Espa¸ cos Homogˆ eneos - Sobre diferenciais quadráticas e aplicações normais torcidas de superf

Associado ao conceito de a¸cão de grupo está o conceito de espa¸co homogêneo. Defini¸cão 3.4. Se G é um grupo de Lie, um G-espa¸co homogêneo é uma variedade suave munida de uma a¸cão diferenciável e transitiva de G.

Quando G está impl´ıcito ou não é importante destacá-lo, chamamos um G- espa¸co homogêneo apenas de espa¸co homogêneo.

Podemos construir uma vasta gama de espa¸cos homogêneos com o aux´ılio das classes laterais de um subgrupo fechado H de um grupo de Lie G. Lembramos que, se H é um subgrupo de G, uma classe lateral à esquerda de G módulo H é um subconjunto de G da forma {gh, h ∈ H}, para algum g ∈ G. Denotamos o conjunto das classes laterais `

a esquerda de G módulo H por G/H. O próximo teorema elucida essa constru¸cão. Teorema 3.4. Seja G um grupo de Lie e H um subgrupo fechado dele. O espa¸co de classes laterais à esquerda G/H é uma variedade topológica de dimensão dim G - dim H, e tem uma única estrutura diferenciável tal que a aplica¸cão quociente π : G → G/H é uma submersão. A a¸cão à esquerda de G em G/H dada por

g· (g0H) = (gg0)H torna G/H um G-espa¸co homogˆeneo.

Demonstra¸c˜ao. Veja o Teorema 21.17 de (LEE, 2013).

Além disso, qualquer espa¸co homogêneo é equivalente aos obtidos a a partir da constru¸cão acima, como esclarece o teorema abaixo.

Teorema 3.5. Sejam G um grupo de Lie, M um G-espa¸co homogêneo e p algum ponto de M . O grupo de isotropia Gp é um subgrupo fechado de G, e a aplica¸cão F : G/Gp → M definida por F (gGp) = g· p é um difeomorfismo equivariante.

Demonstra¸cão. Tomando θp a aplica¸cão de órbita como feito anteriormente, segue que Gp = (θp)−1(p) é fechado. Claramente, F está bem definida, pois se gGp = g0Gp, então g0 = gh, com h ∈ Gp. Portanto, F (gGp) = g· p = g· (h· p) = gh· p = F (g0Gp). Ademais, F pode ser obtida pela passagem ao quociente da aplica¸cão θp, conforme descreve o Teorema 4.30 de (LEE, 2013), por conseguinte, satisfaz F ◦ π = θp. Como a a¸cão é transitiva, θp é sobrejetiva, logo F também será. Ainda, se F (gGp) = F (g0Gp), então

g0· p = g· p ↔ g−1_g0_{· p = p ↔ g}−1_g0 _{∈ G}

p ↔ gGp = g0Gp,

donde segue que F ´e injetiva. Por fim, note que F (g· g0Gp) = F ((gg0)Gp) = gg0· p = g· g0· p = g· F (g0_G

p), logo F é equivariante, e pelo Teorema da Aplica¸cão Equivariante, tem posto constante e é difeomorfismo, encerrando a demonstra¸cão.

No próximo exemplo, usaremos livremente a identifica¸cão entre pontos e vetores em espa¸cos vetoriais, bem como a identifica¸cão entre matrizes e transforma¸cões lineares, assim como fizemos em algumas outras ocasiões.

Exemplo 3.10. Considere a a¸c˜_{ao de SO(n) em S}n−1 _{como descrita no exemplo 3.8.} Nesse caso, a esfera é certamente um espa¸co homogêneo. Se considerarmos o ponto p = (0, . . . , 0, 1) em Sn−1, temos que o seu grupo de isotropia é isomorfo a SO(n − 1). De fato, se p⊥ _{= {v ∈ R}n, hp, vi}, dado A ∈ Gp, a restri¸cão Ã := A|p⊥ : p⊥→ p⊥está bem definida,

pois 0 = hp, vi = hAp, Avi = hp, Avi, ∀v ∈ p⊥. Claramente, podemos identificar p⊥ com Rn−1. Ademais, Ã é ortogonal, pois preserva o produto interno canônico e tomando a representa¸cão matricial de Ã, notamos que det( Ã) = 1. Com isso, é simples de ver que a associa¸cão A 7→ Ã é um homomorfismo de grupos de Lie entre Gp e SO(n − 1) (para esclarecer, Ã é a matriz obtida a partir da elimina¸cão da última linha e da última coluna de A). Se Ã = Id_p⊥, então A|_p⊥ = Id_p⊥, e como Ap = p, por linearidade,

A = Id_Rn. Al´em disso, se B ∈ SO(n − 1), podemos estender a aplica¸c˜ao linearmente

a Rn fixando p. Sendo ¯B essa extensão, fica evidente que ˜B = B, logo a associa¸¯ cão é sobrejetiva. Conforme observamos, homomorfismos de grupos de Lie tem posto constante, e por ser bijetiva, ´_{e um difeomorfismo. Pelo Teorema 3.5, obtemos que S}n−1 é isomorfo a SO(n)/SO(n − 1).

3.3.1 M´etricas em grupos de Lie e em espa¸cos homogˆeneos

Nessa se¸cão, dedicar-nos-emos a definir métricas em grupos de Lie que se relacionam com a estrutura algébrica do grupo.

Defini¸cão 3.5. Dado um grupo de Lie G, uma métrica invariante à esquerda em G é uma métrica Riemanniana tal que as transla¸cões à esquerda são isometrias. Analoga- mente, uma métrica invariante à direita em G é uma métrica em que as aplica¸cões Rg são isometrias. Uma métrica invariante à esquerda e à direita é dita bi-invariante. Um fato interessante é que, fixado um grupo de Lie G, as métricas invariantes `

a esquerda estão em correspondência biun´ıvoca com os produtos internos em Lie(G). De fato, se h· , · i é uma métrica invariante à esquerda de G, considere a fun¸cão hX, Y i, com X, Y ∈ Lie(G). Note que, se g ∈ G, então hX, Y i(g) = hXg, Ygi = h(Lg)∗Xe, (Lg)∗Yei = hXe, Yei = hX, Y i(e), logo a aplica¸cão (X, Y ) 7→ hX, Y i é, de fato, um produto interno. Reciprocamente, dado um produto interno em Lie(G), uma vez que qualquer base de Lie(G) é um referencial de Γ(T G), podemos escrever qualquer campo suave em G como combina¸cão linear dos vetores de uma base fixa de Lie(G) com coeficientes diferenciáveis, e dessa maneira conclu´ımos que podemos estender por bilinearidade o produto interno em Lie(G) a qualquer par de campos vetoriais, tendo como contradom´ınio o espa¸co das fun¸cões reais diferenciáveis, e com isso definimos uma métrica em G. O fato de que o produto interno entre dois campos invariantes à esquerda é constante garante que a métrica definida é invariante à esquerda.

Quando munimos G de uma métrica bi-invariante, alguns dos operadores geométricos definidos em G podem ser expressados em termos algébricos. Exemplifcando

essa afirma¸c˜ao, temos a

Proposi¸cão 3.5. Seja G um grupo de Lie conexo munido de uma métrica invariante à esquerda. São equivalente as afirma¸cões:

(a) h· , · i é invariante à direita, portanto bi-invariante. (b) A inversão g 7→ g−1 é uma isometria.

(e) As geodésicas iniciando em e são os subgrupos a um parâmetro de G. Demonstra¸cão. Veja a Proposi¸cão 9 do cap´ıtulo 11 de (O’NEILL, 1983).

Corolário 3.2. Se G é um grupo com métrica bi-invariante Riemanniana, então (a) RXYZ =

[[X,Y ],Z]

4 , ∀X, Y, Z ∈ Lie(G)

(b) Se X e Y s˜ao vetores unit´arios e ortogonais de Lie(G), K(X, Y ) = h[X, Y ], [X, Y ]i

4 Demonstra¸c˜ao. (a) Como ∇XY = [X, Y ]/2,

RXYZ = [[X, Y ], Z] 2 − [X, [Y, Z]] 4 + [Y, [X, Z]] 4 .

Pela identidade de Jacobi, [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0, e com isso −[X,[Y,Z]]₄ +[Y,[X,Z]]₄ = [Z,[X,Y ]]₄ . Portanto, RXYZ = [[X,Y ],Z]₂ +[Z,[X,Y ]]₄ = [X,[Y,Z]]₄ , como quer´ıamos.

(b) Pela identidade de Weyl,

K(X, Y ) = hRXYX, Y i = h[X, [Y, X]], Y i 4 = h[[X, Y ], X], Y i 4 = h[X, Y ], [X, Y ]i 4 .

Feitas essas considera¸cões a respeito de métricas em grupos de Lie, passemos agora à constru¸cão de métricas em espa¸cos homogêneos. Antes, consideremos o seguinte resultado:

Teorema 3.6. Seja M uma variedade Riemanniana, G um grupo de Lie e θ : G×M → M uma a¸cão diferenciável, livre e própria. Se θg _{: M → M for uma isometria de M para} todo g ∈ G, então M/G admite uma única métrica Riemanniana em rela¸cão à qual a proje¸cão canônica π : M → M/G é uma submersão Riemanniana.

Demonstra¸cão. Pelo Teorema 3.3, π : M → M/G é uma submersão. Agora, definamos pontualmente uma métrica M/G da seguinte forma: dados X, Y ∈ Tπ(p)M/G, sejam

Xp, ˜Yp ∈ TpM os ´unicos vetores horizontais tais que (π∗)p( ˜Xp) = X e (π∗)p( ˜Yp) = Y . Ent˜ao, defina

hX, Y iπ(p)= h ˜Xp, ˜Ypip,

de modo que h· , · i_p ´e o produto interno em TpM dado pela m´etrica de M .

Provemos a boa defini¸cão de h· , · iπ(p). De fato, se π(p) = π(q), existe g ∈ G tal que g· p = q. Com isso, temos que θg∗p : TpM → TqM é uma isometria linear. Se v ∈ TpM é um vetor vertical, existe uma curva α : (−, ) → M tal que α(0) = p, α0(0) = v e α(−, ) ⊂ π−1(π(p)). Portanto, temos que (θg _{◦ α)(0) = q, (θ}g _{◦ α)}0_{(0) = θ}g

∗p(v) e, uma vez que π = π ◦ θg_{, π ◦ (θ}g_{◦ α) = π ◦ α = π(p), e ent˜}_{ao (θ}g _{◦ α)(−, ) ⊂ π}−1_(π(p)). Desses dados, conclu´ımos que θg

∗p(v) é vertical. Sabemos que a dimensão do espa¸co de vetores verticais em cada ponto é constante e igual a dim(M ) − dim(G), assim temos que θg

∗p aplica isometricamente Vp em Vq e, consequentemente, Hp em Hq. Novamente pela igualdade π = π ◦ θg_{, temos que π}

∗p = π∗q ◦ θg∗p, e tomando ˜Xp e ˜Yp como no parágrafo acima, segue que π∗q(θg∗p( ˜Xp)) = π∗q◦ θg∗p( ˜X)p) = π∗pX˜p = X, e então θg∗pX˜p ∈ TqM é o vetor horizontal de TqM que se projeta em X. Analogamente, θg∗pY˜p) ∈ TqM é o vetor horizontal que se projeta em Y . Com isso,

hX, Y iπ(p) = h ˜Xp, ˜Ypi_p = hθg∗pX˜p), θg∗pY˜pi_q = hX, Y iπ(q),

provando que h· , · iπ(p) está bem definida. Tal forma bilinear é trivialmente um produto interno, nos faltando apenas provar a diferenciabilidade. Para isso, tome V e W em Γ(T (M/G)) e seus respectivos levantamentos horizontais ˜V e ˜W . Então a fun¸cão p 7→ h ˜Vp, ˜Wpip e diferenci´´ avel, e pela defini¸cão de h· , · iπ(p), a fun¸cão p 7→ hV, W iπ(p) é suave. Como tal fun¸cão é constante nas fibras de π, pelo Teorema 4.30 de (LEE, 2013), podemos passá-la ao quociente de modo suave, obtendo π(p) 7→ hV, W iπ(p), que é a métrica que definimos.

A unicidade da métrica é evidente pois, para que π seja uma submersão Rie- manniana, π_∗p|_H

p : Hp → Tπ(p)(M/G) deve ser isometria linear, e isso determina o valor

da m´etrica em M/G.

A métrica definida como no teorema acima é chamada a métrica induzida por π, ou a métrica G-invariante, ou canônica em M/G. A menos de men¸cão em contrário, suporemos, nas ocasiões em que M/G aparecer, que esta variedade está munida com a métrica canônica.

De posse do resultado anterior, podemos finalmente construir uma m´etrica em um espa¸co homogˆeneo G/H, da seguinte forma:

Teorema 3.7. Seja G um grupo de Lie munido de uma métrica bi-invariante h· , · i. Se H é um subgrupo de Lie fechado de G, então:

(a) O G-espa¸co homogêneo G/H pode ser munido com uma métrica Riemanniana tal que a proje¸cão canônica π : G → G/H é uma submersão Riemanniana.

(b) A a¸c˜ao ψ : G × G/H → G/H dada por ψ(g, g0H) = gg0H ´e transitiva e tal que ψg ´

Demonstra¸cão. (a) Considere a a¸cão à direita θ de H em G dada por θ(h, g) = gh. Para h ∈ H, temos que θh _{= R}

h, logo θh é isometria para todo h em H, pois a métrica é bi-invariante. A conclusão segue do Teorema 3.6.

(b) ´E evidente que vale ψg◦π = π◦Lg, ∀g ∈ G. Com isso, se ˜X ∈ Γ(G) ´e o levantamento horizontal de X ∈ Γ(G/H), temos que

ψg∗X = ψg∗π∗X = π˜ ∗(Lg)_∗X˜

Analogamente, se ˜Y ´e o levantamento horizontal de Y , ent˜ao ψg

∗Y = π∗(Lg)_∗Y .˜ Mas como Lg é uma isometria de G, um argumento análogo ao da prova do teorema anterior garante que (Lg)∗X e (L˜ g)∗Y s˜˜ ao campos horizontais, e então segue do fato de que π é uma submersão Riemanniana e da constru¸cão de G/H que

hψ_{g ∗}X, ψ_{g ∗}Y i = hπ∗(Lg)∗X, π˜ ∗(Lg)∗Y i = h(L˜ g)∗X, (L˜ g)∗Y i = h ˜˜ X, ˜Y i = hX, Y i, como quer´ıamos demonstrar.

Teorema 3.8. Nas condi¸cões do teorema anterior, G/H é orientável.

Demonstra¸cão. Podemos tomar uma base ortonormal S := {V1, . . . , Vk} de ^Lie(H), que podemos considerar como um subconjunto ortonormal de ^Lie(G) (note que, aqui, munimos H com a métrica induzida por G, e essa métrica é claramente bi-invariante em H). Então, estendamos S a uma base ortonormal ¯S := {V1, . . . , Vk, Vk+1, . . . , Vn} de ^Lie(G) e tomemos ¯S S = {Vk+1, . . . , Vn}, que é uma base de ( ^Lie(H))⊥, e para cada x ∈ G, {lx(Vk+1x), . . . , lx(Vnx)} é uma base de Tπ(x)G/H. Um argumento análogo ao do Teorema 3.6 garante que lx(Vix) não depende de x ∈ π−1(π(x)), para todo i = k + 1, . . . , n. Além disso, pelo teorema do posto, podemos tomar sistemas de coordenadas (U, x1, . . . , xn) de G, com 0 ∈ U , e (V, xk+1, . . . , xn) de G/H tais que a representa¸cão de π nessas coordenadas é dada pela associa¸cão (x1, . . . , xn) 7→ (xk+1, . . . , xn). Então, se V_{j x} =

n P i=1 aji(x)_∂x∂ i|x, temos que lx(V_{j x}) = n P i=k+1

aji(x)_∂x∂_i|_π(x). Agora, note que π|_U : U → V é uma submersão sobrejetiva e, como lx(Vix) não depende de x ∈ π−1(π(x)), as fun¸cões aji(x) definidas em U são constantes nas fibras de π|_U, logo essas descem aos quocientes, e obtemos aji : V → R, e então lx(V_{j x}) =

n P

i=k+1

aji(π(x))_∂x∂

i|π(x). Denotando por Wj a aplica¸c˜ao

x 7→ lx(V_{j+k x}) e η a se¸cão de π|U cuja representa¸cão nas coordenadas acima citadas é (x1, . . . , xn−k) 7→ (0, . . . , 0, x1, . . . , xn−k), segue que (Wj ◦ η)(y) =

n P

i=k+1

aji(y)_∂x∂

i|y ´e um

campo vetorial diferenciável, logo (W1, . . . , Wn−k) é um referencial suave em todos os pontos de G/H, provando que essa variedade é orientável.

3.4 Aplica¸c˜ao de Gauss em espa¸cos homogˆeneos e o teorema de Ruh-Vilms

No documento Sobre diferenciais quadráticas e aplicações normais torcidas de superfícies em S2×R e H2×R. (páginas 46-50)