O Segundo BREBBIA & DOMINGUEZ (1989) a equação integral de contorno que governa os problemas elastostáticos pode ser obtida a partir do conjunto de equações diferenciais do PVC partindo-se do Método dos Resíduos ponderados (MRP). O MRP é uma técnica clássica de resolução de problemas da engenharia sendo o mesmo a base da formulação de outros diferentes métodos numéricos como o MEF e MDF.
Para introduzir a formulação, considere um sólido contínuo em estado de equilíbrio com domínio Ω e contornos complementares e sujeito as seguintes condições de contorno:
a) – Condições de contorno essenciais ou de Dirichlet: = ̅ em
b) – Condições de contorno naturais ou de Neumann: = � = ̅ em
A equação de equilíbrio representa a forma forte do PVC e deve ser satisfeita para atender ao estado de equilíbrio do sólido:
� , + = Ω (3.16)
Considerando uma aproximação numérica, a equação acima passa a não ser atendida em todos os pontos e, portanto restará um resíduo ao se proceder o somatório dos valores resultantes da equação em todos os pontos. Sendo assim, o MRP propõe que tal resíduo deve ser minimizado sendo para isso necessário ortogonalizar o produto escalar entre a função a ser aproximada e a função ponderadora. Utilizando então o MRP e tomando a solução fundamental ∗ como função ponderadora obtém-se:
� ′ + , ∗ = ⇔ ∫ (� ′ + ) ∗ Ω Ω = (3.17) Ou ainda: ∫ � ′ ∗ Ω Ω + ∫ ∗ Ω Ω = (3.18)
Procedendo a integração por partes do primeiro termo do membro esquerdo da equação é possível obter:
∫ � ∗ − ∫ � , ∗ Ω Ω + ∫ ∗ Ω Ω = (3.19)
Utilizando a relação deslocamento deformação e o equilíbrio de forças de superfície a Equação 3.19 pode ser reescrita como:
− ∫ � Ω
Ω + ∫
∗ Ω
Ω = − ∫
∗ (3.20)
Considerando o teorema de reciprocidade de Betti, � ∗ = � ∗, e integrando por
partes o primeiro termo a esquerda da Equação 3.20 resulta: ∫ �∗ , Ω Ω + ∫ ∗ Ω Ω = − ∫ ∗ + ∫ ∗ (3.21)
Note que os termos a direita da equação acima correspondem a integrais de contorno. Considere ainda a subdivisão do contorno em e . Dessa maneira, é possível reescrever a equação como: ∫ �∗′ Ω Ω + ∫ ∗ Ω Ω = − ∫ ∗ − ∫ ̅ ∗ + ∫ ∗̅ + ∫ ∗ (3.22)
Na Equação 3.22, as barras em cima de p e u representam valores conhecidos da solução. No intuito de retornar da Expressão 3.22 para a 3.17 integra-se por partes duas vezes o primeiro termo da equação anterior. No entanto, como as condições de contorno foram impostas, a equação resulta em:
∫ (� ′ + ) ∗ Ω
Ω = ∫ ( − ̅ )
∗ + ∫ (̅ − ) ∗ (3.23)
A Expressão 3.23 corresponde a uma forma em resíduos ponderados generalizada, utilizada como ponto de partida para formulação integral. Em termos gerais, pode-se observar que a solução aproximada deve ser tal que o resíduo por ela gerado no domínio, ponderada por uma função peso, deve ser igual ao resíduo por ela gerado no contorno, também ponderado pela mesma função peso. Desta maneira considera-se, por exemplo, que a função peso não necessariamente seja homogênea nas condições de contorno.
Definido o ponto de partida agora retornemos à Expressão 3.22. Observe que devido ao equilíbrio, o integrante do primeiro termo da equação pode ser apresentado como:
� , ∗= − (3.24)
Sendo que as soluções fundamentais podem ser escritas como:
∗ = ∗
∗ = ∗ (3.25)
u ∗ e p ∗ são o deslocamento e a forças de superfície na direção em qualquer ponto
do problema devido a uma carga unitária aplicada na direção em um ponto . Considerando o ponto localizado no interior do domínio, levando-se em conta as propriedades do Delta de Dirac e substituindo a Equação 3.24 na primeira integral da Equação 3.22 obtêm-se para uma particular direção:
∫ �∗′ Ω
Ω = − ∫ ∆Ω Ω= −
(3.26) Assim, a Equação 3.22, pode agora ser escrita em termo de componentes independentes de deslocamento no ponto :
+ ∫ ∗ ̅ + ∫ ∗ = ∫ ∗ + ∫ ̅ ∗ + ∫ ∗ Ω
Ω
(3.17) Onde representa a componente do deslocamento no ponto devido a uma carga unitária aplicada na direção .
Pode-se observar que quando uma carga unitária é aplicada numa direção específica , os deslocamentos e forças de superfície têm componentes nas duas (ou três) direções enquanto que os termos do tipo � , são diferentes de zero apenas ao longo da direção . (BREBBIA e DOMINGUEZ, 1989). A Expressão 3.27 pode ser escrita de uma maneira mais compacta como:
+ ∫ ∗ = ∫ ∗ + ∫ ∗ Ω
Ω
(3.28) A Equação 3.28 é denominada identidade Somigliana em homenagem ao matemático Carlo Somigliana ou ainda equação integral singular. Essa permite calcular os deslocamentos em qualquer ponto do domínio desde que sejam conhecidos os deslocamentos e forças de superfície dos pontos de contorno, as forças de domínio atuantes e a solução fundamental.
Na ausência de forças de volume a identidade Somigliana pode ser apresentada como:
+ ∫ ∗ = ∫ ∗ (3.29)
Vale lembrar que essa equação é denominada singular devido à ordem de singularidade ⁄ da solução fundamental ∗. A partir da Equação 3.28, é possível resolver
os PVC’s utilizando a então chamada formulação singular do MEC conforme será apresentado no tópico seguinte.
No entanto, além da representação integral 3.28 dos problemas elastostáticos, é possível a partir da identidade Somigliana obter outra equação integral denominada de equação hiper singular com a qual também é possível solucionar os PVC’s da teoria da elasticidade. Visando obter tal equação é valido lembrar que a Expressão 3.29 é diferenciável uma vez que os termos ∗ e ∗ dependem unicamente da distância entre o ponto fonte e o ponto de interesse na análise denominado ponto campo. Portanto, procedendo a derivações obtém-se:
, + ∫ ∗ , = ∫ ∗ , (3.30)
Em 3.30, a diferenciação das soluções fundamentais é referente à distância
r
, tomando como referência o ponto fonte. Introduzindo a relação deslocamento deformação e lei constitutiva isotrópica, Equações 2.12 e 2.31, é possível então escrever a identidade Somigliana em termos de tensões conforme apresentado a seguir.� + ∫ = ∫ (3.31)
Onde os termos e contêm as derivadas das soluções fundamentais ∗ e ∗
em relação à direção respectivamente. Admitindo que as soluções fundamentais obtidas para problemas em EPD os termos e podem ser apresentados como:
= − { ,�[ − , + ( , + , ) − , , ,] (3.32)
+ ( , , , + , , , ) + − ( , , , + , + , ) − − , }
A Equação 3.31 é então denominada equação integral hiper singular. Isso devido a maior ordem de singularidade da expressão, ⁄ , a qual é encontrada no termo .
No caso de EPT, As soluções fundamentais ∗ e ∗ e os núcleos e permanecem iguais aos apresentados nas Equações 3.12, 3.14, 3.32, 3.33, porém, as constantes elásticas do material isotrópico devem ser alteradas da seguinte maneira:
∗ = + ⁄ +