Ancoragem e organização da unidade de ensino

O Programa de Matemática do Ensino Básico enuncia “Funções, Sequência e Sucessões” como um dos domínios de estudo para os alunos do 8.º ano de escolaridade. É justamente neste domínio que se enquadra o subtópico “Gráficos de Funções Afins” que foi trabalhado com os alunos nesta minha primeira experiência de ensino de uma unidade didática.

Como frisei anteriormente, apoiada pelos autores Ponte, Branco e Matos (2009), o conceito de função é central no currículo da Matemática, tendo o tema “Funções” uma evolução gradual quanto à complexidade com o avanço nos níveis de ensino. É precisamente no 7.º ano de escolaridade que é feita a primeira abordagem à temática “Funções”. Na introdução a este tema, as orientações curriculares do PMCEB (MEC, 2013) perspetivam que seja feita a abordagem inicial ao conceito e à definição de função, incluindo a representação de funções em diagramas de setas, tabelas e gráficos cartesianos, trabalhando também a função constante, a linear e a afim e as operações com funções. É ainda normativo o estudo da função de proporcionalidade direta e a resolução de problemas em contextos diversificados. Faz também parte desta unidade a abordagem à definição de sequência e de sucessão.

Para as orientações curriculares do 8.º ano, o PMCEB (MEC, 2013) indica para o domínio “Funções, Sequências e Sucessões” o estudo dos “Gráficos de Funções Afins”, tema que sustenta a prática letiva mencionada neste trabalho. O estudo do tema “Funções” continuará no 9.º ano de escolaridade, para o qual o PMCEB (MEC, 2013) preconiza o estudo das funções algébricas, envolvendo a função de proporcionalidade inversa e equações do 2.º grau.

Considerando a planificação anual para a disciplina de Matemática do 8.º ano acordada pelo Departamento de Matemática desta escola, antes da abordagem ao subtópico “Gráficos de Funções Afins” virá o estudo da resolução analítica de sistemas

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de duas equações do 1.º grau com duas incógnitas, seguindo-se ao estudo dos gráficos de funções afins a resolução dos referidos sistemas pelo método gráfico.

O grande objetivo preconizado pelo PMCEB (MEC, 2013) para o estudo do subtópico “Gráficos de Funções Afins” é a identificação das equações das retas no plano e a resolução de problemas em diversos contextos. Assim, realço a escolha do tema do estudo que pretendo desenvolver e da opção pelo foco na resolução de problemas.

Destaco o modo como a resolução de problemas é um meio privilegiado de aprendizagem para os alunos e para que estes possam articular conteúdos e estabelecer conexões – sendo a resolução de problemas, com ou sem o recurso ao GeoGebra, uma via para esta aprendizagem, como expressam diversos autores (NCTM, 2008; Pólya, 1967). Assim, na planificação da unidade de ensino, tentei incluir a resolução de problemas e a tecnologia como recursos à aprendizagem matemática dos alunos.

Para que possa cumprir as minhas intenções, e atendendo ao contexto particular desta turma, com cinco professores de Matemática ao longo do ano letivo transato, foi essencial perceber se existiam conteúdos que precisassem ser clarificados ou consolidados. Assim, considerei de todo pertinente a realização de uma ficha de diagnóstico (Anexo 1.1) contemplando os elementos estruturais do tópico “Funções”, à partida trabalhados e consolidados no 7.º ano. Deste modo, os alunos da turma realizaram uma ficha de diagnóstico na última semana de aulas do segundo período escolar. A observação e análise das produções escritas dos alunos (Anexo 1.2) na referida ficha foi um elemento indiciador do que precisa ser trabalhado com os alunos, para que a aprendizagem deste tema seja feita de forma sólida, bem como, forneceu dados importantes para ajustar a planificação da unidade de ensino – e nos quais me apoiei para fazê-lo.

Apesar do propósito maior deste trabalho se centrar na resolução de problemas com a função afim, os aspetos conceptuais não podem ser descurados para que os alunos possam realizar aprendizagens sólidas. Assim, outra das preocupações nesta unidade, para além da resolução de problemas, é trabalhar a representação gráfica da função afim (incluindo o estudo da função constante e linear); abordar a relação entre função de proporcionalidade direta e linear, e tentar tirar partido desta conexão para a abordagem à noção de declive, sendo também trabalhado o seu cálculo analítico e interpretação geométrica. Adicionalmente, é também trabalhada a noção de ordenada na origem, incluindo a sua interpretação geométrica; bem como é feito o estudo das retas

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não verticais como gráficos de funções afins. Outro aspeto importante da lecionação desta unidade de ensino é a interpretação da variação dos parâmetros a e b na representação de uma equação do tipo y=ax+b. Por fim, considerei de toda a conveniência dar espaço à resolução de problemas com a função afim (em sentido lato) em contextos diversos, ao longo da unidade de ensino.

O Quadro 1 sistematiza as linhas orientadoras na planificação para a lecionação da unidade de ensino “Gráficos de Funções Afins”, que não sendo a primeiramente elaborada, resultou dos ajustes necessários ao longo da intervenção letiva.

A unidade de ensino teve início na primeira aula do 3.º período escolar do ano letivo 2015/2016, prolongando-se ao longo de sete aulas de 90 minutos e quatro de 45 minutos (num total de 18 tempos de 45 minutos), decorrendo ao longo do mês de abril.

Quadro 1 – Esquema geral da planificação da unidade de ensino. Tópico: Funções, Sequências e Sucessões

Subtópico: Gráficos de funções afins

Aula Tópicos da aula Objetivos Tarefas Aula 0

16 março (45 minutos)

- Ficha de diagnóstico. - Identificar aprendizagens dos alunos no subtópico “funções” do 7.º ano.

- Ficha de diagnóstico 1.ª aula 4 abril (90 minutos) - Conceito e definição de função; - A função de proporcionalidade direta; - A função linear; - A representação gráfica: a função de proporcionalidade direta e a função linear; - A função constante.

- Relacionar situações de proporcionalidade direta com funções de proporcionalidade direta;

- Relacionar funções de proporcionalidade direta com funções lineares;

- Recordar as representações de uma função linear: numérica, algébrica e gráfica; - Reconhecer a constante de

proporcionalidade em diferentes contextos: múltiplas representações;

- Interpretar uma função constante.

- Ficha de Trabalho n.º1 2.ª aula 6 abril (45 minutos) - A função linear; - A noção de coeficiente de numa função linear; - Gráfico de uma função linear.

- Interpretar a expressão algébrica e a representação gráfica de uma função linear; - Reconhecer e interpretar o coeficiente de na função linear;

- Representar graficamente uma função linear. - Ficha de Trabalho n.º2 3.ª aula 7 abril (90 minutos) - A função afim; - A noção de coeficiente de e de termo;

independente, numa função afim;

- Recordar as representações de uma função linear: numérica, algébrica e gráfica; - Representar algebricamente e graficamente uma função afim;

- Relacionar funções lineares com funções

- Ficha de Trabalho n.º3

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afim.

afins;

- Reconhecer a imagem de um como coeficiente de , dada uma função linear; - Resolver problemas com as funções lineares e afins. 4.ª aula 11 abril (90 minutos) - A função afim em diferentes representações; - Noção de declive, de ordenada na origem e respetivas interpretações geométricas. - Representar algebricamente e graficamente uma função afim;

- Relacionar funções lineares e funções afins;

- Reconhecer o gráfico de uma função afim como a translação do gráfico de uma função linear segundo um vetor;

- Reconhecer, dada uma função linear, a imagem de um como coeficiente de ; - Identificar que as retas não verticais que passam na origem representam gráficos de funções lineares;

- Interpretar a função linear e a função afim atendendo a diferentes contextos;

- Resolução de problemas com a função afim, com recurso ao software GeoGebra; - Recordar as noções de declive e ordenada na origem;

- Identificar geometricamente e algebricamente a ordenada na origem; - Identificar geometricamente o declive de uma reta;

- Recordar a noção de paralelismo.

- Ficha de Trabalho n.º3 (continuação) - Tarefa “Funções no GeoGebra” 5.ª aula 13 abril (45 minutos) - A função afim.

- Consolidar as noções de declive e ordenada na origem;

- Consolidar a noção de gráfico de uma função afim como translação de uma função linear, e reciprocamente;

- Representar algebricamente e graficamente uma função afim;

- Representar algebricamente uma função afim, dada a representação gráfica de uma função linear com o mesmo coeficiente; - Determinar a interseção do gráfico de uma função afim com os eixos coordenados.

- Tarefa “Funções no GeoGebra” (continuação) 6.ª aula 14 abril (90 minutos) - Cálculo analítico do declive; - Paralelismo de retas; - A reta não vertical.

- Identificar o coeficiente de uma função linear como o declive de uma reta; - Consolidar a noção de que as retas não verticais que passam na origem representam gráficos de funções lineares;

- Reconhecer e calcular o declive de uma reta como , para e

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pontos da reta, e ; - Reconhecer retas paralelas como retas que têm o mesmo declive.

7.ª aula

18 abril (90 minutos)

- A função afim nas diferentes representações. - Gráficos de funções afins.

- Consolidar o cálculo analítico do declive de uma reta;

- Resolver problemas com a função afim, com recurso ao software GeoGebra; - Reconhecer, a representação gráfica de uma reta com declive negativo.

- Tarefa “Um passeio de bicicletas” 8.ª aula 20 abril (45 minutos)

- Gráficos de funções afins; - A reta vertical e a reta horizontal.

- Consolidar a noção de declive de uma reta;

- Identificar que todos os pontos de uma reta vertical têm a mesma abcissa;

- Reconhecer a equação de uma reta vertical como e que essa reta passa no ponto de coordenadas ;

- Reconhecer que o declive da reta horizontal é nulo.

9.ª aula

21 abril (90 minutos)

- Gráficos de funções afins.

- Interpretar a função em diversas representações;

- Consolidar a noção de declive;

- Resolver problemas com a função afim; - Determinar a ordenada na origem recorrendo a um outro ponto da reta.

- Ficha de Trabalho n.º 4 10.ª aula 27 abril (45 minutos)

- Gráficos de funções afins.

- Consolidar os conteúdos da temática “Gráficos de Funções Afins”;

- Esclarecimento de dúvidas para a ficha de avaliação sumativa.

11.ª aula

28 abril (90 minutos)

- Dízimas finitas e infinitas periódicas;

- Equações do 2.º grau; - Gráficos de funções afins.

- Realização do teste de avaliação sumativa.

- Ficha de avaliação sumativa