FECHOS ALG ´ EBRICOS

Demonstrac¸˜ao. Basta fatorar f em fatores irredut´ıveis e usar o teorema para determinar uma extens˜ao finita de K no qual um dos fatores tenha raiz. Esta raiz

ser´a tamb´em raiz de f . 

Corol´ario 17.14. Seja f _{∈ K[x] \ K. Existe uma extens˜ao finita L/K tal que} f fatora-se linearmente em L[x].

Demonstrac¸˜ao. Aplicando o teorema sucessivamente a cada fator irredut´ıvel de f obtemos em cada etapa uma extens˜ao finita do corpo anterior e mais uma raiz do fator. Como o n´umero de fatores ´e finito e o n´umero de ra´ızes em cada fator tamb´em o ´e, pela transitividade de extens˜oes finitas, concluimos que existe L/K

finita como no corol´ario. 

17.4. Fechos alg´ebricos

Definic¸˜ao 17.15. Seja L/K uma extens˜ao de corpos. Definimos AL(K) como o conjunto dos elementos α ∈ L que s˜ao alg´ebricos sobre K. Este conjunto ´e chamado o fecho alg´ebrico de K em L.

Observac¸˜ao 17.16. O conjunto AL(K) ´e um corpo. De fato, basta mostrar que dados α, β_{∈ A}L(K)\ {0}, ent˜ao α + β, αβ, α−1∈ AL(K). Provemos o caso de α + β, os demais s˜ao similares. Por hip´otese K[α] e K[β] s˜ao corpos e K[α]/K e K[β]/K s˜ao finitas. Seja K[α, β] a extens˜ao gerada sobre K por α e β. Considere o seguinte diagrama de corpos.

K[α, β]

/ | \

K[α] K[α + β] K[β]

\ | /

K

A extens˜ao K[α, β] ´e gerada por β sobre K[α]. Como β ´e alg´ebrico sobre K e K⊂ K[α], concluimos que β ´e alg´ebrico sobre K[α]. Logo a extens˜ao K[α, β]/K[α] ´e finita. Pela transitividade de extens˜oes finitas, concluimos que K[α, β]/K ´e finita. Mas, K _{⊂ K[α + β] ⊂ K[α, β]. Logo K[α + β]/K ´e finita, portanto α + β ∈ A}L(K). Exemplo 17.17. Seja K um corpo, L/K extens˜ao e τ _{∈ L transcendente sobre} K. Afirmamos que K ´e algebricamente fechado em K(τ ) = _{{f(τ)/g(τ) | f, g ∈} K[x], g 6= 0}. De fato, se existisse α ∈ K(τ) \ K alg´ebrico sobre K, digamos α = f (τ )/g(τ ), ent˜ao K[α]/K seria finita. Observe que h := f (x)− αg(x) ∈ (K[α])[x] e h(τ ) = 0, ou seja, τ ´e alg´ebrico sobre K[α]. Portanto, K(τ ) = (K[α])[τ ] ´e alg´ebrico sobre K, mas isto ´e imposs´ıvel, pois τ ´e transcendente sobre K.

Definic¸˜ao 17.18. Dizemos que um corpo K ´e algebricamente fechado, se todo f _{∈ K[x] \ K possui uma raiz α ∈ K.}

A seguinte proposi¸c˜ao ´e uma conseq¨uˆencia direta desta defini¸c˜ao, da fatora¸c˜ao de polinˆomios e da defini¸c˜ao sobre elementos alg´ebricos.

Proposic¸˜ao 17.19. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes.

128 17. EXTENS ˜OES ALG´EBRICAS

(2) Todo f ∈ K[x] \ K fatora-se como produto de polinˆomios lineares. (3) Todo f ∈ K[x] irredut´ıvel tem grau 1.

(4) N˜ao existe extens˜ao L) K alg´ebrica.

O primeiro exemplo de corpo algebricamente fechado ´eC.

Teorema 17.20 (teorema fundamental da ´Algebra). [Lins, p.199, corol´ario 4]

O corpo C ´e algebricamente fechado.

Exemplo 17.21. Seja f∈ R[x]. Mostremos que grau(f) = 1 ou 2. Seja β ∈ C uma raiz de f . Ent˜ao f = P_β|R e como R ⊂ R[β] ⊂ C, e [C : R] = 2, ent˜ao grau(f ) = 1 ou 2.

Definic¸˜ao 17.22. Sejam K_{⊂ Ω corpos com Ω algebricamente fechado. Dize-} mos que AΩ(K) ´e um fecho alg´ebrico de K.

Definic¸˜ao 17.23. Sejam K um corpo e I um conjunto qualquer de ´ındices. O anel de polinˆomios K[xI] em vari´aveis xi parametrizadas por elementos i ∈ I ´e definido como sendo o conjunto de polinˆomios f com coeficientes em K em um n´umero finito de vari´aveis xi1,· · · , xin, para i1,· · · , in∈ I.

Teorema 17.24. Para todo corpo K existe um corpo Ω ⊃ K algebricamente

fechado.

Demonstrac¸˜ao. Seja _{P o conjunto dos polinˆomios irredut´ıveis mˆonicos em} K[x]. Seja R o anel R := K[x_P]. Considere o ideal p de R gerado pelo conjunto {P (xP)| P ∈ P}. Este ideal ´e pr´oprio, caso contr´ario existiriam P1,· · · , Pr ∈ P e G1,· · · , Gr∈ K[xP1,· · · , xPr]⊂ R tais que

r X

i=1

P (xPi)Gi(xP1,· · · , x(Pr)) = 1.

Mas pelo corol´ario 17.14 existe uma extens˜ao finita L/K tal que P1. . . Prfatora-se linearmente em L. Para cada 1_{≤ i ≤ r seja α}i∈ L uma raiz de Pi. Logo

1 = r X

i=1

P (αi)Gi(α1,· · · , αr) = 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao.

Pelo lema de Krull, existe m( R ideal maximal contendo p. Considere o homo- morfismo quociente ϑ : R→ R/m. A restri¸c˜ao κ de ϑ a K induz um isomorfimso de corpos κ : K _{→ K := ϑ(K). Pelo lema da duplica¸c˜ao existe uma extens˜ao L}1/K e um isomorfismo de corpos λ : L1→ R/m estendendo κ. Como na demonstra¸c˜ao do teorema 17.12 αP := ϑ(xP) ´e uma raiz de ϑ∗(P ), e a fortiori λ−1(αP)∈ L1 ´e uma raiz de P . Dessa forma construimos uma extens˜ao L1/K na qual todo elemento de P possui uma raiz.

Prosseguindo indutivamente, contruimos uma seq¨uˆencia de corpos L0:= K⊂ L1⊂ L2⊂ · · · ⊂ Ln⊂ · · ·

tais que todo polinˆomio irredut´ıvel mˆonico em Lj[x] possui uma raiz em Lj+1. Seja Ω := S

j≥1Lj. Este conjunto ´e um corpo contendo K e afirmamos que ´e algebricamente fechado. De fato, dado f ∈ Ω[x] \ Ω, este fatora-se linearmente em algum Lj[x] para j suficientemente grande. Portanto, por constru¸c˜ao, f possui raiz

17.4. FECHOS ALG ´EBRICOS 129

Corol´ario 17.25 (existˆencia de fecho alg´ebrico). Todo corpo K possui um

fecho alg´ebrico.

Demonstrac¸˜ao. Pelo teorema anterior existe extens˜ao Ω/K tal que Ω ´e al- gebricamente fechado, portanto AΩ(K) ´e um fecho alg´ebrico de K.  Teorema 17.26. Sejam K, K′ _{corpos, κ : K→ K}′ _{um isomorfismo de corpos,} L/K, L′_/K′ _{extens˜oes de corpos, α ∈ L (resp. α}′ _{∈ L}′_{) alg´ebrico sobre K (resp.}

alg´ebrico sobre K′_{). As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes.}

(1) O isomorfismo κ estende-se a um isormorfismo de corpos κα : K[α] → K′_[α′_{] tal que κ}

α(α) = α′. (2) κ∗_(P

α|K) = Pα′_|K′.

Demonstrac¸˜ao. Suponha (1). Ent˜ao κ∗_(P

α|K)(α′) = κα(P_α|K(α)) = 0, em particular κ∗_(P

α|K)| Pα′_|K′. Mas estes dois polinˆomios s˜ao irredut´ıveis mˆonicos.

Portanto vale a igualdade.

Suponha (2). Sabemos que K[α] ∼= K[x]/(P_α|K) e K′[α′] ∼= K′[x]/(Pα′_|K′).

Assim, compondo os isomorfismos abaixo encontramos κα :

K[α]_−→∼= K[x] (P_α|K) κ −→ _(PK′[x] α′_|K′) ∼ = −→ K′[α′].  Definic¸˜ao 17.27. Sejam L e L′ _{extens˜oes de K e λ : L→ L}′ _{um isomorfismo} de corpos. Dizemos que λ ´e um K-isomorfismo, se λ_|K for a identidade.

Em particular, tomando K = K′, κ a identidade e L = L′ obtemos o corol´ario. Corol´ario 17.28. Sejam L/K uma extens˜ao de corpos e α, α′ _{∈ L alg´ebricos}

sobre K. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes.

(1) Existe um K-isomorfismo K[α]_{→ K[α}′_{] tal que α7→ α}′_. (2) P_α|K = Pα′_|K′.

Definic¸˜ao 17.29. Sejam L/K uma extens˜ao e α, β _{∈ L alg´ebricos sobre K.} Dizemos que α ´e K-conjugado a β (denotamos por α_∼K β), se Pα|K = Pβ|K. Esta no¸c˜ao independe da escolha da extens˜ao L/K. O conjunto _Cα dos K-conjugados de α ´e finito, pois #_Cα≤ grau(Pα|K).

Proposic¸˜ao 17.30. Seja L/K uma extens˜ao alg´ebrica. Todo K-endomorfismo de L ´e tamb´em um K-isomorfismo de L.

Demonstrac¸˜ao. Seja σ um K-endomorfismo de L. Observe que para todo α_{∈ L temos σ(C}α) ⊂ Cα, pois Pα|K(σ(β)) = β(Pα|K(β)) = 0. Mas Cα ´e finito e σ ´e injetivo (pois ´e n˜ao nulo). Logo σ_Cα ´e uma bije¸c˜ao de um conjunto finito nele

mesmo. A fortiori, σ ´e sobrejetiva e σ ´e um K-automorfismo de L.  Teorema 17.31 (extens˜ao de homomorfismos). Sejam L/K uma extens˜ao alg´ebrica e κ : K→ Ω um homomorfismo de corpos com Ω algebricamente fechado.

Ent˜ao existe λ : L→ Ω um homomorfismo de corpos estendendo κ.

Demonstrac¸˜ao. Suponha inicialmente que L = k[α] para algum α∈ L. Seja α′ _{∈ Ω uma raiz de κ}∗_(P

α|K). Assim, κ∗(Pα|K) = Pα′_|K′, onde K′ := κ(K). Pelo

teorema 17.26, existe um homomorfismo de corpos λ : L→ Ω estendendo κ tal que λ(α) = α′_.

130 17. EXTENS ˜OES ALG´EBRICAS

No caso geral, consideramos o conjunto M de pares ordenados (L′_{, λ}′_{) forma-} dos por extens˜oes L′_{/K contidas em L e homomorfismos de corpos λ}′ _{: L}′ _{→ Ω} estendendo κ. Definimos uma ordem parcial em M por

(L′_{, λ}′_{)≤ (L}′′_{, λ}′′_{) se e somente se L}′ _{⊂ L}′′_{e λ}′_{= λ}′′ |L′.

O conjunto M ´e indutivo. De fato, se L :={(Lj, λj)| j ∈ J} ⊂ M for um subcon- junto totalmente ordenado, ent˜ao o corpo

LJ:= [

j∈J Lj

´e um subcorpo de L e definindo λJ em cada Lj por λJ := λj obtemos (por constru¸c˜ao) um homomorfismo de corpos λJ : LJ → Ω. Al´em disto, temos que (Lj, λj)≤ (LJ, λJ) para todo j∈ J. Assim, (LJ, λJ) ´e um limite superior para M. Pelo lema de Zorn, o conjunto M admite elemento maximal ( ˜L, ˜λ).

Afirmamos que ˜L = L. De fato, caso contr´ario, se α ∈ ˜L\ L, utlizando a primeira parte da prova, poder´ıamos estender ˜λ a um homomorfismo de corpos

˜

L(α)_{→ Ω, o que ´e uma contradi¸c˜ao.} 

Teorema 17.32 (unicidade a menos de isomorfismo). Seja K um corpo. Supo-

nha que Ω e Ω1 sejam corpos algebricamente fechados contendo K. Ent˜ao AΩ(K)

e AΩ1(K) s˜ao K-isomorfos.

Demonstrac¸˜ao. Pelo teorema anterior, existe um K-homomorfismo λ : AΩ(K) → Ω1. ´E claro que a imagem de λ est´a contida em AΩ1(K). Por outro

lado para todo α1∈ AΩ1(K) e toda raiz α∈ Ω de Pα1|Ktemos que Pα|K = Pα1|K.

Logo, pelo teorema 17.26, concluimos que existe um K-isomorfismo K[α]_{→ K[α}1] tal que α_{7→ α}1. Em particular, λ(AΩ(K)) = AΩ1(K). 

Exemplo 17.33. A motiva¸c˜ao para o teorema anterior vem da seguinte situa- ¸c˜ao. Uma maneira de construir R a partir de Q ´e adicionar a Q os limites de seq¨uˆencias de Cauchy de elementos de Q (ver [Li]). Por isto dizemos que R ´e o completamento deQ.

Note-se entretanto que est´a impl´ıcito na discuss˜ao anterior que estamos uti- lizando para a no¸c˜ao de limite o valor absoluto usual dos n´umeros racionais. Tal valor absoluto ´e arquimediano, ou seja satisfaz a desigualdade triangular_{|x + y| ≤} |x| + |y|. Por isto vamos dizer que R ´e o completamento arquimediano de Q. Na linguagem da geometria aritm´etica moderna, o valor absoluto arquimediano nada mais ´e que o primo no infinito que compatifica o conjunto (esquema) Spec(Z) dos ideais primos deZ.

Porque dizemos isto? Para cada n´umero primo p, pela unicidade da fatora¸c˜ao de n´umeros inteiros em produto de n´umeros primos, para todo x∈ Q existe um ´unico ordp(x)∈ Z tal que x = pordp(x)x′, onde nem o numerador nem o denominador de x′_{∈ Q s˜ao divis´ıveis por p. Isto permite definir o seguinte valor absoluto (chamado} de p-´adico)

|x|p:= p−ordp(x).

Este valor absoluto ´e n˜ao arquimediano, ou seja, vale uma propriedade mais forte que a propriedade triangular,|x + y|p ≤ max(|x|p,|y|p).

Repetimos o procedimento de constru¸c˜ao deR a partir de Q e acrescentamos a Q os limites de seq¨uˆencias de Cauchy (com respeito ao valor absoluto p-´adico). O

17.4. FECHOS ALG ´EBRICOS 131

conjunto obtido ´e o corpoQpdos n´umeros p-´adicos. Uma outra forma de representar um elemento deQp´e atrav´es de uma “s´erie de Laurent”

x =X i≥n

aipi,

onde n_{∈ Z e 0 ≤ a}i< p ´e inteiro para todo i. Assim, Qp ´e o completamento deQ com respeito ao valor absoluto p-´adico.

Pelo teorema 17.24 existe um corpo algebricamente fechado contendo R, por exemploC, e um corpo algebricamente fechado (at´e completo, mas isto n˜ao segue do teorema, ver [Kob]) Cp contendo Qp. Assim, ter´ıamos por um lado o fecho alg´ebrico AC(Q) de Q en C (chamado o corpo de todos os n´umeros alg´ebricos e denotado por Q) e o fecho alg´ebrico ACp(Q) de Q em Cp. O que o teorema nos

diz ´e que apesar destes dois fechos alg´ebricos serem subcorpos de corpos distintos (os valores absolutos s˜ao diferentes), eles s˜aoQ-isomorfos. Isto nos permite usar a nota¸c˜aoQ sem ambuiguidade.

Nos t´opicos adicionais comentaremos sobre um grupo ligado a Q e um dos objetos mais importantes da aritm´etica (bastante misterioso, ainda) o grupo de Galois absoluto deQ.

CAP´ıTULO 18