Sobre diferenciais quadráticas e aplicações normais torcidas de superfícies em S2×R e H2×R.

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a CENTRO DE CIˆENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

RAFAEL ALVES DA PONTE

SOBRE DIFERENCIAIS QUADR ÁTICAS E APLICAÇ ÕES NORMAIS

TORCIDAS DE SUPERF´_{ICIES EM S}2_{× R E H}2_{× R}

FORTALEZA 2015

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SOBRE DIFERENCIAIS QUADR ÁTICAS E APLICAÇ ÕES NORMAIS TORCIDAS DE SUPERFÍCIES EM S2_{× R E H}2_{× R}

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática do Departa-mento de Matemática da Universidade Fede-ral do Ceará, como parte dos requisitos ne-cessários para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática. Área de concentra¸cão: Ge-ometria Diferencial.

Orientador: Prof. Dr. Antonio Caminha Muniz Neto.

FORTALEZA 2015

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Biblioteca Universitária

Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

P857s Ponte, Rafael Alves da.

Sobre diferenciais quadráticas e aplicações normais torcidas de superfícies em S2×R e H2×R / Rafael Alves da Ponte. – 2015.

62 f.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2015.

Orientação: Prof. Dr. Antonio Caminha Muniz Neto.

1. Diferencial de Abresch-Rosenberg. 2. Aplicação de Gauss. 3. Teorema de Ruh-Vilms. I. Título. CDD 510

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SOBRE DIFERENCIAIS QUADR ÁTICAS E APLICAÇ ÕES NORMAIS TORCIDAS DE SUPERFÍCIES EM S2_{× R E H}2_{× R}

Disserta¸cão apresentada ao Programa de P´ os-gradua¸cão em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará, como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ma-temática. Área de concentra¸cão: Geometria Diferencial.

Aprovada em: 29 / 06 / 2015.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Antonio Caminha Muniz Neto (Orientador) Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Ulisses Lima Parente Universidade Estadual do Cear´a (UECE)

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Agrade¸co a Deus pela for¸ca e sabedoria para conduzir o mestrado ao longo desses dois anos.

Agrade¸co aos meus pais e às minhas irmãs pelo amor e encorajamento em todo esse per´ıodo. Aos meus pais, também sou grato pela paciência e pelos valores ensinados em minha cria¸cão.

Agrade¸co aos meus professores de olimp´ıada em meu Ensino Médio, que me fi-zeram ver quão fascinante a matemática poderia ser. Meu muito obrigado a Davi Máximo, Samuel Feitosa, Antonio Caminha, Bruno Holanda, C´ıcero Thiago e Onofre Campos.

Agrade¸co aos meus professores do Departamento de Matemática pela forma¸cão dada a mim, desde a gradua¸cão até o mestrado. Dentre todos, cito os professores Abdênago Barros, Alexandre Fernandes, Diego Moreira e Luquésio Jorge, que foram particularmente mais presentes ao longo dessa trajetória. De modo especial, agrade¸co ao professor Daniel Cibotaru pelas discussões empolgadas, pela imensa solicitude e pelos conselhos, sobretudo no fim do mestrado.

Agrade¸co ao professor Antonio Caminha Muniz Neto pela excelente orienta¸cão. Destaco sua paciência, profissionalismo, vasto conhecimento e experiência de vida. Foi uma grande honra e alegria poder trabalhar com ele desde a inicia¸cão cient´ıfica, na minha gradua¸cão.

Agrade¸co aos bons amigos que fiz nos cinco anos e meio que passei na univer-sidade. Cito aqui Diego Eloi, Francisco Yure, Gilson Granja, Hudson Lima, João Luiz, Luiz Paulo, Marlon Oliveira, N´ıcolas Alcântara, Renan Parente, Renan Santos, Roger Oliveira e Walner Santos. Agrade¸co especialmente a Rodrigo Bezerra de Matos, amigo desde os tempos de gradua¸cão, por todas as conversas, piadas e discussões matemáticas. Seu entusiasmo e talento diante da matemática são fonte constante de inspira¸cão para mim.

Agrade¸co à secretaria da PGMAT, especialmente à Andrea Costa Dantas, pela eficiência e prestatividade ao resolver as burocracias do mestrado.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior - Brasil (CAPES) - C´odigo de Financiamento 001.

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O teorema de Ruh-Vilms afirma que uma hipersuperf´ıcie do espa¸co euclidiano tem curva-tura média constante se, e somente se, sua aplica¸cão de Gauss é harmônica. Bittencourt e Ripoll, no artigo ”Gauss Map Harmonicity and Mean Curvature of a Hypersurface in a Homogeneous Manifold”, estenderam o resultado para espa¸cos homogêneos. Neste traba-lho, considera-se o caso particular do produto cartesiano da esfera bidimensional com a reta real, para o qual prova-se que a aplica¸cão de Gauss definida por Bittencourt e Ripoll no artigo supracitado induz uma diferencial quadrática que coincide com a diferencial de Abresch-Rosenberg, e esta é holomorfa para superf´ıcies de curvatura média constante. Além disso, prova-se que tal aplica¸cão de Gauss é a ”aplica¸cão normal torcida”da su-perf´ıcie. Tal conceito pode ser estendido para o produto cartesiano do espa¸co hiperbólico bidimensional com a reta real, para o qual também vale a coincidência das formas diferen-ciais. Posteriormente, estende-se o teorema de Ruh-Vilms para os dois espa¸cos ambientes citados.

Palavras-chave: Diferencial de Abresch-Rosenberg. Aplica¸c˜ao de Gauss. Teorema de Ruh-Vilms.

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Ruh-Vilms’ theorem states that a hypersurface of the Euclidean space has constant mean curvature if and only if its Gauss map is harmonic. Bittencourt and Ripoll, in the article ”Gauss Map Harmonicity and Mean Curvature of the Hypersurface in a Homogeneous Manifold”, extended the result for homogeneous spaces. In this work, we consider the par-ticular case of the Cartesian product of the two-dimensional sphere with the real line, for which it’s proved that the Gauss map defined by Bittencourt and Ripoll in the article men-tioned above induces a quadratic differential that coincides with the Abresch-Rosenberg differential, and this differential is holomorphic for surfaces of constant mean curvature. Furthermore, it is proved that such application is the twisted normal map of the surface. This concept can be extended to the Cartesian product of two-dimensional hyperbolic space with the real line, for which the coincidence of both differential forms holds. Later, it extends the Ruh-Vilms theorem for the two ambient spaces mentioned above.

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 9

2 GEOMETRIA RIEMANNIANA . . . 11

2.1 Fibrados vetoriais . . . 11

2.1.1 Introdu¸c˜ao . . . 11

2.1.2 M´etricas e conex˜oes em fibrados . . . 17

2.1.3 Fibrados induzidos por aplica¸c˜oes . . . 19

2.2 Imers˜oes isom´etricas . . . 21

2.2.1 Introdu¸c˜ao . . . 21

2.2.2 Parˆametros isot´ermicos e Superf´ıcies de Riemann . . . 25

2.3 Submers˜oes Riemannianas . . . 31

2.4 Aplica¸c˜oes Harmˆonicas . . . 33

3 GRUPOS DE LIE E ESPAC¸ OS HOMOGˆENEOS . . . 38

3.1 Introdu¸c˜ao . . . 38

3.1.1 Algebras de Lie´ . . . 40

3.2 A¸c˜oes de grupo . . . 41

3.3 Espa¸cos Homogˆeneos . . . 45

3.3.1 M´etricas em grupos de Lie e em espa¸cos homogˆeneos . . . 46

3.4 Aplica¸c˜ao de Gauss em espa¸cos homogˆeneos e o teorema de Ruh-Vilms . . . 49

4 UMA EXTENS ˜AO DO TEOREMA DE RUH-VILMS . . . 52

4.1 Introdu¸c˜ao . . . 52

4.2 Propriedades da Aplica¸c˜ao Normal Torcida . . . 55

5 CONCLUS ˜AO . . . 60

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1 INTRODUC¸ ˜AO

Seja Σ uma superf´ıcie orient´_{avel imersa em R}3_{, com aplica¸c˜}_{ao de Gauss N :} Σ → (S2_{, g). Sabe-se que as afirma¸c˜}_{oes a seguir s˜}_{ao equivalentes:}

1. Σ tem curvatura média constante (em outras palavras, Σ é CMC); 2. A diferencial de Hopf de Σ é holomorfa;

3. N ´e harmˆonica.

A equivalência entre os dois primeiros itens é um escólio do Teorema de Hopf, enquanto a equivalência entre o primeiro e o último itens segue do teorema de Ruh-Vilms.

Quando consideramos superf´ıcies em ambientes tridimensionais diferentes de R3, a diferencial de Hopf não é necessariamente holomorfa. A fim de estender o teorema de Hopf para M2_{(c) × R, com c ∈ {−1, 1}, M}2_{(1) = S}2 _{e M}2_{(−1) = H}2_{, Abresch e Rosenberg} definiram, no artigo (ABRESCH and ROSENBERG, 2004) uma diferencial quadrática D em uma superf´ıcie Σ ⊂ M2_{(c) × R dada por}

D = 2HQ − cT ,

sendo H a curvatura média de Σ, Q a diferencial de Hopf e T = (dh ⊗ dh)2,0, em que h é a fun¸cão altura de Σ. Tal diferencial é holomorfa em superf´ıcies CMC, o que permite estender o teorema de Hopf para os espa¸cos-ambiente citados.

Em (BITTENCOURT and RIPOLL, 2006), F. Bittencourt e J. Ripoll conside-raram uma hipersuperf´ıcie Mn_{orientada por um campo normal unit´}_{ario N em um espa¸co} homogêneo orientável G/K e definiram a aplica¸cão de Gauss N tomando o levantamento horizontal Ñ de N e, então, aplicando a diferencial da transla¸cão à direita para o elemento neutro do grupo:

N (gK) = (Rg−1

∗)gN (g) ∈ T˜ eG, [g] = gK ∈ Mn.

Essa aplica¸cão toma valores na esfera unitária da álgebra de Lie de G e coincide com a aplica¸c˜_{ao de Gauss usual quando G = R}n e K = {0}. Então, no mesmo trabalho, eles provaram o seguinte resultado:

Teorema. Seja G um grupo de Lie munido com uma métrica bi-invariante e K um subgrupo de Lie compacto. Dada uma hipersuperf´ıcie orientável imersa em G/K, sua aplica¸cão de Gauss

N : Mn_{→ (S}n+k_{, g) ⊂ Lie(G), k = dimK,} é harmônica se, e só se, Mn _{tem curvatura m´}_{edia constante.}

Esse teorema se aplica diretamente ao caso G/K = S2_{×R, com G = SO(3)×R} e K = SO(2)×{0}. Além disso, o Teorema 10.5 de (EELLS and LEMAIRE, 1978) garante que, se Σ ´_{e uma superf´ıcie CMC em S}2_{× R, então a diferencial quadrática}

DN := (N∗g)(2,0) = 2g(Nz, Nz)dz2, sendo z um parˆametro conforme local, ´e holomorfa.

Neste trabalho, prova-se que, para superf´ıcies em S2_{× R, vale D}

N = D, sendo D a diferencial de Abresch-Rosenberg. Para isso, prova-se que, se N for decomposto na

(11)

forma (V, ν), onde V e ν s˜ao as componentes nas dire¸c˜_{oes de S}2 _{e R, respectivamente,} ent˜ao vale a identidade

N = (JV, ν), (1)

sendo J , a menos de sinal, a estrutura quasi-complexa de S2_{. Por essa raz˜}_{ao, N ´}_{e chamada} de aplica¸c˜ao de Gauss torcida.

A demonstra¸c˜ao do teorema citado anteriormente sugere que resultados seme-lhantes valham para H2× R. Nesse caso, usamos a identidade (1) para definir a aplica¸c˜ao de Gauss torcida de superf´ıcies em H2 × R, considerando como contradom´ınio o espa¸co de-Sitter tridimensional S31. Procedendo de modo semelhante, prova-se o resultado.

Ademais, de modo unificado, calculamos o laplaciano de N para superf´ıcies em ambos os espa¸cos-ambiente e, com isso, estendemos o teorema de Ruh-Vilms para H2_{× R} e o reobtemos para S2_{× R.}

A fim de prover uma exposi¸cão autocontida dos resultados, o trabalho contém dois cap´ıtulos de pré-requisitos. O primeiro contempla alguns tópicos de Geometria Rie-manniana, sendo eles fibrados vetoriais, imersões isométricas, submersões riemannianas e aplica¸cões harmônicas. O segundo cobre assuntos relacionados a grupos de Lie.

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2 GEOMETRIA RIEMANNIANA

Neste cap´ıtulo inicial, apresentamos alguns elementos de Geometria Rieman-niana necess´arios para o entendimento deste trabalho.

2.1 Fibrados vetoriais

Para esta se¸cão, seguiremos majoritariamente a referência (CAMINHA, 2014). 2.1.1 Introdu¸cão

Seja F = R ou C. Consideremos a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸cão 2.1. Seja M uma variedade diferenci´_{avel. Um F-fibrado vetorial suave} sobre M é um par (E, π), com E uma variedade diferenciável e π uma aplica¸cão dife-renciável sobrejetiva π : E → M satisfazendo as seguintes condi¸cões:

(a) Existe k ∈ N tal que, para todo p ∈ M , a fibra Ep := π−1(p) possui uma estrutura de espa¸_{co vetorial k-dimensional sobre F.}

(b) Para cada p ∈ M , existem uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p e um difeomorfismo φ : π−1_{(U ) → U × F}k _{tais que:}

(i) Para cada q ∈ U , a restri¸c˜ao de φ a Eq ´e um isomorfismo de espa¸cos vetoriais com {q} × Fk_{, considerando nesse ´}_{ultimo espa¸}_{co a estrutura usual de espa¸}_co vetorial k-dimensional sobre F.

(ii) Sendo πU : U × Fk → U a proje¸c˜ao sobre U , ent˜ao πU◦ φ = π.

No contexto da defini¸cão acima, M é a base do fibrado, E é o espa¸co total e Epé a fibra de p. O natural k é o posto do fibrado, e a aplica¸cão φ é uma trivializa¸cão local.

Observa¸c˜ao 2.1. Quando n˜ao houver risco de confus˜_{ao, chamaremos um F-fibrado} ape-nas de fibrado.

Além disso, dizemos que uma se¸cão local do fibrado (ou de E, ou de π) é uma aplica¸cão diferenciável η : U → E, com U ⊆ M aberto, que inverte π à direita, ou seja, satisfaz π ◦ η = IdU; dizemos que η é uma se¸cão em U para π. Se U = M , dizemos que η é uma se¸cão do fibrado. Trivialmente, todo fibrado admite ao menos uma se¸cão, a saber, a que associa a cada ponto de M o elemento neutro de sua fibra (essa é chamada se¸cão nula). Com isso, o espa¸co Γ(E) das se¸cões de E é sempre não vazio. Ademais, dadas duas se¸cões η1 e η2 e um escalar λ ∈ F, podemos definir as se¸cões η1 + η2 e λη1 como

(η1+ η2)(p) = η1(p) + η2(p) e (λη1)(p) = λη1(p),

para todo p ∈ M ; portanto Γ(E) admite uma estrutura de espa¸co vetorial sobre F. Ainda, dada f ∈ C∞_{(M ; F) (o espa¸co das fun¸cões diferenciáveis em M com valores em F) e uma} se¸cão η, podemos definir a se¸cão f η pondo, para p ∈ M ,

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(f η)(p) = f (p)η(p). Portanto, temos que Γ(E) ´e um C∞_{(M ; F)-m´odulo.}

Se U ⊆ M é um aberto, um referencial local em U para π é uma k-upla (η1, . . . , ηk) de se¸cões em U para π tais que (η1(p), . . . , ηk(p)) é uma base de Ep, para cada p ∈ U ; quando U = M , o referencial é dito global.

Lema 2.1. Se π : E → M é um fibrado sobre M , então U ⊆ M é dom´ınio de uma trivializa¸cão local para π se, e só se, existe em U um referencial para π.

Demonstra¸c˜ao. Sejam Φ : π−1_{(U ) → U × F}k _{trivializa¸c˜}_{ao local para π e (E}

1, . . . , Ek) o referencial canˆ_{onico em F}k_{; ent˜}_{ao, se i}

j : U → U × Fk ´e tal que ij(p) = (p, Ej), e ηj : U → E ´e dado por

ηj = Φ−1◦ ij, (2)

temos que (η1, . . . , ηk) ´e um referencial para π.

Reciprocamente, se (η1, . . . , ηk) ´e um referencial em U para π, ent˜ao para cada v ∈ π−1(U ), existem escalares a1(v), . . . , ak(v) tais que

v =Pk

j=1aj(v)ηj(π(v)).

Defina Φ : π−1_{(U ) → U × F}k por Φ(v) = (π(v), a1(v), . . . , ak(v)). É fácil ver que Φ é uma bije¸cão, que é linear quando se restringe às fibras de pontos de U , e que πU◦ Φ = π. Para a diferenciabilidade de Φ, para cada p ∈ U , tome uma trivializa¸cão local Ψ tendo por dom´ınio um aberto V ⊆ U , e seja (γ1, . . . , γk) o referencial associado a Ψ como em (2). Com isso, temos que, se γj =Pk_l=1bjlηl, com bjl∈ C∞(V ; F ), j, l = 1, . . . , k, então Φ ◦ (Ψ)−1(p, a1, . . . , ak) = (p,

Pk

j=1ajbj1, . . . , Pk

j=1ajbjk), claramente diferenciável. Da´ı, Φ é diferenciável. Analogamente, prova-se que a inversa de Φ é diferenciável, logo, Φ é difeomorfismo, encerrando a demonstra¸cão.

O referencial local definido a partir de uma trivializa¸cão local conforme o lema descreve é chamado de referencial associado à trivializa¸cão considerada.

Corol´_{ario 2.1. Seja π : E → M um F-fibrado vetorial sobre M. Se p ∈ U e v ∈ E}p, ent˜ao existe η ∈ Γ(E) tal que η(p) = v.

Demonstra¸cão. Tome U ⊆ M dom´ınio de uma trivializa¸cão local contendo p. Se (ηj)kj=1 é o referencial associado, sabemos que existem escalares a1, . . . , aktais que v =

Pk

j=1ajηj(p). Tomando φ ∈ C∞_{(M ; R) tal que supp(φ) ⊂ U e φ(p) = 1 (para a existˆencia de uma fun¸c˜ao} desse tipo, consulte (LEE, 2013)), basta definir η ∈ Γ(E) como

η(q) = (

φ(q)Pk

j=1ajηj(q), se q ∈ U ; 0, caso contr´ario.

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´e evidente que η satisfaz o que desejamos.

Defini¸c˜_{ao 2.2. Dados os F-fibrados vetoriais π}E : E → M e πF : F → M , um homo-morfismo de E para F é é uma aplica¸cão suave Φ : E → F tal que πF ◦ Φ = πE e Φ|_E

p : Ep → Fp ´e uma transforma¸c˜ao linear para todo p ∈ M .

Usando a nota¸cão acima, se Φ é um homomorfismo de E para F , então ˜

Φ : Γ(E) → Γ(F ) η 7→ Φ ◦ η ´e um homomorfismo de C∞_{(M ; F)-´algebras.}

Reciprocamente, se πE : E → M e πF : F → M são F-fibrados vetoriais suaves dados e ˜Φ : Γ(E) → Γ(F ) é uma aplica¸cão C∞_{(M ; F)-linear, então existe um} homomorfismo Φ : E → F tal que ˜Φ(η) = Φ ◦ η, para toda η ∈ Γ(E). De fato, note primeiro que, se η1, η2 ∈ Γ(E) coincidem em um aberto U ⊂ M , então o mesmo vale para ˜Φ(η1) e ˜Φ(η2). Realmente, se η = η1 − η2, temos que η se anula em U ; se p ∈ U , podemos tomar ψ ∈ C0∞(U ) tal que ψ(p) = 1. Nesse caso, ψη ≡ 0, logo ˜Φ(ψη) ≡ 0, da´ı ψ ˜Φ(η) ≡ 0, e assim ˜Φ(η)(p) = 0, ∀p ∈ U . Consequentemente, ˜Φ pode ser calculada em se¸cões localmente definidas. Mais geralmente, se η1, η2 ∈ Γ(E) coincidem em um ponto p de M , também coincidirão ˜Φ(η1) e ˜Φ(η2) em p, uma vez que, tomando um referencial local (η1, . . . , ηk) em uma vizinhan¸ca V de p, podemos escrever η := η1− η2 em V como η =

k P

i=1

aiηi, com ai ∈ C∞(V ; F). Tomando ψ ∈ C0∞(V ) com ψ ≡ 1 em uma vizinhan¸ca W de p, repetindo as ideias apresentadas no corolário anterior, obteremos que as se¸cões (ψai)(ψηi) podem se estender a M , e então teremos que, em W , η =

k P i=1 (ψai)(ψηi), da´ı ˜ Φ(η) = k P i=1

(ψai) ˜Φ(ψηi), e como (ψai)(p) = 0, i = 1, . . . , k, ˜Φ(η)(p) = 0, como quer´ıamos. Com isso, para cada p, a aplica¸cão Φp : Ep → Fp dada por Φp(v) = ˜Φ(η)(p), com η ∈ Γ(E) tal que η(p) = v, está bem definida e é trivialmente linear. Considerando então Φ : E → F de modo que Φ |Ep= Φp, ∀i ∈ M , temos que πF◦ Φ = πE. O fato de que Φ é diferenciável

é simples de verificar: basta considerar composi¸cões com trivializa¸cões locais e observar que as se¸cões do referencial local são levadas por Φ em se¸cões locais suaves.

Exemplo 2.1. (Fibrado trivial) Dada uma variedade diferenciável M , o exemplo mais simples de um F-fibrado de posto k sobre M é M × Fk. A aplica¸cão Id_{M ×F}k é claramente

uma trivializa¸cão local, que serve a todos os pontos de M . As se¸c˜_{oes de M × F}k podem ser naturalmente identificadas com C∞_{(M ; F}k_{). Merece ser destacado o fato de que M × C é} um C-fibrado de posto 1, e pela identifica¸cão canônica entre C e R2_{, podemos considerar} M × C como um R-fibrado de posto 2. Essa dualidade será útil futuramente.

Exemplo 2.2. (Fibrado tangente) Se M é uma variedade diferenciável, temos que T M , o fibrado tangente de M , ´_{e um R-fibrado vetorial suave sobre M . Para ver isso, notemos} que, dado p ∈ M , se (U, φ) é uma vizinhan¸ca coordenada de p, com fun¸cões coordenadas

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(x1_{, . . . , x}n_{) e sendo π : T M → M a proje¸}_c˜_{ao canˆ}_{onica, temos que Φ : π}−1_{(U ) → φ(U ) ×} Rn dada por Φ( n P i=1 vi ∂ ∂xi|p) = (φ(p), v1, . . . , vn)

é uma t´ıpica carta coordenada de T M , e é então bastante simples verificar que a aplica¸cão (φ−1× Id_Rn) ◦ Φ é uma trivializa¸cão local ao redor de p, logo T M é um R-fibrado vetorial.

As se¸c˜oes do fibrado tangente s˜ao os campos vetoriais de M .

O pr´oximo resultado ´e bastante eficiente quando queremos dar estrutura de fibrado a certos tipos de conjuntos obtidos a partir de uma variedade suave M .

Lema 2.2. Sejam M uma variedade diferenci´_{avel, k ∈ N e, para todo p ∈ M, E}p um espa¸_{co vetorial k-dimensional sobre F. Considere E =}`

p∈MEp e π : E → M a proje¸c˜ao de cada Ep em p. Suponha, ainda, que sejam dados:

• Uma cobertura aberta {Uα}α∈A de M ;

• Para cada α ∈ A, uma bije¸cão Φα : π−1(Uα) → Uα× Fk, cuja restri¸cão a cada Ep é um isomorfismo linear entre Ep e {p} × Fk, com o último espa¸co tendo a estrutura usual de espa¸_{co vetorial k-dimensional sobre F;}

• Para α, β ∈ A tais que Uα∩ Uβ 6= ∅, uma aplica¸c˜ao suave gαβ : Uα∩ Uβ → GL(k; F) tal que a composi¸c˜ao Φα◦ Φβ−1, de (Uα∩ Uβ) × Fk para si mesmo, tem a forma

Φα◦ Φβ−1(p, v) = (p, ταβ(p)v).

Então E tem uma única estrutura de variedade suave tal que π : E → M ´_{e um F-fibrado} vetorial de posto k, com as aplica¸cões Φα sendo trivializa¸cões locais.

Demonstra¸c˜ao. Para cada p ∈ M , tome Uα contendo p; escolha uma carta local (Vp, φp) para M tal que p ∈ Vp ⊆ Uα. Defina uma aplica¸c˜ao ˜φp : π−1(Vp) → φp(Vp) × Fk como

˜

φp = φp × IdFk ◦ Φα. Mostraremos que a fam´ılia de aplica¸c˜oes π −1_(V

p), ˜φp satisfaz as condi¸cões do Lema 1.35 de (LEE, 2013), e então provaremos que tal cole¸cão define uma estrutura diferenciável para E.

Como é uma composi¸cão de aplica¸cões bijetivas, ˜φp está em bije¸cão com o aberto φp(Vp) × Fk de Rn× Fk. Para cada p, q ∈ M , é fácil ver que

˜

φp(π−1(Vp) ∩ π−1(Vq)) = φp(Vp∩ Vq) × Fk,

que é aberto pois φp é uma aplica¸cão de coordenadas. Quando duas cartas desse tipo se sobrepõem, temos

˜ φp◦ ˜φ−1q = (φp× IdFk) ◦ Φα◦ Φ −1 β ◦ (φq× IdFk) −1_. Como φp×IdFk, Φα◦Φ −1

β e φq×IdFk são difeomorfismos, a composi¸cão é um difeomorfismo. Então, as condi¸cões (i)-(iii) do Lema 1.35 valem. Como podemos extrair de {Vp : p ∈ M } uma subcobertura enumerável, então temos que a condi¸cão (iv) também vale.

Para a condi¸c˜ao (v), perceba que dois pontos do mesmo Ep est˜ao no dom´ınio de ˜φp, e se γ ∈ Ep e η ∈ Eq com p 6= q, podemos escolher Vp e Vq vizinhan¸cas disjuntas

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de p e q, respectivamente, e então π−1(Vp) e π−1(Vq) serão disjuntos e conterão γ e η, respectivamente. Então, E assume estrutura de uma variedade diferenciável.

Com respeito a essa estrutura, cada um dos Φα ´e um difeomorfismo, pois em termos das cartas coordenadas (π−1(Vp), ˜φp) para E e (Vp × Fk, φp× IdFk) para Vp× F

k_, a representa¸cão em coordenadas de Φα é a aplica¸cão identidade. A representa¸cão em coordenadas de π, com respeito à mesma carta para E e a carta (Vp, φp) para M , é π(v, x) = x, então π é diferenciável também. Como φα mapeia Ep em p × Rk, é imediato que π1 ◦ Φα = π, e Φα é linear nas fibras por hipótese. Então, Φα satisfaz todas as condi¸cões para uma trivializa¸cão local diferenciável.

O fato de que a estrutura diferenciável é única segue do requerimento de que as aplica¸cões Φα sejam difeomorfismos sobre suas imagens. Uma vez que isso valha, qual-quer estrutura diferenciável satisfazendo essas condi¸cões deve incluir todas as aplica¸cões

˜

φp, logo, novamente pelo Lema 1.35 de (LEE, 2013), qualquer estrutura diferenciável satisfazendo as condi¸cões do enunciado do teorema é idêntica à que constru´ımos.

Como aplica¸cão da proposi¸cão acima, consideremos a seguinte constru¸cão (usa-remos aqui a no¸cão de produto tensorial de espa¸cos vetoriais. Para uma exposi¸cão do assunto, consulte o apêndice A.1 de (CAMINHA, 2014):

Exemplo 2.3. Sejam E e F dois R-fibrados sobre a mesma variedade M . Definimos o produto tensorial de E e F como o espa¸co

E ⊗ F = `

p∈M(Ep ⊗ Fp),

com a estrutura de R-fibrado vetorial sobre M induzida pelas aplica¸c˜oes Φα⊗ Ψα: ` p∈Uα(Ep⊗ Fp) → Uα× (R k ⊗ Rl₎ ηp⊗ γp 7→ (p, (τα(p)ηp) ⊗ (θα(p)γp)), de sorte que Rk ⊗ Rl _´

e tomado como Rkl, via o homomorfismo canˆonico que consta na Proposi¸c˜ao A.4 de (CAMINHA, 2014). Para β 6= α tal que Uα∩ Uβ 6= ∅, conclu´ımos da Proposi¸c˜_{ao A.6 de (CAMINHA, 2014) que, para v ∈ R}k _{e w ∈ R}l_,

(Φα⊗ Ψα) ◦ (Φβ⊗ Ψβ)−1(p, v ⊗ w) = (p, (gαβv) ⊗ (hαβw))), e por isso (Φα⊗ Ψα) ◦ (Φβ⊗ Ψβ)−1 ´e suave.

Sobre as se¸cões de E ⊗ F , se U ⊆ M é um dom´ınio de trivializa¸cões locais Φ de E e Ψ de F cujos referenciais associados são (γ1, . . . , γk) e (η1, . . . , ηl) para E e F , respectivamente, temos que uma ordena¸cão do conjunto {γm⊗ ηn, m = 1, . . . , k; n = 1, . . . , l} formado pelas aplica¸cões γm⊗ ηn: U → E ⊗ F tais que (γm⊗ ηn)(p) = γm(p) ⊗ ηn(p) é um referencial local para E ⊗ F em U . De fato, fixados m e n, temos que (Φ ⊗ Ψ) ◦ (γm⊗ηn)(p) = (p, Em⊗En). Pelo Lema A.2 e a Proposi¸cão A.4 de (CAMINHA, 2014), {Em⊗ En, m = 1, . . . , k; n = 1, . . . , l} é uma base de Rk⊗ Rl, logo, como Φ ◦ Ψ é uma trivializa¸cão local, segue que {γm⊗ ηn, m = 1, . . . , k; n = 1, . . . , l} é um referencial local definido em U .

Exemplo 2.4. Dados F-fibrados vetoriais πE : E → M e πF : F → M , de postos respectivamente k e l, seja

(17)

Hom(E; F ) =`

p∈MHom(Ep; Fp),

onde Hom(Ep; Fp) ´e o conjunto das aplica¸c˜oes lineares de Ep para Fp.

Podemos provar que Hom(E; F ) admite estrutura de fibrado vetorial, em que a fibra de p ∈ M é exatamente Hom(Ep; Fp). O procedimento é bastante similar ao do exemplo anterior, e para os detalhes, recomendamos (CAMINHA, 2014). Um fato interessante sobre esse fibrado é que uma se¸cão dele é um homomorfismo entre os fibrados E e F .

Exemplo 2.5. (Complexifica¸c˜_{ao de fibrados) Dado um R-fibrado E sobre M , considere} o produto tensorial E ⊗ (M × C). Dado p ∈ M, a fibra de p relativa ao último fibrado é Ep ⊗ C. Fixado λ ∈ C, podemos definir a aplica¸cão Pλ : Ep × C → Ep ⊗ C tal que Pλ(v, z) = v ⊗ (λz). Uma vez que é bilinear, pela Proposi¸cão A.3 de (CAMINHA, 2014), Pλ induz uma aplica¸cão linear ˜Pλ : Ep⊗C → Ep⊗C tal que ˜Pλ◦π = Pλ, com π : Ep×C → Ep⊗ C satisfazendo π(v, w) = v ⊗ w. Com isso, definindo ˜P : C × Ep⊗ C → Ep ⊗ C como ˜P (λ, w) = ˜Pλ(w), é simples verificar que Ep⊗ C admite estrutura de espa¸co vetorial complexo de dimensão complexa igual à dimensão real de Ep, considerando a opera¸cão de soma usual e ˜P como produto por escalar. Quando quisermos considerar o espa¸co com essa estrutura, denotaremos por EC

p. Em particular, se consideramos Ep como Rk, podemos estabelecer um isomorfismo canˆ_{onico entre R}k_{⊗C e C}k_{, considerando a aplica¸}_c˜_ao bilinear F : Rk_{× C → C}k _{dada por F (v, λ) = λv e a aplica¸}_c˜_{ao linear ˜}_{F : R}k_{⊗ C → C}k induzida por F . Como os espa¸cos relacionados por ˜F tem a mesma dimensão complexa, é suficiente provarmos que ˜F ´_{e injetiva. Para provar isso, considere w ∈ R}k _{⊗ C tal} que ˜F (w) = 0. Então, pelo Lema A.2 de (CAMINHA, 2014), podemos escrever w como

k P

j=1

zj ⊗ vj, sendo v1, . . . , vk uma base de Rk e zj ∈ C, ∀j = 1, . . . , n. Ent˜ao, segue que k

P

j=1

zjvj = 0, e como v1, . . . , vk ´e tamb´em uma base de Ck, temos que zj = 0, ∀j = 1, . . . , n, logo w = 0. Da´ı, temos um isomorfismo canˆ_{onico entre R}k_{⊗ C e C}k.

Por fim, se tomamos uma fam´ılia de trivializa¸c˜oes locais {Φα⊗ Ψα}α∈Λ como no exemplo anterior, podemos considerar a fam´ılia

{ ^Φα⊗ Ψα}_α∈Λ tal que

^

Φα⊗ Ψα = (IdUα × ˜F ) ◦ (Φα⊗ Ψα)

Como F ´e trivialmente diferenci´avel, temos que Φ^α⊗ Ψα◦ ( ^Φα⊗ Ψα) −1

´

e diferenciável, logo E ⊗ (M × C) admite estrutura de C-fibrado, e, nesse caso, denotamo-lo por EC_, e chamamo-lo de complexifica¸cão de E. Como consequência do que fizemos nesse exemplo, é ´_{obvio que (M × R}k₎C

= M × Ck_.

Existem duas se¸c˜_{oes de M × C que formam um referencial global desse fibrado,} a saber, p 7→ 1p e p 7→ ip. Logo, se (η1, . . . , ηk) é um referencial local de E (definido em um aberto U ⊆ M ), já vimos que {η1 ⊗ 1, . . . , ηk ⊗ 1} ∪ {η1 ⊗ i, . . . , ηk⊗ i} é um

(18)

referencial local de EC_{. Portanto, dada uma se¸}_c˜_{ao η de E definida em U , temos que} η = Pk

j=1ajηj ⊗ 1 + bjηj ⊗ i, para aj, bj ∈ C∞(M ; R). Com isso, se φ1 = Pk

j=1ajηj e φ2 =

Pk

j=1bjηj, temos que η = φ1 ⊗ 1 + φ2 ⊗ i e, para simplificar a nota¸cão, fazemos φ1⊗ 1 ' φ1, e pela estrutura complexa que definimos em E ⊗ (M × C), segue que φ2⊗ i ' iφ2. Assim, nessa nota¸cão, dada uma se¸cão local η de EC, temos que existem se¸cões φ1 e φ2 definidas no mesmo dom´ınio de η tais que η = φ1 + iφ2. Trivialmente, ambas as se¸cões locais são únicas definidas em U satisfazendo tal propriedade.

2.1.2 M´etricas e conex˜oes em fibrados

Nessa subse¸cão, a menos de men¸cão expl´ıcita do contrário, todos os fibrados considerados s˜_{ao R-fibrados.}

Defini¸cão 2.3. Uma métrica Riemanniana em um fibrado π : E → M é uma aplica¸cão C∞(M )-bilinear, simétrica, e positiva definida

g : Γ(E) × Γ(E) → C∞(M ).

Uma conex˜ao (afim) em um fibrado π : E → M ´e uma aplica¸c˜_{ao R-bilinear} ∇ : Γ(T M ) × Γ(E) → Γ(E)

(X, η) 7→ ∇Xη

satisfazendo, para f ∈ C∞(M ), X ∈ Γ(T M ) e η ∈ Γ(E), as condi¸c˜oes: (a) ∇f Xη = f ∇Xη;

(b) ∇Xf η = f ∇Xη + X(f )η.

Por fim, dado um fibrado π : E → M com uma métrica g, dizemos que uma conexão ∇ é compat´ıvel com a métrica se, para todos X ∈ Γ(T M ) e η, γ ∈ Γ(E), tivermos

X(g(η, γ)) = g(∇Xη, γ) + g(η, ∇Xγ).

Chamamos de fibrado vetorial Riemanniano um fibrado munido de uma métrica Riemanniana g e uma conexão ∇ compat´ıvel com g. Ao longo de todo o texto, consideraremos apenas conexões compat´ıveis com a métrica do fibrado.

Exemplo 2.6. Dada uma variedade Riemanniana M , uma métrica (Riemanniana) em M é claramente uma métrica em T M no sentido que acabamos de apresentar.

Exemplo 2.7. Dada uma variedade Riemanniana M , existe uma única conexão ∇ de T M , compat´ıvel com a métrica e tal que [X, Y ] = ∇XY − ∇YX, ∀X, Y ∈ Γ(T M ). Tal conexão é chamada a conexão de Levi-Civita de M .

Exemplo 2.8. Considerando o fibrado trivial M × Rn _{sobre M , temos que as se¸}_c˜_oes η de M × Rn são dadas por η = (η1, . . . , ηn), sendo as ηi fun¸cões reais em M . Se γ = (γ1, . . . , γn) é outra se¸cão, podemos considerar a aplica¸cão

h· , · i : Γ(M × Rn ) × Γ(M × Rn) → Γ(M × Rn) (η, γ) 7→ n P i=1 ηiγi. ´

E simples de verificar que h· , · i é uma métrica. Ademais, a aplica¸cão ∇ : Γ(T M ) × Γ(M × Rn_{) → Γ(M × R}n₎

(19)

(X, γ) 7→ (Xγ1, . . . , Xγn)

define uma conexão no fibrado trivial que é compat´ıvel com a métrica definida acima. Sobre esses novos conceitos, temos o seguinte resultado auxiliar.

Lema 2.3. Seja π : E → M um fibrado munido da métrica h· , · i e da conexão ∇. Além disso, seja U ⊆ M um aberto não-vazio. Então, valem as afirma¸cões:

(a) Se η ∈ Γ(E) se anula em U , então a fun¸cão hη, γi se anula em U , ∀γ ∈ Γ(E); (b) Para cada X ∈ Γ(T M ) e η se anulando em U , temos que ∇Xη se anula em U ; (c) Se Y ∈ Γ(T M ) é tal que Y se anula em U , então ∇Yγ se anula em U , ∀γ ∈ Γ(E). Demonstra¸cão. (a) Seja p ∈ U e φ ∈ C0∞(M ) tal que supp(φ) ⊂ U e φ(p) ≡ 1 em uma vizinhan¸ca de p. Então, φη ≡ 0 em M , e assim φhη, γi ≡ 0 em U . Mas, tomando o valor de φhη, γi em p, temos que hη, γi(p) = 0, logo tal fun¸cão se anula em todos os pontos de U .

(b) Tomando φ como em (i), temos que φη ≡ 0, e ent˜ao ∇X(φη) = 0 ⇔ X(φ)η+φ∇Xη = 0, e tomando valor em p, segue que (∇Xη)(p) = 0, logo tal se¸c˜ao se anula em U . (c) Novamente, temos que φY ≡ 0 nesse caso, e ∇φYγ = φ∇Yγ, consequentemente

(∇Yγ)(p) = 0, e ∇Yγ se anula em U .

Uma consequência óbvia do item (a) do Lema 2.3 é que se η1 e η2 coincidem em U , hη1, γi = hη2, γi, ∀γ ∈ Γ(E). Os outros resultados também admitem consequências análogas.

O lema acima é bastante importante, pois permite que estendamos a métrica e a conexão de um fibrado a se¸cões e campos localmente definidos. Com efeito, se U ⊆ M é um aberto não-vazio e χ, γ são se¸c˜_{oes locais definidas em U , fa¸camos hχ, γi : U → R} como hχ, γi(p) = hφχ, φγi(p), com φ ∈ C∞(M ) como no lema (as se¸cões φχ e φγ estão bem definidas em U , mas podemos estendê-las diferenciavelmente a M definindo-as como zero em M \U ). A fun¸cão hχ, γi não depende de φ, pois, se ψ é outra fun¸cão satisfazendo as mesmas propriedades, então hφχ, φγi − hψχ, ψγi = h(φ − ψ)χ, φγi + hψχ, (φ − ψ)γi e, como φ − ψ se anula em um aberto contendo p, essa diferen¸ca se anula em p. Essa mesma ideia mostra que a métrica é um objeto pontual, ou seja, a fun¸cão h· , · ip : Ep×Ep → R tal que hv, wip = hχ, γi(p), com χ e γ se¸cões globais satisfazendo χ(p) = v e γ(p) = w, está bem definida. Analogamente, também podemos definir uma conexão que atue apenas em se¸cões e campos definidos apenas em um aberto de M .

Dessa extensão de métricas e conexões, segue um recurso bastante útil, que é poder utilizar referenciais locais do fibrado e coordenadas locais na variedade para descrever objetos locais que dependem de métricas e conexões. De fato, se (η1, . . . , ηk) é um referencial local definido em um aberto U ⊆ M , p um ponto de U , φ ∈ C∞(M ) é tal que supp(φ) ⊂ U e φ ≡ 1 em uma vizinhan¸ca de p, e χ e γ se¸cões globais de E, então existem aj, bj ∈ C∞(U ) tais que χ =

Pk

j=1ajηj e γ = Pk

(20)

hχ, γi = hPk j=1(φaj)(φηj), γi = h Pk j=1(φaj)(φηj), Pk r=1(φbr)(φηr)i = Pk j=1 Pk r=1(φaj)(φbr)hφηj, φηri.

De modo idˆentico ao que fizemos no caso anterior, podemos provar que (φaj)(p) e (φbr)(p) independem de φ, e obtemos

hχ, γi|U = hPk_j=1ajηj,Pk_r=1brηri em U .

De modo semelhante, podemos repetir o procedimento com conexões, e este será aplicado no próximo lema.

Lema 2.4. Seja E um fibrado vetorial sobre M , munido de uma conexão afim ∇. (a) Fixado η ∈ Γ(E), a aplica¸cão X 7→ ∇Xη é C∞(M )-linear e seu valor em p ∈ M

depende apenas de Xp.

(b) Fixado X ∈ Γ(T M ), a aplica¸c˜ao η 7→ ∇Xη ´e R-linear e seu valor em p ∈ M depende apenas dos valores de η ao longo de uma curva tangente a X em p.

Demonstra¸c˜ao. Seja U ⊂ Mn uma vizinhan¸ca coordenada, com campos coordenados ∂i, dom´ınio de uma trivializa¸c˜ao local com referencial associado (η1, . . . , ηk). Se X =

n P i=1 ai∂i e η = n P j=1 ujηj, temos: ∇Xη = ∇X( n P j=1 ujηj) = n P j=1 (X(uj)ηj+ uj∇Xηj),

e o valor da última expressão só depende de Xp e do valor de η ao longo de uma curva tangente a X em p.

A natureza local de métricas e conexões nos permite estendê-las a complexi-fica¸cões de fibrados. De fato, se π : E → M é um fibrado Riemanniano de métrica h· , · i e conexão ∇, então, dados η, γ ∈ Γ(EC_{), X ∈ Γ(T M}C_{) e p ∈ M , tomando um vizinhan¸ca} U de p onde podemos definir um referencial local, temos uma decomposi¸cão local para as se¸cões da forma

η = η1+ iη2; η1, η2 : U → E; γ = γ1+ iγ2; γ1, γ2 : U → E; X = X1+ iX2; X1, X2 : U → T M .

Com isso, definimos h· , · i : Γ(EC_)×Γ(EC_{) → C}∞_{(M ; C) e ∇ : Γ(T M}C_)×Γ(EC_{) → Γ(E}C₎ como

hη, γi(p) = hη1, γ1i − hη2, γ2i + i(hη1, γ2i + hη2, γ1i); ∇Xη = ∇X1η1− ∇X2η2+ i(∇X1η2+ ∇X2η1).

Tais extensões serão bastantes utilizadas adiante. 2.1.3 Fibrados induzidos por aplica¸cões

Seja f : Mm _{→ N}n_{uma aplica¸c˜}_{ao suave entre variedades suaves e π}

F : F → N um fibrado de posto k. Construiremos um fibrado πE : E → M , chamado induzido por

(21)

f sobre M , da seguinte forma: • Primeiro, consideramos

E =`

p∈MFf (p) e πE(Ff (p)) = p, para cada p ∈ M .

• Em seguida, tomamos uma cobertura aberta {Vα}α∈A de N tal que, para cada α ∈ A, tenhamos uma trivializa¸cão local Ψα : π−1_F (Vα) → Vα× Rk para F . Se Uα = f−1(Vα), então {Uα}α∈A é uma cobertura aberta de M e π−1E (Uα) = `_p∈U_αFf (p). Denotando por π2 : Vα × Rk → Rk a proje¸cão sobre o segundo fator, definimos Φα : π−1E (Uα) → Uα× Rk por

Φα(vp) = (p, (π2◦ Ψα)(vf (p))),

obtendo uma bije¸cão de π_E−1(Uα) em Uα× Rk, que é um isomorfismo linear quando restrita a Ep (já que Ψα : Ff (p)→ {f (p)} × Rk é um isomorfismo linear).

• Para α, β ∈ A tais que Uα∩ Uβ 6= ∅, temos Vα ∩ Vβ 6= ∅. Ademais, se Ψα ◦ Ψ−1β : (Vα∩ Vβ) × Rk→ (Vα∩ Vβ) × Rk for dada por

Ψα◦ Ψ−1_β (q, v) = (q, gαβ(q)(v)), ´

e imediato verificar que Φα◦ Φ−1_β : (Uα∩ Uβ) × Rk → (Uα∩ Uβ) × Rk ´e dada por Φα◦ Φ−1β (p, v) = (p, gαβ(f (p))(v)),

a qual ´e claramente uma fun¸c˜ao suave.

O Lema 2.2 garante que, sob essas condi¸c˜oes, o conjunto que constru´ımos ´e um fibrado. Denotaremo-lo por f∗F .

Sobre se¸c˜oes locais, temos o seguinte resultado.

Proposi¸cão 2.1. Seja V ⊂ N aberto, dom´ınio de uma se¸cão local η : V → F . Fa¸ca U = f−1(V ) e σ : U → f∗F como σ(p) = (η(f (p)))p (denotaremos as aplica¸cões obtidas por esse procedimento por η ◦ f ). Então, σ é uma se¸cão local para f∗F . Além disso, se (η1, . . . , ηk) é um referencial local para F sobre V , então (η1◦f, . . . , ηk◦f ) é um referencial local para f∗F sobre o subconjunto aberto f−1(V ) de M .

Demonstra¸cão. Para a primeira afirma¸cão, se W ⊂ V é um aberto dom´ınio de uma trivializa¸cão local Ψ, então a aplica¸cão Ψ ◦ η, definida em W , é diferenciável, e se Φ é a trivializa¸cão de f∗F constru´ıda a partir de Ψ como acima, então temos Φ ◦ σ(p) = (p, (π2◦ Ψα)(ηf (p))), trivialmente diferenciável. Como Φ é difeomorfismo, σ|f−1_{(W )}é diferenciável,

e como os dom´ınios de trivializa¸cões locais de F contidos em V cobrem esse aberto, segue que σ é diferenciável.

Para a segunda afirma¸cão, cada uma das aplica¸cões ηj◦ f é uma se¸cão local, pelo que acabamos de provar; considerando as imagens dessas se¸cões por uma trivializa¸cão local, obtemos que elas formam uma base de Rk _{em cada ponto; e como uma trivializa¸c˜}_ao local é um isomorfismo linear nas fibras, segue a segunda afirma¸cão.

Se F ´e um fibrado vetorial Riemanniano, podemos fazer de f∗F um fibrado Riemanniano, conforme a proposi¸c˜ao a seguir.

(22)

Proposi¸cão 2.2. Seja F um fibrado Riemanniano com métrica h· , · iF e conexão ∇F, (η1, . . . , ηk) um referencial local para F sobre o aberto V de N e U = f−1(V ).

• Se σ1, σ2 ∈ Γ(f∗F ) s˜ao dadas em U por σ1 = Pk i=1ai(ηi◦ f ) e σ2 = Pk j=1bj(ηj◦ f ), ent˜ao hσ1, σ2i := Pk_i=1Pk_j=1aibjhηi, ηjiF ◦ f )

independe do referencial (η1, . . . , ηk) e define uma m´etrica Riemanniana em f∗F . • Se X ∈ Γ(T M ) e σ ∈ Γ(f∗_{F ) ´}_{e dada em U por σ =} Pk

i=1ai(ηi◦ f ), ent˜ao (∇Xσ)(p) := Pk_i=1X(ai)(p)(ηi◦ f )(p) + ai(p)(∇F(f∗)pXpηi) ◦ f

independe do referencial (η1, . . . , ηk) e define uma conex˜ao em f∗F . Ademais, (f∗F, h· , · i, ∇) ´e um fibrado vetorial Riemanniano.

Demonstra¸cão. Veja a Proposi¸cão 1.39 de (CAMINHA, 2014). 2.2 Imersões isométricas

2.2.1 Introdu¸c˜ao

Sejam (Mn_{, g) uma variedade Riemanniana e Σ}k _{uma subvariedade imersa de} M (aqui, utilizamos a defini¸cão encontrada em (LEE, 2013)). Nessa situa¸cão, a inclusão F : Σ → M é uma imersão injetiva, e podemos identificar F∗(Tp(Σ)) com TpΣ. Ademais, g induz uma métrica em Σ via pullback por F , fazendo dessa aplica¸cão uma imersão isométrica.

Exemplo 2.9. Considere em Rn+1 _{a aplica¸}_c˜_{ao h· , · i tal que, se u = (u}

1, . . . , un+1) e v = (v1, . . . , vn+1), ent˜ao hu, vi = −un+1vn+1+

n P

k=1

ukvk. Denotemos tal espa¸co por Ln+1. Como o fibrado tangente de Rn+1 ´e trivial, podemos estender a aplica¸c˜ao a um tensor covariante de posto 2 em T Rn+1, dado por hvp, wpi = hv, wi.

Agora, considere o conjunto H = {p ∈ Ln+1_{; hp, pi = −1}. Temos que H ´}_{e uma} subvariedade mergulhada de Rn+1_{, pois ´}_{e valor regular de p 7→ hp, pi. Ademais, se p ∈ H,} então TpH = {v ∈ TpRn+1; hv, pi = 0}. Sendo i : H → Ln+1 a inclusão, consideremos i∗(h, i). Trivialmente, esse pullback define um tensor covariante em H, de posto 2 e simétrico. Para provarmos que tal tensor é uma métrica, note que, se p ∈ H, v ∈ TpRn+1, v = (v1, . . . , vn+1), temos, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, que

|pn+1vn+1| = | n P

i=1

pkvk| ≤ ||p0||.||v0||,

com p0 = (p1, . . . , pn), v0 = (v1, . . . , vn), e ||.|| a norma euclidiana. Ent˜ao, uma vez que |pn+1vn+1|2 ≤ ||p0||2.||v0||2 = (|pn+1|2− 1)||v0||2 ↔ |pn+1|2hv, vi ≥ ||v0||2,

se pn+1 6= 0, segue que hv, vi > 0 a menos que ||v0|| = 0. No segundo caso, ter´ıamos vn+1= 0, logo v = 0. Se pn+1 = 0, teremos que ||p0||2 = −1, absurdo, logo o pullback do tensor ´e positivo definido e define uma m´etrica Riemanniana em H. Por fim, da identidade 1 + ||p0||2 _{= p}2

n+1, segue que |pn+1| ≥ 1, e consideraremos Hn := {x ∈ H, xn+1 ≥ 1}. Tal espa¸co é chamado espa¸co hiperbólico de dimensão n.

(23)

Podemos utilizar informa¸c˜oes da geometria de M para inferir informa¸c˜oes sobre a geometria de Σ, e vice-versa. Para isso, considere o conceito seguinte:

Defini¸cão 2.4. Seja F : Σ → M uma imersão isométrica. A conexão induzida em Σ por F é a conexão do fibrado F∗T M , que denotaremos por ∇.

As se¸cões de F∗T M aplicam cada ponto p ∈ Σ em vp ∈ F∗T Mp ∼= TF (p)M (chamaremo-las de M -campos vetoriais em Σ). Em particular, campos vetoriais em Σ são se¸cões de F∗T M , mediante a identifica¸cão entre espa¸cos tangentes que citamos acima. Dizemos que X ∈ Γ(F∗T M ) é um M -campo tangente a Σ se Xp ∈ TpΣ, ∀p ∈ Σ. É simples ver que os únicos M -campos tangentes a Σ são precisamente os campos vetoriais em Σ. Além disso, dizemos que X ∈ Γ(F∗T M ) é um M -campo normal a Σ se Xp ∈ (TpΣ)⊥, ∀p ∈ Σ.

Dada qualquer X ∈ Γ(F∗T M ), existe uma única decomposi¸cão de X da forma X = X>+ X⊥, com X> campo vetorial de Σ e X⊥ M -campo normal. Para a prova da existência, como F é imersão, fixado q ∈ Σ, existe uma vizinhan¸ca V de q cuja restri¸cão a ela é um mergulho. Tomando um sistema de coordenadas (x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xn) adap-tado para V (para a defini¸cão, veja (O’NEILL, 1983)) e, usando o processo de ortogona-liza¸cão de Gram-Schmidt com os campos coordenados, obtemos um referencial ortonormal local (e1, . . . , ek, ek+1, . . . , en) e, nesse caso, e1, . . . , ek são tangentes a M e ek+1, . . . , ensão normais a M . Assim, basta fazer X> = Pk

i=1hX, eiiei e X⊥ = Pn

j=k+1hX, ejiej. A unicidade é trivial. A partir desse resultado, podemos definir, para X ∈ Γ(F∗T M ), a proje¸cão tangente tan(X) e a proje¸cão normal nor(X). Nessa nota¸cão, segue que X = tan(X) + nor(X).

Proposi¸c˜ao 2.3. Se X, Y ∈ Γ(T Σ), ent˜ao tan(∇XY ) = ∇XY .

Demonstra¸cão. Da defini¸cão de conexão induzida, temos que, se p ∈ Σ, então (∇XY )(p) :=Pk_i=1X(ai)(p)(_∂x∂

i)(p) + ai(p)( e∇Xp

∂ ∂xi),

onde, nesse caso, usamos o referencial obtido por uma carta adaptada ao redor de p, identificamos _∂x∂

i com

∂

∂xi ◦ F e fazemos e∇ como a conex˜ao de Levi-Civita de M . Desse

modo, as parcelas do tipo X(ai)(p)(_∂x∂_i)(p) s˜ao tangentes, e nos basta estudar a proje¸c˜ao tangente de e∇Xp

∂

∂xi. Para isso, note que, pela f´ormula de Koszul,

2h e∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xi , ∂ ∂xl i = ∂ ∂xj h ∂ ∂xi , ∂ ∂xl i + ∂ ∂xi h ∂ ∂xj , ∂ ∂xl i − ∂ ∂xl h ∂ ∂xi , ∂ ∂xj i, i, j, l = 1, . . . , k. Se aplicarmos a f´ormula de Koszul em Σ para 2h∇ ∂

∂xj

∂ ∂xi,

∂

∂xli, obtemos

o segundo membro da igualdade acima; logo, se p ∈ Σ, ent˜ao, fixados i e j em {1, . . . , k}, temos 2h e∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xi − ∇_∂xj∂ ∂ ∂xi, ∂

∂xli = 0, l = 1, . . . , k. Portanto, por linearidade, segue que

a proje¸c˜ao tangente de e∇Xp

∂

∂xi ´e ∇Xp

∂

∂xi, e com isso a proje¸c˜ao tangente de (∇XY )(p)

´e Pk

i=1X(ai)(p)( ∂

∂xi)(p) + ai(p)(∇Xp

∂

∂xi), e a última expressão é simplesmente ∇XY (p),

(24)

Doravante, consideraremos Σn−1 _{⊂ M}n _{uma hipersuperf´ıcie orient´}_{avel. Nesse} caso, fixemos um campo normal unitário N . A aplica¸cão II : Γ(T Σ) × Γ(T Σ) → C∞(Σ) tal que II(X, Y ) = h∇XY, N i é chamada a segunda forma fundamental de Σ (relativa a N ). Tal aplica¸cão é C∞(Σ)-bilinear e simétrica. Com efeito, se f ∈ C∞(Σ), temos que

II(X, f Y ) = h∇Xf Y, N i = hf ∇XY + X(f )Y, N i = hf ∇XY, N i = f II(X, Y ). As demais checagens da C∞(Σ)-bilinearidade s˜ao simples. Para a simetria, note que, se p ∈ Σ e (x1, . . . , xn−1, xn) ´e um sistema de coordenadas adaptado em uma vizinhan¸ca de p, temos que II(X, Y )(p) = h n−1 X i=1 ai(p)( e∇Xp ∂ ∂xi ), N i = h n−1 X i,j=1 ai(p)bj(p)( e∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xi ), N i, (3) onde X =Pn−1 i=1 ai ∂ ∂xi e Y = Pn−1 j=1 bj ∂ ∂xi. Como e∇_∂xj∂ ∂ ∂xi = [ ∂ ∂xi, ∂ ∂xj] + e∇_∂xi∂ ∂ ∂xj = e∇_∂xi∂ ∂ ∂xj,

segue que II ´e sim´etrica.

Perceba que, dado p ∈ Σ, o valor II(X, Y )(p) depende apenas de Xp e Yp. De fato, isso é uma consequência direta da sequência de igualdades (3). Com isso, podemos definir também a segunda forma fundamental para campos localmente definidos, e esses retornarão fun¸cões suaves localmente definidas, pelo caráter local das conexões.

Para o que vamos fazer adiante, convém descrever alternativamente a conexão induzida. Se p ∈ Σ e (V, φ) é um sistema de coordenadas adaptado em uma vizinhan¸ca de p, com coordenadas locais (x1, . . . , xn−1, xn), podemos supor que o contradom´ınio da aplica¸cão de coordenadas ´_{e U × (−, ), com U ⊂ R}n−1 _{e > 0. Com isso, dado X ∈} Γ(F∗T M ), temos que X tem expressão em coordenadas da forma Pn−1

i=1 ai_∂x∂_i e podemos estender esse campo a V , uma vez que os campos coordenados estão definidos em V e as fun¸cões ai podem ser estendidas fazendo ãi(q) := ai(φ−1(π(φ(q)))), com π : U × (−, ) → U a proje¸cão no primeiro fator. Se X ∈ Γ(T M ), Y ∈ Γ(F∗(T M )) e ¯X, ¯Y suas extensões como constru´ıdo acima, temos que

e ∇_X¯Y = e¯ ∇_X¯Pn−1_i=1 ˜bi_∂x∂ i = Pn−1 i=1 X(˜¯ bi) ∂ ∂xi + ˜bi∇eX¯( ∂ ∂xi).

Avaliando a ´ultima express˜ao em q ∈ φ−1(U ), obtemos ∇XqY , e isso fornece uma nova

interpreta¸c˜ao para a conex˜ao induzida.

Exemplo 2.10. Consideremos novamente o espa¸_{co L}n+1_{. A base canˆ}_{onica (e}

1, . . . , en+1) satisfaz hei, eji = iδij, com δij sendo o s´ımbolo delta de Kronecker e i = −1 se i = n + 1, ou 1 nos demais casos. Ent˜ao, uma vez que hei, eji ´e constante e [ei, ej] = 0, temos que a conex˜_{ao de Levi-Civita ∇ de R}n+1 _{satisfaz a identidade}

2h∇eiej, eki = ei(hej, eki)+ej(hek, eii)−ei(hej, eki)−hei, [ej, ek]i+hej, [ek, ei]i+hej, [ek, ei]i.

Uma conta simples estende a identidade acima para campos da forma f ei, f ∈ C∞(Rn+1). Por linearidade, tal identidade vale para todos os campos de Γ(T Ln+1).

Por fim, se X, Y ∈ Γ(T Hn_{), temos que a aplica¸}_c˜_{ao (X, Y ) 7→ tan(∇} XY ),

(25)

com tan sendo a proje¸cão no espa¸_{co tangente de H}n_{, ´}_{e uma conex˜}_{ao em H}n_{, que, pela} identidade acima, satisfaz a fórmula de Koszul. Logo, a proje¸cão da conexão de Levi-Civita em Hn é a conex˜_{ao de Levi-Civita de H}n.

Defini¸cão 2.5. A curvatura média da hipersuperf´ıcie Σ é a fun¸c˜_{ao H : Σ → R tal que}

H(p) = 1 2 n−1 X j=1 II(ej, ej)(p), (4)

com (e1, . . . , en−1) um referencial ortonormal definido para uma vizinhan¸ca de p em Σ. Defini¸c˜ao 2.6. O operador induzido de curvatura de Σ ´e o operador R : Γ(T Σ) × Γ(T Σ) × Γ(F∗T M ) → Γ(F∗T M ) tal que

¯

R(X, Y )Z = ∇[X,Y ]Z + ∇Y∇XZ − ∇X∇YZ.

A descri¸c˜ao alternativa que demos da conex˜ao induzida garante que ¯R(X, Y )Z pode ser obtido estendendo localmente X, Y e Z, aplicando o operador de curvatura de M (chamaremo-lo ˜R) e restringindo a Σ.

Finalizamos a subse¸cão com duas equa¸cões, úteis para relacionar as geometrias intr´ınseca e extr´ınseca de uma hipersuperf´ıcie imersa.

Teorema 2.1. Seja F : Σ → M uma imersão isométrica, com Σ orientável. Se X, Y, Z, W ∈ Γ(T Σ), valem:

• (Equa¸c˜ao de Gauss)

h ˜R(X, Y )Z, W i = hR(X, Y )Z, W i + II(X, Z), II(Y, W ) − II(X, W ), II(Y, Z)i; • (Equa¸cão de Codazzi) Se N um campo unitário normal em Σ, então,

h ˜R(X, Y )Z, N i = (∇YII)(X, Z) − (∇XII)(Y, Z), onde

(∇YII)(X, Z) = Y (II(X, Z)) − II(∇YX, Z) − II(X, ∇YZ). Demonstra¸c˜ao. Note que

∇Y∇XZ = ∇Y(∇XZ + II(X, Z)N )

= ∇Y∇XZ + II(Y, ∇XZ)N + Y (II(X, Z))N + II(X, Z)∇YN. Analogamente,

∇X∇YZ = ∇X(∇YZ + II(Y, Z)N )

= ∇X∇YZ + II(X, ∇YZ)N + X(II(Y, Z))N + II(Y, Z)∇XN .

Ainda, ∇[X,Y ]Z = ∇[X,Y ]Z + II([X, Y ], Z)N . Juntando e rearranjando os termos, temos que

˜

R(X, Y )Z = R(X, Y )Z + (II([X, Y ], Z) + II(Y, ∇XZ) + Y (II(X, Z)) − II(X, ∇YZ) − X(II(Y, Z)))N + II(X, Z)∇YN − II(Y, Z)∇XN .

(26)

h ˜R(X, Y )Z, W i = hR(X, Y )Z + (II([X, Y ], Z) + II(Y, ∇XZ) + Y (II(X, Z)) − II(X, ∇YZ) − X(II(Y, Z)))N + II(X, Z)∇YN − II(Y, Z)∇XN, W i =

hR(X, Y )Z + II(X, Z)∇YN − II(Y, Z)∇XN, W i = hR(X, Y )Z, W i + II(X, Z)h∇YN, W i − II(Y, Z)h∇XN, W i = hR(X, Y )Z, W i + II(X, Z)(Y hN, W i − hN, ∇YW i) − II(Y, Z)(XhN, W i − hN, ∇XW i) =

hR(X, Y )Z, W i + II(Y, Z)II(X, W ) − II(X, Z)II(Y, W ), e obtemos a Equa¸c˜ao de Gauss.

Para a equa¸c˜ao de Codazzi, procedendo de maneira semelhante,

h ˜R(X, Y )Z, N i = hR(X, Y )Z + (II([X, Y ], Z) + II(Y, ∇XZ) + Y (II(X, Z)) − II(X, ∇YZ) − X(II(Y, Z)))N + II(X, Z)∇YN − II(Y, Z)∇XN, N i = II([X, Y ], Z) + II(Y, ∇XZ) + Y (II(X, Z)) − II(X, ∇YZ) − X(II(Y, Z)) +

hII(X, Z)∇YN − II(Y, Z)∇XN, N i = (∇YII)(X, Z) − (∇XII)(Y, Z),

uma vez que 2h∇YN, N i = Y hN, N i = 0 = h∇XN, N i, e est´a deduzida a equa¸c˜ao de Codazzi.

2.2.2 Parˆametros isot´ermicos e Superf´ıcies de Riemann

O conceito de parâmetros isotérmicos nos permitirá introduzir uma linguagem bastante conveniente para nossos propósitos.

Seja (Σ2_{, h· , · i) uma superf´ıcie Riemanniana. Para cada p ∈ Σ, temos uma} vizinhan¸ca de coordenadas (U, x, y) tais que h_∂x∂ ,_∂x∂ i = h∂

∂y, ∂

∂yi = E, com E ∈ C ∞_{(U ),} e h_∂x∂ ,_∂y∂ i = 0 (tais parâmetros são chamados isotérmicos). Esse resultado é bastante conhecido em Geometria Diferencial e, para uma prova dele, consulte (CHERN, 1955).

Podemos identificar R2 com C pela associa¸c˜ao x + iy ↔ (x, y). Com isso, cartas coordenadas (U, φ) de uma superf´ıcie podem ser interpretadas com contradom´ınio tanto em R2 quanto em C. Agora, considere a defini¸c˜ao a seguir.

Defini¸cão 2.7. Uma superf´ıcie de Riemann ´_{e um par (Σ, A), sendo Σ uma superf´ıcie} conexa e A um atlas {(Ui, φi)}i∈I tal que φi(Ui) ⊂ C e φi◦ φj−1 é uma fun¸cão holomorfa em φj(Ui∩ Uj), sempre que Ui∩ Uj 6= ∅.

No contexto de superf´ıcies de Riemann, chamamos as cartas do atlas A de cartas conformes, e as coordenadas relativas `as cartas de parˆametros conformes (locais).

Dados desses conceitos, podemos enunciar o seguinte resultado.

Proposi¸c˜_{ao 2.4. Seja Σ uma superf´ıcie Riemanniana orientada e A = {(U}p, φp)}p∈Σ um atlas positivamente orientado (i.e, tal que todas as cartas são positivamente orientadas), formado por cartas isotérmicas. Então, as mudan¸cas de coordenadas são holomorfas, logo, (Σ, A) é uma superf´ıcie de Riemann.

Demonstra¸c˜ao. Sejam φp e φq cartas do atlas, tais que Up ∩ Uq 6= ∅. Com isso, sendo (x1, x2) e (y1, y2) as coordenadas de φp e φq, respectivamente, existem E1, E2 ∈ C∞(Up∩

(27)

Uq) tais que h ∂ ∂x1 , ∂ ∂x1 i = h ∂ ∂x2 , ∂ ∂x2 i = E1 e h ∂ ∂y1 , ∂ ∂y1 i = h ∂ ∂y2 , ∂ ∂y2 i = E2.

Ademais, temos que, em Up∩ Uq, ∂ ∂x1 = ∂y1 ∂x1 ∂ ∂y1 + ∂y2 ∂x1 ∂ ∂y2 e ∂ ∂x2 = ∂y1 ∂x2 ∂ ∂y1 + ∂y2 ∂x2 ∂ ∂y2 . Tomando produtos internos, temos:

E1 = h ∂ ∂x1 , ∂ ∂x1 i = (∂y1 ∂x1 )2E2 + ( ∂y2 ∂x1 )2E2; E1 = h ∂ ∂x2 , ∂ ∂x2 i = (∂y1 ∂x2 )2E2 + ( ∂y2 ∂x2 )2E2; 0 = h ∂ ∂x1 , ∂ ∂x2 i = ∂y1 ∂x1 ∂y1 ∂x2 E2 + ∂y2 ∂x1 ∂y1 ∂x2 E2.

Portanto, diminuindo Up∩ Uq, se necess´ario, existem α, β : Up∩ Uq → [0, 2π) tais que ∂y1 ∂x1 = E1 E2 cos(α), ∂y2 ∂x1 = E1 E2 sen(α), ∂y1 ∂x2 = E1 E2 cos(β), ∂y2 ∂x2 = E1 E2 sen(β).

Ainda, nessa nota¸c˜ao, temos que cos(α − β) = 0. Ademais, como as cartas s˜ao positiva-mente orientadas, temos queE1

E2

2

sen(β)cos(α)−E1

E2

2

sen(α)cos(β) > 0, logo sen(β −α) > 0. Assim, β − α ∈ (0, π), e como cos(α − β) = 0, temos que α = β + π₂. Portanto, cos(α) = −sen(β) e sen(α) = cos(β) e, com isso, as componentes reais da fun¸cão x1 + ix2 7→ y1 + iy2 satisfazem as equa¸cões de Cauchy-Riemann. Logo, a mudan¸ca de coordenadas (x1, x2) 7→ (y1, y2) é holomorfa, como quer´ıamos, e claramente (Σ, A) é uma superf´ıcie de Riemann.

Uma vez que temos esse recurso à disposi¸cão, ao tratarmos uma variedade Riemanniana bidimensional orientada Σ como superf´ıcie de Riemann, é conveniente usar métodos e objetos complexos, e entre eles, o fibrado complexificado T ΣC_{, munido das} extensões da métrica induzida por M e da conexão de Levi-Civita ∇. Ademais, se consi-derarmos uma imersão isométrica F : Σ → (M, h, i), teremos também o fibrado F∗(T M )C_, com a métrica h, i e a conexão∇ constru´ıdas como descrevemos anteriormente.

Explorando mais profundamente as superf´ıcies de Riemann, podemos conside-rar a defini¸c˜ao a seguir.

Defini¸c˜ao 2.8. Uma estrutura quasi-complexa J em uma superf´ıcie Σ ´e um homo-morfismo de fibrados J : T Σ → T Σ tal que J ◦ J = −IdT Σ.

(28)

Proposi¸cão 2.5. Se Σ é uma superf´ıcie de Riemann e z é um sistema de coordenadas conformes para Σ, definido em um aberto U ⊂ Σ, então, para p ∈ U , o operador linear Jp : TpΣ → TpΣ tal que Jp(_∂x∂ |p) = ∂ ∂y|p e Jp(_∂y∂|p) = − ∂ ∂x|p

independe do parâmetro conforme z e define uma estrutura quasi-complexa em Σ. Demonstra¸cão. Veja a Proposi¸cão 5.12 de (CAMINHA, 2014).

Agora, tomemos uma superf´ıcie Riemanniana orientada com sua estrutura canˆonica de superf´ıcie de Riemann. E simples verificar que vale hJ X, J Y i = hX, Y i´ (basta considerar um parˆametro conforme e verificar os casos X, Y ∈ {_∂x∂ ,_∂y∂ }). Ademais, se Z ∈ Γ(T Σ),

Z(hJ X, J Y i) = Z(hX, Y i) ⇔ h∇ZJ X, J Y i+ hJ X, ∇ZJ Y i = h∇ZX, Y i + hX, ∇ZY i ⇔ = h(∇ZJ )X, J Y i + hJ X, (∇ZJ )Y i = 0.

A partir do cálculo acima, obtemos que, para cada campo vetorial Z em Σ fixado, o operador J ◦ (∇ZJ ) é antissimétrico e, em particular, J ((∇ZJ )(Y )) é ortogonal a Y , para todo Y ∈ Γ(Σ). Com isso, fixando parâmetros isotérmicos (U, x, y), com U ⊂ Σ aberto, temos que J ((∇ZJ )(_∂x∂ )) = fZ_∂y∂, com fZ ∈ C∞(U ), ou, equivalentemente, (∇ZJ )(_∂x∂ ) = fZ_∂x∂ . Analogamente, (∇ZJ )(_∂y∂) = gZ_∂y∂ e, fazendo X = _∂x∂ e Y = _∂y∂ nas contas acima, segue que fZ+ gZ = 0. Agora, note que

Ef∂ ∂x = h(∇ ∂ ∂xJ ) ∂ ∂x, ∂ ∂xi = h∇_∂x∂ (J ∂ ∂x) − J (∇_∂x∂ ∂ ∂x), ∂ ∂xi = h∇_∂x∂ ∂ ∂y, ∂ ∂xi + h∇_∂x∂ ∂ ∂x, J ( ∂ ∂x)i = h∇∂ ∂x ∂ ∂y, ∂ ∂xi + h∇_∂x∂ ∂ ∂x, ∂ ∂yi = 0, logo f∂ ∂x = 0. Analogamente, Ef∂ ∂y = h(∇ ∂ ∂yJ ) ∂ ∂x, ∂ ∂xi = h∇_∂y∂ (J ∂ ∂x) − J (∇_∂y∂ ∂ ∂x), ∂ ∂xi = h∇_∂y∂ ∂ ∂y, ∂ ∂xi + h∇_∂y∂ ∂ ∂x, J ( ∂ ∂x)i = h∇ ∂ ∂y ∂ ∂y, ∂ ∂xi + h∇∂y∂ ∂ ∂x, ∂ ∂yi = h∇∂y∂ ∂ ∂y, ∂ ∂xi + h∇∂y∂ ∂ ∂x, ∂ ∂yi = 0, logo f∂ ∂y = 0 e (∇ZJ ) ∂ ∂x = 0, ∀Z ∈ Γ(T Σ). Analogamente, (∇ZJ ) ∂ ∂y = 0, ∀Z ∈ Γ(T Σ), e com isso conclu´ımos que ∇J = 0.

Além disso, é trivial ver que hX, J Xi = 0, ∀X ∈ Γ(Σ). Reciprocamente, temos a seguinte proposi¸cão.

Proposi¸cão 2.6. Se J é uma estrutura quasi-complexa de uma superf´ıcie Riemanniana conexa e orientada Σ, que é uma isometria e satisfaz hX, J Xi = 0 para todo X em Γ(Σ), então tal estrutura é, a menos de sinal, a estrutura quasi-complexa canônica.

Demonstra¸cão. Tome um parâmetro conforme local (U, z), com z = x + iy, de sorte que (U, x, y) são parâmetros isotérmicos. Temos que h_∂x∂,_∂x∂i = h ∂

∂y, ∂ ∂yi = E, com E ∈ C ∞_{(U ),} e h∂ ∂x, ∂ ∂yi = 0. Ademais, se X = ∂ ∂x e Y = ∂

∂y, temos que hX, J Xi = hX, Y i = 0 e hJ X, J Xi = hX, Xi = hY, Y i = E. Portanto, J X = ±Y e, aplicando J à última igualdade, segue que J Y = ∓X, e a proposi¸cão segue da Proposi¸cão 2.5.

Doravante, se (U, x, y) é um sistema de coordenadas em Σ, de modo que F : Σ → M é uma imersão isométrica, denotaremos por Fx e Fy as se¸cões locais F∗(_∂x∂ ) e

(29)

F∗(_∂y∂ ) de F∗(T M ), respectivamente. Definimos tamb´em Fz e Fz¯ em Γ(F∗(T M )C) por 2Fz = Fx− iFy e 2Fz¯= Fx+ iFy. Com isso, temos que

hFx, Fxi = hFy, Fyi = E ∈ C∞(U ), E > 0; (5) hFx, Fyi = 0; hFz, Fzi = hFz¯, F¯zi = 0; (6)

hFz, Fz¯i = E

2. (7)

Uma consequência evidente dos cálculos executados acima é que, se (U, z) e (V, w) são cartas conformes tais que U ∩ V 6= ∅ e a correspondência z 7→ w é dada por f , temos que f é holomorfa, Fz = f0(z)Fw e dw = f0(z)dz. De fato, se z = x1+ ix2 e w = y1+ iy2, a proposi¸cão anterior garante que f é holomorfa, e pela regra da cadeia,

2Fz = Fx1 − iFx2 = ∂y1 ∂x1 Fy1 + ∂y2 ∂x1 Fy2 − i ∂y1 ∂x2 Fy1 − i ∂y2 ∂x2 Fy2 = 2f 0 (z)Fw,

e a última igualdade vale pelas equa¸cões de Cauchy-Riemann. A igualdade entre 1-formas é provada de maneira semelhante, usando as fórmulas de mudan¸ca de coordenadas que se encontram no cap´ıtulo X de (LEE, 2013).

Temos, agora, as seguintes defini¸c˜oes.

Defini¸c˜_{ao 2.9. Seja Σ uma superf´ıcie de Riemann e f : Σ → C uma fun¸cão. Dizemos} que f é holomorfa se f ◦ φ−1 é holomorfa, para toda carta conforme φ.

Defini¸cão 2.10. Seja Σ uma superf´ıcie de Riemann. Uma diferencial quadrática Q é uma se¸cão simétrica de T ΣC_{⊗ T Σ}C _{tal que, para todo parˆ}_{ametro conforme z, definido} em um aberto U ⊂ Σ, temos que Q|_U = f dz2_{, com f ∈ C}∞

(Σ; C). Dizemos que Q ´e holomorfa se f o for.

Assim como no caso complexo, temos uma classifica¸c˜ao para fun¸c˜oes holomor-fas:

Proposi¸c˜_{ao 2.7. Seja f : Σ → C uma fun¸cão diferenciável. Então, f é holomorfa se, e} só se, ∂f_{∂ ¯}_z = 0, sendo z um parâmetro conforme local e ∂f_{∂ ¯}_z := ∂(f ◦φ_{∂ ¯}_z−1).

Demonstra¸cão. É suficiente perceber que ∂f_{∂ ¯}_z = 0 se, e só se, as equa¸cões de Cauchy-Riemann valem no dom´ınio de defini¸cão da fun¸cão f ◦ φ−1, ou seja, se, e só se, essa última fun¸cão é holomorfa, donde segue a proposi¸cão.

Se II é a segunda forma fundamental de Σ, podemos estendê-la a se¸cões lo-calmente definidas de F∗(T M )C _{de modo que esta extens˜}

ao seja C-bilinear (da mesma maneira que fizemos com m´etricas em fibrados). Usando um procedimento similar, pode-mos estender o operador induzido de curvatura de uma superf´ıcie Σ para T ΣC_{× T Σ}C_× (F∗T M )C

, de modo C-multilinear.

Lema 2.5. Sejam N um campo normal unitário orientando Σ, (U, z) um parâmetro conforme local para Σ e α = II(Fz, Fz). Então, valem as igualdades:

(a) ∇FzFz¯= EH 2 N ; (b) ∇FzN = −HFz − ( 2α E)F¯z;

(30)

(c) ∇FzFz = (

Ez

E )Fz+ αN .

Demonstra¸cão. (a) Notando que Fz, Fz¯, N é um referencial para F∗(T M )Cem U , temos que existem fun¸cões a, b, c ∈ C∞_{(U ; C) tais que ∇}FzFz¯ = aFz + bFz¯+ cN . Então,

segue de (5) que aE = h∇FzFz¯, 2Fz¯i = Fz(hFz¯, Fz¯i) = 0, logo a = 0. Analogamente,

b = 0. Logo, por (4), c = h∇FzFz¯, N i = II(Fz, Fz¯) =

II(Fx,Fx)+II(Fy,Fy)

4 =

EH

2 , e isso prova o primeiro item.

(b) Como no caso anterior, podemos escrever ∇FzN = aFz + bFz¯+ cN . Mas, c =

h∇FzN, N i =

Fz(hN,N i)

2 = 0. Al´em disso, aE = h∇FzN, 2Fz¯i = Fz(hN, 2Fz¯i) −

hN, 2∇FzF¯zi = −EH, logo a = −H. Por fim, bE = h∇FzN, 2Fzi = Fz(hN, 2Fzi) −

hN, 2∇FzFzi = −2II(Fz, Fz) = −2α, encerrando o segundo item.

(c) Novamente, seja ∇FzFz = aFz+ bFz¯+ cN . Ent˜ao, segue que aE = 2h∇FzFz, Fz¯i =

2Fz(hFz, Fz¯i) − 2hFz, ∇FzFz¯i = Ez, pelo item (i), logo a =

Ez

E . Ainda, bE = 2h∇FzFz, Fzi = Fz(hFz, Fzi) = 0, logo b = 0. Agora, temos que c = h∇FzFz, N i =

II(Fz, Fz) = α, finalizando o item e o lema.

Como consequˆencia imediata do lema acima, conclu´ımos que vale a igualdade II(Fz, Fz¯) = h∇FzF¯z, N i =

EH 2 .

Tomando um sistema de coordenadas isot´ermico (U, x, y) para Σ, podemos escrever II localmente como

II |U= edx2+ 2f dxdy + gdy2.

Para esse sistema, podemos considerar a carta conforme (U, z) com z = x + iy. Nesse caso, sendo dz = dx + idy e d¯z = dx − idy, temos 2dx = dz + d¯z, 2idy = dz − d¯z e, ent˜ao,

II = e dz + d¯z 2 2 + 2f dz + d¯z 2 dz − d¯z 2i + g dz − d¯z 2i 2 = αdz2+ 2λH | dz |2 + ¯αd¯z2, (8)

com α = e−g−2if₄ , λ = E₂ e H = e+g_2E.

Uma vez feitas essas considera¸cões, podemos estender a equa¸cão de Codazzi para campos no fibrado complexo. No caso real, as únicas escolhas que resultam em identidades não triviais na equa¸cão de Codazzi são (X, Y, Z) = (Fx, Fy, Fx) e (X, Y, Z) = (Fx, Fy, Fy). Usando C-multilinearidade, vemos que vale a equa¸cão de Codazzi para cam-pos complexos, ou seja, que h ˜R(Fz, F¯z)Fz, N i = (∇Fz¯II)(Fz, Fz)−(∇FzII)(Fz¯, Fz). Agora,

(31)

(∇FzII)(Fz¯, Fz) = Fz(II(Fz¯, Fz)) − II(∇FzFz¯, Fz) − II(Fz¯, ∇FzFz) = (EH)z 2 − II(Fz¯, Ez E Fz) = (EH)z 2 − Ez E EH 2 = EHz 2 .

Da´ı, h ˜R(Fz, Fz¯)Fz, N i = α¯z − EH₂z. Perceba que, se separarmos a igualdade em partes real e imaginária, obtemos as duas versões reais da equa¸cão de Codazzi que citamos anteriormente.

Note, ainda, que α = II(Fz, Fz). Ent˜ao, se (U, z) e (V, w) s˜ao cartas conformes tais que U ∩ V 6= ∅, temos

II(Fz, Fz)dz2 = II(f0(z)Fw, f0(z)Fw)dw2(f0(z)) −2

= II(Fw, Fw)dw2. Essa invariˆancia motiva a defini¸c˜ao a seguir.

Defini¸cão 2.11. Dadas Σ superf´ıcie Riemanniana, F : Σ → M uma imersão isométrica e II a segunda forma fundamental associada a F , a diferencial de Hopf Q de Σ é a parte (2,0) de II; em outras palavras, se (U, z) é uma carta conforme, então Q = II(Fz, Fz)dz2. Para o que segue, utilizaremos o fato de que o espa¸co vetorial das diferenciais holomorfas de uma superf´ıcie de Riemann compacta de gênero g tem dimensão g. Para a prova, veja o Teorema III.2.7 de (FARKAS and KRA, 1980).

A fim de ilustrar a relevˆancia da diferencial de Hopf, consideremos o seguinte resultado:

Teorema 2.2. (Hopf ) Seja F : Σ → R3 uma imersão isométrica de curvatura média constante, com Σ homeomorfa à esfera bidimensional. Então Σ é isométrica à esfera canônica.

Demonstra¸cão. Usando a versão complexa da equa¸cão de Codazzi e o fato de que o tensor de curvatura de R3 _´_{e nulo, podemos concluir que, como H ´}_{e constante, α}

¯

z = 0. Logo α é holomorfa, bem como a diferencial de Hopf. Nesse caso, como Σ é uma esfera topológica, pelo Teorema III.2.7 de (FARKAS and KRA, 1980), temos que a diferencial de Hopf encontra-se em um espa¸co vetorial de dimensão 0, logo ela é nula. Portanto, considerando uma expressão local de II em parâmetros isotérmicos como II = edx2+ 2f dxdy + gdy2, segue que e = g e f = 0, pela descri¸cão de α como em (8). Com isso, é simples verificar que as curvaturas principais serão iguais na vizinhan¸ca onde vale essa representa¸cão de II. Logo os pontos dessa vizinhan¸ca são umb´ılicos, da´ı Σ é totalmente umb´ılica. Pelo Corolário 3.31 de (MONTIEL and ROS, 2009), como Σ é compacta, Σ é isométrica à esfera, como quer´ıamos.

Na prova acima, é crucial que a diferencial de Hopf seja holomorfa em su-perf´ıcies CMC. Em ambientes diferentes de R3_{, essa condi¸c˜}_{ao pode falhar; por exemplo,} para os casos de Σ CMC imersa em M2(c) × R, com c ∈ {−1, 1}, M2(1) = S2 e M2(−1)= H2. Para essas situa¸cões, U. Abresch e H. Rosenberg definiram uma diferencial quadrática dada por

(32)

D = 2HQ − c(hz)2dz2, (9)

sendo Q a diferencial de Hopf de Σ, h : M2_{(c) × R → R a proje¸c˜ao no segundo fator e z} um parˆametro conforme.

Essa diferencial pode ser utilizada para estender o teorema de Hopf para os ambientes citados; para mais detalhes, consulte (ABRESCH and ROSENBERG, 2004). 2.3 Submers˜oes Riemannianas

Sejam Mn+k _{e B}n _{variedades Riemannianas, e π : M → B uma submers˜}_ao sobrejetiva. Se p ∈ M , temos que F := π−1(π(p)) é uma subvariedade mergulhada de M , na qual podemos induzir uma métrica pelo pullback da imersão de F em M . Nessa situa¸cão, dizemos que M é o espa¸co total, B é a base e F é uma fibra da submersão π. Uma constata¸cão simples é a de que ker(π∗p) = TpF , e pelo teorema do núcleo e da imagem, lq := (π∗)_q|_T_qF⊥ : T_qF⊥→ T_π(q)B é um isomorfismo, para todo q ∈ F . Dizemos,

então, que um vetor de TqM é vertical se ele é tangente a uma das fibras. Um campo vetorial de M é dito vertical se é formado por vetores verticais. Semelhantemente, um vetor de TqM é dito horizontal se é ortogonal a uma das fibras, e um campo é horizontal se é formado por vetores horizontais. Desse modo, definimos o espa¸co dos vetores horizontais em TqM , denotado por Hq, como sendo TqF⊥, e o espa¸co Vq dos vetores verticais em TqM como TqF . Obviamente, TqM = Hq⊕ Vq, e podemos decompor todo vetor de TqM em componentes horizontal e vertical, ambas ortogonais entre si.

Lembramos que X ∈ Γ(T M ) é π-relacionado a X∗ ∈ Γ(T B) se lq(Xq) = (X∗)π(q), ∀q ∈ M . Vemos, então, que X ∈ Γ(T M ) é vertical se, e só se, é π-relacionado a 0 ∈ Γ(T B), o campo nulo em B. Ainda, dizemos que um campo horizontal X de M é dito básico se é π-relacionado a um campo de B.

Lema 2.6. Se V é um campo vertical e X é um campo em B, então: (a) Existe um único campo básico ˜X, π-relacionado a X.

(b) O campo [ ˜X, V ] ´e vertical.

Demonstra¸cão. (a) Já vimos que (π∗)_q : TqF⊥ → Tπ(q)B é um isomorfismo, para todo q ∈ M . Portanto, podemos considerar a fun¸cão ˜X : M → T M dada por ˜Xp = lp−1(Xπ(p)). Tal fun¸cão trata-se claramente de uma se¸cão da proje¸cão de T M em M , e se for suave, será um campo horizontal, π-relacionado a X. Por outro lado, se Y é um campo de M , horizontal e π-relacionado a X, segue que Xp = (π∗)_p(Yp); logo Yp = lp−1(Xπ(p)) = ˜Xp, e a unicidade está provada.

Para provar a suavidade de ˜X, dado q ∈ M , pelo teorema do posto, existe uma vizinhan¸ca coordenada W de q, com coordenadas (x1, . . . , xn+k), e uma vizinhan¸ca