An´ eis e dom´ınios
15.1. DOM´INIOS EUCLIDEANOS
para q0, q1 ∈ Z. Novamente podemos escolher q0, q1 ∈ Z tais que |α − q0| ≤ 12 e |β − q1| ≤ 12. Al´em disto
(α− q0)2− 2(β − q1)2≤ (α − q0)2≤ 1 4 < 1.
Observac¸˜ao 15.3. Estes exemplos s˜ao na verdade casos particulares da se- guinte situa¸c˜ao mais geral. Seja K ⊃ Q um corpo contendo Q que como Q-espa¸co vetorial ´e de dimens˜ao finita. Um tal corpo ´e chamado um corpo de n´umeros. Os elementos α∈ K que satisfazem uma equa¸c˜ao do tipo
αn+ n−1 X
i=0
aiαi= 0 tais que ai∈ Z
s˜ao chamados inteiros alg´ebricos de K e o conjunto de todos os inteiros alg´ebricos forma uma anel (dos inteiros alg´ebricos de K) denotado por OK. A pergunta ´e quandoOK com uma fun¸c˜ao ϕ apropriada ´e um dom´ınio euclideano. A resposta ´e como no caso anterior geom´etrica. Tudo depende da representa¸c˜ao logar´ıtmica de K em umR espa¸co vetorial Rn de dimens˜ao finita. Existem crit´erios nos quais podemos mostrar que para certos corpos de n´umeros K existem fun¸c˜oes ϕK tais que (OK, ϕK) ´e um dom´ınio euclideano. Para mais sobre esta quest˜ao ver [Le1] e [Le2].
Observac¸˜ao 15.4. Mostraremos agora que como no caso dos inteiros e dos polinˆomios dom´ınios euclideanos s˜ao principais e fatoriais. Um caso cl´assico de corpo de n´umeros ligado a teoria de n´umeros ´e o corpo
Q[ζn] := (n−1 X i=0 aiζi| ai∈ Q para todo i ) ,
onde ζ = exp(2πi/n). Este corpo ´e chamado o n-´esimo corpo ciclotˆomico. Kummer, no fim do s´eculo XIX, pensou erradamente ter “provado” o ´ultimo teorema de Fermat (i.e., que a equa¸c˜ao xn+ yn = zn n˜ao possui solu¸c˜oes inteiras n˜ao triviais para n > 2), e seu erro foi exatamente ter “achado” queOK era principal, o que ´e falso.
Teorema 15.5. Seja (D, ϕ) um dom´ınio euclideano. Ent˜ao D ´e principal, i.e., todo ideal I⊂ D ´e da forma I = (a) = {aα | α ∈ D}.
Demonstrac¸˜ao. Se I = (0) nada h´a a fazer. Suponhamos que I 6= (0) e seja a∈ I \ {0} tal que ϕ(a) ≤ ϕ(α) para todo α ∈ I \ {0}. Afirmamos que I = (a). A inclus˜ao (a)⊂ I ´e imediata da defini¸c˜ao de ideal. Suponhamos que b ∈ I. Por hip´otese existem q, r∈ D tais que b = aq + r, onde r = 0 ou ϕ(r) < ϕ(a). Se r 6= 0, ent˜ao r = b− aq ∈ I, mas isto contradiz a escolha de a. Logo r = 0 e b ∈ (a). Teorema 15.6. Seja (D, ϕ) um dom´ınio euclideano. Ent˜ao D ´e principal, i.e., todo ideal I ⊂ D ´e da forma I = (a) = {aα | α ∈ D}.
Demonstrac¸˜ao. Se I = (0) nada h´a a fazer. Suponhamos que I 6= (0) e seja a∈ I \ {0} tal que ϕ(a) ≤ ϕ(α) para todo α ∈ I \ {0}. Afirmamos que I = (a). A inclus˜ao (a)⊂ I ´e imediata da defini¸c˜ao de ideal. Suponhamos que b ∈ I. Por hip´otese existem q, r∈ D tais que b = aq + r, onde r = 0 ou ϕ(r) < ϕ(a). Se r 6= 0, ent˜ao r = b− aq ∈ I, mas isto contradiz a escolha de a. Logo r = 0 e b ∈ (a).
104 15. AN ´EIS E DOM´INIOS
Seja D um dom´ınio de integridade. Denotamos por D∗o conjunto dos elementos invers´ıveis de D. i.e., o conjunto dos elementos a ∈ D tais que existe b ∈ D tal que ab = 1. Por exemplo, Z∗ ={±1} e K[x]∗ = K∗. Se D = Z[i], notemos que se a + bi ∈ Z[i]∗ ent˜ao existe c + di ∈ Z[i] tal que (a + bi)(c + di) = 1. Logo (a2+ b2)(c2+ d2) = 1, i.e., a2+ b2 = 1. Mas no c´ırculo x2+ y2 = 1 os ´unicos pontos com coordenadas inteiras s˜ao±1 e ±i. Reciprocamente, estes elementos s˜ao claramente invers´ıveis, portantoZ[i]∗={±1, ±i}.
Um elemento a ∈ D ´e dito irredut´ıvel, se toda vez que a = bc com b, c ∈ D ent˜ao b∈ D∗ ou c∈ D∗.
Lema 15.7. Seja (D, ϕ) um dom´ınio euclideano. Ent˜ao a∈ D∗ se e somente
se ϕ(a) = ϕ(1).
Demonstrac¸˜ao. Observemos que ϕ(a) = ϕ(a.1) ≥ ϕ(1) para todo a ∈ D \ {0}. Por outro lado se a ∈ D∗, ent˜ao existe b ∈ D \ {0} tal que ab = 1, logo ϕ(1) = ϕ(ab) ≥ ϕ(a), o que mostra que ϕ(a) = ϕ(1). Suponha que ϕ(a) = ϕ(1) para a∈ D \ {0}. Por hip´otese existem q, r ∈ D tais que 1 = qa + r com r = 0 ou ϕ(r) < ϕ(a). Assim, se r6= 0, ent˜ao ϕ(r) < ϕ(1) o que ´e imposs´ıvel. Portanto,
r = 0 e 1 = aq, i.e., a∈ D∗.
Teorema 15.8. Seja (D, ϕ) um dom´ınio euclideano e a ∈ D \ {0}. Ent˜ao
existem u∈ D∗ e p
1,· · · , pr∈ D \ {0} irredut´ıveis tais que a = up1· · · pr.
Demonstrac¸˜ao. Se a∈ D∗ou a for irredut´ıvel nada h´a a fazer. Suponhamos a /∈ D∗redut´ıvel. SejaD
ao conjunto dos divisores d de a em D. Seja p1∈ Da\ {0} tal que ϕ(p1)≤ ϕ(b) para todo b ∈ Da. Afirmamos que p1 ´e irredut´ıvel. De fato, caso contr´ario, p1 = cd, c, d /∈ D∗ e ϕ(p1) = ϕ(cd)≥ ϕ(d). Se ϕ(cd) = ϕ(d), por hip´otese existem q, r∈ D tais que d = qcd + r com r = 0 ou ϕ(r) < ϕ(cd) = ϕ(d). Se r6= 0, ent˜ao r = d(1 − qc) e ϕ(r) ≥ ϕ(d), o que ´e imposs´ıvel, assim r = 0, mas neste caso qc = 1, logo c∈ D∗, o que tamb´em ´e imposs´ıvel. Assim ϕ(cd) > ϕ(d) e d∈ Da, mas isto contradiz a minimalidade de p1. Portanto, p1´e irredut´ıvel.
Seja
a1:= a p1
.
Se a1∈ D∗ ou a1´e irredut´ıvel ent˜ao nada h´a a fazer. Caso contr´ario, repetindo o argumento existe p2∈ Da1 irredut´ıvel tal que ϕ(p2)≤ ϕ(b) para todo b ∈ Da1\ {0}.
Seja a2:= a1 p2 = a p1p2 .
Novamente, se a2∈ D∗ ou a2for irredut´ıvel acabou. Caso contr´ario prosseguimos. Observe que ϕ(a) > ϕ(a1) > ϕ(a2) > · · · ≥ ϕ(1), pois os elementos pi’s s˜ao irredut´ıveis. Portanto, existe r tal que ϕ(ar) = ϕ(1), i.e., ar∈ D∗ e neste caso
a = up1· · · pr com u = ar.
Definic¸˜ao 15.9. Sejam a, b∈ D \ {0}. Definimos um mdc d de a e b por
(1) d| a e d | b.
15.1. DOM´INIOS EUCLIDEANOS 105
Observac¸˜ao 15.10. Observe que se d e e s˜ao mdc’s de a e b ent˜ao d | e e e| d, i.e., d = Ae e e = Bd para A, B ∈ D, assim d = BAd e portanto A, B ∈ D∗. Logo a menos de multiplica¸c˜ao por um elemento invers´ıvel a no¸c˜ao de mdc est´a bem definida.
Observac¸˜ao 15.11. Seja
I := (a) + (b) :={aα + bβ | α, β ∈ D}
o ideal gerado por a e b. Como (D, ϕ) ´e principal, concluimos que existe d∈ D \{0} tal que (d) = I. Afirmamos que d = mdc(a, b). De fato, a = 1.a + 0.b ∈ I, logo a = dα, i.e., d| a. Pelo mesmo argumento d | b. Por outro lado existem s, t ∈ D tais que d = as + bt (o algoritmo euclideano estendido). Se d′ | a e d′ | b, ent˜ao a = Ad′ e b = Bd′ para A, B∈ D, portanto d = d′(sA + tB), i.e., d′| d.
Lema 15.12. Seja p∈ D irredut´ıvel e suponha que p | ab para a, b ∈ D. Ent˜ao p| a ou p | b.
Demonstrac¸˜ao. Suponha que p ∤ a, ent˜ao mdc(p, a) = 1 e existem s, t ∈ D tais que 1 = sp + ta. Multiplicando por b e utilizando que ab = αp para α ∈ D,
obtemos b = spb + tαp, logo p| b.
Teorema 15.13. Seja (D, ϕ) um dom´ınio euclideano e a ∈ D \ {0}. Ent˜ao
existem ´unicos (a menos de invers´ıveis) u∈ D∗, p1,· · · , pr ∈ D irredut´ıveis com ϕ(p1) <· · · < ϕ(pr) e inteiros e1,· · · , er≥ 1 tais que
a = upe1
1 · · · perr.
Demonstrac¸˜ao. Suponha que possamos fatorar a de duas maneiras distintas a = upe1 1 · · · p er r = vq f1 1 · · · q fs s ,
para v∈ D∗, q1,· · · , qs∈ D irredut´ıveis com ϕ(q1) <· · · < ϕ(qs). Observe que p1| vq1f1· · · qsfs.
Pelo lema anterior existe i tal que p1| qi. Como ambos s˜ao irredut´ıveis isto significa que existe ai∈ D∗ tal que qi= aip1. Afirmamos que i = i.
De fato, suponha que i > 1. Pelo mesmo argumento existe j tal que p1= bjqj com bj ∈ D∗. Se j = 1, ent˜ao ϕ(p1) = ϕ(q1) < ϕ(qi) = ϕ(p1) o que ´e imposs´ıvel. Se j > 1, ent˜ao ϕ(p1) = ϕ(qi) > ϕ(q1) = ϕ(pi) o que tamb´em ´e imposs´ıvel. Tamb´em temos que ter e1= f1, pois se por exemplo f1> e1, ent˜ao ap´os cancelar p1ter´ıamos que ter q1= apj para j > 1 o que novamente ´e imposs´ıvel.
Dividindo ambos os lados por pe1
1 obtemos uae1 1 p e2 2 · · · perr = vq f2 2 · · · qsfs.
Repetindo o argumento anterior, q2 = a2p2 para a2 ∈ D∗ e e2 = f2, dividindo ambos os lados por pe2
2 obtemos uae1 1 a e2 2 p e3 3 · · · p er r = vq f3 3 · · · q fs s .
Repetindo o argumento obtemos que r = s e para todo i = 1,· · · , r temos que qi= aipi para ai∈ D∗ e
u = vae1
1 · · · aerr.
106 15. AN ´EIS E DOM´INIOS
15.2. Dom´ınios fatoriais
Definic¸˜ao 15.14. Seja D um dom´ınio de integridade. Definimos em D := D× (D \ {0}) a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia:
(a, b)∼ (c, d) se e somente se ad = bc.
SejaK := D/ ∼ o conjunto das classes de equivalˆencia de D. A classe de equivalˆencia do par (a, b) ´e denotada pela fra¸c˜aoab. Definimos emD opera¸c˜oes de soma e produto por a b + c d := ad + bc cd e a b + c d = ac bd. Com estas opera¸c˜oesK ´e um corpo. O inverso de a/b 6= 0 ´e b/a.
Definic¸˜ao 15.15. Sejam A e B dois an´eis (sempre comutativos com elemento neutro para o produto). Uma fun¸c˜ao f : A→ B ´e dita um homomorfismo de an´eis se f (x + y) = f (x) + f (y) e f (xy) = f (x)f (y) para todos x, y∈ A. O n´ucleo N(f) de f ´e definido como o subconjunto dos elementos a∈ A tais que f(a) = 0. Note que 0∈ N(f). Observe tamb´em que N(f) ´e um ideal de A. De fato, se x, y ∈ N(f), ent˜ao f (x + y) = f (x) + f (y) = 0, i.e., x + y∈ N(f). Se x ∈ N(f) e a ∈ A, ent˜ao f (x, y) = f (x)f (y) = 0, i.e., xa∈ N(f).
Lema 15.16. f ´e injetivo se e somente se N (f ) = (0).
Demonstrac¸˜ao. Se f ´e injetivo e x ∈ N(f), ent˜ao f(x) = 0 = f(0), logo x = 0. Se N (f ) = (0) e f (x) = f (y), ent˜ao f (x− y) = 0, i.e., x − y ∈ N(f), i.e.,
x = y.
Observac¸˜ao 15.17. Um homomorfismo f : A→ B ´e dito um isomorfismo se for um homomorfismo bijetivo. Consideremos o homomorfismo de an´eis ϕ : D→ K definido por ϕ(a) := a/1. Este ´e um homomorfismo injetivo, pois se a/1 = 0/1, ent˜ao a = 0. Por isto D ´e isomorfo a sua imagem eK ´e dito o corpo de fra¸c˜oes de D e denotado por fr(D).
Definic¸˜ao 15.18. Um dom´ınio de integridade D ´e dito fatorial quando para todo a∈ D \ {0} podemos escrever a de maneira ´unica
a = upe1
1 · · · p er
r ,
onde u∈ D∗, p1,· · · , pr ∈ D s˜ao irredut´ıveis e e1,· · · , er ≥ 1 s˜ao inteiros, onde a unicidade ´e a menos de multiplica¸c˜ao por um elemento de D∗ou de permuta¸c˜ao dos irredut´ıveis. No caso de um dom´ınio euclideano, a fun¸c˜ao ϕ determina a ordem dos elementos irredut´ıveis, assim n˜ao podemos permut´a-los e a a unicidade ´e a menos de multiplica¸c˜ao por invers´ıveis. Dois elementos a, b ∈ D s˜ao ditos associados (denotado por a∼ b), se a = ub onde u ∈ D∗.
Definic¸˜ao 15.19. Seja D[x] o anel de polinˆomios com coeficientes em D, i.e., s˜ao os elementos da forma
f = n X
i=0
aixi tais que ai∈ D para todo i.
Seja K := fr(D) seu corpo de fra¸c˜oes. O conte´udo c(f ) de f ∈ D[x] ´e definido por c(f ) := mdc(an,· · · , a0).