AN ´ EIS QUOCIENTES E TEOREMA CHIN ˆ ES DOS RESTOS

An´ eis e dom´ınios

15.4. AN ´ EIS QUOCIENTES E TEOREMA CHIN ˆ ES DOS RESTOS

Definição 15.31. Seja A um anel e I um ideal de A. Definimos em A a seguinte rela¸cão. Dados a, b∈ A dizemos que

a_{≡ b (mod I) se a − b = α ∈ I,}

dizemos neste caso que a é equivalente a b módulo I. Fica como exerc´ıcio verificar que isto define de fato uma rela¸cão de equivalência. A classe de equivalência de a_{∈ A módulo I será denotada por}

a + I :=_{{a + α | α ∈ I}.}

O conjunto de classes de equivalência será denotado por A/I. Quando A =Z e I = nZ a rela¸cão acima é apenas a rela¸cão de congruência módulo n, uma vez que Z é um dom´ınio principal.

Definic¸˜ao 15.32. Definimos em A/I uma estrutura de anel da seguinte forma: (a + I)⊕ (b + I) := (a + b) + I e (a + I) ⊙ (b + I) := (ab) + I.

Observação 15.33. Verifiquemos que estas opera¸cões estão bem definidas. Sejam a′_{, b}′ _{∈ A tais que a}′ _{≡ a (mod I) e b}′ _{≡ b (mod I), i.e., a}′_{− a = α ∈ I e} b′_{− b = β ∈ I. Assim,}

(a′+ b′)_{− (a + b) = α + β ∈ I}

e em particular a′_{+ b}′ _{≡ a + b (mod I) (o que equivale a (a}′_{+ b}′_{) + I = (a + b) + I).} Tamb´em temos que

a′b′_{− ab = a}′b′_{− a}′b + a′b_{− ab = a}′(b′_{− b) + b(a}′_{− a) = a}′β + bα_{∈ I,} portanto a′_b′_{≡ ab (mod I) (ou equivalentemente, (a}′_b′_{) + I = (ab) + I). Deixamos} também como exerc´ıcio verificar (exatamente como no caso dos inteiros módulo n) que o conjunto A/I com as opera¸cões_{⊕ e ⊙ é um anel. Note que o elemento neutro} para a soma é a classe I e o elemento neutro para o produto é a classe 1 + I.

15.4.1. Ideais primos e maximais.

Definição 15.34. Um ideal I de um anel A é dito maximal se para todo ideal J de A tal que I_{⊂ J ⊂ A temos J = I ou J = A.}

Proposic¸˜ao 15.35. Um ideal I de A ´e maximal se e somente se o anel quo-

ciente A/I ´e um corpo.

Demonstração. Suponha que I seja um ideal maximal de A. Seja a + I_{6= I} uma classe em A/I. Isto equivale a a /_{∈ I. O conjunto (a) = {xa | x ∈ A} é um} ideal de A e pelo que foi feito anteriormente o conjunto J = I + (a) também é um ideal de A. Além disto, I J. Pela maximalidade de I concluimos que J = A, i.e., que existem t _{∈ I e s ∈ A tais que 1 = t + sa, i.e., sa ≡ 1 (mod I), i.e.,} (sa) + I = (s + I)⊙ (a + I) = 1 + I, i.e., a + I admite inverso multiplicativo.

Reciprocamente, suponha que A/I seja um corpo. Seja J um ideal de A tal que I J. Seja a ∈ J − I. Então a + I 6= I e por hipótese existe b ∈ A tal que (a + I)⊙ (b + I) = 1 + I, i.e., (ab) + I = 1 + I, i.e., existe t ∈ I tal que ab − 1 = t. Em outras palavras 1 = t− ab ∈ J, logo A = J e I é maximal. Definição 15.36. Um ideal I de A é dito um ideal primo se dados a, b∈ A tais que ab ∈ I, então a ∈ I ou b ∈ I. Note que quando A = Z e p é um número primo o ideal pZ é um ideal primo de Z.

112 15. AN ´EIS E DOM´INIOS

Proposiç˜ao 15.37. Um ideal I de A é primo se e somente se o anel quociente A/I é um dom´ınio de integridade.

Demonstrac¸˜ao. Suponha que I seja um ideal primo de A. Sejam a+I, b+I_∈ A

I tais que (a + I)⊙ (b + I) = I, i.e., (ab + I) = I, i.e., ab ∈ I. Como I ´e primo, temos que a_{∈ I ou b ∈ I, i.e., a + I = I ou b + I = I.}

Reciprocamente, suponha que A/I seja um dom´ınio de integridade. Sejam a, b_{∈ A tais que ab ∈ I, i.e., (ab)+I = (a+I)⊙(b+I) = I. Por hip´otese, a+I = I}

ou b + I = I, i.e., a_{∈ I ou b ∈ I.}

15.4.2. Homomorfismo de an´eis.

Definição 15.38. Sejam A e B anéis e f : A_{→ B uma fun¸cão. Esta fun¸cão é} dito um homomorfismo de anéis se

f (a + b) = f (a) + f (b) e f (ab) = f (a)f (b).

Observe que f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0), portanto f (0) = 0. Se além disto A for um dom´ınio de integridade e f não for a fun¸cão nula, então f (1) = 1. De fato, f (1) = f (1.1) = f (1)f (1), i.e., f (1)(f (1)_{− 1) = 0. Se A é um dom´ınio de} integridade, então f (1) = 0 ou f (1) = 1. No primeiro caso a fun¸cão é identicamente nula, pois f (a) = f (1.a) = f (1)f (a) = 0. Observe também que como 0 = f (0) = f (a + (−a)) = f(a) + f(−a), então f(−a) = −f(a).

Definição 15.39. Um homomorfismo f : A_{→ B é dito um isomorfismo se for} bijetivo. Um homomorfismo f : A _{→ A é dito um endomorfismo de A. Se este} endomorfismo for bijetivo ele é dito um automorfismo de A. Seja f : A_{→ B um} homomorfismo de anéis. O núcleo N (f ) de f é definido por _{{a ∈ A | f(a) = 0}.} Fica como exerc´ıcio mostrar que N (f ) é um ideal de A. A imagem f (A) de f é um subanel de B (isto também é um exerc´ıcio).

Lema 15.40. Seja f : A→ B um homomorfismo de anéis. Então f é injetivo

se e somente se N (f ) = (0).

Demonstração. Suponha que f seja injetivo e que a_{∈ N(f). Logo f(a) =} 0 = f (0), pela injetividade de f concluimos que a = 0. Reciprocamente, suponha que N (f ) = (0). Sejam a, b _{∈ A tais que f(a) = f(b). Então f(a − b) = 0, i.e.,}

a− b ∈ N(f), em particular a = b.

Teorema 15.41 (teorema dos homomorfimos). Seja f : A→ B um homomor-

fismo de an´eis. Ent˜ao f induz um isomorfismo ϕ : A/N (f ) → f(A) (em outras

palavras A/N (f ) ∼= f (A), i.e., estes dois an´eis s˜ao isomorfos).

Demonstração. A fun¸cão ϕ é definida por ϕ(a + N (f )) := f (a).

Verifiquemos inicialmente que ϕ est´a bem definida. Seja a′ ∈ A tal que a′ _{≡ a} (mod N (f )), i.e., a′ _{− a = α ∈ N(f). Logo f(a}′_{) = f (a), i.e., ϕ(a}′ _{+ N (f )) =} ϕ(a + N (f )).

Esta fun¸c˜ao ´e um homomorfismo, pois

ϕ((a + N (f ))⊕ (b + N(f))) = ϕ((a + b) + N(f)) = f(a + b) = f(a) + f(b) = ϕ(a + N (f )) + ϕ(b + N (f )) e

ϕ((a + N (f ))_{⊙ (b + N(f))) = ϕ((ab) + N(f)) = f(ab)}

15.4. AN ´EIS QUOCIENTES E TEOREMA CHIN ˆES DOS RESTOS 113

Esta fun¸cão é sobrejetiva, pois para todo y∈ f(A), temos que y = f(a) para a ∈ A, portanto y = ϕ(a + N (f )). Esta fun¸cão também é injetiva, pois se ϕ(a + N (f )) =

f (a) = 0, ent˜ao a∈ N(f), i.e., a + N(f) = N(f).

15.4.3. Teorema chinˆes dos restos.

Proposic¸˜ao 15.42. Sejam I, J ideais de A tais que I + J = A e a, b ∈ A.

Ent˜ao existe x∈ A tal que

( x ≡ a (mod I) x_{≡ b (mod J).}

Demonstração. Por hipótese existem α _{∈ I e β ∈ J tais que 1 = α + β.} Então β_{≡ 1 (mod I) e α ≡ 1 (mod J). Em particular, aβ ≡ a (mod I) e bα ≡ b}

(mod J). Basta tomar x = aβ + bα.

Vamos generalizar o resultado anterior para um n´umero qualquer de ideais. Para isto precisamos da no¸c˜ao de produto de ideais. Sejam I1,· · · , Ir ideais de A. Seja

I1. . . Ir:={a1,1· · · ar,1+ . . . + a1,n. . . ar,n| onde ai,j∈ Ii, para todo i}. Fica como exerc´ıcio mostrar que I1. . . Ir´e efetivamente um ideal de A.

Proposic¸˜ao 15.43. Sejam I1,· · · , Ir ideais de A tais que para todo α 6= β

tenhamos Iα+ Iβ= A. Sejam a1,· · · , ar∈ A. Então existe x ∈ A tal que        x≡ a1 (mod I1) .. . ... x≡ ar (mod Ir). Demonstração. Denotamos

J := I1. . . Ir e para cada ν, Jν:= I1. . . Iν−1Iν+1. . . Ir. Afirmamos que

(15.1) Iν+ Jν = A.

De fato, sabemos que para cada α _{6= ν existem λ}α ∈ Iα e λν(α) ∈ Iν tais que λα+ λν(α) = 1. Note que utilizamos o ´ındice ν(α) para dizer que o elemento λν(α)efetivamente depende da escolha de α, uma vez que os ideais s˜ao dois a dois coprimos. Seja γν:= λ1. . . λν−1λν+1. . . λr∈ Jν. Ent˜ao Y α6=ν (λα+ λν(α)) = γν+ δν,

onde δν∈ Iν. Da igualdade (15.1) obtemos que para cada ν vale γν ≡ 1 (mod Iν) e γν ≡ 0 (mod Iα) para α6= ν. Finalmente, x := a1γ1+ . . . + arγr´e uma solu¸c˜ao

do sistema.

Lema 15.44. Sejam I1,· · · , Ir ideais de A tais que para todo α6= β tenhamos Iα+ Iβ= A. Ent˜ao

114 15. AN ´EIS E DOM´INIOS

Demonstração. Provemos o resultado por indu¸cão em r. Suponhamos inicialmente r = 2. Assim, um elemento de I1I2é da forma

a1,1a2,1+ . . . + a1,na2,n,

onde a1,ν ∈ I1 (resp. a2,ν ∈ I2) para cada ν. Note que cada parcela a1,νa2,ν pertence a I1∩ I2, pela defini¸cão de ideal. Logo I1I2 ⊂ I1∩ I2. Basta provar a inclusão oposta. Por hipótese existem γ1∈ I1 e γ2∈ I2 tais que 1 = γ1+ γ2. Seja a_{∈ I}1∩ I2, logo a = γ1a + aγ2∈ I1I2.

Suponha agora o resultado provado para r_{− 1 fatores, vamos prová-lo para} r fatores. Novamente, pela própria defini¸cão de produto de ideais temos que I1. . . Ir ⊂ I1∩ . . . ∩ Ir. Basta provar a inclusão oposta. Da demonstra¸cão da proposi¸cão anterior concluimos que I1. . . Ir−1 e Ir são coprimos. Logo existe γr ∈ I1. . . Ir−1 e δr ∈ Ir tal que γr + δr = 1. Seja a ∈ I1 ∩ · · · ∩ Ir. Note que para todo t_{≥ 1 temos também que a}t

∈ I1∩ · · · ∩ Ir. Ent˜ao ar= γrar+ a . . . a(aδr)∈ I1+ . . . + Ir,

onde a repete-se r− 1 vezes no produto acima.

Teorema 15.45 (teorema chinˆes dos restos). Sejam I1,· · · Ir ideais de A tais

que Iα+ Iβ= A, para α6= β. Ent˜ao (1) existe um isomorfismo de an´eis

A I1. . . Ir ∼ = A I1× . . . × A Ir .

(2) Este isomorfismo restringe-se a um isomorfismo de grupos

_A I1. . . Ir ∗ ∼ = A I1 ∗ × . . . × A_I r ∗ .

Demonstrac¸˜ao. Definimos

ϕ : A I1· · · Ir → A I1 × . . . × A Ir por ϕ(a + I1. . . Ir) := (a + I1,· · · , a + Ir). Verifiquemos que esta fun¸cão está bem definida. De fato, se b− a = α ∈ I1. . . Ir= I1∩. . . Ir(pelo lema anterior), então b≡ a (mod Iν) para todo ν, i.e., b+Iν= a+Iν para todo ν.

Afirmamos que ϕ ´e um homomorfismo. De fato, ϕ((a + I1. . . Ir)⊕ (b + I1. . . Ir)) = ϕ((a + b) + I1. . . Ir) = ((a + b) + I1,· · · , (a + b) + Ir) = ((a + I1)⊕ (b + I1),· · · , (a + Ir)⊕ (b + Ir)) = (a + I1,· · · , a + Ir)⊕ (b + I1,· · · , b + Ir) e ϕ((a + I1. . . Ir)⊙ (b + I1. . . Ir)) = ϕ((ab) + I1. . . Ir) = ((ab) + I1,· · · , (ab) + Ir) = ((a + I1)⊙ (b + I1),· · · , (a + Ir)⊙ (b + Ir)) = (a + I1,· · · , a + Ir)⊙ (b + I1,· · · , b + Ir).

No documento Grupos Universidade Federal do Rio de Janeiro Amílcar Pacheco (páginas 117-121)