Aplica¸ c˜ oes Harmˆ onicas - Sobre diferenciais quadráticas e aplicações normais torcidas de s

Finalizando o cap´ıtulo, abordaremos alguns excertos da teoria das aplica¸cões harmônicas. Seguindo o desenvolvimento histórico do tópico, iniciaremos tratando do aspecto variacional dessas aplica¸cões e posteriormente, com o conceito de campo de tensão, podemos abordar o problema de maneira mais eficiente.

Sejam M e N variedades Riemannianas de dimens˜oes m e n e m´etricas h· , · i_M e h· , · i_N, respectivamente, e seja ainda M orientada pelo elemento de volume dM .

Dada uma aplica¸cão suave f : M → N , a densidade de energia é a fun¸cão suave e(f ) : M → R definida por

e(f ) = |df |₂2,

sendo |df |2, em uma vizinhan¸ca onde um referencial ortonormal de campos vetoriais {e1, . . . , en} est´a definido, dado por

m P

i=1

hf∗(ei), f∗(ei)iN. Uma vez que a igualdade hf∗(ei), f∗(ei)iN = hf∗Tf∗(ei), eiiN

vale, segue que e(f )(p) ´e metade do tra¸co de f∗Tpf∗p, valor que n˜ao depende do referencial escolhido.

Se e(f ) ∈ L1_{(M ), definimos a energia de f como o n´}_{umero real} E(f ) =R_Me(f) dM ,

e dizemos tamb´em que f tem energia finita.

Temos ainda que uma varia¸cão de f é uma aplica¸cão suave F : (−, ) × M → N

tal que F (0, · ) = f . Para simplificar a nota¸cão, faremos ft = F (t, · ). Dizemos que uma varia¸cão é própria se existe um compacto K ⊂ M tal que F (t, p) = f (p) se p ∈ Kc_, ∀t ∈ (−, ). Se F tem energia finita, então

E(ft) = R

Kce(f) dM +

Ke(ft) dM , e claramente E(ft) ∈ R, permitindo-nos ent˜ao definir a fun¸c˜ao

E : (−, ) → R t 7→ E(ft), o funcional energia associado `a varia¸c˜ao F .

E particularmente interessante estudar aplica¸cões que minimizam energia, isto é, aplica¸cões tais que E(0) ≤ E(t) se |t| < , para toda varia¸cão própria de f . O teorema da convergência dominada nos dá que o funcional energia associado a uma varia¸cão própria é suave, portanto, em particular, E0(0) = 0, ou seja, f é um ponto cr´ıtico de toda varia¸cão própria. Com isso, chegamos à seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 2.13. Uma aplica¸cão f : M → N é dita harmônica se é ponto cr´ıtico do funcional energia associado a toda varia¸cão própria F .

Agora, com o aux´ılio da linguagem de fibrados vetoriais, redefiniremos a no¸cão de aplica¸cões harmônicas, permitindo-nos uma abordagem mais simples dessas aplica¸cões. Como no in´ıcio do cap´ıtulo, seja f : M → N uma aplica¸cão suave entre variedades Riemannianas. A diferencial de f é a se¸cão df de Hom(T M, f∗T N ) dada por

df (X) = f∗(X).

A partir dessa, definimos a Hessiana de f como a aplica¸c˜_{ao R-bilinear Hess : Γ(T M) ×} Γ(T M ) → Γ(f∗T N ) tal que

Hess(f )(X, Y ) = ∇X(df (Y )) − ∇Y(df (X)), com a conexão usada na defini¸cão sendo a descrita na Proposi¸cão 2.2.

Assim como no caso de fun¸cões reais, temos que Hess(f ) é simétrica. Para a prova, veja a Proposi¸cão 1.41 de (CAMINHA, 2014).

Finalizando a sequência de defini¸cões, temos que o laplaciano de f (denotado por ∆f ) é o tra¸co da Hessiana de f , isto é, se {e1, . . . , em} é um referencial ortonormal em um aberto U ⊂ M , então ∆f = m P i=1 Hess(ei, ei).

Para relacionar tais conceitos com a abordagem variacional de aplica¸cões harmônicas, tome f : M → N uma aplica¸cão suave de energia finita e F uma varia¸cão própria de f . O campo variacional de F é a se¸cão dF_dt|t=0 de f∗T N tal que

dF dt|t=0(p) = p,_dtdF (t, p)|t=0 .

Claramente, pelo fato de que a varia¸cão considerada é própria, a se¸cão acima tem suporte compacto, isto é, ela se anula no complementar de um compacto de M .

Pelo Teorema 1.43 de (CAMINHA, 2014), temos que, se f : M → N é uma aplica¸cão suave de energia finita e F é uma varia¸cão própria de F com funcional energia associado E e campo variacional v, então dE_dt|t=0 = −

Mh∆f, vi dM . Portanto, nas condi¸cões do teorema anterior, se ∆f = 0, segue que F é harmônica. Reciprocamente, pelo Corolário 1.44 da mesma referência, temos que, se f é uma aplica¸cão de energia finita que é harmônica, então ∆f = 0. Em virtude desse fato, dizemos que uma aplica¸cão f : M → N é harmônica se ∆f = 0, independente de ter energia finita.

Prosseguindo, vejamos alguns exemplos de aplica¸c˜oes harmˆonicas.

Exemplo 2.11. Uma curva α : I → N é harmônica se, e só se, for uma geodésica de N . De fato, calculando o laplaciano de α, temos que

∆α = (∇∂tdα)∂t= ∇∂tα∗(∂t) − α∗(∇∂t∂t) = ∇∂tα∗(∂t) = ∇∂tα

0_,

e se t ∈ I e (U, x1, . . . , xn) uma vizinhan¸ca de coordenadas de α(t). Ent˜ao, podemos escrever α0(t) = n P i=1 α0_i(t)_∂x∂ i, e temos ∇∂tα 0_{(t) =}Pn i=1 α00_i(t)_∂x∂ i|α(t)+ α 0 i(t)∇α∗t∂t ∂ ∂xi = n P i=1 αi00(t)(t,_∂x∂_i|α(t)) + α0i(t)∇α0_(t) ∂ ∂xi = n P i=1 α00_i(t)(t, ∂ ∂xi|α(t)) + α 0 i(t)(t, D∂/∂xi dt (t)) = (t, Dα0 dt ), e assim temos que ∆α(t) = (t,Dα_dt0(t)), donde segue a afirma¸c˜ao feita.

Exemplo 2.12. Tomemos uma fun¸c˜_{ao f : M → R. Sabemos que T R é trivial, e então} a aplica¸c˜_{ao de R em R dada por t 7→} _∂t∂|p é um referencial global. Pela Proposi¸cão 2.1, temos que _∂t∂ ◦ f é um referencial global de f∗_{T R, logo esse fibrado é trivial. Além disso,} temos que o isomorfismo de fibrados dado pelo isomorfismo de C∞(M )-módulos

F : Γ(M × R) → Γ(f∗T R) a 7→ a_∂t∂ ◦ f, a ∈ C∞_{(M )}

preserva a métrica e a conexão canônicas de cada fibrado. Para ver isso, note que, em M × R, ha, bi = ab, e em f∗T R, ha∂ ∂t◦ f, b ∂ ∂t◦ f i = abh ∂ ∂t, ∂

∂ti ◦ f = ab, logo o isomorfismo preserva as métricas. Para as conex˜_{oes, temos que, em M × R, ∇}Xa = Xa, e em f∗T R, ∇X(a_∂t∂) = Xa_∂t∂, que é a se¸cão associada a Xa (aqui, usamos que o campo _∂t∂ é paralelo em R). Calculemos o laplaciano de f , e provemos que ele coincide com o laplaciano usual de f .

Para ver isso, note que df (X) = f∗(X) = Xf , ou seja, a diferencial de f , no sentido que definimos anteriormente, coincide com a diferencial usual. Ademais, temos que Hess(f )(X, Y ) = (∇Xdf )(Y ) = XY f − (∇XY )f , e Hessiana de f no sentido que definimos coincide com o usual. Dessa forma, temos que ambos os conceitos de laplaciano de f coincidem nesse caso, e portanto uma fun¸cão é harmônica segundo a defini¸cão que demos se, e só se, é harmônica no sentido usual.

Mais geralmente, considerando f : M → Rn_{, resultados an´}_{alogos valem, e} temos que, se f = (f1, . . . , fn), ∆f = (∆f1, . . . , ∆fn).

Exemplo 2.13. Seja f : M → Sn uma fun¸c˜_{ao suave. Se i : S}n _{→ R}n+1 é a inclusão, temos pelo Corolário 2.12 de (CAMINHA, 2014) que ∆f = (∆(i ◦ f ))>, sendo (∆(i ◦ f ))> a proje¸cão ortogonal de ∆(i ◦ f ) em f∗T Sn, e então se i ◦ f = (f1, . . . , fn+1), segue que ∆f = (∆f1, . . . , ∆fn+1)>.

A respeito de imersões isométricas de codimensão 1, temos o seguinte teorema: Teorema 2.3. Se φ : Mn_{→ R}n+1 _´_{e uma imers˜}_{ao isom´}_{etrica, ent˜}_{ao a aplica¸}_c˜_{ao de Gauss} N : M → Sn _´_{e harmˆ}_{onica se, e s´}_{o se, H, a fun¸}_c˜_{ao curvatura m´}_{edia de M , ´}_{e constante.} Demonstra¸cão. Sejam p ∈ M e {e1, . . . , en} um referencial local em U ⊂ M , geodésico em p, e ∇ e ˜∇ as conexões de Levi-Civita de Mn _{e R}n+1_{, respectivamente.}

Sendo i : Sn → Rn+1 _{e i ◦ N = (N}

1, . . . , Nn+1), temos que, no ponto p, ∆Nj =

n P

i=1

ei(ei(Nj)), j = 1, . . . , n + 1, e ent˜ao, se X ∈ Γ(T M ), no ponto p,

h∆(i ◦ N ), Xi = h n X j=1 ˜ ∇ej∇˜ej(i ◦ N ), Xi = n X j=1 ej(h ˜∇ej(i ◦ N ), Xi) − h ˜∇ej(i ◦ N ), ˜∇ejXi = n X j=1

ej(ej(h(i ◦ N ), Xi)) − 2ej(h(i ◦ N ), ˜∇ejXi) + h(i ◦ N ), ˜∇ej∇˜ejXi

= n X

j=1

h(i ◦ N ), ˜∇ej(∇ejX + II(X, ej)N )i − 2ej(h(i ◦ N ), ˜∇ejXi)

= n X

j=1

h(i ◦ N ), ˜∇ej∇ejXi − ej(h(i ◦ N ), ˜∇ejXi)

= n X j=1 II(ej, ∇ejX) − ej(II(X, ej)) = n X j=1

II(ej, ∇ejX) − (∇ejII)(X, ej) − II(ej, ∇ejX) − II(∇ejej, X)

= − n X

j=1

(∇ejII)(X, ej).

Pela equa¸c˜_{ao de Codazzi, e como R}n+1 _´_{e flat, segue que h∆(i ◦ N ), Xi =} − n P j=1 (∇XII)(ej, ej) = − n P j=1 X(II(ej, ej))−2II(∇Xej, ej) = n P j=1 X(II(ej, ej)) = −nX(H). Com isso, se N é harmônica, h∆(i ◦ N ), Xi = 0 se X é um campo vetorial de M , logo X(H) = 0, e então H é constante. Reciprocamente, teremos que, se H é constante, h∆(i ◦ N ), Xi = 0, portanto (∆(i ◦ N ))> _{= 0.} _{Consequentemente, ∆N = 0, como} quer´ıamos.

perf´ıcies Riemannianas, que, como j´a vimos, admitem uma estrutura canˆonica de superf´ıcies de Riemann. Antes dele, temos o seguinte

Lema 2.8. Sejam M2 e Nn variedades Riemannianas e φ : M → N uma aplica¸cão suave. Se (U, z) é um parâmetro conforme local para M , então, em U ,

E∆φ = 4∇∂ ∂ ¯zφz,

onde φz = φ∗(_∂z∂ ) e E = 2h_{∂ ¯}∂_z,_∂z∂i.

Demonstra¸c˜ao. Se z = x + iy, temos que 2_∂z∂ = _∂x∂ − i∂

∂y. Sabemos que h ∂ ∂x, ∂ ∂xi = h∂ ∂y, ∂ ∂yi = E e h ∂ ∂x, ∂ ∂yi = 0, logo, se X = ∂ ∂z e Y = ∂ ∂ ¯z, temos que, em U , E∆φ = (∇∂ ∂xdφ)( ∂ ∂x) + (∇_∂y∂ dφ)( ∂

∂y) = (∇X+Ydφ)(X + Y ) − (∇X−Ydφ)(X − Y ) = 2((∇Ydφ)(X) + (∇Xdφ)(Y )) = 2(∇Y(φ∗(X)) − φ∗(∇YX) + ∇Y(φ∗(X)) − φ∗(∇YX)) =

2(∇Y(φ∗(X)) + ∇Y(φ∗(X)),

onde, na última igualdade, utilizamos as igualdades ∇YX = ∇XY = 0, obtidas do fato de que X e Y são campos coordenados e projetando na dire¸cão tangente.

Para terminar a demonstra¸cão, provemos que ∇Y(φ∗(X)) = ∇X(φ∗(Y )), e isso é suficiente. Substituindo as expressões de X e Y , temos que ela é equivalente a ∇∂

∂x(φ∗(

∂

∂y)) = ∇∂y∂ (φ∗(

∂

∂x)). Pelo Lema 1.40 de (CAMINHA, 2014), temos que, se p ∈ M e z(p) = x(p) + iy(p), ∇∂ ∂x(φ∗( ∂ ∂y))(p) = Dφ∗ dx ( ∂

∂y)|x=x(p), onde o lado direito da igualdade é a derivada covariante de φ∗(_∂y∂) ao longo da curva coordenada localmente definida iniciando em p com vetor diretor _∂x∂ . Com essa interpreta¸cão, a igualdade que precisamos provar é equivalente a

Dφ∗ dx ( ∂ ∂y) = Dφ∗ dy ( ∂ ∂x),

que ´e o lema de simetria (para o enunciado e a demonstra¸c˜ao, veja o Lema 3.4 de (CARMO, 2008)).

Com isso, temos o

Teorema 2.4. Nas condi¸cões do lema anterior, se φ é harmônica, então Dφ = (φ∗(h, i))2,0 é holomorfa, onde, se (V, w) é um parâmetro conforme de M , então (φ∗(h, i))2,0_|

V =

hφz, φzidz2.

Demonstra¸c˜ao. Basta calcular ∂hφz,φzi

∂ ¯z = 2hφz, ∇_{∂ ¯}∂_zφzi = E

2h∆φ, φzi = 0, como quer´ıamos.

3 GRUPOS DE LIE E ESPAC¸ OS HOMOGˆENEOS

Nesse cap´ıtulo, apresentaremos os grupos de Lie e os espa¸cos homogˆeneos, conceitos que ser˜ao fundamentais para este trabalho.

3.1 Introdu¸c˜ao

Defini¸cão 3.1. Um grupo de Lie G é uma variedade diferenciável que também é um grupo no sentido algébrico, com a propriedade de que a opera¸cão do grupo m : G × G → G e a aplica¸cão de inversão i : G → G são diferenciáveis.

Denotaremos por e o elemento neutro do grupo, a menos que, em casos es- pec´ıficos, haja uma nota¸c˜ao mais comum.

Para cada g ∈ G, podemos considerar as aplica¸cões Lg, Rg : G → G, chamadas respectivamente de transla¸cão à esquerda e transla¸cão à direita tais que

Lg(h) = gh, Rg(h) = hg.

Al´em disso, ´e simples de verificar que Lgg1 = Lg◦ Lg1 e Rgg1 = Rg1◦ Rg, donde

segue que Le= Re = IdG, (Lg) −1

= Lg−1 e (R_g)−1 = R_g−1, e das ´ultimas igualdades segue

que as transla¸c˜oes s˜ao difeomorfismos.

Exemplo 3.1. O grupo linear geral GL(n, R) é o conjunto das matrizes invert´ıveis n×n com entradas reais. Esse conjunto é um grupo com a multiplica¸cão usual de matrizes, e é uma subvariedade aberta do espa¸co vetorial das matrizes n × n de entradas reais. A multiplica¸cão é diferenciável uma vez que é uma aplica¸cão bilinear.

Exemplo 3.2. Suponha G um grupo de Lie e H um aberto de G que é um subgrupo (no sentido algébrico). Então, H possui uma estrutura diferenciável induzida pela de G e, uma vez que as restri¸cões m|_H×H : H × H → H e i : H → H estão bem definidas, H é um grupo de Lie com as estruturas algébrica e diferenciável induzidas.

Exemplo 3.3. O corpo dos n´_{umeros reais R e o espa¸co R}n _s˜_{ao grupos de Lie com a} adi¸cão usual, pois a opera¸cão de soma e inversão são lineares, portanto diferenciáveis. Exemplo 3.4. Dados k grupos de Lie G1, . . . Gk. O produto direto dos grupos Gi, i = 1, . . . , k, é a variedade produto G = G1 × . . . × Gk com a estrutura de grupo dada pela multiplica¸cão coordenada a coordenada:

(g1, . . . , gk)(g10, . . . , g 0

k) = (g1g01, . . . , gkg0k)

Tal opera¸cão define evidentemente um grupo. Ademais, tal aplica¸cão é diferenciável, pois é suficiente provar que cada coordenada da aplica¸cão é diferenciável, mas cada uma delas é a composi¸cão das aplica¸cões

((g1, . . . , gk), (g01, . . . , g 0

k)) 7→ (gi, gi0) e

(gi, gi0) 7→ gig0i,

tando apenas notar que esta é dada por (g1, . . . , gk) 7→ (g1−1, . . . , gk−1), e cada uma das coordenadas é uma composi¸cão da proje¸cão em um dos fatores pela inversão nesse fator. Assim como no caso algébrico, temos uma classe de fun¸cões que preserva a estrutura de grupos de Lie. Sendo G e H grupos de Lie, dizemos que uma fun¸cão F : G → H é um homomorfismo de grupos de Lie se é suave e é um homomorfismo de grupos.

Fixe então um grupo de Lie G. Um subgrupo de Lie de G é um subgrupo de G (em termos algébricos) munido de uma topologia e uma estrutura diferenciável tais que este torna-se um grupo de Lie e uma subvariedade imersa de G.

Proposi¸cão 3.1. Seja G um grupo de Lie, e H ⊂ G um subgrupo que também é uma subvariedade mergulhada. Então, H é um subgrupo de Lie.

Demonstra¸cão. Sendo m e ¯m as opera¸cões de G e H, respectivamente, temos que ¯m pode ser obtida restringindo m, e tal redu¸cão será diferenciável, pois H é subvariedade mergulhada. Analogamente, pode-se obter a inversão de H restringindo a inversão de G a H, e tal restri¸cão é diferenciável, pelo mesmo motivo da multiplica¸cão. Com isso, temos que a topologia e a estrutura diferenciável que fazem de H uma subvariedade mergulhada também o fazem um grupo de Lie, como quer´ıamos provar.

Podemos ainda melhorar o resultado acima, e concluir que o subgrupo é fechado. Além disso, se um grupo de Lie G admite um subgrupo de Lie fechado, esse subgrupo é mergulhado. Para a prova desse resultado, consulte (LEE, 2013).

Exemplo 3.5. Dado n natural, considere o conjunto O(n) dado pelas matrizes reais n×n cuja transposta coincide com a inversa. Claramente, O(n) ⊂ GL(n, R), e uma vez que (AT)−1 = (A−1)T, temos que O(n) ´e fechado para invers˜ao. Ademais, se A, B ∈ O(n), AB(AB)T = ABBT_AT _{= AA}T _{= Id}

n, logo o conjunto ´e fechado para produtos. Como Idn∈ O(n), temos que O(n) ´e um subgrupo de GL(n, R).

Agora, provemos que O(n) ´_{e uma subvariedade mergulhada de GL(n, R). De} fato, se S(n) ´e o conjunto das matrizes n × n sim´etricas de entradas reais, temos que a aplica¸c˜_{ao F : GL(n, R) → S(n) dada por F (A) = AA}T _´_{e diferenci´}_{avel e F}−1_{(Id) = O(n).}

E suficiente provar que Id é um valor regular de F . Para isso, note que, se A ∈ O(n), dFA(V ) = AVT + V AT. Então, se W ∈ TIdS(n) ' S(n), tomando V = W A₂ , segue que dFA(V ) = W , portanto O(n) é subvariedade mergulhada. Pela Proposi¸cão 3.1, O(n) é um subgrupo de Lie de GL(n, R), chamado de grupo ortogonal de ordem n. Seus elementos são chamados de matrizes ortogonais.

Al´em disso, da igualdade AAT _{= Id, segue que det(A)}2

= 1. Com isso, por continuidade da fun¸cão determinante, segue que o conjunto das matrizes ortogonais de determinante 1 é um subgrupo aberto de O(n), chamado de grupo ortonormal especial de ordem n, denotado por SO(n). Pelo Exemplo 3.2, segue que SO(n) é uma subvariedade mergulhada de O(n), e consequentemente de GL(n, R), e portanto um subgrupo de

Lie de GL(n, R).

3.1.1 ´Algebras de Lie

Seja G um grupo de Lie. Dizemos que um campo vetorial suave X é invariante à esquerda se (Lg)∗g0(Xg0) = X_gg0. Como L_g é um difeomorfismo, podemos

simplificar a igualdade anterior escrevendo (Lg)∗(X) = X. Ademais, como (Lg)∗ atua li- nearmente em Γ(T G), temos que o conjunto dos campos invariantes à esquerda é o núcleo do operador linear (Lg)∗− IdΓ(T G), portanto formam um espa¸co vetorial. Mas, pela naturalidade do colchete de campos vetoriais, (Lg)∗([X, Y ]) = [(Lg)∗(X), (Lg)∗(Y )] = [X, Y ], logo tais campos são invariantes pela aplica¸cão do colchete. Dessa forma, temos que o espa¸co vetorial formado pelos campos invariantes à esquerda é uma álgebra de Lie, denotada por Lie(G), e chamada de álgebra de Lie de G.

Se g é uma álgebra de Lie, uma subálgebra de Lie de g é um subespa¸co vetorial fechado pelos colchetes, sendo então esse subespa¸co uma álgebra de Lie com a restri¸cão dos colchetes. Se g e h são álgebras de Lie, um homomorfismo de álgebras de Lie é uma transforma¸cão linear A : g → h que preserva colchetes, isto é, A[X, Y ] = [AX, AY ]. Quando uma transforma¸cão como essa é invert´ıvel, é trivial checar que a inversa também é um homomorfismo de álgebras de Lie, e nesse caso chamamos a transforma¸cão de isomorfismo de álgebras de Lie, e dizemos que as álgebras de Lie envolvidas na transforma¸cão são isomorfas.

Um importante resultado que descreve a ´algebra de Lie de grupos de Lie G ´e o seguinte:

Teorema 3.1. Seja G um grupo de Lie. A aplica¸cão de evalua¸cão : Lie(G) → TeG, dada por (X) = Xe, é um isomorfismo de espa¸cos vetoriais. Então, a dimensão de Lie(G) é igual à de G, sendo, portanto, de dimensão finita.

Demonstra¸c˜ao. Veja o Teorema 8.37 de (LEE, 2013).

Uma simples adapta¸c˜ao da demonstra¸c˜ao do teorema acima prova o seguinte resultado:

Corolário 3.1. Todo grupo de Lie é uma variedade orientável.

Demonstra¸cão. Do teorema acima, segue que, se (X1, . . . , Xn) é uma base ordenada de Lie(G), temos que tal base define uma orienta¸cão suave para G, concluindo a prova.

Consideremos agora esse resultado que relaciona homomorfismos de grupos de Lie com homomorfismos e suas respectivas ´algebras de Lie:

Teorema 3.2. Sejam G e H grupos de Lie e g e h suas respectivas ´algebras de Lie. Se F : G → H ´e um homomorfismo de grupos de Lie, para cada X em g, existe um ´

(F∗)g(Xg) = (F∗(X))F (g). Então, a associa¸cão F∗ : g → h é um homomorfismo de grupos de Lie.

Demonstra¸cão. Seja Y ∈ h tal que Ye = (F∗)e(Xe). Como F é homomorfismo, F ◦ Lg = LF (g) ◦ F , e então YF (g) = L_{F (g)∗e}(Ye) = L_{F (g)∗e}((F∗)e(Xe)) = (F∗)g((L_{g ∗})e(Xe)) = (F∗)g(Xg), logo Y é F-relacionado a X. Apenas Y satisfaz essa propriedade pois, para qualquer outro campo Z nas mesmas condi¸cões, deveria valer Ze = (F∗)e(Xe), e então (Y ) = (Z), considerando como no teorema anterior, logo Y = Z. Além disso, temos que F∗ = −1◦ F∗e◦ , donde segue que F∗ é transforma¸cão linear. Por fim, a naturalidade do colchete nos dá que F∗[X, Y ] = [F∗(X), F∗(Y )], logo F∗é um homomorfismo de álgebras de Lie.

Se G é um grupo de Lie e H um subgrupo de Lie de G, temos que a inclusão i : H → G é um homomorfismo de grupos de Lie e uma imersão injetiva. Em particular, i∗e é injetiva, logo o homomorfismo induzido por i é injetivo. Dessa forma, assim como identificamos TeH como um subespa¸co de TeG, podemos identificar um campo X ∈ Lie(H) com um campo ¯X ∈ Lie(G) que vale o mesmo que X em e.

Por fim, definimos um campo suave Y como invariante `a direita se vale que (Rg)∗g0(Xg0) = X_g0_g. Podemos reobter os resultados acima obtidos para campos invari-

antes à esquerda no contexto de campos invariantes à direita, fazendo poucas altera¸cões nas demonstra¸cões. Em particular, temos que, para cada X ∈ TeG, existe um único campo invariante à direita em G que vale X em e. Ademais, o conjunto dos campos invariantes à direita forma uma álgebra de Lie com o colchete usual de campos vetoriais (denotaremo-la por ^Lie(G)), e dado um subgrupo H de G, podemos identificar ^Lie(H) como uma subálgebra de Lie de ^Lie(G) usando a imersão i : H → G.

No documento Sobre diferenciais quadráticas e aplicações normais torcidas de superfícies em S2×R e H2×R. (páginas 34-42)