tridimensionais (BREBBIA E DOMINGUEZ, 1989). Para problemas bidimensionais com pontos fonte localizados em contornos descontínuos, a expressão do termo livre pode ser encontrada em VENTURINI (1988).
3.4 EQUAÇÃO INTEGRAL HIPER SINGULAR ESCRITAS PARA PONTOS NO CONTORNO
Assim como realizado com a equação singular, o tratamento limite também pode ser procedido para a equação hiper singular. Para isso considere novamente o contorno apresentados na Figura 3.1. Assim, é possível proceder com a Equação 3.31 da seguinte maneira.
lim
�→ � + ∫−̅ + = ∫−̅ + (3.47)
Portanto, semelhantemente à avaliação da equação integral singular, o processo limite será procedido termo a termo. Tomando-se primeiramente o termo para a análise é possível perceber que o mesmo possui uma singularidade da ordem ⁄ . Para proceder então o limite inicialmente considere que o termo possa ser reescrito da seguinte maneira:
lim
�→ ∫−̅ + = lim�→ ∫−̅ + lim�→ ∫ (3.48)
+ lim�→ ∫ − lim�→ ∫
Onde e são as forças de superfície no ponto fonte e no ponto campo respectivamente sendo que ambas agora estão localizadas ao longo do caminho de integração, ou seja, no contorno. Rearranjando a equação 3.48 pode-se escrever:
lim
�→ ∫−̅ + = lim�→ ∫ [ − ] (3.49)
+ lim�→ ∫ + lim�→ ∫
−̅
Assumindo válida a hipótese de continuidade de Holder para o campo de forças de superfície verifica-se que o primeiro termo do lado direito da Equação 3.49 é nulo. Já o segundo termo desse mesmo lado é integrável e resulta em um fator independente após a realização da operação limite. Tal fator é apenas função das propriedades elásticas do material e da geometria do contorno sendo o mesmo apresentado a seguir como:
lim
�→ ∫ = (3.50)
Por fim o ultimo termo do segundo membro da Equação 3.49 resulta uma integral impropria que deve ser avaliada ao longo do contorno no sentido de Valor Principal de Cauchy sendo representado como:
lim
�→ ∫−̅ = ∫ (3.51)
Retomando a Equação 3.47, o segundo termo do primeiro membro pode agora ser analisado. Nesse, verifica-se a presença de uma hiper singularidade oriunda do termo de ordem ⁄ . Portanto, para proceder a análise do termo deve-se primeiramente efetuar a expansão dos deslocamentos, em torno do ponto fonte, em série de Taylor. Nessa expansão apenas os dois primeiros termos da série são considerados, pois os demais termos se anulam durante a execução do processo limite. Dessa maneira, é possível reescrever o limite do termo
como: lim
�→ ∫−̅ + = lim�→ ∫−̅ + lim�→ ∫ (3.52)
+ lim�→ ∫ , ( − ) − lim�→ ∫ , ( − )
Reorganizando os termos obtém-se: lim �→ ∫−̅ + = lim�→ ∫ [ − − , ( − )] + lim�→ ∫ + , lim�→ ∫ ( − ) + lim�→ ∫ −̅ (3.53)
Assumindo agora que a derivada do campo de deslocamentos possui continuidade de Holder verifica-se que o primeiro termo do segundo membro da Equação 3.53 é nulo. Já em relação ao segundo e o quarto termo da expressão, esses devem ser analisados conjuntamente. Isso porque mesmo após o procedimento de integração, esses ainda resultam fatores singulares. No entanto, as singularidades resultantes para o segundo e o quarto membro são de mesma ordem e sinais opostos e, portanto se anulam (PORTELA, 1992). Assim, a expressão resultante da soma dos dois termos considerados deve ser tomada no sentido de Parte Finita de Hadamard (PFH) conforme apresentado a seguir:
lim
�→ { ∫ + ∫−̅ } = ∫ (3.54)
Na equação, os dois traços na integral do membro direito indicam que a integração deve ser procedida tomando-se somente a Parte Finita de Hadamard. Por fim, o terceiro termo do segundo membro da Expressão 3.53 é integrável e resulta outro termo independente após a execução do processo limite:
, lim�→ ∫ ( − ) = , (3.55)
Ainda segundo PORTELA (1992), os termos independentes provenientes da análise de e podem ser adicionados de maneira a formar um único termo independente:
O fator ⁄ resulta da consideração de contornos suaves no posicionamento do ponto fonte.
A partir das considerações apresentadas a equação integral para representação das tensões pode ser escrita para pontos no contorno como:
� + ∫ = ∫ (3.57)
Utilizando a relação de equilíbrio de superfície apresentada no segundo capítulo, Equação 2.3, é possível escrever a equação integral hiper singular para a representação de forças de superfície dos pontos no contorno conforme apresentado:
+ ∫ = ∫ (3.58)
A partir das equações integrais de deslocamentos e forças de superfície escritas para o contorno, Equações 3.46 e 3.58, é possível então apresentar nos seguintes tópicos como as formulações singular e hiper singular do MEC propõem a introdução do contorno discretizado em elementos e pôr fim a construção do sistema de equações algébricas característico.
Vale ressaltar que como a equação hiper singular se origina da diferenciação da equação singular, no equacionamento da mesma foram impostas condições de continuidade sobre os campos de deslocamento e forças do contorno. Assim, Em se tratando da formulação hiper singular do MEC, para assegurar tal continuidade é necessário a utilização de elementos de contorno especiais os quais serão brevemente apresentados a seguir no tópico 3.8
3.5 FORMULAÇÃO SINGULAR DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
O Conforme apresentado no Tópico 3.3, a equação integral singular pode ser escrita para pontos localizados no contorno através de um processo limite. Assim, o MEC propõe que a resolução dessa equação integral deve ser procedida numericamente através de uma discretização do contorno em uma quantidade finita de elementos. Cada elemento possui uma determinada quantidade de nós por onde os campos dos deslocamentos e forças de superfície
do contorno serão interpolados. Para isso, utilizam-se funções de forma polinomiais que interpolam essas grandezas a partir dos valores nodais nos elementos. Dessa maneira, considerando os nós do contorno como pontos fonte e aplicando a Equação 3.46 para cada um desses nós, é possível obter um sistema de equações lineares algébricas. Uma vez aplicada as condições de contorno nesse sistema, pode ser encontrada uma resposta única que contém os valores incógnitos dos deslocamentos e das forças de superfície nodais os quais são usados para construir a solução aproximada no contorno.
Adotando-se uma notação matricial é apresentada a seguir a interpolação de deslocamentos e forças de superfície em um elemento com contorno .
= �
= � (3.59)
Sendo e os deslocamentos e forças de superfície em qualquer ponto do contorno e e são vetores que contém os deslocamentos e forças de superfície nodais do elemento nas direções , (caso bidimensional). Já � é a matriz de funções de forma do elemento o qual é composto por n nós:
� = [ n n 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 ] (3.60)
Da mesma maneira as soluções fundamentais de deslocamentos e forças de superfícies anteriormente apresentadas em notação indicial nas Equações 3.12 e 3.14 podem ser agrupadas em forma matricial conforme a equação a seguir:
∗ = [ ∗ ∗ ∗ ∗] ∗ = [ ∗ ∗
∗ ∗]
(3.61)
Nessas matrizes, os coeficientes ∗ e ∗ são respectivamente os deslocamentos e forças de superfície na direção devido a uma força unitária aplicada no ponto na direção
.
Assim como os deslocamentos e forças de superfície na Equação 3.59, as forças de domínio em qualquer ponto de Ω também podem ser expressas de forma vetorial como:
= { } (3.62) A partir das definições apresentadas em notação matricial a Equação integral singular 3.46 pode ser reescrita como:
+ ∫ ∗ d = ∫ ∗ d + ∫ ∗
Ω dΩ
(3.63) Sendo que para contornos suaves
= [ ⁄ ⁄ ] (3.64)
Na Equação 3.63, é o ponto fonte de aplicação da carga unitária. Levando em consideração a discretização do contorno proposta pelo MEC a Equação integral 3.63 pode ser reescrita como:
+ ∑ {∫ ∗�d } = = ∑ {∫ ∗�d } = + ∑ {∫ ∗ Ω dΩ} �= (3.65) O somatório de = até indica que a integral ao longo de todo o contorno fechado é igual à soma das integrais nos de todos os elementos de contorno. O tratamento da integral de domínio em 3.65 pode ser procedido por subdivisão do domínio em M células e então a integral pode ser calculada como o somatório das integrais em cada uma dessas unidades. No caso de forças de volume com comportamento constante ou linear é possível ainda transformar a integral de domínio em uma integral de contorno através do Método da reciprocidade dual.
As integrais da Equação 3.65 são geralmente calculadas numericamente devido às dificuldades de solução analítica. Uma das técnicas de integração numérica que pode ser utilizada nesse caso é a Quadratura de Gauss.
Para proceder a integração numérica no contorno dos elementos por Quadratura de Gauss é necessário primeiramente correlacionar as coordenadas globais , dos pontos pertencentes aos contornos com a coordenada adimensionais de Gauss cujo intervalo varia de -1 à 1. A Figura 3.2 ilustra a parametrização das coordenadas cartesianas.
Figura 3.2 Mapeamento das coordenadas globais por coordenada adimensional de Gauss
A correlação entre coordenadas pode ser feita usando as mesmas funções de forma que interpolam os campos de deslocamento e forças de superfície no contorno do problema. As coordenadas globais de qualquer ponto em um dado elemento podem então ser expressas em função das coordenadas nodais como.
= � ̅
= � ̅ (3.66)
Com a parametrização das coordenadas, as integrais podem então ser procedidas considerando o espaço adimensional. No entanto, é necessário levar em conta a transformação dos valores adimensionais para às dimensões do espaço real do problema. Isso é feito a partir do Jacobiano cuja representação geométrica é apresentada na Figura 3.3.
Figura 3.3 Interpretação geométrica do jacobiano (BREBBIA, TELLES, WROBEL, 1984 (Adaptado)) Considerando a figura é possível calcular o Jacobiano | | como:
= √( ) + ( ) = | |
= | |
Para calcular as derivadas de e em relação à basta utilizar a interpolação da Equação 3.66 e proceder a derivação:
= [ � ] ̅
= [ � ] ̅ (3.68)
Portanto, a Equação integral 3.65 pode ser reescrita em função de coordenadas adimensionais , como: + ∑ {∫ ∗�| |d } = = ∑ {∫ ∗�| |d } = + ∑ {∫ ∗ Ω | |d d } �= (3.69)
Onde | | representa outro jacobiano a ser definido no domínio.
Com os limites de integração adimensionais de cada elemento definidos de -1 à 1, agora é possível avaliar a integração dos elementos numericamente utilizando a Quadratura de Gauss. + ∑ {∑ ( ∗�) | | � = } = = ∑ {∑ ( ∗�) | | � = } + ∑ {∑ ∗ | | = } = = (3.70)
Onde é o número de pontos de integração no contorno de um elemento, são os pesos de Gauss nesses respectivos pontos, é o número de pontos de integração nas células e são os respectivos pesos e as funções ∗�, ∗� e ∗ devem ser avaliadas nos pontos de integração.
+ ∑ ̂ = = ∑ = + ∑ �= (3.71) As matrizes ̂ e , calculadas para um ponto fonte e um elemento , são conhecidas como matrizes de influência dos elementos de contorno e para o caso bidimensional são de ordem , sendo o número de nós pertencentes ao contorno do elemento . Tai matrizes podem ser calculadas como:
̂ = ∫ ∗�d = ∑ ( ∗�) | | � = = ∫ ∗�d = ∑ ( ∗�) | | � = (3.72)
Considerando agora a seguinte notação:
= ̂ ≠
= ̂ + = (3.73)
a Equação 3.71 pode ser escrita como:
∑ = = ∑ = + ∑ �= (3.74) Essa equação representa a contribuição de um ponto fonte ao longo de todos os elementos de contorno da estrutura. Adotando-se por vez cada nó do contorno como ponto fonte e somando a contribuição de todos os pontos fontes, o sistema de equações algébricas global da estrutura pode ser apresentado em forma matricial conforme a seguir.
= + (3.75)
Onde os vetores e representam os vetores de deslocamentos e forças de superfície em todo o contorno e é um vetor oriundo das forças de volume. Aplicando as condições de deslocamento e forças prescritas no contorno do problema é possível reorganizar o sistema procedendo convenientes trocas de colunas de modo que todos os valores incógnitos do contorno sejam agrupados em um vetor . Assim, o sistema final do MEC pode ser apresentado como:
3.6 FORMULAÇÃO HIPER SINGULAR DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE