3.3 APLICAÇÃO DOS MODELOS DE PERFIS “T” PARA A VERIFICAÇÃO
Figura 3.16 - Deformações na mesa do pilar e na mesa do perfil “T”
Figura 3.17 - Forças de alavanca – mesa do perfil “T” mais rígida em relação à mesa do pilar
Figura 3.18 - Forças de alavanca – mesa do perfil “T” menos rígida em relação à mesa do pilar
Figura 3.19 - Distribuição ótima
A solução apresentada, como já comentado anteriormente, é o cálculo da força máxima de tração para cada elemento separadamente, adotando-se a capacidade da ligação como o menor valor calculado.
Segundo Zoetemeijer (1974), testes com ligações de perfis “T”
parafusados à mesa de perfis “I” permitem verificar a ocorrência de mecanismos de colapso muito semelhantes aos modos de falha 1 e 2 previstos para as ligações duplo “T”, denominados respectivamente de modos A e B.
A partir das configurações plásticas de tensão observadas nos ensaios, Zoetemeijer (1974) analisa os mecanismos de colapso A e B fazendo a equivalência da mesa do pilar a um comprimento efetivo da mesa de um perfil “T” sem enrijecimento, capaz de transmitir o mesmo esforço de tração.
Essas considerações permitiram o desenvolvimento de expressões analíticas com as quais é possível a determinação da capacidade resistente à tração para a mesa do pilar e, com analogia, para a chapa de topo, como é indicado nos métodos de cálculo propostos pelo Eurocode 3 (1993). Os modelos analíticos para os modos A e B são esquematizados nas figuras 3.20 e 3.21, respectivamente.
Figura 3.20 - Modelo analítico para o mecanismo de colapso A (modo 1)
Figura 3.21 - Modelo analítico para o mecanismo de colapso B (modo 2)
Para os modelos apresentados nas figuras 3.20 e 3.21 e considerando a existência de charneiras plásticas e a formação de linhas de plastificação (indicadas pelas linhas azuis nas figuras acima), a solução do problema consiste em determinar o valor das variáveis α e β que conduzem à menor capacidade de tração para os dois modos de colapso, A e B.
Romano (2001) indica que Zoetemeijer (1974) obteve a capacidade resistente à tração da mesa do pilar partindo do princípio da igualdade entre a energia interna de deformação (∆E) e o trabalho efetuado pela força externa (∆T), ou seja, utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais.
Para a determinação da energia de deformação total (∑∆Ei), considera-se que a energia de deformação para cada linha de plastificação (“yield line”) é determinada pela multiplicação do momento de plastificação na linha por sua respectiva rotação, sendo o momento de plastificação para cada linha determinado pelo produto entre seu comprimento e o momento de plastificação linear mp, tomado por unidade de comprimento.
Para demonstrar, resumidamente, esse desenvolvimento, a equação 3.24 representa a energia de deformação total para o modo de colapso A considerando as 6 linhas de plastificação e a equação 3.25 fornece o trabalho efetuado pela força externa Ft.
( )
( )
p 6
1
i i m
cos cos
g sen cot tg
cos sen
cos m
' n m m
a 2
E ⋅∆δ⋅
α
− β
⋅ α + β β +
α +
α +
− β
⋅ β
⋅ α + +
⋅
=
∑
∆=
(3.24)
δ
∆
⋅
=
∆ 2
T Ft (3.25)
Assim, considerando-se ∆E=∆T obtém-se:
( )
( )
p
t m
cos cos
g sen cot tg
cos sen
cos m
' n m m
a 2 2
F ⋅∆δ⋅
α
− β
⋅ α + β β + α +
α
− β
⋅ β
⋅ α + +
⋅
= δ
∆
⋅ (3.26)
Segundo a equação 3.26, minimizar Ft implica em minimizar a parcela à direita da igualdade. Sendo tal parcela função de α e β, para se determinar o valor mínimo de Ft, deve-se minimizar a expressão em função das variáveis α e β, segundo as condições dadas por:
0
6 E
1
i i
α =
∂
∆
∂∑
= e (3.27)
0
6 E
1
i i
β =
∂
∆
∂∑
= (3.28)
O desenvolvimento algébrico dessas condições conduz a um sistema de equações, apresentado por Romano (2001), que fornece as seguintes expressões:
m ' n 2 m
cos 1
⋅ +
=
β (3.29)
) ' n m ( 4 1 m
senβ= − ⋅ + (3.30)
' n 2 m 2
m ' mn 4 m cos 4
2 2
+
−
= +
α (3.31)
' n 2 m 2
m ' n 4 ' mn sen 4
2 2
+ +
= +
α (3.32)
A substituição das expressões 3.29 a 3.32 na equação 3.26 fornece
p
t m
m ' n 3 4
' n 8 m a 6 4 m
F ⋅
+ + +
⋅
=
⋅ (3.33)
lembrando que m representa uma dimensão geométrica e mp é o momento de plastificação por unidade de comprimento.
Segundo Zoetemeijer (1974), para valores práticos de m e n’ a equação 3.33 pode ser considerada, aproximadamente, como:
p
t m 4 (a 4m 1,25n') m
F ⋅ = ⋅ + + ⋅ (3.34)
Para o mecanismo de colapso B, obtém-se, de forma similar:
' n m
F n m ) ' n 4 m 5 , 5 a (
Ft 2 p p
+
⋅ +
⋅ + +
= ⋅ ∑
(3.35)
Observando-se as expressões 3.34 e 3.35, os fatores que multiplicam mp (momento de plastificação por unidade de comprimento) podem ser definidos como os comprimentos efetivos para os modos de colapso A e B.
De fato, comparando-se as equações 3.3 e 3.34 e as equações 3.6 e 3.35, conclui-se que:
Mp = (a + 4m + 1,25n’)mp e que (3.36) Mp = (a + 5,5m + 4n’).mp (3.37) representando, respectivamente, os momentos de plastificação para os modos de colapso A e B.
Para efeitos de dimensionamento, o valor do comprimento efetivo deve ser observado também em função do valor da força de alavanca Q, sendo portanto necessário determinar a sua contribuição.
A influência da força de alavanca máxima (Qmáx) no momento de plastificação para o modo A, equação 3.36, pode ser avaliada pela análise do equilíbrio de uma parte da mesa do pilar, considerando-se as linhas de escoamento 1 e 5 e o bordo livre e desconsiderando-se a transmissão de esforços de torção e forças cortantes, como esquematizado na figura 3.22.
Além disso, é possível reescrever a equação 3.3, que descreve o modo de falha 1, para considerar uma parcela de momento referente à força de alavanca Qmáx, denominada de Mp’, conforme a seguinte expressão:
m ) M M ( F 2
' p p t
= + (3.38)
sendo:
n Q M
' p
máx = (3.39)
Figura 3.22 - Equilíbrio de momentos na mesa do pilar - simetria
O momento de plastificação total para o modo A, com base na equação 3.36, fica expresso por:
Mp + Mp’ = 2(a + 4m + 1,25n’)mp (3.40)
O equilíbrio de momentos, da figura 3.22, requer que:
b m 2 a m n
Qmáx⋅ = p⋅ + p⋅ (3.41)
onde:
β + + α
⋅
= sen
' n tan m
m
b (3.42)
Substituindo-se as relações de seno e cosseno para α e β em 3.42 tem-se:
' mn 4 m 3
' mn m
) ' n m ( 2 ' mn 2 b m
2
2 2
+
+
⋅ +
⋅ +
= + (3.43)
O valor de Qmax é obtido substituindo-se a 3.43 em 3.41, obtendo-se:
2 p
2 2
máx m
' mn 4 m 3
' mn m
) ' n m ( 2 ' mn 2 2 m
a n
Q ⋅
+
+
⋅ +
⋅ +
⋅ + +
=
⋅ (3.44)
Segundo Zoetemeijer (1974), para valores práticos de m e n’, a equação 3.44 pode ser adotada como:
( )
pmáx n a 4m 2,5n' m
Q ⋅ = + + ⋅ (3.45)
Considerando-se a equação 3.40, para o mecanismo de colapso A tem-se a seguinte expressão para Mp:
Mp = (a + 4m)mp (3.46)
Com os valores obtidos para os momentos de plastificação e os comprimentos efetivos correspondentes, podem-se fazer duas afirmações:
i. Considerar Mp = (a + 5,5m + 4n’)mp (comprimento efetivo igual à a+ 5,5m+ 4n’) implica em admitir um pequeno fator de segurança contra a ruptura dos parafusos;
ii. Considerar Mp = (a + 4m)mp (comprimento efetivo = a + 4m) implica em admitir um grande fator de segurança contra a ruptura dos parafusos.
Assim, para propósitos de dimensionamento, Zoetemeijer (1974) recomenda a consideração do comprimento efetivo igual à (a + 4m + 1,25n’), afirmando que este valor tem conduzido a resultados satisfatórios quando comparado a resultados experimentais.
As demonstrações apresentadas para os modos de colapso A e B, como referência para o trabalho de Zoetemeijer (1974), foram indicadas como exemplo na determinação dos comprimentos equivalentes que permitem, teoricamente, a aplicação dos modos de falha de perfis “T” com base nas charneiras plásticas observadas na mesa do pilar e na chapa de topo.
Os conceitos apresentados neste item podem ser estendidos para a determinação de perfis “T” equivalentes com base em diferentes configurações de plastificação nesses dois componentes.
O desenvolvimento dos procedimentos apresentados anteriormente, com mais detalhes, pode ser encontrado no trabalho de Romano (2001).