Considere o campo Hamiltoniano
x′ = XH(x), x∈ M
dado pela fun¸c˜ao Hamiltoniana H : M → R que associa a cada ponto x da variedade simpl´etica (M, ω) um valor de energia λ∈ R. Fixamos um valor de energia, que podemos supor ser λ = 1, e escrevemos a superf´ıcie de energia como
S ={x ∈ M|H(x) = 1}.
Pediremos que S seja compacta e regular, isto ´e, dH(x)6= 0 ∀x ∈ S.
Lema 4.1 Seja S uma superf´ıcie de energia compacta e regular. Ent˜ao existe uma vizi-nhan¸ca, de fecho compacto, U de S da forma
U = [
λ∈I
Sλ,
onde I ´e um intervalo centrado em 1 e as superf´ıcies de energia Sλ ={x ∈ M|H(x) = λ}
s˜ao compactas e regulares. Prova.
Tomemos uma m´etrica Riemanniana qualquer em M. O gradiente de H com respeito a essa m´etrica n˜ao se anula numa vizinhan¸ca de S, pois S ´e regular e H cont´ınua. Definimos, assim, um campo gradiente modificado, pr´oximo de S, e transversal a ela
x′ = ▽H(x)
O objetivo ´e garantir que a imagem do fluxo ψt, deste campo, seja uma superf´ıcie de energia para cada t fixado. Com efeito, este fluxo satisfaz
H(ψt(x)) = 1 + t, x∈ S, pois dH dt (ψ t(x)) = dH(ψt(x))· dψ t dt (x) = dH(ψt(x))· ▽H(x) | ▽ H(x)|2 = h▽H(x), ▽H(x)i | ▽ H(x)|2 = 1,
onde h·, ·i ´e a m´etrica Riemanniana escolhida acima. Ent˜ao, H(ψt(x)) = Z t 0 d dtH(ψ t(x))dt + H(ψ0(x)) = t + H(x) = t + 1,
j´a que x∈ S. Agora, consideremos uma cobertura por bolas abertas Bxde S onde x∈ S,
S ⊂ [
x∈S
Bx.
Sendo S compacta, esta cobertura possui um n´umero de Lebesgue δ e, com isso, definimos o difeomorfismo
Φ : S × (−ε, ε) → U ⊂ [
x∈S
Bδ(x), (x, t) 7→ ψt(x)
onde a existˆencia de ε ´e garantida pela continuidade uniforme de Φ em compactos. No-temos que
Φ(S× t) = S1+t,
pois H(ψt(x)) = 1 + t, o que mostra que U ´e da forma desejada. Al´em disso, U ´e
com-pacto, pois ´e a imagem do compacto S× [−ε, ε].
Proposi¸c˜ao 4.1 Seja S uma superf´ıcie de energia compacta e regular para um campo Hamiltoniano XH em (M, ω). Se existe uma vizinhan¸ca aberta U de S tal que c0(U, ω) < ∞, ent˜ao existe uma seq¨uˆencia de valores de energia λi → 1 tal que XH possui uma solu¸c˜ao peri´odica em toda superf´ıcie de energia Sλi.
Corol´ario 4.1 Se c0(U, ω) <∞, ent˜ao existe um subconjunto denso Σ ⊂ I tal que para λ∈ Σ, a superf´ıcie de energia Sλ possui uma solu¸c˜ao peri´odica de XH.
c (U, )+10 w 1 1-e 1+e Figura 4.1: A fun¸c˜ao f m(F) U S Figura 4.2: A fun¸c˜ao F Prova.
Como S ´e regular e c0(U, ω) <∞, podemos definir uma fun¸c˜ao suave f : R → R tal que
f (s) = c0(U, ω) + 1, para s /∈ (1 − ε, 1 + ε) para algum ε > 0
f (s) = 0, para s suficientemente pr´oximo de 1
f (s)≥ 0, para todo s∈ R
A fun¸c˜ao F = f◦ H ∈ H(U, ω), pela constru¸c˜ao de f. Al´em disso, como suppXF ⊂ U e m(F ) > c0(U, ω), temos, pela defini¸c˜ao de c0, que XF possui uma ´orbita peri´odica n˜ao-constante com per´ıodo menor que 1. Pela defini¸c˜ao de campo Hamiltoniano,
ω(XF(x),·) = −dF (x) = −f′(H(x))· dH(x) = ω(f′(H(x))XH(x),·) e, pela n˜ao-degenerescˆencia de ω, relacionamos os campos XF e XH por
XF(x) = f′(H(x))XH(x), x∈ U. (4.1)
Logo, o fluxo Hamiltoniano de F ´e uma reparametriza¸c˜ao do fluxo de H e XH possui ´orbita peri´odica n˜ao-constante de per´ıodo qualquer, pois ´e uma reparametriza¸c˜ao. Com
isso, conclu´ımos a demonstra¸c˜ao do teorema. Para o corol´ario, basta trocarmos λ = 1
por qualquer outro λ.
Podemos notar que as solu¸c˜oes peri´odicas encontradas no Teorema 4.1 est˜ao em su-perf´ıcies de energia pr´oximas de S, mas n˜ao necessariamente em S. Para garantir que elas estejam em S, precisamos da hip´otese adicional dos per´ıodos Ti das solu¸c˜oes em Sλi
serem limitados. Seja g uma m´etrica Riemanniana em M e chamamos g(x)(ξ, η) =hξ, ηi e g(x)(ξ, ξ) =|ξ|2. O comprimento da solu¸c˜ao peri´odica x(t), com per´ıodo T , ´e dado por
l(x) = Z T
0 |x′(t)|dt.
Encolhendo a vizinhan¸ca U do Lema 4.1, se necess´ario, obtemos, pela continuidade uniforme de XH em compactos,
C−1 ≤ |XH(x)| ≤ C, x ∈ U, para alguma constante C > 0. Segue que
TiC−1 ≤ l(xi)≤ TiC, visto que xi(t) resolve a equa¸c˜ao de Hamilton
x′ = XH(xi).
Com isso, podemos demonstrar a seguinte proposi¸c˜ao que garante a existˆencia de ´orbitas peri´odicas na pr´opria superf´ıcie S.
Proposi¸c˜ao 4.2 Se λi → 1 e os per´ıodos Ti (ou os comprimentos l(xi)) das solu¸c˜oes peri´odicas xi em Sλi s˜ao limitados, ent˜ao a superf´ıcie de energia S = S1 possui uma solu¸c˜ao peri´odica de XH.
Prova. Definimos
yi(t) = xi(Tit), 0≤ t ≤ 1. As fun¸c˜oes yi s˜ao 1-peri´odicas, satisfazem
yi′(t) = Tix′i(Tit) = TiXH(x(Tit)) = TiXH(yi) (4.2) e
H(yi(t)) = H(xi(Tit)) = λi,
ou seja, yi(t)∈ Sλi. Sejam A ={yi(t)| i ∈ N, t ∈ [0, 1]} e A(t) = {yi(t)| i ∈ N}. Vamos ver que A ´e equicont´ınuo.
d(yi(t), yi(s))≤ Z t
s |y′
onde ∞ > α = sup{Ti}C ≥ |TiXH| = |y′
i(t)|, pois os Ti’s s˜ao limitados. Logo yi(t) ´e Lipschitz para todo i e A ´e equicont´ınuo. Agora, seja yi(t)∈ A(t). Como H(yi(t)) = λi, pelo Lema 4.1, yi(t)∈ K compacto e, portanto, possui uma subseq¨uˆencia convergente em K. Conclu´ımos que A(t) ´e relativamente compacto e, pelo Teorema de Arzel´a-Ascoli, A ´e relativamente compacto. Ent˜ao existe uma subseq¨uˆencia Ti → T e yi → y que converge uniformemente em C0 e, pela equa¸c˜ao 4.2, em C∞, pois essas subseq¨uˆencias convergem em partes compactas de M.
A fun¸c˜ao y : [0, 1] → U ´e 1-peri´odica e H(y(t)) = H( lim
i→∞yi(t)) = lim
i→∞H(yi(t)) = lim
i→∞λi = 1, ou seja, y(t)∈ S. Al´em disso, y satisfaz o sistema Hamiltoniano
y′ = T XH(y).
Se T 6= 0, definimos x(t) = y(t/T ) que satisfaz o sistema Hamiltoniano original, possui per´ıodo T e est´a na superf´ıcie S e, portanto, ´e a fun¸c˜ao desejada. Suponha que T = 0. Ent˜ao, yi → y∗ num ´unico ponto e
XH(y(t)) = XH(y∗) = V 6= 0 (4.3)
´e um ´unico vetor, pois a superf´ıcie de energia S ´e regular. Como XH ´e cont´ınuo, temos que
hXH(yi), Vi ≥ (1 − ε)|V |2 para algum ε > 0 e i suficientemente grande. Da´ı, usando 4.2,
Ti−1hyi′(t), Vi ≥ (1 − ε)|V |2. Integrando sobre o per´ıodo,
0 = Z Ti 0 Ti−1hy′ i(t), Vidt ≥ Z Ti 0 (1− ε)|V |2dt = Ti(1− ε)|V |2,
donde conclu´ımos que V = 0, pois cada yi(t) ´e Ti-peri´odica com Ti 6= 0 para todo i, o
que n˜ao ´e poss´ıvel por 4.3.
Acabamos de ver que existe uma ´orbita peri´odica numa superf´ıcie de energia S com-pacta e regular e em superf´ıcies difeomorfas e pr´oximas a S. Para tal, representamos S atrav´es de uma fun¸c˜ao Hamiltoniana. O que faremos agora ´e ver que a existˆencia de ´orbitas peri´odicas n˜ao depende da representa¸c˜ao escolhida, mas apenas da pr´opria S e da forma simpl´etica ω. Para isso, precisamos de algumas defini¸c˜oes.
Seja x∈ S. Como S ´e uma subvariedade de codimens˜ao 1, TxS ⊂ TxM tem dimens˜ao ´ımpar. Ent˜ao, restringindo a 2-forma ω a este subespa¸co, obtemos uma forma degenerada.
O n´ucleo desta restri¸c˜ao tem dimens˜ao 1, pois ω ´e n˜ao-degenerada em TxM. Definimos o fibrado LS ⊂ T S por
LS ={(x, ξ) ∈ T S | ωx(ξ, η) = 0 para todo η∈ TxS}.
Notamos que este fibrado caracteriza o n´ucleo de ω em T S e nos d´a a dire¸c˜ao de todo campo Hamiltoniano tendo S como superf´ıcie de energia regular como mostra a proposi¸c˜ao seguinte.
Proposi¸c˜ao 4.3 Seja H a fun¸c˜ao suave que representa S como superf´ıcie de energia, ou seja,
S ={x ∈ M | H(x) = constante} e tal que dH 6= 0 em S. Ent˜ao,
XH(x)∈ LS(x)∀ x ∈ S. Prova.
O espa¸co tangente de S ´e dado por
TxS = {ξ ∈ TxM | dH(X)ξ = 0}.
Logo, ω(XH(x), ξ) =−dH(x)ξ = 0 para todo ξ ∈ TxS, ou seja, XH(x)∈ LS(x). Defini¸c˜ao 4.1 LS ´e chamado fibrado caracter´ıstico da hipersuperf´ıcie S.
Defini¸c˜ao 4.2 Uma caracter´ıstica fechada de S (ou uma ´orbita peri´odica Hamiltoniana de S) ´e um c´ırculo mergulhado P ⊂ S tal que
T P = LS|P,
ou seja, o fibrado tangente de P corresponde ao n´ucleo da 2-forma ω em S.
Denotamos o conjunto de todas as caracter´ısticas fechadas de S por P(S) que cor-responde ao conjunto de solu¸c˜oes peri´odicas n˜ao-parametrizadas de todo campo Hamil-toniano XH, em S, tendo S como superf´ıcie de energia regular.
Suponha que LS → S ´e orient´avel, isto ´e, o fibrado possui um campo cont´ınuo de vetores n˜ao-nulos, ou, em outras palavras, possui uma se¸c˜ao n˜ao-nula. Queremos mostrar que existe uma fun¸c˜ao Hamiltoniana H : U → R, definida numa vizinhan¸ca U de S, que representa a hipersuperf´ıcie compacta e regular S com S = H−1(0). Para isso, muniremos M de uma estrutura quase complexa J, compat´ıvel com a forma ω, como na Proposi¸c˜ao 1.4, ou seja, J2 =−Id e
ωx(ξ, Jη) = gx(ξ, η)∀ ξ, η ∈ TxM,
onde g ´e a m´etrica Riemanniana. Seja NS o fibrado normal de S cuja fibra em x ∈ S ´e dada por
Podemos, assim, definir o isomorfismo
LS → NS
(ξ, η) 7→ (x, Jxξ)
Tal aplica¸c˜ao est´a bem definida, pois, dado (x, ξ) ∈ LS, temos gx(η, Jxξ) = ωx(η, Jx2ξ) =−ωx(η, ξ) = 0
para todo η ∈ TxS. Logo, (x, Jxξ) ∈ NS. Por esta raz˜ao tamb´em, a aplica¸c˜ao ´e injetiva e como LS e NS tˆem a mesma dimens˜ao, um isomorfismo. Portanto, NS → S ´e ori-ent´avel e podemos construir um difeomorfismo entre NS e S × R da seguinte maneira. Tomemos uma se¸c˜ao n˜ao-nula σ de NS tal que 0 6= σ(x) ∈ NS(x) ⊂ TxM. Definimos o difeomorfismo
S× R → NS.
(x, t) 7→ (x, tσ(x))
Agora, o que queremos ´e achar uma vizinhan¸ca de S em M, como no Lema 4.1, por´em sem usarmos a fun¸c˜ao Hamiltoniana H (que, de fato, ainda n˜ao temos). Definimos a aplica¸c˜ao
ψ : S× (−ε, ε) → U ⊂ M,
(x, t) 7→ expx(tσ(x))
onde σ ´e a se¸c˜ao n˜ao-nula vista acima e exp ´e a fun¸c˜ao exponencial. Da geometria Riemanniana, sabemos que ψ ´e um difeomorfismo numa vizinhan¸ca aberta U de S se S ´e compacta e ε ´e suficientemente pequeno. A compacidade garante que o difeomor-fismo ´e global. Basta, agora, apenas definir a fun¸c˜ao Hamiltoniana desejada. Para isso, precisamos da fun¸c˜ao auxiliar
F : S× (−ε, ε) → R.
(x, t) 7→ t
Como F ´e suave, H = F ◦ ψ−1 : U → R ´e a fun¸c˜ao Hamiltoniana procurada, pois S = H−1(0) e dH(x) = dF (ψ−1(x))dψ−1(x)6= 0, j´a que ψ ´e um difeomorfismo.
Defini¸c˜ao 4.3 Seja S uma hipersuperf´ıcie compacta em (M, ω). Uma fam´ılia parame-trizada de hipersuperf´ıcies modeladas em S ´e um difeomorfismo
ψ : S× I → U ⊂ M
numa vizinhan¸ca limitada U de S tal que ψ(x, 0) = x para x∈ S e onde I ´e um intervalo aberto contendo o 0.
Chamaremos Sε= ψ(S × {ε}), ou ainda, (Sε) em vez de ψ.
Com as defini¸c˜oes vistas acima podemos reescrever o Teorema 4.1 sem a dependˆencia da fun¸c˜ao Hamiltoniana H.
Proposi¸c˜ao 4.4 Sejam S uma hipersuperf´ıcie compacta em (M, ω) e (Sε), ε ∈ I, uma fam´ılia parametrizada de hipersuperf´ıcies modeladas em S. Se c0(U, ω) <∞, onde U ´e uma vizinhan¸ca de S, ent˜ao existe um conjunto denso Σ em I tal que
P(Sε)6= ∅ para ε ∈ Σ.
Este resultado foi melhorado por M. Struwe [25]. Ele mostrou que supondo que S limita uma regi˜ao compacta com capacidade finita, o conjunto Σ possui medida de Le-besgue total. Em [17], L. Macarini e F. Schlenk mostraram que a hip´otese dos n´ıveis de energia limitarem regi˜oes compactas com capacidade c0 finita ´e sup´erflua e que, de fato, com as mesmas hip´oteses da proposi¸c˜ao acima temos que o conjunto Σ possui medida de Lebesgue total em I. Todavia, o resultado n˜ao ´e v´alido para todo n´ıvel de energia como vemos em [10].
Uma conseq¨uˆencia da Proposi¸c˜ao 4.4 ´e uma nova demonstra¸c˜ao da conjectura de Weinstein em R2n obtida inicialmente por C. Viterbo [26].
Defini¸c˜ao 4.4 Uma hipersuperf´ıcie compacta e orient´avel S ⊂ M numa variedade simpl´etica (M, ω) ´e dita de contato se existe uma 1-forma α em S tal que
(i) dα = j∗ω e
(ii) α(ξ)6= 0 para 0 6= ξ ∈ LS,
onde j : S → M ´e a inclus˜ao e LS o fibrado caracter´ıstico de S.
Conjectura de Weinstein (1978) Uma hipersuperf´ıcie S de contato tal que H1(S) = 0 possui uma caracter´ıstica fechada.
A proposi¸c˜ao seguinte mostra que uma hipersuperf´ıcie de contato S ´e est´avel, essenci-almente, que hipersuperf´ıcies pr´oximas a S e que s˜ao transversais ao campo transversal a S s˜ao de contato. Mais precisamente, que existe uma fam´ılia parametrizada (Sε) mode-lada em S tal que o difeomorfismo associado ψ : S× (−1, 1) → U induz um isomorfismo entre fibrados
T ψε :LS → LSε.
Proposi¸c˜ao 4.5 Uma hipersuperf´ıcie compacta S ⊂ M ´e de contato se, e somente se, existe um campo X, definido numa vizinhan¸ca U de S, tal que
(i) LXω = ω em U (ii) X(x) /∈ TxS se x∈ S isto ´e, X ´e transversal a S.