Evidentemente n˜ao h´a resposta a essa pergunta, pois se h= 0.5, por exemplo, ent˜ao 1000h4 = 62.5, que ´e (bem) maior do que 0.2h2= 0.05, mas por outro lado seh= 0.01 ent˜ao 1000h4 = 10−5, menor do que 0.2h2 = 2×10−5. Na verdade, mesmo que 1000h4 seja maior do que 0.2h2, para certos valores de h, isso nunca vai acontecer se h for suficientemente pequeno, pois
1000h4
0.2h2 = 5000h2 →0
quando h tende a zero. O limite indica mais ainda do que isso: a raz˜ao entre 1000h4 e 0.2h2 ´e tanto menor quanto menor for h. Se, por exemplo, quisermos que 1000h4 seja 100 vezes menor do que 0.2h2, ent˜ao basta tomarh menor do que 0.0014 (truncamento de 500000−1/2).
Nesta linha de racioc´ınio, quando h tende a ser pequeno, as melhores estimativas tendem a ser aquelas que tˆem mais alta potˆencia de h. S˜ao melhores nesse sentido, portanto, as estimativas do M´etodo de Simpson, e dentre elas a segunda, pois, dentre as duas com h4, ´e aquela com menor constante multiplicativa:
ES(h) = 1
180max|f(iv)| · |b−a|h4.
As trˆes estimativas para o M´etodo dos Trap´ezios s˜ao da mesma ordem (h2), sendo a terceira um pouco pior do que as outras duas, por apresentar constante multiplicativa maior. Ent˜ao
ET(h) = 1
12max|f00| · |b−a|h2 .
Essas duas estimativas s˜ao as que iremos adotar nas aplica¸c˜oes pr´aticas.
e decrescente no intervalo considerado, atingindo seu m´aximo necessariamente emx= 1.
O valor desse m´aximo ´e f00(1) = 2. Assim sendo, a f´ormula de erro fica ET(h) = h2
6 .
Essa f´ormula representa o erro m´aximo da estimativa. Portanto, se quisermos ga-rantir que o erro da estimativa seja menor do que 5×10−5, basta garantir que ET(h) seja menor do que esse valor, isto ´e, gostar´ıamos de escolherh de tal forma que
h2
6 <5×10−5 . Isto ´e o mesmo que pedir
h <p
30×10−5 = 0.01732. . .
At´e agora, a conclus˜ao ´e que qualquer valor de h menor do que 0.01732. . . servir´a para obter a estimativa com a precis˜ao desejada, usando-se o M´etodo dos Trap´ezios.
Acontece que h tamb´em deve ser tal que o comprimento total do intervalo seja um m´ultiplo inteiro deh. Ou seja, devemos ter
b−a h =n . Comob−a= 1 e h <0.01732. . . ent˜ao
n= b−a
h = 1
h > 1
0.01732. . . = 57.7. . . ,
implicando que n deve ser maior ou igual a 58. Ent˜ao precisamos dividir o intervalo [1,2] em no m´ınimo 58 intervalinhos para conseguir a estimativa desejada, com a precis˜ao requerida!
E o M´etodo de Simpson, ser´a que ´e mais vantajoso neste exemplo? Ser´a que com menos intervalos na parti¸c˜ao conseguiremos garantir a mesma precis˜ao? Agora temos que nos concentrar na f´ormula de ES(h), que depende do m´aximo valor absoluto da quarta derivada, entre 1 e 2. Como f00(x) = x23, temos f000(x) = −x64 e f(iv)(x) = 24x5. Essa fun¸c˜ao ´e positiva e decrescente em [1,2] de forma que seu m´aximo ´e atingido em x= 1 e ´e igual a 24. Ent˜ao
ES(h) = 24
180h4 = 2 15h4 . Como queremosES(h)<5×10−5, basta tomarh tal que
2
15h4 <5×10−5 ,
isto ´e,
h <
15·5
2 ×10−5 14
= 0.139. . . .
Ent˜ao o n´umeronde intervalos da parti¸c˜ao ser´a maior do que 1
0.139. . . = 7.18. . .
Aqui deve-se prestar uma aten¸c˜ao a mais: no M´etodo de Simpson o n´umero de intervalos deve ser par. Portanton= 8 j´a ´e uma boa escolha!
Como o M´etodo de Simpson se revela consideravelmente menos trabalhoso para se obter, garantidamente, a precis˜ao desejada, fa¸camos os c´alculos correspondentes. Mas antes teremos que determinar o n´umero de algarismos significativos ou de casas decimais envolvidos. Na verdade, como se trata de delimitar um erro absoluto, ´e melhor considerar fixo o n´umero de casas decimais.
Observe que o erro em cada arredondamento def(xi) ´e de, no m´aximo, 0.5×10−N, ondeN ´e o n´umero de casas decimais utilizadas. UsandoN casas decimais, a soma
f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + 4f(x5) + 2f(x6) + 4f(x7) +f(x8) acumular´a no m´aximo 20 vezes esse valor (20 ´e a soma dos coeficientes dos f(xi)’s). O erro acumulado ser´a, no m´aximo, 10×10−N, ou seja, da ordem da casa decimal anterior.
Acontece que depois essa soma ser´a multiplicada por h3, que ´e igual a 241, de forma que o erro m´aximo por arredondamento no valor final ficar´a menor do que 0.5×10−N (por exemplo, se usarmos 5 casas decimais o arredondamento provocar´a erro de no m´aximo 0.5×10−5). Pela f´ormula de Simpson, a ado¸c˜ao de n= 8 nos leva a um erro m´aximo
ES(h) = 2 15
1 8
4
≈3.26×10−5,
de forma que um erro adicional de 10−5 por arredondamento n˜ao nos tirar´a da margem previamente delimitada de 5×10−5. O que nos faz concluir que o uso de 5 casas decimais
´
e suficiente para os c´alculos.
Ent˜ao vamos a eles! A tabela abaixo mostra os valores def nos pontos da parti¸c˜ao, arredondados para 5 casas decimais.
i xi f(xi) 0 1.000 1.00000 1 1.125 0.88889 2 1.250 0.80000 3 1.375 0.72727 4 1.500 0.66667 5 1.625 0.61538 6 1.750 0.57143 7 1.875 0.53333 8 2.000 0.50000 Obtemos
S(1 8) = 1
24 ×16.63568 = 0.69315,
que difere do valor verdadeiro por menos do que 10−5, dentro, portanto e com folga, da precis˜ao pedida.
Exerc´ıcio. A integral
Z 2 1
ex xdx
´e maior ou menor do que 3? Justifique sua resposta e dˆe uma estimativa para a integral.
Exerc´ıcio. Investigue, de maneira geral, como deve se dar a escolha do n´umero de casas decimais dos c´alculos do M´etodo dos Trap´ezios e do M´etodo de Simpson, baseado no que foi feito no exemplo acima, e levando em conta a precis˜ao que se quer atingir no resultado final. Proponha uma “receita” para essa escolha.
Exerc´ıcio. Determine uma f´ormula para S(h2) em fun¸c˜ao de T(h) e T(h2).
Exerc´ıcio. Procure integrar numericamente fun¸c˜oes cujas primitivas sejam conheci-das, de forma a comparar os resultados obtidos com os valores exatos. Examine a integra¸c˜ao num´erica da fun¸c˜ao Gaussiana e−x2, largamente utilizada em Probabilidade e Estat´ıstica.
Exerc´ıcio. Considere a fun¸c˜ao lnx = Rx 1
1
tdt. O objetivo deste exerc´ıcio ´e ver que o n´umero e pode ser obtido atrav´es da solu¸c˜ao num´erica da equa¸c˜ao lnx = 1, usando o M´etodo de Newton e calculando logaritmos somente atrav´es da defini¸c˜ao.
1. Determine a fun¸c˜ao de itera¸c˜aoϕdo M´etodo de Newton, que resolve esta equa¸c˜ao numericamente.
2. Determine o erro m´aximo de se calcular lnx, para 1 ≤x ≤ 3, usando o M´etodo de Simpson com 8 intervalos.
3. Tome x0 = 3 e calculex1=ϕ(x0) (use 4 casas decimais para os valores de 1t, e 8 intervalos para a integra¸c˜ao).
4. Calculex2=ϕ(x1), com 4 casas decimais e 8 intervalos.
5. Discuta uma estrat´egia que vocˆe adotaria para mostrar que e est´a, com certeza, no intervalo [2.716,2.720].
Exerc´ıcio. Usando o m´etodo de m´ınimos quadrados, aproxime e−x2 por um polinˆomio de grau 4 no intervalo [−1,1]. Para isso, use a fam´ılia de polinˆomios ortogonais (nesse intervalo) g0(x) = 1,g1(x) =x, g2(x) =x2−13, g3(x) =x3−35x, g4(x) =x4−67x2+353, sabendo que < g0, g0 >= 2, < g1, g1 >= 23, < g2, g2 >= 458, < g3, g3 >= 1758 , <
g4, g4 >= 11025128 . Observe que ser´a preciso calcular a integral gaussiana. Outras integrais ou ser˜ao nulas (porque o integrando ´e ´ımpar) ou podem ser reduzidas, por sucessivas integra¸c˜oes por partes, `a integral gaussiana. Estime os valores num´ericos usando uma aproxima¸c˜ao para essa integral.
Exerc´ıcio. Considere a equa¸c˜aof(x) =Rx
0 e−t2dt−1 = 0.
1. Defina a fun¸c˜ao de itera¸c˜aoϕ do M´etodo de Newton para resolver a equa¸c˜ao.
2. Com x0 = 1, obtenha x1 =ϕ(x0).