V ANTAGENS DE U TILIZAÇÃO DOS M ÉTODOS DE M ALHA A DAPTATIVA

A grande vantagem deste tipo de métodos consiste no facto do movimento dos nodos possibilitar uma grande economia de esforço computacional para problemas que exibam soluções com descontinuidades móveis, superfícies de contacto e correntes deslizantes, já que, nestes casos, apenas uma pequena região do domínio necessita de baixos tamanhos de malha. Assim, a utilização de malhas fixas uniformes implica uma menor separação entre nodos de modo a se obter erros de truncatura aceitáveis em zonas de gradientes elevados. No entanto, estas separações são muito menores do que as necessárias para as regiões de baixo gradientes, conduzindo a um grande

desperdício de esforço computacional. De qualquer modo, desde que a solução não exiba essas características, os métodos de malha fixa revelam-se perfeitamente satisfatórios, já que são menos complexos que os métodos de malha adaptativa. A resolução apropriada de uma onda de choque requer que a separação nodal na sua vizinhança seja algumas vezes menor que a espessura do choque. Geralmente, esta espessura está directamente relacionada com o valor dos coeficientes associados a termos difusivos (segundas derivadas espaciais) presentes nas PDE’s do problema, sendo frequentemente da ordem de grandeza destes. Portanto, a redução dos coeficientes de segunda ordem, implica um reforço do carácter hiperbólico do problema e uma consequente diminuição da espessura da onda propagada. Para se evitar declives infinitos, ou seja, descontinuidades sem significado físico, os coeficientes terão de ser não nulos. O uso de métodos adaptativos possibilita a utilização de tamanhos de malha locais muito menores e consequentemente, a aplicação de coeficientes de segunda ordem menores (fisicamente, mais realistas) com ondas de choque bastante mais finas do que pode ser usado, geralmente, no caso de métodos não adaptativos. É de notar, igualmente, que no caso em que os nodos se movimentem com a frente, podem ser introduzidos passos temporais consideravelmente maiores dos que são possíveis de aplicar no caso de métodos de malha fixa não uniforme.

De modo a concretizar estas vantagens dos métodos adaptativos, relembra-se a equação de Burgers unidimensional,

2 2 x u x u u t u ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂

_ε

, (1.55)

sujeita às condições fronteira:

( )

( )

   = = R L u t u u t u , 1 , 0 ; (2.78)

e à condição inicial: u(x,0) = u0(x). (2.79)

Segundo Herbst, 1982[100] é necessário que, na zona do choque propagado, o passo espacial h seja aproximadamente igual a

ε

para que a solução obtida seja estável. Caso contrário, os perfis de ∂u/∂x tornam-se oscilatórios. Portanto, se se pretender a

utilização de um método de malha fixa, é necessário que o espaçamento nodal em todo o domínio seja aproximadamente

ε

. Pelo contrário, através da aplicação de um método adaptativo, tal não se torna necessário, já que os nodos tenderão idealmente a concentrar-se na região da onda abrupta, satisfazendo assim a condição de estabilidade (h ≈

ε

). Nas outras zonas do domínio, onde o perfil da solução é suave, a malha pode ser mais larga.

Considere-se um exemplo específico do modelo geral 1.55 com as condições fronteira:

uL = uR = 0; e a condição inicial,

( )

x

( )

x

( )

x

u ,0 =1 2sin

π

+sin 2

π

. (2.80)

A resolução deste modelo é problemática e difícil de obter através da utilização de um método não adaptativo, devendo-se tal facto, essencialmente ao tipo de condição inicial considerado. O comportamento da solução pode ser resumido da seguinte forma: partindo da onda sinusoidal inicial, cada uma das secções desta (positiva e

para t ≈ 0.2, cuja espessura é proporcional ao valor do coeficiente de difusão

ε

; a partir deste instante, a frente desloca-se para a direita (na direcção positiva de x), ao mesmo tempo que a sua amplitude se reduz progressivamente; por volta de t ≈ 1.4, já depois da secção negativa da frente ter desaparecido, esta embate na fronteira direita (x = 1), mantendo-se nessa posição onde se desvanece lentamente. Deste modo, a maior dificuldade na integração deste modelo consiste na definição correcta da frente formada pela solução, e do seu movimento posterior. Neste caso, esta terá uma espessura da ordem de

ε

= 1×10-3, exigindo que o espaçamento entre os nodos situados nas regiões onde a frente se forma e se desloca, não seja muito superior a esse valor. Assim, se se pretender integrar este modelo numa malha fixa, esta terá de ser necessariamente bastante fina, provocando um esforço computacional excessivo na integração do modelo.

De forma a ilustrar esta questão apresenta-se um exemplo de resolução numérica do modelo 1.55 retirado de Brito, 1998[94]. Assim, aplica-se na solução do problema o procedimento MOL descrito acima através do recurso a discretizações de diferenças finitas (FD) de quarta ordem centradas (aproximação FD centrada com 5 nodos) sobre uma malha uniforme fixa de 41 nodos. No caso das posições situadas junto às fronteiras onde a geometria centrada não pode ser usada sem a introdução de fronteiras falsas, optou-se por utilizar a aproximação de quarta ordem de geometria disponível baseada no conjunto de 5 nodos mais próximos do nodo de interesse. É manifestamente notório o desenvolvimento de forte dispersão numérica que irradia a partir da região onde se deveria formar a frente abrupta inicial (vd. Figura 2.21A). Os erros são propagados e amplificados em cada passo numérico executado. Desta forma, a prossecução do processo de integração numérica torna-se impossível a partir de t ≈ 0.2, devido à instabilidade introduzida do sistema de ODE’s.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x u t = 0 t = 0.04 t = 0.08 t = 0.12 t = 0.16 t = 0.20 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x u t = 0 t = 0.04 t = 0.08 t = 0.12 t = 0.16 t = 0.19 A B

Figura 2.21 Resultados da equação de Burgers obtidos através da aplicação de um MOL não adaptativo: A – discretização espacial de Diferenças Finitas Centradas de 4ª ordem; B – discretização espacial de Diferenças Finitas biased upwind de 4ª ordem[94].

Por outro lado, testou-se a aplicação do mesmo procedimento MOL mas agora com fórmulas de discretização FD de quarta ordem biased upwind (três nodos à esquerda e um nodo à direita do nodo de interesse) numa malha fixa e uniforme de 41 nodos. Os resultados obtidos nestas condições são apresentados na Figura 2.21B. Novamente se observa o desenvolvimento de instabilidade na solução a partir do tempo t ≈ 0.15, perfeitamente constatada pela ocorrência de fortes oscilações de amplitude crescente nos perfis. As oscilações (cuja amplitude é superior à observada no caso anterior) são predominantemente negativas e ocorrem na secção do domínio situada após a frente

(ao contrário do que sucedia no caso anterior). Por outro lado, verifica-se que, enquanto foi possível efectuar o avanço temporal da integração (até t = 0.19) a formação da zona superior da frente ocorre de uma forma relativamente normal. Assim, é possível concluir-se que este esquema de diferenças se revela mais adequado que o anterior para a zona do domínio anterior à frente, já que aí a velocidade da onda é positiva. Do mesmo modo, verifica-se que este esquema é absolutamente inadequado para a região negativa dos perfis, onde uma discretização de diferenças finitas adiantadas ou downwind seria a mais indicada.

Por análise dos resultados obtidos, é possível concluir que o método de Diferenças Finitas fixas não conduz a resultados aceitáveis, principalmente quando aplicado a modelos caracterizados por termos advectivos não lineares, associados a termos difusivos de influência reduzida. Por outro lado, se se partir de soluções iniciais caracterizadas por advecção, este tipo de equações tendem a desenvolver frentes abruptas móveis de espessura múltipla do factor de difusão (

ε

) que somente seriam resolvidas satisfatoriamente por este tipo de estratégia se se utilizassem grelhas de espaçamento muito reduzido, o que implicaria esforços computacionais incomportáveis. O aparecimento de instabilidade e a consequente dificuldade na integração é o resultado de estimativas oscilatórias da segunda derivada de valor absoluto progressivamente mais elevado, resultantes do desenvolvimento da frente abrupta. -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x u t = 0 t = 0.20 t = 0.40 t = 0.80 t = 1.20 t = 1.60 t = 2.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x n t = 0 t = 0.20 t = 0.40 t = 0.80 t = 1.20 t = 1.60 t = 2.00 A B -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x u t = 0 t = 2 t = 4 t = 6 t = 8 t = 10 C

Figura 2.22 Resultados da equação de Burgers obtidos através da aplicação de um MOL adaptativo – AMOL: A – até t = 2; B – nível máximo de refinamento atingido pelos nodos da malha original de nível 2; C – até t = 10[94].

obtidos pela aplicação de um MOL adaptativo (AMOL) baseado no sucessivo refinamento uniforme de uma malha inicial igualmente espaçada com 41 nodos. A estratégia adaptativa é descrita em pormenor em [94], e é controlada pela comparação entre a solução numérica obtida através da integração temporal (num intervalo de tempo pré-especificado) do problema discretizado sobre duas malhas equidistribuídas de nível sucessivo (uma malha fina construída pela colocação de nodos adicionais nas posições intermédias dos intervalos de uma malha esparsa de nível imediatamente inferior). Este processo é executado iterativamente até se atingir o grau de precisão pretendido, sem ultrapassar o nível de malha máximo admissível. Assim, o recurso a um método adaptativo possibilita os resultados numéricos resumidos na Figura 2.22. Ao contrário do constatado para o caso dos resultados não adaptativos, observa-se agora a notória capacidade do algoritmo adaptativo de simular satisfatoriamente a formação e a propagação da frente abrupta (vd. Figura 2.22B), ilustrando as vantagens da aplicação do conceito de adaptação na resolução deste tipo de problemas.

Em todos os casos apresentados nesta secção utilizou-se o integrador implícito DASSL (vd. Anexo C) para a implementação do avanço temporal MOL da solução.

No documento Métodos numéricos adaptativos para a resolução de modelos multidimensionais em Engenharia Química (páginas 117-121)