No caso de estruturas constituídas de materiais não lineares, as dimensões da porção de material degradado na frente de uma fissura não são geralmente desprezíveis em relação às dimensões da estrutura. Em se tratando de MFEL, é assumido que toda a energia de
deformação da estrutura disponível é utilizada para a propagação da fissura. No entanto, em muitos materiais existem inúmeros outros mecanismos de degradação mecânica que são capazes de dissipar a energia potencial. Portanto, a energia disponível não é utilizada apenas na propagação da fissura, mas também é utilizada na degradação mecânica do material nas proximidades da ponta da fissura. Tais mecanismos, em geral, dificultam a propagação da fissura e por isso podem ser chamados de mecanismos de resistência à fratura. Entre os mecanismos mais comuns estão a deformação plástica nas proximidades das pontas de fissuras em materiais dúcteis, microfissuras e fricção em concretos e rochas ou ainda “fibre bridging” em madeiras e alguns compósitos.
Em materiais elásticos lineares frágeis, qualquer propagação de fissura representa uma falha catastrófica por fraturamento. No entanto, para materiais não lineares, devido aos mecanismos resistentes uma fissura pode propagar estavelmente até a trinca atingir um dado comprimento crítico que leva ao fraturamento instável. Os mesmos conceitos introduzidos por Griffith de taxa de liberação de energia podem também ser utilizados para descrever a propagação de trincas em materiais não lineares como é o caso dos materiais dúcteis, quase frágeis e elásticos não lineares. Novamente a condição de equilíbrio para a propagação de uma fissura em uma chapa é de que a derivada do potencial energético Π com respeito ao comprimento da fissura a deve ser igual a zero. Portanto é possível escrever essa condição de equilíbrio como = ou ainda = em que a energia necessária ao fraturamento também pode ser entendida como uma resistência à fratura . Para materiais elásticos lineares, essa resistência pode ser considerada uma propriedade do material que depende apenas da geometria e permanece constante no decorrer do crescimento da fissura. Já em materiais não lineares, quando os mecanismos resistentes são mobilizados os mesmos fazem com que a resistência à fratura aumente com o aumento do comprimento da fissura . Dessa maneira, podem ser traçadas curvas de resistência versus o comprimento da fissura ao longo do processo de fraturamento as quais são denominadas na literatura de curvas-R. Também pode ser traçada a energia potencial disponível para o fraturamento como uma função do comprimento da fissura. Assim, as curvas resistentes, ou curvas-R, podem ser consideradas como envoltória para as curvas solicitantes de energia disponível . Um exemplo desse tipo de envoltória é ilustrado na Figura 5.6 para avaliar o processo de fraturamento em materiais a partir de uma fissura inicial de comprimento .
Figura 5.6 Curvas-R e curvas de energia disponível G ao longo do fraturamento dos materiais
No caso de materiais frágeis, como os efeitos dos mecanismos resistentes são praticamente desprezíveis, o trecho não linear da curva resistente é muito pequeno em comparação ao comprimento da fissura. Portanto a curva-R permanece constante. Já nos materiais não lineares, os mecanismos resistentes fazem com que a resistência à fratura aumente ao longo do fraturamento. No entanto, caso as fissuras apresentem dimensões muito grandes, mesmo em materiais não lineares a curva resistente também tenderá a ser constante podendo os conceitos de MFEL serem novamente aplicados. Em relação às curvas de energia disponível para o fraturamento, essas dependem da geometria da estrutura, do carregamento � e também são funções crescentes com o aumento do comprimento da fissura. Conforme apresentado anteriormente, a condição para a fissura crescer é = . No entanto, como existe a possibilidade da curva-R não ser mais constante, esse critério se torna um pouco mais complicado. Em materiais não lineares, quando uma fissura cresce a propagação pode ocorrer estável ou instavelmente a depender das variações das curvas em relação às variações no comprimento da fissura. Dessa maneira, pode ser apresentado um critério mais abrangente para prever a estabilidade da propagação ao derivar-se novamente o potencial energético em relação a : Π = { > ⋮ã á < ⋮ã á = ⋮ã á (5.16)
Baseado no processo de fraturamento dos materiais ilustrado na Figura 5.6, é possível perceber que uma dada solicitação � não é o suficiente para propagar a fissura uma vez que < . Já a solicitação � gera uma propagação a qual é instável para o caso de materiais frágeis porém, é estável para o caso de materiais não lineares. Nessa segunda hipótese, caso o carregamento permaneça constante, a fissura irá se propagar somente até atingir um determinado comprimento (por exemplo ) em que < novamente. Nessa circunstância a fissura não irá se propagar a menos que haja um aumento da tensão solicitante. Por fim, caso a tensão aumente para � a fratura se propagará até um comprimento crítico . Nessa situação temos novamente a condição = e ⁄ = / . A partir desse ponto, qualquer aumento na fissura pode ocasionar na propagação instável onde a fissura crescerá mesmo que a tensão solicitante permaneça constante ou mesmo diminua.
A determinação da taxa de liberação de energia ao longo do fraturamento é uma árdua tarefa uma vez que envolve o balanço global de energia da estrutura. Além disso, o problema pode complicar mais ainda quando se trata de materiais não lineares. Uma alternativa para a determinação de foi proposta por RICE (1968) e envolve apenas uma análise local próxima à ponta da fissura. O autor propôs que, para materiais elásticos, a taxa de liberação de energia é igual a integral-J. J é uma integral ao longo de um contorno arbitrário, girando no sentido anti-horário, e circundante à ponta da fissura localizada no interior de um sólido submetido à tensões. A Equação 5.17 e a Figura 5.7 apresentam a definição dessa integral cujo valor independe do caminho de integração interno ao sólido.
= ∫ [ , − ⃗ ⃗⃗ ] (5.17)
Apesar de ser muito utilizada, a integral-J também possui suas limitações. A igualdade = só é válida para materiais elásticos os quais podem ser lineares ou não lineares. Portanto, a independência do caminho para o valor de só é valida caso a curva tensão- deformação do material durante o carregamento seja igual à curva tensão-deformação no descarregamento. Nessas circunstâncias, a integral coincide com o valor de .
Para grande parte dos materiais reais a independência do caminho na integral-J não é atendida e, portanto ≠ . Entre esses materiais incluem-se os dúcteis e quase frágeis nos quais uma vez mobilizados os mecanismos não lineares, danos irreversíveis na micro estrutura são verificados. Portanto, a taxa de liberação de energia só pode ser aproximada pela integral- J em materiais onde a ZPI é pequena em comparação à região interna ao contorno de integração .
Como a integral-J possui muitas limitações e a análise das curvas G e curvas-R requerem uma árdua análise global, outros modelos foram propostos para descrever o fraturamento dos materiais dúcteis e quase frágeis. Para isso, estudiosos propuseram diferentes maneiras para modelar macroscopicamente os mecanismos resistentes microscópicos que ocorrem na ZPI de tais tipos materiais. Em geral, sabe-se que uma representação coerente da ZPI leva a uma coerente representação global do material. Nesse sentido, é conveniente agora diferenciar a fratura não linear em materiais dúcteis da fratura não linear em materiais quase frágeis. Até então, ambas vinham sendo tratadas como fraturas em matérias não lineares. No entanto, os processos inelásticos que ocorrem na ZPI dessas duas classes são muito diferentes e influenciam crucialmente no fenômeno do fraturamento. Interiormente à ZPI existe uma região de alta concentração de tensões o que leva o material a perder sua forma íntegra. Essa região é denominada zona de processo de fraturamento. Em materiais dúcteis como metais, tal região é pequena em comparação com a dimensão total da ZPI. Assim, nesses materiais o mecanismo não linear de plastificação se manifesta primeiramente em relação à propagação de fissuras sendo o principal responsável pelo colapso do material. Já em materiais quase frágeis, a zona de processos de fraturamento ocupa quase totalmente a ZPI. Isso faz com que esse tipo de material manifeste a propagação das fissuras em detrimento a outros mecanismos não lineares de dissipação de energia (KARIHALOO, 1995). A seguir, a Figura 5.8 ilustra esquematicamente a ZPI englobando a zona de fraturamento para o caso de materiais frágeis, dúcteis e quase frágeis.
Figura 5.8 Características da zona de fraturamento F em relação à zona de processos não lineares N e a região linear L para diferentes materiais: (a) Frágeis, (b) Dúcteis, (c) Quase frágeis. (KARIHALOO, 1995)
As ideias pioneiras em relação à representação da ZPI surgiram aplicadas a materiais dúcteis. Nesses materiais, quase toda a ZPI corresponde à uma zona de deformações plásticas. Basicamente, existem quatro principais abordagens para a representação da zona plástica em metais: A abordagem de Irwin por meio da qual é assumida uma forma pré-concebida para a zona plástica, o modelo coesivo proposto por DUGDALE (1960) e BARENBLATT (1962) e a abordagem baseada em critérios de resistência via análise por métodos numéricos.
Apesar dos trabalhos desses autores tratarem da fratura em materiais dúcteis, suas ideias inspiraram outros estudiosos a desenvolverem modelos que representassem a zona de fraturamento em materiais quase frágeis. No modelo proposto, a fissura e a respectiva zona plástica desenvolvida em sua ponta durante o fraturamento são tratadas como uma fissura fictícia efetiva de comprimento maior com tensões em suas faces no sentido de fechá-las. A Figura 5.9 a seguir ilustra o modelo coesivo de DUGDALE (1960) para uma chapa infinita solicitada a modo I de fratura.
Figura 5.9 Comprimento efetivo de fissura para representar deformações plásticas na ponta de trincas. Conforme ilustrado, a dimensão da zona plástica é considerada como a diferença entre o comprimento da fissura fictícia menos o comprimento da fissura real. Além disso, a tensão atuante nas pontas da fissura fictícia, ou tensão coesiva, é constante e igual à tensão de escoamento � do material. Para impor o comprimento da fissura fictícia e consecutivamente determinar o comprimento da zona plástica , DUGDALE (1960) propôs que esse comprimento deve ser tal que faça com que o Fator de Intensidade de Tensão do modo I de fratura valha zero na ponta da fissura fictícia.
O fator de intensidade de tensão para o problema da Figura 5.9 pode ser obtido superpondo dois problemas mais básicos: O de uma fissura livre de tensões com comprimento igual a solicitada por uma tensão remota � e outro onde a fissura é solicitada em suas faces nas regiões próximas às pontas por uma tensão constante � . Os fatores de intensidade de tensão para ambos os casos são, respectivamente, �� = �√ + e �� =
� − ⁄ + √ + ⁄ . Portanto, é determinado a partir da seguinte condição:
�� + �� = → = �� = � � (5.18)
É válido mencionar que na Equação 5.18, o termo − ⁄ + foi expandido em série e os termos de ordem superior foram desprezados para obter uma expressão direta de .
Baseado nessas ideias, HILLERBORG et al. (1976) desenvolveram um modelo de fissura fictícia similar ao de DUGDALE (1960) e BARENBLATT (1962) para representar a
zona de fraturamento em materiais quase frágeis como o concreto e a madeira. Nas próximas seções desse capítulo esse modelo será melhor apresentado para tratar da fratura em tais materiais uma vez que o mesmo foi incorporado na formulação de multi regiões do MEC para simular ensaios de fraturamento em peças de concreto e madeira.