A partir do Teorema 3.10 e da Proposi¸c˜ao 4.1, podemos concluir que a aplica¸c˜ao normal torcida N = (J V, ν) : Σ → S3 de uma superf´ıcie CMC em S2 × R ´e harmˆonica, com N = (V, ν) ´e o campo normal unit´ario que orienta Σ.
Como vimos em 2.4, segue que DN = (N∗(h, i))2,0 ´e holomorfa. Uma proprie- dade relevante ´e que
Teorema 4.1. DN ≡ D vale para toda superf´ıcie orientada em S2 × R, sendo D a diferencial de Abresch-Rosenberg.
Demonstra¸c˜ao. Do fato de que Fz = (fz, hz), segue que 0 = hN, Fzi = hV, fzi + νhz. Al´em disso,
Nz = ((J V )z, νz);
sendo ∇ a conex˜ao de T S2 ⊗ C e a ´ultima igualdade seguindo do fato de que (JV ) z ´e dado pela a¸c˜ao da conex˜ao de T R3⊗ C em JV e de um racioc´ınio an´alogo ao empregado na Proposi¸c˜ao 2.3. Lembramos que superf´ıcies de Riemann s˜ao Kahlerianas e, do fato de que hJ V, f i = 0, segue que h(J V )z, f i = −hJ V, fzi.
Agora, usando a igualdade em 10 e o fato de que J ´e isometria e hf, f i = 1, temos hNz, Nzi = h(JV )z, (J V )zi + νz2 = h∇fzV, ∇fzV i + 2h∇fzV, f ih(J V )z, f i + h(J V )z, f i 2+ ν2 z = h∇fzV, ∇fzV i + h(J V )z, f i 2+ ν2 z, (11)
a ´ultima igualdade seguindo do fato de que ∇fzV ∈ Γ(T S
2
) ⊗ C, logo h∇fzV, f i = 0.
Note ent˜ao que
h∇fzV, ∇fzV i + νz 2 = h∇ (fz,hz)(V, ν), ∇(fz,hz)(V, ν)i = h∇FzN, ∇FzN i = 4Hα E hFz, Fz¯i = 2Hα. (12)
Provemos agora a igualdade
hJV, fzi2 = −h2z. (13)
De fato, temos que
hJV, fzi2+ hV, fzi2 = hJ V, fxi2− hJV, fyi2− 2ihJV, fxihJV, fyi + hV, fxi2− hV, fyi2− 2ihV, fxihV, fyi = hJ V, fxi2+ hV, fxi2− hJV, fyi2− hV, fyi2 − 2i(hJV, fxihJV, fyi + hV, fxihV, fyi)
= ||V ||2||fx||2− ||V ||2||fy||2− 2i||V ||2hfx, fyi = ||V ||2hfz, fzi, (14)
onde a pen´ultima igualdade segue da decomposi¸c˜ao de fx e fy na base {V, J V } se V 6= 0, e sendo trivial se V = 0.
Assim, como hN, N i = 1, hN, Fzi = 0 e hFz, Fzi = 0, segue que ||V ||2+ ν2 = 1, hV, fzi = −νhz e hfz, fzi = −h2z, respectivamente, logo hJ V, fzi2+ (νhz)2 = hJ V, fzi2+ hV, fzi2 = ||V ||2hfz, fzi = −(1 − ν2)h2z, donde segue a igualdade enunciada.
Por fim, juntando o que foi feito,
e considerando a express˜ao da diferencial de Abresch-Rosenberg em (9), temos que DN ≡ D de fato ocorre.
Contas similares valem para superf´ıcies em H2 × R. Mantendo as nota¸c˜oes F = (f, h) para a imers˜ao e N = (V, ν) para o campo normal unit´ario, temos que hf, f i = −1 e N (p) pertence a
S31 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x21+ x22− x23+ x24 = 1} ⊂ L3× R,
conhecido como o espa¸co de de-Sitter. Baseado na Proposi¸c˜ao 4.1, consideremos a Defini¸c˜ao 4.1. Dada F : Σ → H2× R orientado pelo campo normal unit´ario N = (V, ν), a aplica¸c˜ao normal torcida da superf´ıcie ´e N = (J V, ν) : Σ → S3
1, com J sendo a estrutura complexa de H2.
Teorema 4.2. DN = D para toda superf´ıcie orientada em H2× R.
Demonstra¸c˜ao. A prova ´e an´aloga `a do teorema anterior, a menos de pequenas modi- fica¸c˜oes. Uma vez que hf, f i = −1, a igualdade (10) tem como vers˜ao an´aloga (J V )z = ∇fz(J V )−h(J V )z, f if e a igualdade (11) tem a vers˜ao an´aloga hNz, Nzi = h∇fzV, ∇fzV i−
h(JV )z, f i2+ νz2. Assim, procedendo de forma semelhante ao que foi feito no teorema an- terior, obteremos hNz, Nzi = 2Hα + 2h2z, donde segue que DN = D, como quer´ıamos. Teorema 4.3. Para toda imers˜ao F : M2(c)×R, o laplaciano da aplica¸c˜ao normal torcida N ´e dada por
b
∆N = −2 ˜J ◦ F∗(∇H) = (−E2) ˜J (HxFx+ HyFy), com ˜J (W, β) = (J W, β) e b∇ sendo a conex˜ao em S3 ou S3
1, se c = 1 ou c = −1, respecti- vamente.
Demonstra¸c˜ao. Listaremos alguns fatos a serem usados nessa prova:
(a) b∇N¯zNz = Nz ¯z − hNz ¯z, N iN . A prova dessa igualdade segue de modo simples da
Proposi¸c˜ao 2.3, tendo em vista o fato de que Nz ¯z = ˜∇N¯zNz, sendo ˜∇ a conex˜ao de
T R4C.
(b) Seja (W, β) um campo vetorial tangente ao longo de uma curva γ(t) = (f (t), h(t)) em M2(c) × R e γ0(t) = (f0(t), h0(t)) o campo velocidade em γ. Ent˜ao
(W0, β0) =∇γ0(W, β) − chW, f0i(f, 0). (15)
A prova dessa igualdade ´e an´aloga `a anterior, usando o fato de que (f, 0) ´e um campo normal unit´ario `a M2(c) × R em R4.
(c) Temos que (J V )z = ∇fz(J V ) + ch(J V )z, f if , como nas provas dos Teoremas 4.1
e 4.2. Ademais, valem em ambos os casos (12) e (13). Em particular, das contas feitas em (13), conclu´ımos que
Nesse caso, a segunda igualdade de (16) decorre da primeira, simplesmente usando a conjuga¸c˜ao.
(d) (2Eα)z¯+ (2Eα2)Ez¯ = 2αEz¯ = Hz + cνhz, pela equa¸c˜ao de Codazzi.
(e) A conex˜ao ∇ comuta com ˜J em M2(c) × R, uma consequˆencia trivial do fato de que M2(c) ´e Kahleriana.
(f) Seja X a componente de (fz¯, 0) ortogonal a N = (J V, ν). Uma vez que h(fz¯, 0), N i = h(fz¯, J V i = ∓ihz¯, temos que
X = (fz¯, 0) ± ih¯z(J V, ν) = (fz¯± ihz¯J V, ±ih¯zν). (17)
Observemos que fz¯ nunca se anula, pois f¯z(p) = 0, para algum ponto p em Σ, implicaria fx(p) = fy(p) = 0, e nesse caso E(p) = fx2(p) + h2x(p) = h2x(p) e E(p) = h2
y(p), analogamente, logo hx e hy s˜ao ambos n˜ao-nulos em p. Ademais, 0 = hFx, Fyi(p) = hfx, fyi(p)+hx(p)hy(p) = hx(p)hy(p), logo hx(p) = 0 ou hy(p) = 0, contradi¸c˜ao.
Provaremos que hz¯J V = ±ifz¯+ νJ f¯z. Para isso, fixe um ponto e escreva hz¯J V = af¯z+ bJ fz¯,
com a, b ∈ C. Agora, note que
hz¯hJV, fz¯i = ahfz¯, f¯zi + bhJf¯z, fz¯i = ahfz¯, f¯zi ⇒ hz¯(∓ihz¯) = −ah2¯z ⇒ a = ±i, h¯zhJV, Jfz¯i = ahfz¯, J fz¯i+bhJfz¯, J fz¯i = bhfz¯, f¯zi = −bh2z¯⇒ −νh2¯z = −bh2z¯⇒ b = ν. Ent˜ao,
fz¯∓ ihz¯J V = fz¯∓ i(∓if¯z+ νJ fz¯) = ±iνJ f¯z ⇒ X = ±iν(Jfz¯, hz¯). Ent˜ao, a componente de hJ V, fz¯i(fz¯, 0) ortogonal a N ´e dada por
±ihzX = −hzν(J f¯z, hz¯) = −νhzJ F˜ z¯.
Agora, calculemos Nz ¯z, para ent˜ao obtermos b∆N . Do fato de que N = ˜J N , pelo item (e) e (15) (nesse ´ultimo caso, aplicando separadamente para curvas coordenadas segundo as vari´aveis x e y), segue que
−Nz = ˜J (−∇FzN ) + chJ V, fzi(f, 0)
Como ˜J (∇FzN ) = (J (∇fzV ), νz), obtemos que
−Nz ¯z = { ˜J (−∇FzN )}z¯+ c{hJ V, fzi(f, 0)}z¯ = ∇Fz( ˜J (−∇FzN )) + chJ (∇fzV ), fz¯i(f, 0) +
c{hJ V, fzi(f, 0)}z¯= ˜J (−∇Fz∇FzN ) + chJ (∇fzV ), fz¯i(f, 0) + c{hJV, fzi(f, 0)}¯z
Ent˜ao, de 2.5 e pelo item (d), segue que ˜ J (−∇F¯z∇FzN ) = ˜J (∇F¯z(HFz+ 2α EFz¯)) = Hz¯J F˜ z+ (Hz+ cνhz) ˜J Fz¯+ λN , λ = EH2 2 + 2|α|2 E . Agora, note que
a ´ultima igualdade valendo pois, decompondo Fze Fz¯em termos de f e h, temos que ∇FzF¯z
tem ∇fzf¯z como proje¸c˜ao em T M
2(c), e como 2∇
FzF¯z = EHN , ent˜ao ∇fzfz¯ = EHV ,
logo hJ V, ∇fzfz¯i = 0.
Juntando as ´ultimas contas, temos que
−Nz ¯z = Hz¯J F˜ z+ (Hz+ cνhz) ˜J Fz¯+ λN + 0(f, 0) + chJ V, fzi(fz¯, 0); nesse caso, o coeficiente de (f, 0) ´e hJ V, fz¯iz+ hJ V, fziz¯, que se anula, por (16).
No item (f ), a componente de hJ V, fz¯i(fz¯, 0) ortogonal `a N ´e −νhzJ F˜ z¯. Ent˜ao, usando (a), temos que a componente ortogonal `a N de −Nz ¯z´e Hz¯J F˜ z+HzJ F˜ ¯z, e portanto
˜ ∇Nz¯Nz = Hz¯J F˜ z + HzJ F˜ z¯. Como ˜J ´e linear e 2(Hz¯Fz + HzFz¯) = HxFx + HyFy = EF∗(∇H), logo b∆N = (E4) ˜∇Nz¯Nz = (− 4 E)(Hz¯J F˜ z+ HzJ F˜ z¯) = (− 2 E) ˜J (HxFx+ HyFy) = −2 ˜J (F∗(∇H)), como quer´ıamos. Finalmente, obtemos o
Corol´ario 4.1. Uma superf´ıcie conexa Σ imersa em H2× R tem curvatura m´edia cons- tante se, e s´o se, a aplica¸c˜ao de Gauss torcida N : Σ → (S31, g) ⊂ L3× R ´e harmˆonica. Demonstra¸c˜ao. Se Σ tem curvatura m´edia constante, ∇H ≡ 0, ent˜ao o teorema anterior garante que b∆N = 0, logo N ´e harmˆonica. Reciprocamente, se N ´e harmˆonica, segue que
˜
J (F∗(∇H)) = 0, e como F ´e imers˜ao, ∇H ≡ 0, logo H ´e constante, como quer´ıamos. Procedendo de modo an´alogo ao exposto no corol´ario acima, podemos reobter o teorema de Ruh-Vilms para S2 × R.
5 CONCLUS ˜AO
Neste trabalho, baseado no artigo (LEITE and RIPOLL, 2011), relacionamos o car´ater harmˆonico de uma aplica¸c˜ao de Gauss de uma determinada superf´ıcie e sua curvatura m´edia, reobtendo o teorema de Ruh-Vilms para o espa¸co S2× R. A descri¸c˜ao obtida para a aplica¸c˜ao de Gauss anteriormente citada inspira uma extens˜ao do teorema de Ruh-Vilms para o espa¸co H2× R, tamb´em apresentada aqui.
Dada a exposi¸c˜ao preliminar de diversos aspectos da geometria diferencial, sobretudo a respeito de rudimentos da teoria de aplica¸c˜oes harmˆonicas, este trabalho pode servir como uma breve introdu¸c˜ao para interessados no tema. Ademais, os resultados mostrados no ´ultimo cap´ıtulo constituem uma motiva¸c˜ao relevante para o ingresso no estudo de geometria diferencial, bem como uma aplica¸c˜ao dos conceitos anteriormente apresentados no texto.
Como uma continua¸c˜ao natural desse estudo, citamos o artigo (RAMOS and RIPOLL, 2016), em que, usando t´ecnicas semelhantes `as de (BITTENCOURT and RI- POLL, 2006), obt´em-se vers˜oes do teorema de Ruh-Vilms para hipersuperf´ıcies em espa¸cos sim´etricos. Aplica¸c˜oes dessa extens˜ao tamb´em figuram em tal artigo.
REFERˆENCIAS
ABRESCH, Uwe; ROSENBERG, Harold. A Hopf Differential for Constant Mean Curvature Surfaces in S2× R and H2× R. Acta Mathematica, v. 193, n. 2, p. 141–174, 2004.
BITTENCOURT, Fidelis; RIPOLL, Jaime. Gauss Map Harmonicity and Mean Curvature of a Hypersurface in a Homogeneous Manifold. Pacific Journal of Mathematics, v. 224, n. 1, p. 45–64, 2006.
CAMINHA, Antonio. Estruturas Geom´etricas e Aplica¸c˜oes Harmˆonicas. Rio de Janeiro: SBM, 2014.
CARMO, Manfredo Perdig˜ao do. Geometria Riemanniana. Rio de Janeiro: SBM, 2008.
CHERN, Shiing-Shen. An Elementary Proof of the Existence of Isothermal Parameters on a Surface. Proceeding of the American Mathematical Society, v. 1, n. 6, p. 771–782, 1955.
EELLS, James; LEMAIRE, Luc. A Report on Harmonic Maps. Bulletin London Mathematical Society, v. 10, n. 1, p. 1–68, 1978.
FARKAS, Hershel; KRA, Irwin. Riemann Surfaces. New York: Springer-Verlag, 1980. LEE, John M. Introduction to Smooth Manifolds. New York: Springer, 2013. LEITE, Maria Luiza; RIPOLL, Jaime. On Quadratic Differentials and Twisted Normal Maps of Surfaces in S2× R and H2× R. Results in Mathematics, v. 60, n. 1-4, p. 351–360, 2011.
MONTIEL, S.; ROS, A. Curves and Surfaces. USA: American Mathematical Society, 2009.
O’NEILL, Barrett. Semi-Riemannian Geometry - With Applications to Relativity. New York: Academic Press, 1983.
RAMOS, ´Alvaro; RIPOLL, Jaime. An extension of Ruh-Vilms’ theorem to hypersurfaces in symmetric spaces and some applications. Transactions of the American Mathematical Society, v. 368, p. 4731–4749, 2016.