Aplicações do MEC e do MEF à fratura dos materiais

Conforme comentado nas considerações iniciais, para o tratamento de problemas mecânicos envolvendo fratura de matérias uma boa abordagem é a utilização de técnicas numéricas como o MEC, por exemplo. Atualmente na literatura pode ser encontrada uma vasta quantidade de trabalhos importantes os quais utilizaram métodos numéricos para o tratamento de problemas de fraturamento.

HILLERBORG et al. (1976) em seu trabalho pioneiro sobre a fratura coesiva utilizou uma formulação numérica baseada no MEF para acoplar o modelo coesivo proposto e simular a fratura em concretos.

Já em relação a aplicação do MEC, um dos primeiros trabalhos que trataram da análise de trincas foi de autoria de CRUSE & VAN BUREN (1971) na década de setenta. No trabalho os autores investigaram o campo de tensões nas proximidades de trincas em modelos elásticos tridimensionais. Pouco depois, CRUSE (1972) trabalhou com modelos bi e tridimensionais que aproximavam a geometria da trinca por uma elipse o que ocasionou significativos erros na análise (LEONEL, 2009).

Posteriormente, BLANDFORD, INGRAFFEA e LIGGET (1981) utilizaram a equação integral singular do MEC em conjunto com a técnica de multi-regiões para o tratamento de trincas. Nesse caso, as fissuras encontram-se ao longo das interfaces das regiões.

CEN & MAIER (1992) utilizaram também a técnica de multi-regiões com formulação singular do MEC, porém acoplando o modelo coesivo nas interfaces para descrever o fenômeno da fratura quase frágil. A modelagem de fissuras com a técnica de multi-regiões apresenta o mesmo problema que o MEF clássico. Em ambos os casos existe a necessidade de se fazer previsões sobre o caminho de propagação e o crescimento das trincas. Uma alternativa para evitar as previsões do caminho de fissuração é a utilização de critérios de propagação como o critério da máxima tensão circunferência ou da máxima taxa de liberação de energia (BROEK, 1986).

No entanto, a utilização de tais critérios nas análises de fratura com o MEF clássico ou a técnica de multi-regiões do MEC faz com que um remalhamento do problema seja necessário à medida que a fissura se propaga (LEONEL, 2009).

O remalhamento de problemas fraturados muitas vezes requer um elevado custo computacional. Portanto, para evitar problemas dessa natureza, formulações alternativas do MEF e do MEC foram propostas na literatura.

Baseados nos conceitos de partição de unidade, BELYTSCHKO & BLACK (1999) apresentaram uma formulação alternativa do MEF para problemas de fratura. A proposta foi minimizar a necessidade de remalhamento com a adição de bases de funções descontínuas para enriquecer as funções de forma clássicas. Posteriormente, MOES et al. (1999) e DOLBONW (1999) aprimoraram o método e o denominaram de Método dos Elementos Finitos Estendidos (MEFE). Com o MEFE é possível analisar problemas com propagação de fissuras sem que haja a necessidade do remalhamento. Tal formulação é apresentada detalhadamente no livro MOHAMADI (2008) e em diversos artigos da literatura como em MARINI & PEREGO (2003) que incorporaram à formulação o modelo coesivo de fratura.

Para o MEC, duas principais alternativas em relação à técnica de multi-regiões para tratar a propagação de fissuras sem remalhamento foram encontradas na literatura.

A primeira é mais conhecida das alternativas faz uso em conjunto das equações integrais de deslocamentos (singular) e de forças de superfície (hiper singular). Cada equação é aplicada em cada uma das opostas faces de uma fissura. Assim, mesmo que os elementos de ambas as faces da trinca estejam localizados na mesma posição geométrica, o sistema de equações algébricas não se torna linearmente dependente visto que foram utilizadas diferentes equações. Tal procedimento hoje em dia é bem difundido como o Método dos Elementos de Contorno Dual (MECD) e foi introduzido nos trabalhos de WATSON (1986) e GRAY et al. (1990) para problemas mecânicos bidimensionais e tridimensionais, respectivamente. Entre os importantes trabalhos que ampliaram e difundiram a utilização de tal técnica os seguintes podem ser apontados PORTELA ALIABADI e ROOKE. (1992, 1993), MI & ALIABADI (1992, 1994, 1995), MELLINGS & ALIABADI (1994), SOLLERO & ALIABADI (1995), SALEH (1997), CHEN et al. (1999). Análises de coalescência de fissuras e localização foram tratadas com mais facilidade através do MECD nos trabalhos de LEONEL & VENTURINI (2010a, 2010b, 2011) para problemas de fratura linear e não linear.

A segunda alternativa via MEC é aplicável à propagação coesiva de fissuras. Para isso, um campo de tensões inicias é empregado para corrigir o estado de tensão na ZPI respeitando uma lei coesiva pré-estabelecida. Tal campo de tensões é oriundo do termo de domínio da equação singular do MEC o qual é degenerado para atuar apenas em uma estreita faixa na frente da fissura com espessura tendendo a zero. Tal procedimento da origem a uma nova variável denominada dipolo, responsável por garantir o atendimento das condições de contorno. A técnica demonstrou-se bastante eficiente e pode ser encontrada em trabalhos como VENTURINI (1994), LOPES & VENTURINI (1997), JIANG & VENTURINI (1998, 2000) e mais recentemente OLIVEIRA & LEONEL (2013).

Com as formulações alternativas do MEC, as fissuras podem ser modeladas no interior dos domínios e, portanto o remalhamento é apenas necessário para inserir incrementos no comprimento da trinca conforme ilustrado na Figura 1.7 (LEONEL, VENTURINI e CHATEAUNEUF, 2011).

Figura 1.7 Incrementos de fissuras via MEC (esquerda) versus análise convencional via MEF (direita) (LEONEL, VENTURINI e CHATEAUNEUF, 2011).

Em contra partida, análises de propagação de fissuras nas interfaces das multi-regiões proporcionam um tratamento mais natural para sólidos multifraturados uma vez que lida mais naturalmente com a evolução e coalescências das múltiplas fissuras. Além disso, a técnica também permite avaliar fratura em domínios compostos como é o caso do presente trabalho. Nesse sentido, BENEDETTI & ALIABADI (2013) apresentaram uma formulação para tratar a degradação inter granular e falhas em materiais policristalinos (Figura 1.8).

Figura 1.8 degradação e fratura Inter granular em materiais policristalinos (BENEDETTI & ALIABADl, 2013). Para modelar a iteração entre grãos ortotrópicos os autores propuseram a técnica de Multi-regiões e a utilização da solução fundamental anisotrópica tridimensional. A geometria e distribuição dos grãos na microestrutura do material foi representada por uma Voronoi tesselation. A danificação do material é considerada por fratura nas interfaces das regiões via modelo coesivo e o contato entre faces fraturadas também é avaliado via um modelo não linear de fricção.

Mais exemplos de fratura em meios anisotrópicos abordados via MEC são encontrados nos trabalhos de SOLLERO E ALIABADI (1993, 1994). Porém, os autores trataram apenas da determinação dos Fatores de Intensidade de Tensão em chapas elástica lineares sem considerar critérios de propagação. Problemas de fratura não linear quase frágil foram abordados com o modelo coesivo para tratar a falha em peças ortotrópicas de madeira nos trabalhos de BOSTRON (1992), DOURADO et al. (2008) e DOURADO, MOURA e MORAIS (2011). No entanto, os autores adotaram uma formulação baseada em elementos finitos de interface com amolecimento bilinear por meio de uma sub-rotina do software comercial ABAQUS. Além das madeiras, a falha por fraturamento coesivo em outros materiais não isotrópicos como argilas e alvenaria também foi analisada via formulações de elementos finitos com o auxílio de sub-rotinas do ABAQUS (CERVENKA et al.,1997; GUINEA et al. ,2000 e LISJAK et al., 2014).

Apesar dos trabalhos citados a cima, ainda há muito a ser desenvolvido no contexto de fratura não linear de estruturas compostas e anisotrópicas. Nesse sentido, o presente trabalho se apresenta como uma singela contribuição a essa linha de pesquisa.