Consideremos um pˆendulo simples sem atrito. Mostraremos que a Lei de Conserva¸c˜ao da Energia implica que a velocidade depende somente da posi¸c˜ao do pˆendulo.
A energia cin´etica do pˆendulo ´e dada por 12mv2, onde v representa sua velocidade linear. Se o comprimento da haste for igual al, essa velocidade ´e igual alω, onde ω´e a velocidade angular.
Por outro lado, a energia potencial ´e igual amgh, onde h´e a altura do pˆendulo em rela¸c˜ao ao solo. A bem da verdade a energia potencial ´e uma grandeza relativa, o que quer dizer que podemos somar uma constante a essa energia e nada se alterar´a. Ou ainda, quer dizer que podemos supor que o solo est´a na altura que quisermos, inclusive acima do pˆendulo!! Aqui assumiremos que o solo est´a na altura do ponto mais baixo do pˆendulo, de forma que ah se relaciona com a coordenada angularθ por
h=l−lcosθ .
θ
h l
A energia total ´e a soma da energia cin´etica com a energia potencial, e essa energia
´
e constante:
1
2ml2ω2+mgl(1−cosθ) =E . Mas quanto vale essa constante E?
Observe que a constante E tem a ver com a amplitude θ0 do movimento: quanto maior for a amplitude, maior ser´a essa energia. Para n˜ao ficar d´uvidas, θ0 representa o ˆangulo m´aximo que o pˆendulo alcan¸ca a partir da posi¸c˜ao vertical mais baixa, logo o maior valor que pode assumir, em tese, ´eπ(estamos evitando considerar o movimento em que a posi¸c˜aoθ=π´e “atravessada”). Quando o pˆendulo atinge o ˆangulo m´aximo (θ0 ou
−θ0, tanto faz), h´a uma revers˜ao do movimento, e a velocidade angular instantaneamente se anula. Nesse caso, a energia cin´etica ´e nula, e toda a energia se concentra na energia potencial. Em outras palavras, a energia total E ´e igual `a energia potencial no ˆangulo m´aximo θ0.
Substituindo na equa¸c˜ao acima, obtemos ω2 = 2g
l [(1−cosθ0)−(1−cosθ)] .
A express˜ao entre colchetes pode ser simplificada para cosθ−cosθ0, por´em mais tarde voltaremos a deix´a-la dessa forma por raz˜oes t´ecnicas.
Notemos que essa equa¸c˜ao tem duas solu¸c˜oes, uma positiva e uma negativa. De toda forma, ela evidencia a dependˆencia da velocidade angular em rela¸c˜ao `a posi¸c˜ao: fixada a amplitudeθ0 do movimento, para cada posi¸c˜aoθ (entre−θ0 eθ0), a velocidade angular ω s´o pode assumir dois valores, um negativo e um positivo, e ambos de igual m´odulo.
Um dos valores representa o movimento de “ida” do pˆendulo e o outro de “volta”.
Para obter o per´ıodo do pˆendulo, podemos calcular o tempo decorrido para se ir de
−θ0 at´eθ0, no movimento de “ida” (velocidade angular positiva). De fato, pela simetria
do movimento, basta analisar o percurso deθ= 0 at´e θ=θ0, percorrido em um quarto do per´ıodo. Levando em conta as considera¸c˜oes da Se¸c˜ao anterior, teremos
T 4 =
Z θ0
0
1 ω(θ)dθ , logo
T = 4· s
l 2g
Z θ0
0
√ 1
cosθ−cosθ0
dθ .
Vale apenas examinarmos com mais aten¸c˜ao essa integral, tentando esbo¸car o inte-grando. Primeiro desenhamos a fun¸c˜ao cosθ, marcando a altura de cosθ0 (que pode ser negativo, se θ0 > π2). A partir da´ı esbo¸camos a fun¸c˜ao cosθ−cosθ0, no intervalo [0, θ0], que ´e o que nos interessa. Essa fun¸c˜ao tem derivada n˜ao nula em θ0, a n˜ao ser queθ0=π, mas esse caso n˜ao ser´a considerado.
π2
cosθ−cosθ0
θ π
0
θ
0
cosθ−cosθ0
( )1/2 (cosθ−cosθ0)−1/2
θ0
θ
0 θ
0
θ
0
Em seguida, extra´ımos a raiz dessa fun¸c˜ao, e observamos que a inclina¸c˜ao da fun¸c˜ao
√cosθ−cosθ0 vai a infinito quando θvai aθ0. Como a fun¸c˜ao original tinha “cara” de c(θ0−θ) (perto de θ0), quando tiramos a raiz ela fica com “cara” dec(θ0−θ)12 (basta comparar com os gr´aficosy=cxe y=√
cx, por´em afirma¸c˜oes mais precisas podem ser obtidas usando F´ormula de Taylor, vide Apˆendice B).
Acontece que o integrando ´e (cosθ−cosθ0)−12, que tem “cara” dec(θ0−θ)−12 perto de θ0. ´E uma fun¸c˜ao divergente em θ0 (vai a infinito), e ´e natural que nos questio-nemos sobre a convergˆencia da integral. Fisicamente sabemos que a integral tem que convergir, pois o pˆendulo alcan¸ca o ˆangulo de amplitude m´axima em tempo finito. Mas e matematicamente?
E emp´ırico por´´ em extremamente v´alido pensar na integrabilidade da fun¸c˜ao x−12 entre 0 e 1. Neste caso, a divergˆencia ocorre em x = 0. Essa integral existe, pois se tomarmos a integral
Z 1 a
x−1/2dx= 2x1/2
1
a= 2(1−a1/2),
teremos que ela tende a 2 quandoatende a zero, e portanto converge. De fato, a integral de qualquer fun¸c˜ao x−α, com 0 < α < 1 existe em (0,1), pelas mesmas raz˜oes. Fica para o leitor verificar que o mesmo n˜ao ocorre comα≥1!
Apesar de n˜ao haver problema quanto `a convergˆencia da integral que fornece o per´ıodo do pˆendulo, veremos no pr´oximo Cap´ıtulo que nossos m´etodos se prestar˜ao mais a fun¸c˜oes que sejam cont´ınuas no intervalo de integra¸c˜ao, inclusive nos extremos.
O “pulo do gato” neste caso ´e que uma mudan¸ca de coordenadas (muito) esperta pode transformar a integral acima numa outra cujo integrando seja uma fun¸c˜ao cont´ınua dentro de um intervalo, isto ´e, sem pontos de divergˆencia. Fa¸camos ent˜ao essa mudan¸ca de coordenadas, que a bem da verdade ser´a uma seq¨uˆencia de duas substitui¸c˜oes.
A primeira substitui¸c˜ao ser´a inofensiva. Faremosη= θθ
0 (logo dη= dθθ
0), e ficaremos com uma integral no intervalo (0,1) (independentemente deθ0):
T = 4· s
l 2g ·θ0
Z 1 0
1
pcos(ηθ0)−cosθ0dη .
Em seguida lembramos de como estava escrito o radicando, para obtermos pcos(ηθ0)−cosθ0 =p
(1−cosθ0)−(1−cos(ηθ0)) =p
1−cosθ0· s
1−1−cos(ηθ0) 1−cosθ0
,
e j´a tiramos o fator (1−cosθ0)−12 para fora da integral. S´o para n˜ao nos perdermos nas contas, o conjunto de termos que multiplica a integral ´e
4· s
l
2g ·√ θ0
1−cosθ0
. Observe que a fra¸c˜ao
1−cos(ηθ0) 1−cosθ0
varia monotamente de 0 a 1 quando η varia de 0 a 1. Fazemos ent˜ao a substitui¸c˜ao sen2ξ = 1−cos(ηθ0)
1−cosθ0 ,
onde ξ varia entre 0 e π2. Da´ı teremos uma integral de 0 a π2 de cosdηξ, mas precisamos colocar tudo em fun¸c˜ao deξ. Diferenciando os dois lados da equa¸c˜ao acima e dividindo por cosξ, obtemos
2senξdξ= θ0
1−cosθ0sen(θ0η) dη cosξ ,
logo
dη
cosξ = 2(1−cosθ0) θ0
· senξ sen(θ0η)dξ .
Note que ainda temos um termo dependendo de η. Da equa¸c˜ao onde introduzimos a substitui¸c˜ao, podemos isolar cos(θ0η):
cos(θ0η) = 1−(1−cosθ0)sen2ξ , logo
sen(θ0η) =p
1−[1−(1−cosθ0)sen2ξ]2 ou, simplificando,
sen(θ0η) =√ 2p
1−cosθ0senξ r
1−1−cosθ0 2 sen2ξ . J´a que 1−cos2 θ0 ´e sempre um n´umero n˜ao negativo, denominamos
κ2 = 1−cosθ0
2 ,
e juntando tudo obtemos (depois de v´arios cancelamentos) T = 4
s l g
Z π
2
0
1
p1−κ2sen2ξdξ .
Se θ0 < π ent˜ao κ2 < 1 e o denominador do integrando nunca se anula. Portanto este integrando ´e cont´ınuo no intervalo [0,π2]. No caso em que θ0 = π o integrando ´e divergente em π2 e a pr´opria integral ´e divergente (o leitor ´e convidado a comparar com sua intui¸c˜ao f´ısica). De fato, quanto mais θ0 se aproxima de π maior se torna T, em outras palavras, o per´ıodo do movimento vai a infinito quando a amplitude se aproxima deπ.
Por outro lado, quando a amplitude se aproxima de 0 significa queκ2se aproxima de 0, e o integrando se aproxima da fun¸c˜ao constante igual a 1. Isso implica que o per´ıodo se aproxima do conhecido valor
2π s
l g . A integral
Z 1
p1−κ2sen2ξdξ ,
com 0 < κ2 < 1, ´e conhecida como integral el´ıptica do segundo tipo e n˜ao pode ser expressa por meio de combina¸c˜oes finitas de fun¸c˜oes elementares. Portanton˜ao h´a uma f´ormula fechada para o per´ıodo do pˆendulo em fun¸c˜ao da amplitude do movimento.