-m. A afirmação recíproca nem sempre é verdadeira: {2, 23, 24, 25, . . .} é um sistema-m de Z mas não é fechado para
o produto.
Proposição 9.5 Seja p um ideal de um anel R. O ideal p é primo se e só se R \ p é um sistema-m.
Demonstração. Suponhamos que p é um ideal primo. Então p 6= R e R\ p 6= ;. Sejam a, b 2 R \ p, isto é, a, b /2 p. Como p é um ideal primo, aRb* p. Portanto, existe x 2 R tal que axb /2 p, ou seja, axb 2 R \ p. Logo, R\ p é um sistema-m.
Reciprocamente, suponhamos que R\p é um sistema-m. Então R\p 6= ; e p 6= R. Sejam a, b 2 R tais que aRb ✓ p. Assim, qualquer que seja x 2 R, axb2 p e axb /2 R \ p. Como R \ p é um sistema-m, a /2 R \ p ou b /2 R \ p. Portanto, a 2 p ou b 2 p. Logo, p é um ideal primo de R.
Proposição 9.6 Seja S um sistema-m de um anel R. Se p é um ele- mento maximal do conjunto dos ideais de R que são disjuntos de S, então p é um ideal primo de R.
Demonstração. Sejam a e b ideais de R tais que ab ✓ p. Com vista a uma contradição, suponhamos que a * p e b * p. Então p $ p + a e p $ p + b. Tendo em conta a maximalidade de p, (p + a) \ S 6= ; e (p + b) \ S 6= ;. Sejam r 2 (p + a) \ S e s 2 (p + b) \ S. Como S é um sistema-m, existe x2 R tal que rxs 2 S. Mas
rxs2 (p + a)R(p + b) ✓ (p + a)(p + b) ✓ p + ab ✓ p, o que é absurdo, pois, p \ S = ;.
Corolário 9.7 Se m é um ideal maximal de um anel R, então m é um ideal primo de R.
Exercício 9.8 Mostre que um ideal p de um anel comutativo R é primo se e só se, quaisquer que sejam x, y 2 R, xy 2 p ) x 2 p ou y 2 p.
Esta equivalência pode não ser verdadeira, quando R não é comutativo. Por exemplo, se R = kn⇥n,onde k é um anel de divisão e n 2,então R é
um anel simples e 0 é um ideal maximal e, portanto, primo de R; contudo, existem x, y 2 R \ 0 tais que xy = 0.
Exercício 9.9 Seja R um domínio comutativo. Um elemento p 2 R diz-se primo se, quaisquer que sejam a, b 2 R, p | ab ) p | a ou p | b. Mostre que p 2 R é primo se e só se o ideal de R gerado por p é primo.
Exercício 9.10 Mostre que um ideal p de um anel R é primo se e só se, quaisquer que sejam o ideal direito d e o ideal esquerdo e, de ✓ p ) d ✓ p ou e ✓ p.
Exemplo 9.11 Este exemplo mostra que, se, no exercício anterior, subs- tituirmos “direito” por “esquerdo” e “esquerdo” por “direito”, obtemos um enunciado que nem sempre é verdadeiro.
Sejam k um anel de divisão. O ideal 0 de R = kn⇥né primo e, se n 2, R
tem um elemento idempotente e /2 {0, 1}, por exemplo, e = diag(1, 0, . . . , 0). Então Re(1 e)R = 0, Re 6= 0 e (1 e)R 6= 0.
Exercício 9.12 Seja R um anel. Mostre que são equivalentes as afirma- ções seguintes:
(a) Todos os ideais de R diferentes de R são primos.
(b) Todos os ideais de R são idempotentes e o conjunto de todos os ideais de R está totalmente ordenado por inclusão.
Exercício 9.13 Seja R um anel comutativo. Mostre que são equivalen- tes as afirmações seguintes:
(a) Todos os ideais de R diferentes de R são primos. (b) R = 0ou R é um corpo.
Suponhamos que a é um ideal de R diferente de R. Do lema de Zorn, resulta que R tem pelo menos um ideal maximal que contém a. Portanto, R tem pelo menos um ideal primo que contém a.
Definição 9.14 Seja a um ideal de R.
Se a 6= R, chamamos radical do ideal a à interseção de todos os ideais primos de R que contêm a. Se a = R, dizemos que o radical do ideal a é R.
Proposição 9.15 Seja a um ideal de um anel R. Então,pa é um ideal de R e a ✓pa =ppa.
Proposição 9.16 Seja a um ideal de um anel R. Então p
a={x 2 R : para todo o sistem-m S, x 2 S ) S \ a 6= ;} ✓{x 2 R : existe n 2 N tal que xn2 a}.
Demonstração. Seja x 2pa. Com vista a uma contradição, suponhamos que existe um sistema-m, S, tal que x 2 S e S \ a = ;. Utilizando o lema de Zorn, deduzimos que existe um ideal p maximal entre os ideais que contêm ae são disjuntos de S. De acordo com a proposição 9.6, p é um ideal primo de R. Como x 2pa✓ p, vem que x 2 S \ p, o que é absurdo.
Reciprocamente, seja x 2 R tal que, para todo o sistema-m S, se x 2 S, então S \ a 6= ;. Se a = R, então x 2 R = pa. Suponhamos agora que a6= R. Seja p um ideal primo de R que contém a. Suponhamos que x /2 p. Como R \ p é um sistema-m e x 2 R \ p, vem que (R \ p) \ a 6= ;, o que é absurdo, pois a ✓ p. Logo, x 2 p. Logo, x 2pa.
Seja x 2pa. Seja S = {xn: n2 N}. De acordo com o primeiro parágrafo desta demonstração, S \ a 6= ;. Assim, existe n 2 N tal que xn2 a.
Definição 9.17 Um ideal c de um anel R diz-se semiprimo se, para qualquer ideal a de R, a2 ✓ c ) a ✓ c.
Exercício 9.18 Mostre que um ideal c de um anel comutativo R é se- miprimo se e só se, qualquer que seja x 2 R, x22 c ) x 2 c.
Usualmente, em Álgebra Comutativa, os ideais semiprimos chamam-se ideais radicais.
As três proposições seguintes são fáceis de provar. As demonstrações ficam como exercícios.
Proposição 9.19 Seja c um ideal de um anel R. As afirmações seguin- tes são equivalentes:
(a9.19) c é um ideal semiprimo.
(b9.19) Qualquer que seja x 2 R, (RxR)2 ✓ c ) x 2 c.
(c9.19) Qualquer que seja x 2 R, xRx ✓ c ) x 2 c.
(d9.19) Qualquer que seja o ideal esquerdo a de R, a2 ✓ c ) a ✓ c.
Proposição 9.20 Seja R um anel. R é um ideal semiprimo de R. Os ideais primos de R são ideais semiprimos de R. A interseção de ideais semiprimos de R é um ideal semiprimo de R. A interseção de ideais primos de R é um ideal semiprimo de R.
Definição 9.21 Uma parte S de um anel R diz-se um sistema-n se, qualquer que seja a 2 S, existe x 2 R tal que axa 2 S.
Proposição 9.22 Seja c um ideal de um anel R. O ideal c é semiprimo se e só se R \ c é um sistema-n.
Proposição 9.23 Sejam N um sistema-n de um anel R e a 2 N. Então existe um sistema-m M tal que a 2 M ✓ N.
Demonstração. Definimos recursivamente uma sucessão (an)n2N de ele-
mentos de N do seguinte modo: a1 = a; supondo que an está definido,
escolhemos xn 2 R tal que anxnan 2 N e tomamos an+1 = anxnan. Seja
M ={an: n2 N}. Claramente, a 2 M ✓ N.
Por indução em i j, provemos que, quaisquer que sejam i, j 2 N, com i j, existe y 2 R tal que aiyaj 2 M. Se i = j, então aixiai = ai+1 2
M. Suponhamos que i > j. Pela hipótese de indução, existe y 2 R tal que aiyaj+1 2 M. Então ai(yajxj)aj 2 M. Analogamente, prova-se que,
quaisquer que sejam i, j 2 N, com i < j, existe y 2 R tal que aiyaj 2 M.
Logo, M é um sistema-m.
Proposição 9.24 Seja c um ideal de um anel R. São equivalentes as afirmações seguintes:
(a9.24) c é um ideal semiprimo de R.
(b9.24) c = R ou c é interseção de ideais primos de R.
(c9.24) c =pc.
Demonstração. (c9.24)) (b9.24). Resulta da definição de pc.
(b9.24)) (a9.24). Cf. proposição 9.20.
(a9.24) ) (c9.24). Sabemos que c ✓ pc. Provemos agora que pc ✓ c.
Suponhamos que a /2 c. Como a 2 R \ c e R \ c é um sistema-n, existe um sistema-m M tal que a 2 M ✓ R \ c. Mas M \ c ✓ (R \ c) \ c = ;. De acordo com a proposição 9.16, a /2pc.
Corolário 9.25 Seja c um ideal de um anel R. O radical de c é o menor ideal semiprimo de R que contém c.
Demonstração. Como pc = R ou pc é interseção de ideais primos de R, pc é um ideal semiprimo de R. Seja d um ideal semiprimo de R tal que c ✓ d. Como todos os ideais primos que contêm d também contêm c, p
c✓pd. Como d é semiprimo, pc ✓pd = d.
Definição 9.26 Chama-se radical primo de R ao ideal p0.
O radical primo de R é o menor ideal semiprimo de R e, se R 6= 0, é igual á interseção de todos os ideais primos de R.