E STRATÉGIAS G ERAIS DE A DAPTAÇÃO A PLICADAS À R ESOLUÇÃO DE PDE’S

No campo da resolução numérica de PDE’s, a aplicação dos conceitos de geração ou de adaptação de malha relaciona-se com os objectivos seguintes:

• p-refinement – ajuste das ordens associadas às funções de aproximação.

• r-refinement – introdução de movimentação nodal através da introdução do deslocamento espacial das posições dos nodos que constituem a malha.

Estas estratégias representam classes diferentes de métodos adaptativos que não são de todo mutuamente exclusivas, podendo ser combinadas no desenvolvimento de algoritmos mistos (e.g. hp-refinement que associa a capacidade de refinamento e relaxação das malhas com a adaptação das ordens correspondentes às funções base de aproximação).

Por outro lado, os métodos de malha adaptativa podem ser classificados em dois grandes grupos:

• Métodos de Redistribuição Nodal Estática (MRNE).

• Métodos de Redistribuição Nodal Dinâmica (MRND).

Os MNRE caracterizam-se pelo facto da malha ser redefinida em intervalos de tempo previamente fixados a partir de estimativas de erro local, com critérios de equidistribuição. Incluem duas abordagens distintas, relacionadas com:

• Redistribuição nodal – redefinição do posicionamento dos nodos após um intervalo de tempo de integração pré-definido, mantendo-se constante o seu número total.

• Refinamento ou relaxamento de malha – adição ou supressão de nodos em posições intermédias da malha inicial; esta estratégia consiste simplesmente na relaxação ou refinamento da malha através do uso de nodos suplementares e está directamente relacionada com os procedimentos designados por h- refinement.

O algoritmo de obtenção da solução é completamente independente do algoritmo de redefinição da malha. No caso de alteração desta, efectua-se a transferência entre malhas, calculando-se os valores da solução na nova malha por interpolação, utilizando a informação proveniente da anterior.

Por outro lado, nos MRND, ou de r-refinement, os dois algoritmos são interdependentes, avaliando-se a solução e a malha conjuntamente e continuamente ao longo do tempo. A introdução do movimento nodal pode seguir vários critérios, tais como:

• Equidistribuição do integral de medidas de erro baseadas em propriedades características da solução;

• Minimização do integral de indicadores de erro local;

• Aplicação de pseudoforças de atracção e repulsão entre nodos.

Uma desvantagem dos MRND, referida por Dwyer et al.[93], baseia-se no facto da computação simultânea das posições dos nodos e da solução transformar um problema linear num não linear ou, frequentemente, dificultar a resolução dum problema inicialmente não linear. Porém, para problemas stiff, a utilização de MRNE pode provocar instabilidade se os passos espaciais não forem suficientemente reduzidos.

A aplicação de adaptação na área específica da resolução de PDE’s tem já algumas décadas e a quantidade e variedade de métodos propostos é bastante extensa[94-95]. No entanto, pode-se afirmar que os objectivos essenciais do procedimento adaptativo são sempre os mesmos, ou seja, a construção ou geração de malhas que sucessivamente permitam a concentração de nodos nas regiões do domínio onde a solução manifeste maior actividade (i.e. exiba gradientes mais elevados) e a dispersão de nodos nas regiões restantes, acompanhando de forma eficiente a evolução das características problemáticas da solução. Assim, os critérios de adaptação mais comuns referidos anteriormente, quer para MRNE’s como para MRND’s, são discutidos de um modo mais pormenorizado na secção 2.5.

A aplicação do conceito de adaptação no contexto da estratégia MOL é perfeitamente trivial. A estrutura do método possibilita que o primeiro passo de discretização espacial (ou de geração da malha espacial) seja passível de ser associado a uma estratégia de adaptação estática, geralmente caracterizada por redefinições sucessivas da malha. Por outro lado, o segundo passo, geralmente associado à integração temporal pode igualmente ser completado com técnicas dinâmicas de movimentação de malha. Deste modo, é relativamente simples afectar o algoritmo clássico MOL com qualquer tipo de método adaptativo de forma a se construir uma estratégia AMOL (Adaptive Method Of Lines).

No âmbito da discussão do conceito de adaptação importa referir resumidamente uma aplicação recente de adaptabilidade baseada numa lógica mais geral e alargada, designada por Algorithm Refinement (AR). AR consiste num paradigma emergente no campo da modelação e simulação de problemas multiescala. Uma forma eficiente de resolver este tipo de problemas consiste em executar cálculos mais sofisticados, através de um algoritmo complexo e dispendioso, apenas nas regiões do problema onde estes se revelem absolutamente necessários, e acoplar este processo a um método mais simples (menos exigente) que pode ser usado no domínio restante. Estes métodos ditos “híbridos” associam tipicamente (pelo menos) dois esquemas computacionais diferentes (do ponto de vista estrutural e algorítmico), que podem ser aplicados a regiões distintas do problema (e.g., o interior ou o exterior de uma onda de choque)[96-97]. Assim, esta abordagem multi-algoritmo é frequentemente conhecida como o referido AR. Uma classe possível deste tipo de métodos híbridos envolve a conjugação de Métodos de Partículas (Particle Methods – PM; vd. secção 2.2.8) a integradores de PDE’s definidas no continuum.

Os modelos matemáticos usam linguagens significativamente distintas para a representação de fenómenos a escalas microscópicas e macroscópicas e, consequentemente os algoritmos correspondentes manifestam essa disparidade. Por um lado, os PM’s são uma classe de métodos normalmente usada na modelação à escala microscópica, que interpretam o sistema físico através de entidades discretas interactuantes, que podem representar desde átomos individuais até elementos de fluido, bactérias ou mesmo automóveis. Por outro lado, algoritmos baseados em campos são tipicamente utilizados em modelação à escala macroscópica, e advém de modelos definidos essencialmente por PDE’s estabelecidas num sistema físico representado por campos contínuos.

para a estratégia geral denominada por AR. Assim, a formulação de um esquema AR implica o estabelecimento de um “critério de refinamento” que especifique quando a representação microscópica é necessária ou quando uma reprodução macroscópica se demonstra suficiente[98].

Uma aplicação directa do conceito AR no campo dos métodos adaptativos para a resolução numérica de PDE’s refere-se à estratégia designada por AMAR (Adaptive Mesh and Algorithm Refinement) que genericamente corresponde a um aperfeiçoamento do método clássico AMR (Adaptive Mesh Refinement – apresentado e discutido mais à frente neste capítulo) através da introdução de procedimentos PM fisicamente mais realistas como substitutos dos integradores contínuos à escala mais reduzida[99].

Neste contexto, convém relevar de modo sucinto outro conceito importante que se refere a uma aplicação abrangente do tipo de métodos discutido neste capítulo denominada por Computational Fluid Dynamics (CFD). CFD corresponde a um ramo da Dinâmica de Fluidos que se especializou no desenvolvimento e aplicação sistematizada de algoritmos para a resolução e análise de problemas que modelem e simulem o escoamento de fluidos. De facto, o suporte fundamental de quase todos os problemas CFD são as já referidas equações de Navier-Stokes, um modelo matemático diferencial definido no domínio espacio-temporal. Deste modo, as estratégias CFD constituem-se obviamente como uma aplicação relevante no campo da integração numérica de modelos diferenciais, incorporando a área específica da geração de malhas multidimensionais e a óbvia introdução de potencialidades adaptativas de manifesta utilidade na potenciação da eficiência dos algoritmos numéricos, genericamente associados a métodos de discretização baseados em volumes ou elementos finitos. No entanto, a resolução de problemas deste tipo discretizados sobre domínios espaciais tridimensionais (obviamente através de ferramentas computacionais), pode conduzir ao desenvolvimento de outro campo de pesquisa periférico, Parallel Computing (PC), agora relacionado com a implementação computacional per se, mais precisamente com a gestão do imenso fluxo de informação e de operações matemáticas gerado pelo algoritmo numérico. Tradicionalmente, um programa computacional apresenta uma estrutura sequencial. Assim, o algoritmo é construído e implementado como uma sequência de instruções executada num processador único. Deste modo, PC consiste numa estratégia possível alternativa que possibilita que várias operações de cálculo possam concorrer simultaneamente em múltiplos processadores, baseada no princípio que problemas de dimensão elevada podem ser divididos em conjuntos de problemas pequenos resolúveis de um modo paralelo.