M ÉTODOS N UMÉRICOS

Análise Numérica consiste no desenvolvimento e estudo de algoritmos para a resolução de problemas de Matemática Contínua. Assim, um algoritmo ou método numérico define-se como um procedimento eficiente de resolução de um problema através de conjunto sequencial finito de instruções. Partindo de um estado inicial, estas instruções representam um procedimento que estabelece sucessivamente uma série de estados sucessivos, até eventualmente terminar num estado final.

No entanto, importa referir que os métodos disponíveis para a solução de problemas matemáticos podem ser divididos em duas classes principais: analíticos e numéricos. Assim, uma forma de qualificar os métodos numéricos pode ser realizada através da discussão das características que os distinguem dos métodos analíticos alternativos. Para tal, considere-se o exemplo de uma equação linear:

x – 3 = 1. (1.56)

É possível discernir um procedimento lógico sequencial que possibilite a manipulação e consequente resolução da equação sem abandonar o carácter genérico da variável x e que só depende do valor dos parâmetros. Deste modo, o carácter contínuo do

aplicado é genérico, ou seja, é passível de ser utilizado com sucesso a qualquer equação do tipo: ax + b = c. Assim um algoritmo possível para a resolução desta equação poderá ser:

1. adicionar –b a ambos os membros da equação, obtendo-se ax = c – b;

2. multiplicar ambos os membros da equação por 1/a, obtendo-se a solução: x = (c – b)/a

Aplicando o algoritmo anterior à equação 1.56, em que a = 1, b = –3 e c = 1, obtém-se a solução x = (1– (–3))/1 = 4.

No entanto, se considerarmos um exemplo não linear:

x3 – 3x +1 = 0. (1.57)

Verifica-se a impossibilidade de aplicação de um algoritmo semelhante ao anterior, já que a não linearidade da equação impede que a variável possa ser isolada através de uma estratégia simples como a descrita acima, mantendo a generalidade da variável x, ou seja a continuidade do domínio da resolução. No entanto, é relevante salientar que no caso de equações algébricas cúbicas, estão disponíveis métodos analíticos necessariamente mais elaborados que possibilitam a sua resolução, ou seja a determinação das raízes da equação com o segundo membro nulo: ax3 + bx2 + cx + d = 0; obtida por manipulação analítica da equação original (e.g. método de Cardano). Uma equação cúbica não é suficientemente complexa para que a aplicação de uma estratégia analítica na sua solução se revele demasiado custosa.

De qualquer modo, interessa utilizar o exemplo presente para ilustrar as características genéricas de um procedimento numérico. Assim, uma estratégia possível seria a aplicação de uma manipulação analítica da equação cúbica de modo a isolar o seu termo linear no membro da esquerda,

3 ₃ −₁

= x

x . (1.58)

Em seguida, procede-se à discretização do problema, substituindo a variável geral analítica x, por duas variáveis numéricas xk e xk+1 não genéricas, ou seja que possuem sempre um valor atribuído,

3 1 1 3 − = + k k x x . (1.59)

A forma específica da equação que representa o processo numérico permite construir uma estratégia através do qual se a variável xk+1 pode ser calculada apenas pela atribuição de um valor à variável xk. A implementação do processo implica três passos essenciais:

1. a iniciação do procedimento, ou seja, a atribuição de um valor inicial de arranque para xk (k=0);

2. o cálculo de xk+1 através da aplicação sequencial iterativa da equação 1.59 em que xk assume o valor de xk+1 da iteração anterior (k = k+1);

3. a finalização do processo, em que a verificação de um critério de convergência assegura a obtenção de uma aproximação suficientemente exacta ou precisa à solução esperada, em relação a uma tolerância pré-definida ε.

A sequência de resultados obtidos através da aplicação do algoritmo descrito anteriormente ao problema 1.57, com os parâmetros de implementação seguintes:

x0 = 10, ε = 10-7 para um critério simples de erro absoluto de f; é apresentada na Tabela 1.11. Assim, verifica-se a convergência do algoritmo para uma das soluções do problema (x = 1.532089) e a verificação da tolerância estabelecida em 22 iterações.

Tabela 1.11 Resultados obtidos pela aplicação do algoritmo numérico apresentado para a resolução de

uma equação cúbica de uma variável, f(x) = x3 – 3x +1 = 0 (x0=10; ε = 10-7).

k xk f(xk) 0 10 9.71E+02 1 3.072317 2.08E+01 2 2.017918 3.16E+00 3 1.716082 9.06E-01 4 1.606774 3.28E-01 5 1.563268 1.31E-01 6 1.545258 5.40E-02 7 1.537679 2.27E-02 8 1.534467 9.64E-03 9 1.533101 4.10E-03 10 1.53252 1.74E-03 11 1.532273 7.42E-04 12 1.532167 3.16E-04 13 1.532122 1.35E-04 14 1.532103 5.74E-05 15 1.532095 2.45E-05 16 1.532091 1.04E-05 17 1.53209 4.44E-06 18 1.532089 1.89E-06 19 1.532089 8.05E-07 20 1.532089 3.43E-07 21 1.532089 1.46E-07 22 1.532089 6.23E-08 …

O caso descrito acima ilustra as características principais de um esquema numérico iterativo genérico. Os passos essenciais podem ser resumidos da forma seguinte:

1. Como se trata de um procedimento numérico algorítmico (em que apenas se lida apenas com valores numéricos), é necessário antes de tudo seleccionar uma aproximação inicial para arranque do processo de cálculo; este passo não é trivial, já que para muitos métodos numéricos se torna crítico na definição da convergência assimptótica do procedimento para a solução.

2. O procedimento algorítmico propriamente dito, representado por uma sequência repetível e sistematizável de operações, conjugada com uma estratégia de monitorização da convergência do processo para a solução numérica.

3. Dado que um método numérico é geralmente aproximado por natureza, é necessário definir um critério de paragem do procedimento, correspondente à definição do nível de exactidão ou de precisão pretendido, e consequentemente do erro considerado aceitável; para tal é necessário estabelecer uma tolerância que determina o grau de esforço pretendido na

O exemplo apresentado comprova uma das desvantagens dos algoritmos numéricos na resolução de problemas com soluções múltiplas (e.g. as três raízes reais da equação 1.57). O facto do procedimento numérico não facultar a manipulação de abstracções generalizadas, mas de valores concretos, torna apenas possível a obtenção de uma solução do problema por cada implementação. No entanto, essa questão torna-se menos importante no campo da resolução numérica de PDE’s, já que, como se referiu anteriormente, um problema diferencial bem colocado deverá ter somente uma solução.

Geralmente, é possível afirmar-se que a aplicação de um procedimento numérico se torna especialmente importante no caso de problemas não lineares, nomeadamente no que diz respeito ao campo da resolução de equações. Como se verificou anteriormente, a própria natureza das relações lineares permite o desenvolvimento de estratégias analíticas para a sua solução que não são de todo possíveis de aplicar no caso de termos altamente não lineares. Deste modo, é expectável que a própria presença de não linearidades num modelo matemático seja indicativo da necessidade do recurso a técnicas numéricas para a sus resolução, excluindo obviamente o caso de exemplos extremamente específicos que exibam propriedades particulares.

O campo da aplicação dos métodos numéricos, possibilita a solução de uma grande variedade de problemas, cuja resolução analítica se revela problemática. Assim uma lista não exaustiva deste tipo de problemas é resumida na Figura 1.15.

Esta classificação não implica a estanquicidade de cada problema em relação aos outros. Na realidade existe uma significativa inter-relação entre este tipo de problemas (e.g. um algoritmo numérico de optimização para a pesquisa de extremos relaciona-se intimamente com um procedimento numérico de pesquisa de zeros, já que um extremo de uma função pode significar um zero da sua primeira derivada).

Figura 1.15 Lista de problemas matemáticos resolúveis por análise numérica.

• Cálculo de zeros de funções – resolução

de equações e sistemas de equações;

• Pesquisa de extremos em funções

(optimização);

• Interpolação, extrapolação e regressão;

• Cálculo de integrais;

• Resolução de equações diferenciais (ordinárias e parciais); • … Problemas Matemáticos COMPLEXIDADE Análise Numérica