Capítulo VI – Aplicação e Análise dos Resultados
6. Aplicação e Análise dos Resultados
6.1 APLICAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS DA
ATIVIDADE 1: MAZE
A distribuição dos sujeitos de acordo com o gênero e a freqüência é mostrada na tabela abaixo:
Gênero Frequência % Frequência válida
% válida
Masculino 19 54,3 17 48,6
Feminino 16 45,7 15 42,8
Total 35 100 32 91,4
Tabela 4 - Distribuição dos sujeitos de acordo com o gênero e a freqüência, referente ao Jogo Maze
Os alunos demonstraram interesse e curiosidade na atividade que iríamos propor. Explicamos como trabalhar com a atividade e perguntamos se todos os alunos haviam levado a calculadora para que pudessem utilizá-la no jogo. Apenas três alunos não as trouxeram e emprestamos da direção e secretaria as que faltavam. Alguns alunos questionaram se podiam utilizar a calculadora que estava no celular e permitimos tal recurso. Dessa forma, propusemos para que trabalhassem em duplas utilizando o jogo Maze que envolve as quatro operações fundamentais com números decimais. A princípio, os alunos iniciam o jogo com 100 pontos escolhendo caminhos, chegando ao final com maior ou menor pontuação, dependendo das regras impostas no início do jogo. Sendo assim, de início, o aluno que primeiro jogar terá quatro opções de jogada e o segundo terá apenas três, pois não pode repetir a mesma jogada do outro jogador.
Da primeira opção de jogada, sendo elas: 100 x 0.9 = 90, 100 – 0.09 = 99.91, 100 : 0.6 = 166.666... nesse caso, propusemos aos alunos considerarem somente duas casas decimais, e 100 + 0.7 = 100.7, pudemos notar que 14 alunos (44%) escolheram 100 + 0.7 = 100.7 sendo a primeira jogada, 9 alunos (28%) escolheram 100 x 0.9 = 90, 8 alunos (25%) escolheram 100 – 0.09 = 99.91 e 1 aluno (3%) escolheu 100 : 0.6 = 166.66 sendo a primeira jogada. Além disso, pudemos perceber que os alunos possuem o conhecimento de que as operações adição e multiplicação aumentam, entretanto isso não vale para números decimais entre 0 e 1.
Um ponto relevante que deve ser destacado é que primeiramente os alunos trabalharam com essa atividade sem o uso da calculadora, para que pudéssemos analisar que conhecimentos das estruturas aditivas e multiplicativas eles tinham e, posteriormente, trabalhar com o mesmo jogo utilizando a calculadora, verificando se os alunos percebiam que com esse recurso teriam mais facilidade e compreenderiam que com números decimais entre 0 e 1 ocorre o inverso na multiplicação e divisão com os números inteiros.
Vale destacar que a construção do conhecimento se faz, agora, com a forte presença de processos, como por exemplo, a simulação, a experimentação e a visualização. Nesse sentido, Borba e Penteado (2001, p.46) rejeitam a visão dicotômica entre ser humano e técnica afirmando que [...] os seres humanos são
constituídos por técnicas que estendem e modificam seu raciocínio e, ao mesmo tempo, esses mesmos seres humanos estão constantemente transformando essas técnicas.
Além disso, esses autores destacam:
[...] que o conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres humanos com mídias, ou seres humanos com tecnologias e não, como sugerem outras teorias, por seres humanos solitários ou coletivos formados apenas por seres humanos.(p.46)
Dessa forma, a calculadora privilegia o pensamento visual sem implicar na eliminação do algébrico. Segundo Borba e Penteado (2001); Borba e Villarreal (2005), informações gráficas resolvem questões que também podem ser abordadas algebricamente. Além disso, a abordagem visual tem demonstrado facilitar a formulação de conjecturas, refutações, explicações de conceitos e resultados, dando espaço, portanto, à reflexão sobre o conteúdo envolvido.
Gráfico 1 – Análise da escolha dos alunos referente à 1ª Jogada
Outro ponto que vale destacar é que os alunos erraram muito nos resultados das contas, devido obter erros relativos ao algoritmo da adição, como por exemplo, vírgula embaixo de vírgula na adição e subtração, erros de tabuada ou até mesmo erros nas operações de adição ou subtração. Essa situação vivenciada na pesquisa de Cunha (2002) nos mostra a falta de conhecimento da parte inteira e da decimal, portanto o caráter decimal dos dígitos após a vírgula é esquecido.
As resoluções incorretas são bastante diversificadas, como mostram os protocolos abaixo. Erros que surgiram em nossa pesquisa como somar 100 e 0.7 resultando 10.7 ou somar 100 e 0.7 resultando 70, também foram evidenciados na pesquisa de Fonseca (2005).
Figura 35 – Erros encontrados ocasionando respostas erradas
Os alunos tinham estudado números decimais, pois já haviam estudado em anos anteriores. A pesquisa de Bianchini (2001) nos revela que a ampliação dos naturais aos números racionais já tem início nas 1ª e 2ª séries do Ensino Fundamental – Ciclo I, com as idéias de metade e quartos. Entretanto alguns acertavam a resposta, porém escreviam o algoritmo de forma errada.
Figura 36 – Erros encontrados, porém com respostas corretas.
Um dado relevante é que a maioria dos alunos não escolheu a operação divisão para efetuar os cálculos, como exemplo, destacamos : 0.6; : 0.09; : 2.01 ou :0.4. Isso se deve ao fato de que muitos alunos ainda têm dificuldade em dividir com números decimais. Os poucos alunos que escolheram o caminho que utilizava a divisão, esperávamos que eles iniciassem o algoritmo igualando as casas decimais do dividendo e divisor, caso esse que não foi constatado. Por outro lado, destacamos que esse fato também foi verificado na pesquisa de Fonseca (2005). Além disso, presenciamos na nossa pesquisa, assim como na pesquisa de Fonseca (2005) que a ausência da vírgula foi o tipo de resposta mais representativa entre os resultados incorretos. Isto mostra o quanto esses alunos ainda sentem dificuldades na colocação da vírgula no quociente, como mostramos a divisão (100 : 0.6) na Figura 35, p.124.
Levantamos a conjectura diante da pesquisa de Cunha (2002), na qual se apreende que os alunos transferem suas concepções de divisão dos naturais aos racionais na forma decimal; no caso, a concepção de que a divisão deverá resultar em um quociente menor que o dividendo.
No estudo da “representação do número na forma decimal”, concordamos com uma das hipóteses de Bianchini (2001), segundo a qual: “O fato de estabelecer a
ligação entre a representação decimal dos números racionais e a medida, enfocando a mudança de unidade, pode favorecer o aparecimento de dificuldades”. O aluno pode, portanto, considerar os números decimais como pares de números naturais. Por exemplo, o número 13,57 m com a mudança da unidade, poderá ser escrito como 135,7 dm, ou ainda, como um natural 1357 cm. Da mesma forma podemos extrapolar este raciocínio para o sistema monetário no qual R$ 3,80 podem ser representados por 380 centavos ou 3 reais e 80 centavos.
Devido ao curto espaço de tempo para realizarmos as entrevistas e transcrevê-las, optamos realizar apenas com dois alunos, sendo esse dois escolhidos pela professora da classe, como explicamos anteriormente.
Vamos utilizar P para representar a fala do pesquisador e E para representar o aluno. Dessa forma:
P: E você André17, não escolheu nenhuma vez dividir, por quê?
E: É que eu tenho um pouquinho de dificuldade em fazer divisão com vírgula, eu tenho um pouco de dificuldade nisso.
Enquanto outros escreviam o algoritmo de maneira correta e acertavam o resultado. Sendo assim, percebemos em nossa pesquisa, assim como a de Cunha (2002) que esses alunos conseguiram diferenciar a parte inteira da decimal ou talvez eles acertaram a representação dos algoritmos envolvendo decimais, sem dar significado à representação, tendo em vista que tal representação pudesse caracterizar-se um rótulo, ou como um registro fotográfico. Assim, no caso do registro fotográfico, foi possível que alguns alunos não tivessem prestado atenção para a posição da parte inteira e da parte decimal.
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Figura 37 – Registro dos acertos com os algoritmos da adição, subtração e multiplicação.
Para a 2ª jogada, os alunos tinham que utilizar o resultado obtido na primeira jogada e escolher um caminho que possibilitasse a ele chegar ao final para ganhar o jogo. Dessa forma, os alunos teriam as seguintes opções:
Se o aluno tivesse escolhido a 1ª Jogada sendo 100 x 0.9 = 90, como 2ª Jogada ele teria que operar com o resultado obtido na 1ª Jogada uma das seguintes opções: x 1.89 , isto é, 90 x 1.89 = 170.1 ou : 0.09, isto é, 90 : 0.09 = 1000 ou : 2.01, isto é, 90 : 2.01 = 44.7761194... Vale destacar que para esse último, como também para os resultados que obtivessem sendo uma dízima periódica ou não periódica, os alunos foram orientados a considerar apenas duas casas decimais. Isto é, utilizariam como resposta para 90 : 2.01 o número 44.77.
Se o aluno tivesse escolhido a 1ª Jogada sendo 100 – 0.09 = 99.91, como 2ª Jogada ele teria que operar com o resultado obtido na 1ª Jogada uma das seguintes opções: + 1.9, isto é, 99.91 + 1.9 = 101.81 ou : 0.09, isto é, 99.91 : 0.09 = 1110.11 ou x 1.9, isto é, 99.91 x 1.9 = 189.82.
Se o aluno tivesse escolhido a 1ª Jogada sendo 100 : 0.6 = 166.66, como 2ª Jogada ele teria que operar com o resultado obtido na 1ª Jogada uma das seguintes opções: + 1.9, isto é, 166.66 + 1.9 = 168.56 ou x 1.2, isto é, 166.66 x 1.2 = 199.99 ou : 0.4, isto é, 166.66 : 0.4 = 416.65 ou x 0.99, isto é, 166.66 x 0.99 = 164.99.
Se o aluno tivesse escolhido a 1ª Jogada sendo 100 + 0.7 = 100.7, como 2ª Jogada ele teria que operar com o resultado obtido na 1ª Jogada uma das seguintes opções: x 1.2, isto é, 100.7 x 1.2 = 120.84 ou : 0.5, isto é, 100.7 : 0.5 = 201.4 ou + 2.1, isto é, 100.7 + 2.1 = 102.8.
Nesse sentido, notamos que os caminhos percorridos foram:
Caminho percorrido Frequência Porcentagem
R118 + 2.1 10 30% R1 x 1.89 6 19% R1 x 1.9 4 13% R1 x 1.2 4 13% R1 + 1.9 4 13% R1 x 0.99 3 9% R1 : 0.5 1 3% TOTAL 32 100%
Tabela 5 - Caminhos percorridos na 2ª Jogada
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Gráfico 2 – Escolhas dos alunos referentes à 2ª Jogada.
Além disso, podemos notar como uma estratégia dos alunos que os mesmos ainda escolhem as operações adição e multiplicação para obter maior pontuação. Entretanto ainda ocorreram os mesmos erros da 1ª Jogada, porém um fato relevante vale destacar alguns alunos “montaram a conta” colocando a “vírgula embaixo de vírgula”. Isso se deve ao fato de que os números tinham a vírgula, fato que não ocorreu na 1ª Jogada, pois alguns alunos não perceberam que 100 é a parte inteira e a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.
Alguns alunos acertaram o resultado, porém como haviam errado na 1ª Jogada, os mesmos ficaram em desvantagem perante seu adversário.
Em sua pesquisa, Bianchini (2001), durante a aplicação de sua sequência didática propôs trabalhar com a representação decimal no contexto monetário aos alunos de 3ª série, com o objetivo de diagnosticar como os alunos davam significado aos dígitos após a vírgula e como ocorria a conversão entre os registros da representação matemática escrita para a linguagem natural escrita. Embora a autora tenha diagnosticado a dificuldade que os alunos têm para expressar-se por escrito,
ainda assim houve grande porcentagem de acerto. Assim, como em nossa pesquisa, percebemos que houve uma porcentagem satisfatória de acertos quanto ao algoritmo da adição e subtração.
Figura 38 – Acertos no resultado, porém desvantagens no jogo devido a erros anteriores
Outros alunos ainda continuaram errando tanto no algoritmo como em alguma operação tal como somar ou subtrair e até mesmo não sabendo a tabuada.
É possível um jogador errar em uma jogada, não optando pela melhor, e, obter a vitória no jogo. A constatação sobre o conjunto de jogadas mal realizadas, ao final de um jogo em que o sujeito perde para o adversário, pode levá-lo a refletir sobre ações realizadas e elaborar estratégias a fim de vencer o jogo, resolver o problema.
Após a constatação de um fenômeno, ou mesmo a construção de um sistema, os erros obtidos durante o processo são repensados, reformulados e abolidos, dando lugar ao rigor na apresentação. Em nossa pesquisa, assim como a de Grando (2000), a análise do erro do aluno e a construção das estratégias de resolução dos problemas de jogos fornecem ao professor subsídios para a sistematização dos conceitos trabalhados durante a situação de jogo.
A respeito dos erros dos alunos, envolvendo a divisão, queremos aferir se há problema no momento da colocação da vírgula no quociente. Como exemplo, tomemos 100.7 por 0.5 ilustrado na Figura 39, podendo surgir as respostas: 200.14, ou 20.14, ao invés da resposta correta 201.4. O fato poderá indicar um processo mecânico de resolução ou a falta de reflexão, por parte do aluno sobre suas ações no momento da resolução, fato esse que se comprovou na pesquisa de Fonseca (2005).
Figura 39 – Erros na montagem do algoritmo e do resultado referente a 2ª Jogada
Notamos no protocolo da Figura 39 na multiplicação de 100 por 1.9 que o aluno conservou a parte decimal (0.9) e multiplicou a parte inteira (1) por 100, resultando em 100.9. Com isso, percebemos uma dificuldade encontrada no aluno de operar com números decimais,
Também podemos notar que alguns alunos acertaram o resultado, porém não “montaram corretamente a conta”. Vale destacar a relevância desse fato, pois esses
alunos não entendem o que é parte inteira e parte decimal. É importante salientar que esses alunos já haviam estudado o sistema de numeração decimal e a diferença entre parte inteira da decimal.
Figura 40 – Acertos no resultado, porém erros no algoritmo referente a 2ª Jogada
Podemos verificar também que vários alunos conseguiram resolver corretamente a conta da jogada que escolheram.
Figura 41 – Protocolos referentes à 2ª Jogada
Para o aluno terminar o jogo, ele necessita de no mínimo três jogadas, porém, se estiver perdendo, deverá encontrar outros caminhos para aumentar ou diminuir sua pontuação, dependendo das regras impostas no início do jogo, para que possa ganhar.
Vale salientar que nessa atividade não pretendemos saber quantas jogadas o aluno escolheu, o que nos interessa é saber quais os conhecimentos algébricos que ele possui em relação aos números decimais envolvendo as quatro operações fundamentais. Entretanto é importante destacar algumas resoluções que os alunos fizeram em relação a alguma jogada que escolheram.
Em relação às dificuldades, constatamos que o erro mais comum foi quanto à colocação da “vírgula embaixo da vírgula”, visto que, muitos alunos ainda não conseguiram perceber o que é parte inteira e a decimal nos algoritmos envolvendo as operações de adição e subtração. Outra dificuldade foi em relação ao posicionamento ou ausência de vírgula no quociente quando trabalhavam com divisão. Esse fato ocorreu pela razão de que a maioria dos alunos trabalha com os divisores como se fossem inteiros, isto é, ignoram a vírgula dos números decimais, também observado no trabalho de Fonseca (2005).
Figura 42 - Erros cometidos pelos alunos referentes à posição relativa da vírgula
Iremos posteriormente proporcionar aos alunos o uso da calculadora para verificação dos resultados encontrados e enfatizamos que nesse momento, a calculadora faz parte de uma estratégia pedagógica.
Outro aluno utilizou a operação adição ao invés da multiplicação
Figura 43 – Troca da operação multiplicação pela adição
Tabularemos agora os erros mais encontrados pelos alunos, em língua natural.
Após o jogo sem o uso da calculadora, propusemos aos alunos que utilizassem a calculadora, para verificar se as “contas” que fizeram estavam corretas. Para analisarmos a opinião dos alunos referente a atividade, os alunos responderam a 3 questões.
A primeira questão foi verificar se os alunos sabiam o que significava o ponto em alguns números do jogo e 3 alunos (9%) disseram que o número não é inteiro.
Figura 44 – Protocolo do aluno A
Para 15 alunos (47%), o ponto tem o mesmo significado que a vírgula.
Figura 45 – Protocolo do aluno B
Já 5 alunos (16%) disseram que não sabiam o que significava o ponto.
Figura 46 – Protocolo do aluno C
Figura 47 – Protocolo do aluno D
Figura 48 – Protocolo do aluno E
Figura 49 – Protocolo do aluno F
Figura 50 – Protocolo do aluno G
Gráfico 3 - Significado do ponto em alguns números do jogo
Na segunda questão, perguntamos se eles achavam que a calculadora facilitaria nas contas e por quê. Dessa forma, uma grande parte dos alunos, sendo 30 deles (94%) respondeu que sim.
Figura 52 – Protocolo do aluno I
Assim como na pesquisa de Borba (2005), Schiffl (2006) e de Melo (2008), os alunos perceberam que a calculadora facilitaria na resolução das contas expressando o resultado exato e com maior rapidez na obtenção das respostas.
Figura 54 – Protocolo do aluno B
Figura 55 – Protocolo do aluno D
Encontramos sustentação na pesquisa de Schiffl (2006) e de Borba (2005) referente ao registro do aluno (Figura 55) nos mostrando que cálculos enfadonhos e cansativos não permitem aos educandos ficarem atentos às relações entre os elementos envolvidos na resolução de problemas aritméticos, mas com o recurso da calculadora os alunos encontram o resultado preciso.
Já 1 aluno (3%) disse que a calculadora não facilita nas contas.
Um aluno (3%) respondeu que a calculadora somente facilitaria em algumas contas, pois para ele quando o resultado é um número irracional, ele acredita que a conta não existe.
Figura 57 – Protocolo do aluno M
Gráfico 4 - Opinião dos alunos se a calculadora facilita ou não nas contas
Na terceira questão perguntamos aos alunos quais seriam suas opiniões a respeito do uso da calculadora em sala de aula e 9 alunos (28%) disseram que é bom.
Figura 58 – Protocolo do aluno M
Figura 59 – Protocolo do aluno N
Para outros 9 alunos (28%) a calculadora serve para conferir a resposta.
Figura 60 – Protocolo do aluno J
Assim como na pesquisa de Rubio (2003), verificamos nos protocolos dos alunos J (Figura 60) e O (Figura 61) que, para eles a calculadora é vista como um recurso para verificação de resultados, correção de erros e não como um recurso didático que diversifica as estratégias de resolução de problemas.
Já 10 alunos (31%) disseram que com o uso da calculadora eles não aprendem e ficam dependentes desse recurso. A pesquisa de Guinther e Bianchini (2009) nos revela que os pais possuem essa mesma visão, o que nos leva a acreditar que muitos dos filhos são influenciados pela opinião dos pais.
Figura 62 – Protocolo do aluno P
Figura 63 – Protocolo do aluno D
Figura 64 – Protocolo do aluno I
Figura 65 – Protocolo do aluno Q
Figura 66 – Protocolo do aluno R
Gráfico 5 - Opinião dos alunos a respeito do uso da calculadora em sala de aula
Podemos perceber nas escritas dos alunos que ainda existem algumas divergências, como por exemplo, alguns acham importante o uso da calculadora, pois facilita nas contas e não precisam desenvolver contas enormes para chegar ao resultado esperado. Entretanto, como salientam Schiffl (2006) e Borba (2005), ainda há resistência de alguns, pois afirmam que com esse uso o aluno não irá mais aprender e acabará ficando dependente da máquina. Dessa forma, acreditamos que cabe ao professor fazer o uso correto dessa ferramenta em sala de aula e preparar atividades diferenciadas com o uso da calculadora para que possa proporcionar aos alunos uma visão diferente da Matemática e romper com esses mitos que muitos ainda têm.
Em relação ao que percebemos nos alunos frente aos conhecimentos aditivos e multiplicativos que possuíam na atividade proposta, notamos que os mesmos sentem muita dificuldade ao trabalhar com números inteiros e decimais, pois alguns, ao empregar o algoritmo da adição e subtração, confundem a parte inteira e a decimal de um número, não seguindo a regra de se colocar “vírgula embaixo de
vírgula”. Entretanto, podemos notar ainda que eles possuem tal conhecimento, pois quando surgia a soma ou subtração de dois números decimais, seguiam a regra da “vírgula embaixo da vírgula”.
Vale destacar um ponto relevante vivenciado também na pesquisa de Borba (2005) quanto à utilização da calculadora, pois muitos alunos acreditam que essa ferramenta facilita no aprendizado e não há necessidade de contas imensas. Porém, ainda existe uma resistência muito grande, pois os mesmos somente utilizam a calculadora quando o professor permite. Dessa forma, os alunos não possuem uma visão diferenciada da Matemática e muito menos a respeito do uso da calculadora, pois muitos ainda acreditam que ela simplesmente é para facilitar na resolução dos cálculos e não a vêem como um instrumento facilitador de novos conhecimentos, visão essa que predomina na opinião de muitos pais, como dito anteriormente.
Acreditamos que, nesse caso, o professor deve promover um elo entre os métodos de cálculos, tais como, manual e mental, com a calculadora, a fim de que os alunos construam concepções positivas a respeito do uso dessa tecnologia, principalmente quando esse recurso puder servir-lhes fora da escola como, por exemplo, em suas atividades profissionais.
Dentro dessa perspectiva, o presente estudo, aponta para o uso da calculadora em sala de aula, fazendo uso dessa ferramenta de maneira inteligente, indo além da simples conferência de resultados.
6.2. APLICAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS DA
ATIVIDADE 2: HEX DA MULTIPLICAÇÃO
Foram sujeitos dessa atividade os mesmos alunos da atividade 1 - MAZE. Embora a classe tivesse 35 alunos, o número de sujeitos ficou reduzido a 26 porque não analisamos os protocolos de nove sujeitos devido a ausência dos mesmos no dia da aplicação do jogo. A distribuição, de acordo com o gênero, é mostrada na tabela abaixo:
Gênero Frequência % Frequência válida % válida
Masculino 19 54,3 14 40,0 Feminino 16 45,7 12 34,2
Total 35 100 26 74,2
Tabela 7 - Distribuição dos sujeitos de acordo com o gênero e a freqüência, referente ao Jogo Hex da
Multiplicação.
Essa atividade trata das estruturas multiplicativas e seu objetivo é verificar quais relações são estabelecidas pelos alunos envolvendo o campo multiplicativo. Segundo Rasi (2009), os alunos, na faixa etária entre 11 e 13 anos, apresentam um bom desempenho na resolução de problemas envolvendo a multiplicação. Além disso, é nosso objetivo nessa atividade, proporcionar aos alunos uma verificação dos resultados utilizando a calculadora como mediadora nas estratégias pedagógicas.
Assim, como na pesquisa realizada por Grando (2001), os alunos demonstraram bastante interesse e curiosidade nesse jogo, pois ele propiciou um ambiente que despertou seu interesse pelo desafio das regras impostas. Entretanto houve uma maior quantidade de ausências no dia de sua aplicação. Como a quantidade de alunos frequentes foi par, então conseguimos formar 13 duplas.