Para resumir tudo o que dissemos at´e agora sobre a existˆencia e a unicidade de solu¸c˜oes de um sistema linear, fa¸camos um quadro comparativo que ilustra as ´unicas duas alter-nativas que podem ocorrer para a matriz de coeficientesA, quando se quer resolver um sistema linear Au=b.
Alternativa 1.
1. Para qualquerb, sempre existe ´unica solu¸c˜ao paraAu=b
2. A ´e bijetiva, como transforma¸c˜ao linear 3. Au= 0 implicau= 0
4. As colunas deAs˜ao linearmente independentes 5. As linhas deA s˜ao linearmente independentes 6. detA6= 0
Alternativa 2.
1. Oub´e tal queAu=bn˜ao tem solu¸c˜ao oub´e tal queAu=btem infinitas solu¸c˜oes, e sempre existem exemplos dos dois casos
2. A n˜ao ´e nem injetiva nem sobrejetiva 3. Existeu6= 0 tal que Au= 0
4. As colunas deAs˜ao linearmente dependentes 5. As linhas deA s˜ao linearmente dependentes 6. detA= 0
O M´ etodo de Escalonamento
3.1 O m´ etodo
Nesta Se¸c˜ao discutiremos um m´etodo de resolu¸c˜ao de sistemas lineares, chamado M´etodo do Escalonamento. O m´etodo se baseia, em primeiro lugar, no fato de que um sistema triangularizado como abaixo tem f´acil solu¸c˜ao:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1 a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
a33x3 + . . . + a3nxn = b3 ... annxn = bn
Na verdade, ´e tanto necess´ario quanto suficiente que todos os coeficientes na diagonal sejam n˜ao-nulos para que se explicite a solu¸c˜ao de forma unica (se um dos termos da diagonal for nulo ent˜ao haver´a vari´aveis livres e uma infinidade de solu¸c˜oes). A solu¸c˜ao, nesse caso, se obt´em a partir da ´ultima equa¸c˜ao. Primeiro, isola-se xn:
xn= 1 annbn. A pen´ultima equa¸c˜ao ´e
an−1,n−1xn−1+an−1,nxn=bn−1, ent˜ao
xn−1 = 1 an−1,n−1
(bn−1−an−1,nxn) .
Como xn j´a foi determinado, da equa¸c˜ao acima determina-se tamb´em xn−1. E assim por diante, at´e se conseguir o valor dex1.
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Um sistema triangularizado torna-se ent˜ao o objetivo do m´etodo. Para ser mais preciso, pretende-se obter um sistema linear triangularizado equivalente ao original.
Aqui entenderemos que dois sistemas lineares s˜ao equivalentes se eles possuem exa-tamente as mesmas solu¸c˜oes, ou seja: se um conjunto de n´umeros x1, . . . , xn ´e solu¸c˜ao de um sistema ent˜ao automaticamente ser´a solu¸c˜ao do outro.
Pode-se trocar um sistema linear por outro equivalente atrav´es do seguinte processo.
Escolhem-se duas linhas, a linhaie a linha j, e no lugar da linha j coloca-se uma linha que seja combina¸c˜ao linear da linha icom a linhaj, exceto que essa combina¸c˜ao linear n˜ao pode ser somente a linha i (sen˜ao a informa¸c˜ao sobre a linha j desaparece, o que pode tornar o sistema indeterminado). Mais precisamente, o sistema linear
a11x1+a12x2+. . .+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+. . .+a2nxn=b2 ...
an1x1+an2x2+. . .+annxn=bn passa a ter, no lugar da linhaj, a seguinte linha:
(αaj1+βai1)x1+. . .+ (αajn+βain)xn=αbj+βbi,
ondeα6= 0, para que a linha j n˜ao seja meramente substitu´ıda pela linha i. ´E evidente que qualquer solu¸c˜ao do sistema linear original ser´a solu¸c˜ao do sistema linear alterado.
Ser´a que vale o inverso?
De fato, sim. Se os n´umeros x1, . . . , xn formam uma solu¸c˜ao do sistema alterado, ent˜ao j´a garantimos que esses n´umeros satisfazem todas as equa¸c˜oes do sistema original, exceto possivelmente a equa¸c˜ao j. Acontece que subtraindo da linha alterada a linha i multiplicada por β vemos que a linha j ´e automaticamente satisfeita, contanto que α6= 0.
O essencial nesse “truque” ´e que podemos controlar α e β de forma que a linha substituta tenha um zero em certa posi¸c˜ao. Por exemplo, suponha que na linha i o termoaik (k-´esima coluna) seja diferente de zero. Com isso, podemos substituir a linha jpor uma linha em que nak-´esima coluna o coeficiente seja nulo. Basta colocar a linha
1·(linha j)− ajk aik
·(linha i). Assim, ok-´esimo coeficiente ser´a
ajk−ajk aik
·aik= 0.
Usando judiciosamente essa opera¸c˜ao podemos ir substituindo as linhas, uma por uma, at´e chegar a um sistema triangularizado equivalente ao original. Antes de explicar
o procedimento, no entanto, convencionemos uma forma mais f´acil de escrever o sis-tema linear: a forma matricial. Nessa forma de escrever, s´o colocamos o que realmente interessa no sistema linear: os coeficientes. Numa matriz de n linhas e n+ 1 colunas colocamos todos eles, deixando a ´ultima coluna para os termos independentes (e em geral separando essa coluna das demais para n˜ao haver confus˜ao):
a11 a12 . . . a1n | b1 a21 a22 . . . a2n | b2
... ... ... ... ... an1 an2 . . . ann | bn
Uma observa¸c˜ao importante que devemos fazer neste ponto da exposi¸c˜ao ´e que a ordem das linhas n˜ao importa na montagem da equa¸c˜ao, pois as linhas s˜ao as equa¸c˜oes, e todas as equa¸c˜oes devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. J´a a ordem das colunas ´e importante, pois a primeira coluna representa a inc´ognita x1, a segunda representa a inc´ognitax2, etc. Se quisermos trocar a ordem das colunas, teremos antes que renumerar as inc´ognitas!
O procedimento de escalonamento funciona assim. Primeiramente verificamos se a11 6= 0. Se n˜ao for, procuramos alguma linha cujo primeiro coeficiente seja diferente de zero e a trocamos de posi¸c˜ao com a primeira. Se n˜ao houver nenhuma linha cujo primeiro coeficiente seja n˜ao-nulo ent˜ao x1 n˜ao entra no sistema linear e pode ser, a princ´ıpio, qualquer. Al´em disso, percebe-se que de fato o sistema linear envolve apenas n−1 inc´ognitas emnequa¸c˜oes, havendo grande chance de n˜ao ter solu¸c˜ao. De qualquer forma, se isso acontecer n˜ao haver´a nada a ser feito nessa primeira etapa e poderemos passar imediatamente `a etapa seguinte.
O objetivo da primeira etapa ´e usar o fato de que a116= 0 para trocar uma a uma as linhas de 2 a n por linhas cujo primeiro coeficiente seja nulo, usando o truque descrito acima. Ou seja, a j-´esima linha (j= 2, . . . , n) ser´a substitu´ıda pela linha
(linha j)−aj1
a11 ·(linha 1). O sistema linear ficar´a ent˜ao da seguinte forma:
a11 a12 . . . a1n | b1
0 a22 . . . a2n | b2 ... ... ... ... ... 0 an2 . . . ann | bn
,
onde ´e preciso lembrar que, por causa das opera¸c˜oes com linhas, os coeficientesn˜ao s˜ao os mesmos do sistema linear original!.
Nessa primeira etapa descrita, o n´umero a11 ´e chamado de pivˆo. Em cada etapa haver´a um pivˆo, como veremos adiante. Vimos que o pivˆo tem que ser necessariamente diferente de zero, o que pode ser conseguido atrav´es de uma troca de linhas. De fato,
´e poss´ıvel at´e escolher o pivˆo, dentre os v´arios n´umeros da primeira coluna que sejam diferentes de zero. Na maioria das situa¸c˜oes em que se resolve um sistema linear por este m´etodo, atrav´es de calculadora ou computador, ´e mais vantajoso, sob o ponto de vista dos erros de c´alculo (veja discuss˜ao mais adiante) originados de arredondamentos, escolher o pivˆo como sendo o maior dos n´umeros dispon´ıveis na coluna. Aqui entende-se por “maior” n´umero aquele que tem o maior valor absoluto dentro da coluna. Esse procedimento ´e chamado de condensa¸c˜ao pivotal.
Na segunda etapa, verificamos se a22 6= 0. Se n˜ao for, procuramos entre as linhas abaixo da segunda alguma cujo segundo coeficiente seja n˜ao-nulo. Se n˜ao houver, pas-samos diretamente para a terceira etapa. Se houver, trocamos a linha encontrada com a segunda linha. Observe que a primeira linha n˜ao ser´a mais alterada, nem trocada de posi¸c˜ao com outras. Aqui o pivˆo ser´a o n´umero diferente de zero da segunda coluna, escolhido entre a segunda linha e a ´ultima. Mais uma vez, pode-se adotar a condensa¸c˜ao pivotal, tomando como pivˆo o maior em valor absoluto.
Se ap´os a troca tivermos a22 6= 0, podemos usar nosso truque para zerar todos os segundos coeficientes desde a linha 3 at´e a ´ultima linha. Trocaremos cada linha j= 3, . . . , n pela linha
(linha j)−aj2
a22
·(linha 2), e ficaremos com um sistema linear da forma
a11 a12 a13 . . . a1n | b1 0 a22 a23 . . . a2n | b2
0 0 a33 . . . a3n | b3
... ... ... ... ... ... 0 0 an3 . . . ann | bn
,
lembrando mais uma vez que os coeficientes s˜ao diferentes em rela¸c˜ao `a etapa anterior, exceto os da primeira linha, que ficam inalterados.
E f´´ acil ver que emn−1 etapas teremos um sistema linear triangularizado que, como j´a observamos acima, pode ser facilmente resolvido.