Capacidades Simpl´ eticas - Capacidades Simpléticas e o Teorema de Hofer-Zehnder

Neste cap´ıtulo, introduziremos o conceito de um invariante simplético chamado capaci-dade simplética. Veremos que a existência de uma capacicapaci-dade simplética é equivalente ao Teorema Nonsqueezing de Gromov. Veremos também a rigidez de difeomorfismos simpléticos e a defini¸cão de homeomorfismos simpléticos inspirados nos homeomorfismos que preservam medida.

Defini¸cão 2.1 Consideremos a classe de todas as variedades simpléticas (M, ω) de di-mensão fixada 2n. Uma capacidade simplética é uma aplica¸cão

(M, ω)7→ c(M, ω) ∈ R+∪ {∞}

que associa a cada variedade simplética um número real não-negativo ou +∞ satisfazendo as seguintes propriedades:

(A1) monotonicidade: c(M, ω)≤ c(N, τ) se existe um mergulho simpl´etico ϕ : (M, ω) → (N, τ );

(A2) conformalidade: c(M, αω) =|α|c(M, ω) para todo α ∈ R, α 6= 0; (A3) n˜ao-trivialidade: c(B(1), ω₀) = π = c(Z(1), ω₀).

Onde B(1) = {(x, y) ∈ R2n | |x|2 +|y|2 < 1} ´e a bola aberta unit´aria e Z(1) = {(x, y) ∈ R2n | x2

1 + y2

1 < 1} é o cilindro aberto simplético unitário no espa¸co padrão (R2n, ω0).

Podemos substituir a condi¸c˜ao (A3) por uma mais fraca: (A3′) n˜ao-trivialidade fraca: 0 < c(B(1), ω₀) e c(Z(1), ω₀) <∞.

Para entendermos melhor este conceito, vamos compará-lo com o volume, pois neste ponto reside a chave para sua compreensão. Tomemos o módulo da área total

c(M, ω) = Z M ω ,

no caso das variedades simpléticas bidimensionais. Esta fun¸cão é uma capacidade simplé-tica e, em (R2, ω₀), corresponde à medida de Lebesgue. Contudo, para n > 1, o invariante simplético ( vol )1/n não é uma capacidade pelo axioma (A3), pois o volume do cilindro simplético é infinito. Isto ocorre, pois, para n = 1, a forma simplética é a própria forma área, o que não acontece para n > 1. De fato, a exigência de que c(Z(1), ω₀) seja finito significa que a capacidade é um invariante bidimensional. Esta observa¸cão é essencial para entendermos a capacidade simplética.

Note que capacidades simpléticas são invariantes simpléticos. De fato, dado um sim-plectomorfismo ϕ : (M, ω)→ (N, τ) basta aplicarmos o axioma de monotonicidade a ϕ e ϕ−1. Outra conseqüência do axioma (A1) é que, tomando a inclusão,

U ⊂ V ⇒ c(U) ≤ c(V ), (2.1)

onde U e V são abertos de (M, ω). O lema seguinte nos fornece mais alguns exemplos. Lema 2.1 Se U ⊂ (R2n, ω0) é aberto e λ6= 0, então

c(λU) = λ²c(U). Prova.

Tomemos o difeomorfismo ϕ : λU → U, ϕ(x) = x/λ. Temos que ϕ∗(λ2ω0) = λ2ϕ∗ω0 = ω0. Então ϕ : (λU, ω0)→ (U, λ2ω0) é simplético. Logo, pela conformalidade,

c(λU, ω₀) = c(U, λ²ω₀) = λ²c(U, ω₀).

Como conseq¨uˆencia, temos, para a bola aberta de raio r > 0, que

c(B(r)) = r²c(B(1)) = πr². (2.2)

O mesmo vale para a bola fechada, usando 2.1, pois B(r) ⊂ B(r) ⊂ B(r + ε) para todo ε > 0. No caso de (R2, ω0),

c(B(r)) = c(B(r)) = ´area (B(r)), (2.3)

o que corresponde à medida de Lebesgue do disco. Utilizando este fato, vemos que a correspondência entre a medida de Lebesgue e a capacidade simplética ocorre numa classe mais abrangente de conjuntos de R2 como mostra a seguinte proposi¸cão.

Proposi¸cão 2.1 Se D ⊂ R2 é um dom´ınio compacto e conexo com fronteira suave, então

Prova.

Come¸camos removendo um número finito de curvas compactas de D para obtermos um dom´ınio simplesmente conexo D0 ⊂ D tal que m(D0) = m(D). Tal dom´ınio é difeomorfo ao disco unitário B(1)⊂ R2, pelo teorema da uniformiza¸cão [9]. Assim, existem ρ > 0 e um difeomorfismo ϕ : B(ρ)→ D0 tal que m(B(ρ)) = m(D₀). Dado ε > 0, encontramos r < ρ tal que D1 := ϕ(B(r)) ⊂ D0 satisfaz m(D1) ≥ m(D) − ε. Pelo Teorema de Dacorogna-Moser [12], existe um difeomorfismo simplético ψ : B(r) → D1. Como ψ é simplético, usando a monotonicidade, a invariância por simplectomorfismos e 2.3, temos que

m(D)− ε ≤ m(D1) = m(B(r)) = c(B(r)) = c(D1)≤ c(D).

Por outro lado, existe um difeomorfismo ϕ : D → B(R) \ {n´umero finito de discos

abertos de medida total ≤ ε}. Escolhemos um R apropriado de maneira que ϕ seja

simpl´etico, pelo Teorema de Dacorogna-Moser [12]. Ent˜ao c(D) ≤ c(B(R)) = πR² ≤ m(D) + ε.

Assim, obtemos que m(D)− ε ≤ c(D) ≤ m(D) + ε para todo ε > 0.

Veremos mais alguns exemplos simples: Se U ⊂ (R2n, ω₀) ´e aberto e limitado, ent˜ao 0 < c(U) <∞,

pois U contém uma bola pequena e está contido numa bola grande. Pelo Lema 2.1 e pelo axioma da não-trivialidade, obtemos que

c(Z(r)) = πr². (2.4)

Tomando U aberto tal que

B(r)⊂ U ⊂ Z(r)

para algum r > 0 e usando 2.4, temos que c(U) = πr2, se n > 1, pois, por 2.1, πr² = c(B(r))≤ c(U) ≤ c(Z(r)) = πr2.

Isto mostra que conjuntos abertos completamente distintos podem ter a mesma ca-pacidade. Agora que já vimos a capacidade dos conjuntos mais simples, como as bolas abertas e fechadas, veremos a capacidade dos elipsóides que será muito importante para a rigidez do grupo de difeomorfismos simpléticos.

Os elips´oides podem ser escritos por

Y (q) ={x | q(x) < 1} ⊂ R²ⁿ, onde q ´e uma forma quadr´atica positivamente definida dada por

q(x) = n X i=1 1 r2 i (x²_i + x²_n+i), com 0≤ r1(q)≤ r2(q)≤ . . . ≤ rn(q).

Proposi¸cão 2.2 A capacidade de um elipsóide Y ⊂ (R2n, ω0) com invariantes simpléticos lineares r₁(Y )≤ r2(Y )≤ . . . ≤ rn(Y ) é

c(Y ) = πr1(Y )². Prova.

Tomando uma aplica¸c˜ao linear simpl´etica ϕ, temos que B(r₁)⊂ Y ⊂ Z(r1),

pois dados dois elips´oides Y1 e Y2, ϕ(Y1)⊂ Y2 se, e somente se ri(Y1)≤ ri(Y2) para todo 1≤ i ≤ n. Logo, por 2.1,

c(Y ) = πr2 1.

Corolário 2.1 Se Y1 e Y2 são dois elipsóides em (R2n, ω0) e ϕ : Y1 → Y2 é um mergulho simplético, então

r1(Y1)≤ r1(Y2).

Vimos v´arios casos de conjuntos com capacidade finita, veremos agora o caso do cilindro

Z₁(r) ={(x, y) ∈ R²ⁿ | x²1+ x²₂ < r²}

cuja capacidade é infinita apesar de ter a mesma forma do cilindro simplético Z(r). Esta diferen¸ca vem do fato da forma simplética ω0 não ser não-degenerada no plano{x1, x2}.

Com efeito, tomemos o mergulho simpl´etico ϕ : B(N) → Z1(r),

ϕ(x, y) = (εx1, εx2, x3, ..., xn,^y¹ ε ^,

ε ^{, y}³^{, ..., y}ⁿ^{) onde B(N) ´e a bola aberta de raio N} ∈ N e ε > 0. Se ε ´e suficientemente pequeno, ϕ(B(N))⊂ Z1(r). Logo, para todo N,

πN² = c(B(N))≤ c(Z1(r)). Segue que

c(Z1(r)) = +∞ para todo r > 0. Este cilindro ´e baseado em 2-planos isotr´opicos.

Defini¸cão 2.2 Seja V ⊂ R2n um subespa¸co linear. V é dito isotrópico se V ⊂ V⊥. Com este conceito, generalizaremos o exemplo acima.

Proposi¸c˜ao 2.3 Sejam Ω ⊂ R2n um conjunto n˜ao-vazio aberto e limitado e W ⊂ R2n

um subespa¸co linear com codim W = 2. Então o cilindro Ω + W satisfaz c(Ω + W ) = +∞ , se W⊥ é isotrópico

Prova.

Podemos supor que Ω contém a origem. Como codim W = 2, observamos que dim W⊥= 2. Logo, se W⊥ não é isotrópico, W⊥ é um subespa¸co simplético e R2n = W⊥ ⊕ W . Escolhemos a base (e1, f1) em W⊥ e supomos que

W ={(x, y) | x1 = y1 = 0}. Como Ω ´e limitado, temos que, para z ∈ Ω+W , x2

1+y₁² < N²para algum N. Portanto, Ω + W ⊂ B2(N)× R2n−2 e, assim, c(Ω + W )≤ c(B2(N)× R2n−2) = πN2 <∞, por 2.4. Provamos desta forma a segunda afirma¸c˜ao. Para provarmos a primeira, podemos supor que

W ={(x, y) | x1 = x2 = 0}. Existe α > 0 tal que o ponto (x, y)∈ Ω + W , se x2

1 + x2

2 < α2. Considerando a bola aberta B(R), definimos a aplica¸cão simplética ϕ : B(R) → Ω + W , ϕ(x, y) = (εx, y/ε) para ε > 0. Se ε é suficientemente pequeno, toda bola B(R) pode ser simpleticamente mergulhada em Ω + W . Logo, pela monotonicidade,

πR² = c(B(R)) ≤ c(Ω + W ),

para todo R > 0. Ent˜ao c(Ω + W ) = +∞.

Agora veremos uma das principais conseqüências da existência de uma capacidade simplética

Teorema 2.1 (Nonsqueezing de Gromov) Existe um mergulho simpl´etico ϕ : B(r)→

Z(R) se, e somente se, r ≤ R. Prova.

Supondo a existência de uma capacidade simplética, o teorema é uma conseqüência direta da monotonicidade. Se ϕ é um mergulho simplético,

πr² = c(B(r))≤ c(Z(R)) = πR²,

por 2.2 e 2.4.

A existência de uma capacidade proporciona a constru¸cão de várias outras capaci-dades. Introduziremos agora a espessura de Gromov que foi mencionada no in´ıcio deste cap´ıtulo. Pelo Teorema de Darboux, existe um mergulho simplético de uma bola pequena B(r)⊂ R2n numa variedade simplética M de dimensão 2n,

ϕ : (B(r), ω₀)→ (M, ω).

Procuramos a maior bola B(r) que pode ser simpleticamente mergulhada em (M, ω). Defini¸c˜ao 2.3 O n´umero

D(M, ω) = sup{πr² | existe um mergulho simpl´etico ϕ : (B(r), ω0)→ (M, ω)} ´e conhecido como a espessura de Gromov.

R (x ,y )-plano1 1

Z(R)

B(r)

Figura 2.1: O Teorema Nonsqueezing de Gromov Observemos que a espessura de Gromov ´e positiva ou +∞.

Teorema 2.2 A espessura de Gromov D(M, ω) ser uma capacidade simplética é equiva-lente ao Teorema Nonsqueezing de Gromov. Além disso,

D(M, ω)≤ c(M, ω) para toda capacidade c.

Prova.

Primeiro verificaremos a monotonicidade. Seja ψ : (M, ω) → (N, τ) um mergulho

simplético. Se ϕ : B(r) → M é um mergulho simplético, ψ ◦ ϕ : B(r) → N também é. Tomando o supremo na defini¸cão de D(N, τ ), obtemos

D(M, ω)≤ D(N, τ), pois este ´ultimo ´e tomado num conjunto maior.

Para a conformalidade, devemos mostrar que para todo mergulho simpl´etico ϕ : (B(r), ω0)→ (M, αω) corresponde um mergulho simpl´etico ˆϕ : B ^r

p|α| !

, ω0

! → (M, ω). Assim, ter´ıamos D(M, αω) ≤ |α|D(M, ω), pela defini¸c˜ao da espessura de Gro-mov. Mostrando a rec´ıproca tamb´em, obter´ıamos

D(M, αω) =|α|D(M, ω).

Seja ϕ : (B(r), ω₀) → (M, αω) um mergulho simpl´etico. Ent˜ao ϕ∗(αω) = ω₀ e ϕ∗ω = ^ω⁰ α^{. Fazendo ρ =} r p|α|^{, definimos o difeomorfismo} ψ : B(ρ) → B(r) x 7→ p|α|x e temos ψ^∗(^ω⁰ α^{) =} |α| α ^ω⁰^.

Logo, se α > 0, a aplica¸cão ˆϕ = ϕ◦ ψ : (B(ρ), ω0)→ (M, ω) é o mergulho simplético que quer´ıamos. Se α < 0, introduzimos o difeomorfismo ψ₀ : (B(ρ), ω₀) → (B(ρ), −ω0), ψ0(u, v) = (−u, v) e fazemos ˆϕ = ϕ◦ ψ ◦ ψ0. Reciprocamente, procedemos da mesma maneira.

Para vermos que a espessura de Gromov é uma capacidade, resta apenas a não-trivialidade, que mostraremos agora. Se ϕ : B(R) → B(1) é um mergulho simplético, então R ≤ 1, pois ϕ preserva volume. Por outro lado, a identidade induz um mergulho simplético B(1) → B(1). Logo D(B(1), ω0) = π. Para vermos que D(Z(1), ω0) = π, usamos o Teorema nonsqueezing de Gromov.

Para mostrar que D(M, ω) é a menor capacidade, seja c(M, ω) uma capacidade qual-quer. Se ϕ : B(r)→ M é um mergulho simplético, então, pela monotonicidade e pela não-trivialidade, πr2 = c(B(r), ω0)≤ c(M, ω). Tomando o supremo, verificamos a afirma¸cão

e, consequentemente, o teorema.

Defini¸c˜ao 2.4 Dada uma capacidade c, definimos a sua capacidade interna ˇc por ˇ

c(M, ω) = sup{c(U, ω) | U ⊂ M aberto e U ⊂ M \ ∂M}.

Defini¸c˜ao 2.5 Dizemos que a capacidade c tem regularidade interna em M se ˇ

c(M, ω) = c(M, ω).

Proposi¸cão 2.4 A fun¸cão ˇc é uma capacidade com regularidade interna tal que ˇc≤ c. Além disso, se d é uma capacidade qualquer com regularidade interna tal que d≤ c, então

ˇ d≤ ˇc. Prova.

Para a monotonicidade, seja ϕ : (M, ω) → (N, τ) um mergulho simpl´etico entre as variedades simpl´eticas (M, ω) e (N, τ ). Se considerarmos os abertos U ⊂ M tal que

U ⊂ M\∂M e aplicarmos ϕ, obteremos um conjunto, formado pelos abertos ϕ(U) ⊂ N

tal que ϕ(U) ⊂ N\∂N, menor do que o conjunto de todos os abertos V ⊂ N tal que

V ⊂ N\∂N. Logo, tomando o supremo da capacidade destes conjuntos, temos que ˇ

c(M, ω) = sup{c(U, ω) | U ⊂ M aberto e U ⊂ M\∂M}

≤ sup{c(V, τ) | V ⊂ N aberto e V ⊂ N\∂N} = ˇc(N, τ ).

A conformalidade segue direto da defini¸c˜ao de capacidade. Seja α > 0, ent˜ao ˇ

c(M, αω) = sup{c(U, αω) | U ⊂ M aberto e U ⊂ M\∂M}

= sup{|α|c(U, ω) | U ⊂ M aberto e U ⊂ M\∂M}

= |α| sup{c(U, ω) | U ⊂ M aberto e U ⊂ M\∂M}

= |α|ˇc(M, ω),

onde, na primeira e na última igualdade, usamos a defini¸cão de capacidade interna, na segunda, a defini¸cão de capacidade simplética (mais precisamente, a conformalidade), e na terceira, propriedades do supremo.

Como, na defini¸cão de capacidade interna, tomamos abertos contidos na variedade, temos que, no caso da bola aberta unitária B(1), π é uma cota superior para ˇc(B(1), ω₀). Para provarmos a não-trivialidade, resta-nos, então, mostrar que dado ε > 0, existe um aberto U ⊂ B(1) tal que π − ε < c(U, ω0). Se tomarmos a bola aberta B(r) ⊂ B(1), onde r = r 1− ^ε 2π^{, então, por 2.1,} π− ε < π − ^ε 2 ^{= πr} 2 = c(B(r), ω0)≤ π.

Para a n˜ao-trivialidade do cilindro simpl´etico, usamos o mesmo argumento e o Teo-rema Nonsqueezing de Gromov. Novamente, por 2.1, temos que ˇc≤ c.

Supomos agora que d é uma capacidade com regularidade interna tal que d ≤ c. Então ˇ d(M) = sup{d(U) | U ⊂ M e U ⊂ M \ ∂M} ≤ sup{c(U) | U ⊂ M e U ⊂ M \ ∂M} = ˇc(M). Como exemplos de capacidades com regularidade interna, temos a espessura de Gro-mov, pois é a menor das capacidades, e a capacidade de Hofer-Zehnder como veremos no próximo cap´ıtulo.

Veremos agora o importante conceito de rigidez de simplectomorfismos. O que fare-mos é provar que o grupo de simplectomorfisfare-mos é fechado no grupo de todos os difeo-morfismos com respeito à topologia C0 e, com isso, introduziremos o conceito de home-omorfismos simpléticos. Isto é um análogo aos difehome-omorfismos que preservam volume e os homeomorfismos que preservam medida.

Teorema 2.3 (Eliasberg, Gromov) O grupo de simplectomorfismos de uma variedade simpl´etica compacta (M, ω) ´e C0-fechado no grupo de todos os difeomorfismos de M.

Este teorema é conseqüência do seguinte resultado.

Teorema 2.4 Sejam c uma capacidade e ψ_i : B(1)→ R2n uma seqüência de aplica¸cões cont´ınuas tal que

c(ψi(E)) = c(E),

para todo elips´oide (pequeno) E ⊂ B(1), que converge localmente uniformemente para ψ(x) = lim ψi(x).

Se ψ é diferenciável em 0, então ψ′(0) = A é simplética ou anti-simplética, ou seja, A^∗ω0 =±ω0.

Para provarmos o Teorema 2.4, precisamos de alguns lemas.

Lema 2.2 Sejam c uma capacidade e ψi uma seqüência de aplica¸cões cont´ınuas em R2n

que converge localmente uniformente para a aplica¸cão ψ. Suponha que ψi preserva a capacidade dos elipsóides, isto é, c(ψi(E)) = c(E) para os elipsóides abertos e para todo i. Se ψ′

i(0) = A existe, ent˜ao ´e um isomorfismo. Prova.

Suponha que A não é sobrejetiva. Então A(R2n) está contido num hiperplano H. Com-pondo, se necessário, com uma aplica¸cão simplética linear, podemos supor que

A(R²ⁿ)⊂ H = {(x, y) | x1 = 0}. Definimos a aplica¸c˜ao simpl´etica linear ϕ por

ϕ(x, y) = (^x¹

α^{, x}²^{, ..., x}ⁿ^{, αy}¹^{, y}²^{, ..., y}ⁿ⁾ e escolhemos α > 0 pequeno de modo que

ϕ◦ A(B(1)) ⊂ B²(1/16)× R²ⁿ⁻² = Z(1/16),

onde o 2-disco aberto B2 está contido no plano simplético com coordenadas {x1, y1}. Pela defini¸cão de derivada, temos que |ϕ ◦ ψ(x) − ϕ ◦ A(x)| ≤ a(|x|)|x|, onde a(s) → 0

quando s→ 0. Logo

ϕ◦ ψ(B(ε)) ⊂ Z(ε/4),

se ε ´e suficientemente pequeno. Como ϕ◦ ψi converge localmente uniformemente para ϕ◦ ψ,

ϕ◦ ψi(B(ε))⊂ Z(ε/2), se i ´e sufientemente grande. Pela monotonicidade,

c(B(ε)) = c(ϕ◦ ψi(B(ε)))≤ c(Z(ε/2)) = ^c(B(ε))

4 ^,

pois, por hip´otese, ϕ◦ ψi preserva a capacidade dos elips´oides. Obtemos com isso uma

contradi¸c˜ao, logo A ´e sobrejetiva.

Lema 2.3 Seja A um isomorfismo linear tal que A∗ω0 6= λω0. Ent˜ao, para todo a > 0 existem matrizes simpl´eticas U e V tais que U−1AV tem a forma

U−1AV =   a 0 0 a ⁰ ∗ ∗  

Prova.

Seja B o adjunto simpl´etico de A satisfazendo

ω0(Ax, y) = ω0(x, By)

para todos x, y e seja ω = B∗ω0. Como A ´e isomorfismo, ω 6= λω0.

Afirmamos que existe x tal que ω_x 6= (λω0)_x para todo λ. Com efeito, suponhamos que para todo x, existe λ(x) ∈ R tal que ω(x, ·) = λ(x)ω0(x,·). Se x 6= 0, existe ξ tal que ω0(ξ, x)6= 0, pela n˜ao-degenerescˆencia de ω0. Isto vale para todo y numa vizinhan¸ca U(x) de x. Logo

λ(ξ)ω0(ξ, y) = ω(ξ, y) = −ω(y, ξ) = −λ(y)ω0(y, ξ) = λ(y)ω0(ξ, y),

e λ(ξ) = λ(y) para y numa vizinhan¸ca de x. Como R2n\ {0} é conexo e a fun¸cão λ(x) em R2n\ {0} é localmente constante, ela é constante. Portanto ω(x, ·) = λω0(x,·) para x6= 0 e logo para todo x, o que contradiz a hipótese de que ω 6= λω0.

Pela afirma¸cão, existe x tal que a aplica¸cão linear (ω0(x,·), ω(x, ·)) : R2n → R2 é sobrejetiva. Para um a > 0 dado, achamos y tal que

ω0(x, y) = 1 e ω(x, y) = a².

Como ω(x, y) = ω0(Bx, By), podemos escolher duas bases simpl´eticas (e1, f1, ...) e (e′ 1, f′ 1, ...) tais que e₁ = x, f₁ = y, e′ 1 = ^Bx a ^{, f} ′ 1 = ^By a ^{. Nestas bases,} Be1 = ae^′₁ e Bf1 = af₁^′.

Como hJAx, yi = hJx, Byi = hBTJx, yi, temos que A = −JBTJ. Representando A na nova base como uma aplica¸c˜ao de R2n com base (e1, f1, ...) em R2ncom base (e′

1, f′ 1, ...), achamos a representa¸cão U−1AV da forma que quer´ıamos. As matrizes simpléticas são definidas pelos seus vetores colunas como U = [e1, f1, ...] e V = [e′

1, f′

1, ...].

Prova do Teorema 2.4.

Suponhamos que ψ(0) = 0. Pelo Lema 2.2, A = ψ′(0) ´e um isomorfismo.

Quere-mos Quere-mostrar primeiro que A∗ω0 = λω0 para algum λ 6= 0. Suponhamos, por absurdo, que A∗ω0 6= λω0 para todo λ. Pelo Lema 2.3, encontramos aplica¸cões simpléticas U e V tais que U−1AV (B(1)) ⊂ Z(1/8). Definimos a seqüência ϕi := U−1ψiV . Então ϕi → ϕ := U−1ψV localmente uniformemente. Além disso, ϕ′(0) = U−1AV . Logo, ϕ(B(ε))⊂ Z(ε/4) e, consequentemente, ϕi(B(ε))⊂ Z(ε/2) para i suficientemente grande e ε > 0 suficientemente pequeno. Pela hipótese sobre ψi, temos que c(ϕi(B(ε))) = c(B(ε)). Então, pela monotonicidade, c(B(ε)) ≤ c(Z(ε/2)), o que contradiz a não-trivialidade da capacidade. Logo A∗ω₀ = λω₀ para algum λ6= 0.

Pela conformalidade, uma aplica¸cão linear anti-simplética preserva a capacidade. Compondo as aplica¸cões ψi e ψ com a aplica¸cão simplética B = A

√ λ

−1

e com a aplica¸c˜ao anti-simpl´etica B = A √ −λ −1 , se λ < 0, reduzimos ao caso A = αId, com α > 0.

Vamos mostrar que α = 1. Se α < 1, existem uma bola pequena e α < r < 1 tais que ψi(B(ε)) ⊂ B(rε) para i grande. Como ψi preserva a capacidade, c(B(ε)) = c(ψi(B(ε))≤ c(B(rε)) = r2c(B(ε)) o que n˜ao ´e poss´ıvel. Se α > 1, vamos mostrar que

ψ_i(B(ε))⊃ B(rε)

para algum α > r > 1, ε pequeno e i grande. Com isso, conclu´ımos que r2c(B(ε)) = c(B(rε))≤ c(B(ε)), o que nos leva a uma contradi¸c˜ao e ao resultado.

Para mostrarmos que para todo y ∈ B(rε), existe x ∈ B(ε) tal que ψi(x) = y, usaremos um argumento baseado no grau de Brower. Fixemos 1 < r < α. Como A(B(ε)) = B(αε), temos que

grB(B(ε), A, y) = 1 para y∈ B(rε). Vamos ver que

grB(B(ε), ψi, y) = grB(B(ε), A, y).

Pela invariância homotópica do grau, é suficiente mostrarmos que a homotopia h(t, x) = tψi(x) + (1− t)Ax satisfaz h(t, x) 6= y, se x ∈ ∂B(ε) e 0 ≤ t ≤ 1.

Lem-brando que ψ(0) = 0 e |ψ(x) − Ax| ≤ a(|x|)|x|, com a(s) → 0 quando s → 0. Como

ψi → ψ uniformemente em conjuntos compactos, temos que para todos σ > 0 e i ≥ i0(σ) |ψi(x)− Ax| ≤ a(|x|)|x| + σ.

Supomos, por absurdo, que tψi(x) + (1− t)Ax = y para x ∈ ∂B(ε) e y ∈ B(rε). Assim,

t(ψi(x)− Ax) = y − Ax. Do lado direito, obtemos

|y − Ax| ≤ |Ax| − |y| = αε − |y| ≥ (α − r)ε e, pelo lado esquerdo, temos

|t(ψi(x)− Ax)| ≤ a(|ε|)ε + σ.

Escolhendo σ = a(|ε|)ε e ε suficientemente pequeno, chegamos a uma contradi¸c˜ao e

terminamos a prova do teorema.

Corolário 2.2 Uma aplica¸cão linear A em R2n que preserva a capacidade dos elipsóides é ou simplética ou anti-simplética.

Prova do Teorema 2.3.

Como o Teorema 2.4 é um resultado local, usamos as cartas de Darboux e vemos que o resultado é válido numa variedade simplética (M, ω) compacta qualquer.

Consideremos o mergulho simpl´etico (ψ_i, id) : B(1)× R2n → (R2n× R2n, ω₀⊕ ω0). Pela derivada de (ψi, id) em (0, 0) dada por ¯A = (A, 1), temos que

A^∗(ω0⊕ ω0) = µ(ω0⊕ ω0)

para algum µ 6= 0. Por outro lado, pela afirma¸c˜ao que fizemos na demosntra¸c˜ao do Teorema 2.4,

A^∗(ω0⊕ ω0) = (λω0)⊕ ω0.

Logo, µ = 1 = λ como quer´ıamos.

Com base no que vimos at´e aqui, podemos introduzir o conceito de homeomorfismos simpl´eticos.

Defini¸cão 2.6 Seja h um homeomorfismo de R2n em R2n. Dizemos que h é um homeo-morfismo simplético se h, para n ´ımpar, ou (h, id), para n par, preserva a capacidade de elipsóides pequenos.

A partir do que vimos aqui, obtemos o seguinte resultado.

Teorema 2.5 Seja hi : R2n→ R2n uma seq¨uˆencia de homeomorfismos tal que c(hi(E)) = c(E)

para todo elips´oide E. Se h_i converge localmente uniformemente a um homeomorfismo h de R2n, ent˜ao

c(h(E)) = c(E) para todo elips´oide E.

Prova.

Como h−1 ◦ hi → id localmente uniformemente, ent˜ao para todo elips´oide E e todo 0 < ε < 1,

h⁻¹◦ hi((1− ε)E) ⊂ E ⊂ h⁻¹◦ hi((1 + ε)E),

se i ´e suficiente grande. Usamos o grau de Brower como no Teorema 2.4 e obtemos hi((1− ε)E) ⊂ h(E) ⊂ hi((1 + ε)E).

Pela monotonicidade e conformalidade,

(1− ε)2c(E) = c((1− ε)E) = c(hi((1− ε)E)) ≤ c(h(E)) ≤ c(hi((1 + ε)E)) = c((1 + ε)E) = (1 + ε)2c(E).

No documento Capacidades Simpléticas e o Teorema de Hofer-Zehnder (páginas 30-42)