A Capacidade de Hofer-Zehnder - Capacidades Simpléticas e o Teorema de Hofer-Zehnder

Neste cap´ıtulo mostraremos a existência de uma capacidade simplética definida em ter-mos da dinâmica de Sistemas Hamiltonianos.

Seja (M, ω) uma variedade simpl´etica e H : M → R uma fun¸c˜ao Hamiltoniana a qual corresponde um campo Hamiltoniano XH, como visto em 1.9. Quando M possui bordo ∂M, suponha que XH tem suporte compacto contido no interior de M.

Seja H(M, ω) o conjunto de fun¸c˜oes suaves H, em M, que satisfazem:

(H1) Existe um compacto K ⊂ M (que depende de H) tal que K ⊂ (M\∂M) e

H(M\K) = m(H) constante;

(H2) Existe um aberto U ⊂ M (que depende de H) tal que

H(U)≡ 0;

(H3) 0 ≤ H(x) ≤ m(H) para todo x ∈ M.

A constante m(H) = max H− min H ´e a oscila¸c˜ao de H.

m(H)

osc(H)

U K

Defini¸cão 3.1 Uma fun¸cão H ∈ H(M, ω) é dita admiss´ıvel se todas as solu¸cões periódicas de x′ = X_H(x), em M, ou são constantes, isto é, x(t) = x(0)∀ t, ou tem per´ıodo T > 1.

Denotamos o conjunto de todas as fun¸c˜oes admiss´ıveis por Ha(M, ω) ⊂ H(M, ω) e, com isso, definimos

c0(M, ω) = sup{m(H) | H ∈ Ha(M, ω)}

O que vamos provar neste cap´ıtulo é que esta fun¸cão é uma capacidade simplética. Ela foi descoberta por Hofer e Ekeland para subconjuntos de (R2n, ω0) e, mais tarde, estendida para variedades simpléticas por Hofer e Zehnder. Por isso é conhecida como capacidade de Hofer-Zehnder e, muitas vezes, denotada também por cHZ(M, ω).

Uma diferen¸ca entre a espessura de Gromov e a capacidade de Hofer-Zehnder se encontra no caso de variedades compactas. Como uma variedade simpl´etica compacta (M, ω) possui volume finito, temos que D(M, ω) < ∞. Mas se tomarmos a capacidade de Hofer-Zehnder, existem variedades compactas com capacidade infinita [29].

Teorema 3.1 (Hofer-Zehnder) A fun¸cão c0 é uma capacidade simplética. Além disso, c0 tem a propriedade da regularidade interna.

Lema 3.1 (regularidade interna)

c0(M, ω) = ˇc0(M, ω) Prova.

Suponhamos primeiro que c0(M, ω) <∞. Seja ε > 0. Queremos mostrar que c₀(M, ω) = sup{c0(U, ω)| U ⊂ M aberto e U ⊂ M\∂M}, ou seja, que dado ε > 0 existe U ⊂ M aberto com U ⊂ M\∂M tal que

c0(M, ω)− ε < c0(U, ω),

pela defini¸c˜ao de supremo. Pela defini¸c˜ao de c0 e do supremo, temos que existe H ∈ Ha(M, ω) tal que

c₀(M, ω)− ε < m(H).

Seja K = suppXH que, por hip´otese, ´e compacto. Como K ⊂ M\∂M, existe um aberto U de M tal que

K ⊂ U ⊂ U ⊂ M\∂M. (3.1)

Observamos que este compacto K pode ser visto como o compacto da propriedade (H1) das fun¸c˜oes Hamiltonianas H ∈ H(M, ω). Logo, por 3.1, H ∈ H(U, ω) e, consequente-mente, H ∈ Ha(U, ω), pois H ∈ Ha(M, ω). Pela defini¸c˜ao de c0,

m(H) < c0(U, ω), mostrando que

c0(M, ω)− ε < m(H) < c0(U, ω).

No caso em que c₀(M, ω) =∞, basta vermos que existe H ∈ Ha(M, ω) com m(H) >

Lema 3.2 (monotonicidade) c0(M, ω) ≤ c0(N, τ ), se existe um mergulho simpl´etico ϕ : (M, ω)→ (N, τ).

Prova.

Queremos mostrar que

sup{m(H) | H ∈ Ha(M, ω)} ≤ sup{m(F ) | F ∈ Ha(N, τ )}.

O que faremos é construir uma aplica¸cão entre H(M, ω) e H(N, τ) que leva o conjunto Ha(M, ω) no conjunto Ha(N, τ ) a partir do mergulho simplético, nos dando assim o re-sultado esperado.

Seja ˜ϕ :H(M, ω) → H(N, τ), onde ˜ϕ(H) : N → R ´e dada por ˜

ϕ(H) = H ◦ ϕ−1(x), se x∈ ϕ(M)

m(H), se x /∈ ϕ(M)

Note que ˜ϕ(H)(x) ´e suave, pois H(∂M) = m(H). Como o campo Hamiltoniano X_H

possui suporte compacto em M\∂M, temos que existe um compacto K ⊂ M\∂M tal

que ϕ(K) ⊂ N\∂N ´e compacto. Aqui estamos usando que ϕ ´e um homeomorfismo.

Tomando este compacto como o da propriedade (H1), e usando que ϕ é um homeomor-fismo, temos que ˜ϕ(H)∈ H(N, τ) e a aplica¸cão está bem definida. Notemos também que m( ˜ϕ(H)) = m(H), pela constru¸cão de ˜ϕ.

Vamos ver agora que ˜ϕ(Ha(M, ω)) ⊂ Ha(N, τ ). Seja H ∈ Ha(M, ω) e considere-mos os fluxos dos campos Hamiltonianos XH e Xϕ(H)˜ . Como ϕ é um difeomorfismo (sobre a imagem) simplético, os fluxos são conjugados, por 1.3, fazendo com que os per´ıodos das solu¸cões dos respectivos sistemas Hamiltonianos sejam preservados. Logo

˜ ϕ(H)∈ Ha(N, τ ). Assim, c0(M, ω) = sup{m(H) | H ∈ Ha(M, ω)} = sup{m( ˜ϕ(H))| H ∈ Ha(M, ω)} = sup{m( ˜ϕ(H))| ˜ϕ(H)∈ ˜ϕ(Ha(M, ω))} ≤ sup{m(F ) | F ∈ Ha(N, τ )} = c0(N, τ ),

pois estamos tomando o supremo em ˜ϕ(Ha(M, ω)), um subconjunto de Ha(N, τ ). Lema 3.3 (conformalidade)

c₀(M, αω) =|α|c0(M, ω) para todo 06= α ∈ R. Prova.

O que faremos é construir uma bije¸cão entreH(M, ω) e H(M, αω) e mostrar que também é uma bije¸cão entre Ha(M, ω) eHa(M, αω). Suponhamos que α6= 0 e definimos

ψ : H(M, ω) → H(M, αω).

A aplica¸c˜ao ψ est´a bem definida, pois, dada H ∈ H(M, ω),

|α|ω(XH,·) = −|α|dH = −dHα = (αω)(X_Hα,·). (3.2)

Além disso, ψ é uma bije¸cão e m(Hα) =|α|m(H). Por 3.2, obtemos α

|α|^X^Hα = XH, em M,

ou seja, X_Hα = X_H ou X_Hα =−XH. Em ambos os casos, os per´ıodos das solu¸cões dos respectivos sistemas Hamiltonianos são os mesmos. Logo, ψ é bije¸cão entre Ha(M, ω) e Ha(M, αω). Então

c0(M, αω) = sup{m(Hα)| Hα ∈ Ha(M, αω)} = sup{|α|m(H) | H ∈ Ha(M, ω)} = |α| sup{m(H) | H ∈ Ha(M, ω)}

= |α|c0(M, ω).

Mostraremos a n˜ao-trivialidade em duas partes. Lema 3.4 (n˜ao-trivialidade)

c0(B(1), ω0)≥ π. Prova.

Para mostrarmos que c0(B(1), ω0) ≥ π, vamos ver que c0(B(1), ω0) ≥ π − ε para todo 0 < ε < π. Isto ser´a feito construindo uma fun¸c˜ao H ∈ Ha(B(1), ω₀) tal que m(H) = π− ε.

Seja f : [0, 1]→ [0, ∞) uma fun¸cão suave satisfazendo    0≤ f′(t) < π f (t) = 0, para t próximo de 0 f (t) = π− ε, para t próximo de 1 p-e p f 1 p-e 0

Definimos com o aux´ılio desta fun¸cão, a Hamiltoniana H : B(1)→ R, H(x) = f(|x|2). Vemos que H ∈ H(B(1), ω0), bastando observar a constru¸cão de f e de H. Devemos mos-trar que H ∈ Ha(B(1), ω0), pois, desta forma, teremos sup{m(H) | H ∈ Ha(B(1), ω0)} = c0(B(1), ω0)≥ π − ε, já que m(H) = π − ε, pela sua constru¸cão.

Consideremos agora o sistema Hamiltoniano

−Jx^′ =∇H(x) = 2f^′(|x|²)x. Tomemos a fun¸c˜ao G(x) = |x|2

2 ^{. Como}

h∇G, J∇Hi = hx, 2Jf′(|x|2)xi = 2f′(|x|2)hx, Jxi = 0, temos que G é constante ao longo das solu¸cões x(t) do sistema, isto é,

2f^′(|x(t)|2) = a constante. Ent˜ao o sistema fica reduzido a

x′ = aJx.

Resolvendo esta equa¸cão, conclu´ımos que todas as solu¸cões são periódicas e dadas por x(t) = eaJtx(0) = (cos at)x(0) + ( sen at)Jx(0). Se a = 0, x é constante. Se a > 0, temos que o per´ıodo é T = ^2π

a ⁼

2π

2f′(|x|2) ^{> 1, pois, pela constru¸c˜ao de f , f}

′(x) < π para todo

x. Isto mostra que H ∈ Ha(B(1), ω₀).

Como a inclusão B(1) ֒→ Z(1) é um mergulho simplético, temos, pelos Lemas 3.2 e 3.4, que

π ≤ c0(B(1))≤ c0(Z(1)).

Logo, para provarmos a n˜ao-trivialidade da defini¸c˜ao de capacidade, resta mostrarmos que

c0(Z(1))≤ π, o que ser´a feito com o seguinte teorema.

Teorema 3.2 (não-trivialidade) Se H ∈ H(Z(1), ω0) é tal que m(H) > π, então o sistema Hamiltoniano x′ = J∇H(x) possui uma solu¸cão periódica não-constante em Z(1) com per´ıodo T = 1. Em outras palavras, H /∈ Ha(Z(1), ω0).

Antes de come¸carmos a demonstrar este teorema, vamos dar uma id´eia geral do que ser´a feito:

• estendemos H a todo o espa¸co R2n e, junto com ω₀, constru´ımos um funcional em Ω = C∞(S1, R2n);

• os pontos cr´ıticos deste funcional são solu¸cões do sistema Hamiltoniano da extensão de H;

• tal extensão é feita de modo que o funcional satisfa¸ca a condi¸cão de Palais-Smale que é uma das hipóteses do Lema Minimax;

• usaremos o Lema Minimax para mostrar a existência de pontos cr´ıticos do funcional; • para aplicarmos o Lema Minimax, é necessário estender o funcional ao espa¸co de

Hilbert H1/2.

Inicialmente, vamos ver que podemos substituir H por H ◦ ψ no enunciado do teo-rema, onde ψ é um simplectomorfismo de R2n com suporte compacto em Z(1). De fato, como m(H ◦ ψ) = m(H) > π, devemos mostrar que os sistemas de ambas as fun¸cões admitem solu¸cões como a procurada no teorema. Tendo ψ suporte compacto em Z(1), podemos garantir que H ◦ ψ ∈ H(Z(1), ω0). Como ψ é um simplectomorfismo, os fluxos de X_H e X_H◦ψ são conjugados, pela Proposi¸cão 1.3, obtendo o resultado desejado.

Agora, trocando H por H◦ψ no teorema, podemos supor, sem perda de generalidade, que H se anula numa vizinhan¸ca da origem. Para vermos isso, construiremos uma outra fun¸cão Hamiltoniana cujo fluxo correspondente ao campo Hamiltoniano para t = 1 será o simplectomorfismo com suporte compacto em Z(1) que levará uma vizinhan¸ca da origem na vizinhan¸ca de um ponto onde H se anula. Com efeito, pela hipótese do teorema, H ∈ H(Z(1), ω0) e portanto, por (H2), existe um aberto U de Z(1) tal que H(U)≡ 0. Tomemos um ponto z0 ∈ U e escolhemos uma fun¸cão suave ρ : R2n → R, com suporte compacto em Z2n(1), tal que ρ vale 1 numa vizinhan¸ca V da reta {tz0 | 0 ≤ t < 1} ligando a origem a z0. Definimos a Hamiltoniana

K : Z²ⁿ(1) → R.

z 7→ ρ(z)hz, −Jz0i

Para z ∈ V , XK(z) = z0 e o fluxo ψt correspondente a este campo vale ψt(0) = tz0 para z = 0. Portanto, para t = 1, ψ(0) = ψ1(0) = z0 e ψ é um simplectomorfismo com suporte compacto em Z(1) que leva a origem em z₀. Consequentemente, H◦ψ se anula na origem. Com base no que acabamos de ver, assumiremos, daqui em diante, que H se anula numa vizinhan¸ca aberta da origem. Queremos agora estender H, definida em Z(1), a todo o espa¸co R2n. Estenderemos H de modo que ela seja quadrática no infinito. Usare-mos isto na hora de verificarUsare-mos a condi¸cão de Palais-Smale e de definirUsare-mos a fam´ıliaF no Lema Minimax.

Seja Y = YN o elips´oide dado por

Y_N ={z ∈ R²ⁿ | q(z) < 1}, onde N ∈ Z+ e q ´e dado, nas coordenadas z = (x, y), por

q(z) = x²₁+ y²₁+ ¹ N2 n X i=2 (x²_i + y²_i) (3.3)

Z(1)

Figura 3.3: O conjunto K est´a contido em Y .

Para N suficientemente grande, K = suppXH ⊂ Y e, como H ∈ H(Z(1), ω0), temos que H ∈ H(Y, ω0).

Como m(H) > π, existe ε > 0 tal que m(H) > π + ε. Seja f : R → R uma fun¸c˜ao suave tal que

f (s) = m(H), para s≤ 1

f (s)≥ (π + ε)s, para s∈ R (3.4)

f (s) = (π + ε)s, para s grande

0 < f^′(s)≤ π + ε, para s > 1 (3.5)

Usaremos f para estender H a uma fun¸c˜ao ¯H : R2n → R da seguinte forma: ¯

H(z) :=

H(z), z ∈ Y

f (q(z)), z /∈ Y ^(3.6)

Temos que ¯H ∈ C∞(R2n) e ¯H ´e quadr´atica no infinito, pois ¯

H(z) = f (q(z)) = (π + ε)q(z) se |z| ≥ R para algum R grande.

Consideremos o conjunto dos loops suaves Ω = C∞(S1, R2n) e definimos o funcional Φ(x) :=

Z 1

2h−Jx^′, xi − ¯H(x(t))dt, x∈ Ω

Notemos que a primeira parte de Φ reflete a estrutura simpl´etica ω0de R2ne a segunda parte as caracter´ısticas da extens˜ao ¯H.

f m(H) p-e s 1 Figura 3.4: A fun¸c˜ao f m(H) p-e Y Figura 3.5: A fun¸c˜ao ¯H

Proposi¸cão 3.1 Se x(t) é uma solu¸cão 1-periódica de x′ = X_H¯(x) tal que Φ(x) > 0, então x(t) é não-constante e x(t) ⊂ Y . Logo, x(t) é uma solu¸cão não-constante de per´ıodo 1 do sistema original x′ = X_H(x) em Z(1).

Prova.

Provaremos por absurdo. Primeiro, suponha que x(t) = x∗ é uma solu¸cão constante. Então x′(t) = 0 e h−Jx′, xi = 0. Como ¯H ≥ 0, por constru¸cão, temos que Φ(x∗)≤ 0, o que contradiz a hipótese.

Suponhamos agora que existe t0 ∈ R tal que x(t0) /∈ Y . Como o campo Hamiltoniano X_H¯ se anula em ∂Y , pois ¯H ´e constante numa vizinhan¸ca deste conjunto, x(t) /∈ Y para todo t∈ R. Portanto o sistema Hamiltoniano fica

Como h∇q(x), J∇ ¯H(x)i = h∇q(x), Jf′(q(x))∇q(x)i = f′(q(x))h∇q(x), J∇q(x)i = 0, temos que q(x) é constante ao longo das solu¸cões x(t), isto é,

q(x(t)) = q(x(t0)) = τ constante6= 0. Observamos que fazendo z = (x, y)∈ Rn× Rn, temos que

∇q(z) = 2x1,^2x² N2, ...,^2xⁿ N2, 2y1,^2y² N2, ...,^2yⁿ N2 . Assimh∇q(z), zi = 2x2 1+^2x 2 2 N2 +...+^2x 2 n N2 +2y2 1+^2y 2 2 N2+...+^2y 2 n N2 = 2q(z). Ent˜ao o funcional Φ fica Φ(x) = Z 1 0 1 2h−Jx′, xi − ¯H(x)dt = Z 1 0 1 2h−J(Jf^′(q(x))∇q(x)), xi − f(q(x))dt = Z 1 0 1 2^f ′(q(x))h∇q(x), xi − f(q(x))dt = Z 1 0 f^′(q(x))q(x)− f(q(x))dt = Z 1 0 f^′(τ )τ − f(τ)dt = f′(τ )τ− f(τ) ≤ (π + ε)τ − (π + ε)τ = 0,

onde, na desigualdade, usamos 3.5 e 3.4. Isto nos leva a uma contradi¸c˜ao e `a prova da

proposi¸c˜ao.

A proposi¸cão nos dá a solu¸cão que procuramos no Teorema 3.2, se mostrarmos que existe uma solu¸cão x 1-periódica de x′ = X_H¯(x) tal que Φ(x) > 0.

Resumindo o que fizemos até aqui: para provarmos a não-trivialidade da fun¸cão c0, supomos que H se anula numa vizinhan¸ca da origem, já que as propriedades relevantes das solu¸cões não se alteram se compormos H com um simplectomorfismo de suporte compacto em Z(1). Estendemos H a ¯H, definida em todo o espa¸co R2n usando o fato de m(H) > π + ε para algum ε > 0 e de H ∈ H(Y ), definimos o funcional Φ e a Proposi¸cão 3.1 nos mostrou a solu¸cão que devemos procurar. Para facilitar a nota¸cão, daqui para a frente, substituiremos ¯H por H.

in-forma¸c˜oes podemos obter. Calculando a derivada em x∈ Ω, na dire¸c˜ao de y ∈ Ω, temos Φ′(x)(y) = ^d dξ^{Φ(x + ξy)} ξ=0 = ^d dξ Z 1 0 1

2h−J(x′+ ξy′), (x + ξy)i − H(x + ξy)dt ξ=0 = Z 1 0 1 2h−Jy^′, x + ξyi + ¹

2h−J(x^′ + ξy^′), yi − h∇H(x + ξy), yidt ξ=0 = Z 1 0 1 2h−Jy^′, xi + ¹ 2h−Jx^′, yi − h∇H(x), yidt = Z 1 0 h−Jx^′, yi − h∇H(x), yidt = Z 1 0 h−Jx′ − ∇H(x), yidt

Logo Φ′(x)(y) = 0 para todo y ∈ Ω se, e somente se, x satisfaz a equa¸c˜ao x^′ = J∇H(x(t))

e também x(0) = x(1). Portanto, os pontos cr´ıticos de Φ são as solu¸cões 1-periódicas de x′ = XH(x). Agora, ao invés de solu¸cões do sistema Hamiltoniano, estamos procurando por pontos cr´ıticos x do funcional Φ tal que Φ(x) > 0. Para isso, usaremos princ´ıpios variacionais. A fim de podermos encontrar o ponto cr´ıtico que queremos, será necessário estender o espa¸co de loops suaves Ω a um espa¸co de Hilbert adequado.

Dividiremos o funcional Φ em duas partes. Seja a(x, y) =

Z 1

2h−Jx^′, yidt, x, y ∈ Ω,

que carrega a forma simplética de R2n. Consideremos a expansão de x em sua série de Fourier

x(t) =^X

k∈Z

que converge, junto com todas as suas derivadas, na norma do supremo. Temos que Z 1 0 he^i2πJtxi, e^k2πJtykidt = Z 1 0

hxicos(2πit) + Jxisen (2πit), ykcos(2πkt) + Jyksen (2πkt)idt =

Z 1

(cos(2πit) cos(2πkt)hxi, yki + sen (2πit) sen (2πkt)hxi, Jyki + sen (2πit) cos(2πkt)hJxi, yki + sen (2πkt) cos(2πit)hxi, Jyki)dt =

Z 1

(cos(2πit) cos(2πkt) + sen (2πit) sen (2πkt))hxi, ykidt +

Z 1

( sen (2πit) cos(2πkt)− sen (2πkt) cos(2πit))hJxi, ykidt = Z 1 0 cos(2π(i− k)t)hxi, ykidt + Z 1 0

sen (2π(i− k)t)hJxi, ykidt Se i = k, Z 1 0 he^i2πJtxi, e^k2πJtykidt = Z 1 0 hxi, yiidt = hxi, yii Se i6= k, Z 1

0 he^i2πJtxi, e^k2πJtykidt = ^{sen (2π(i}^{− k))}

2π(i− k) ^hxⁱ^{, y}^k^{i −}

cos(2π(i− k)) − 1

2π(i− k) ^hJxⁱ^{, y}^k^{i = 0} Conclu´ımos ent˜ao que

Z 1

0 he^i2πJtxi, e^k2πJtykidt = δikhxi, yki. (3.7) Assim, tomando as expans˜oes de Fourier de x, y ∈ Ω e usando 3.7, obtemos

2a(x, y) = Z 1 0 h−Jx′, yidt = Z 1 0 2πih^X k ei2πJtx_i,^X k ek2πJty_kidt = ^X i,k 2πi Z 1 0 he^i2πJtxi, e^k2πJtykidt = ^X i 2πihxi, y_ii = 2π^X i>0 |i|hxi, yii − 2π^X i<0 |i|hxi, yii.

Logo a(x, y) pode ser definida como uma forma bilinear cont´ınua no espa¸co H1/2 = H1/2(S1), onde Hs é dado por 1.10. O espa¸co H1/2 é o espa¸co de Hilbert que estávamos procurando e o denotaremos por

E = H1/2

h·, ·i = h·, ·i1/2 e k · k = k · k1/2

Pelo Teorema da Proje¸c˜ao Ortogonal 1.2, existe uma decomposi¸c˜ao ortogonal de E, E = E⁻⊕ E⁰⊕ E⁺,

onde x possui apenas coeficientes de Fourier para i < 0, i = 0 e i > 0. As proje¸cões ortogonais correspondentes são denotadas por P−, P0 e P+. Então, todo x ∈ E tem uma única decomposi¸cão

x = x⁻+ x⁰+ x⁺.

Com isso, podemos reescrever a(x, y) para x, y ∈ E como

a(x, y) = ¹

2hx+, y+i − ¹₂hx−, y−i

= ¹

2h(P+− P−)x, yi

que ´e uma forma bilinear cont´ınua em E. Definimos a fun¸c˜ao a : E → R por a(x) = a(x, x) = ¹

2kx⁺k²− ¹₂kx⁻k² e vemos que ela é diferenciável, pela sua constru¸cão, com derivada

da(x)(y) =h(P⁺− P⁻)x, yi e gradiente

∇a(x) = (P+− P−)x = x⁺− x−∈ E, (3.8)

em todo ponto x ∈ E.

Consideremos agora a segunda parte de Φ, b(x) =

Z 1

H(x(t))dt, x∈ Ω que traduz as caracter´ısticas da Hamiltoniana H. Vemos que

|H(z)| ≤ M|z|2 para todo z ∈ R2n, (3.9)

pois H se anula numa vizinhan¸ca da origem, logo 3.9 vale para z próximo de 0. Tomando um compacto, temos também uma cota superior e, para z grande, a fun¸cão é quadrática. Então

Z 1

0 |H(x)|dt ≤ M

Z 1

se x∈ L2. Logo b(x) pode ser estendida a L2 e, em particular, a H1/2. Para vermos que b é diferenciável, consideremos b definido em L2 e chamemos esta aplica¸cão de ˆb : L2 → R. Assim,

b(x) = ˆb(j(x)), x∈ E,

onde j é a inclusão dada em 1.11. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos a identidade

H(z + ξ) = H(z) +h∇H(z), ξi + Z 1

0 h∇H(z + tξ) − ∇H(z), ξidt

para z, ξ ∈ R2n. Como|Hzz| ≤ M, temos, pela desigualdade do valor médio, que o último termo é≤ M|ξ|2. Além disso, ∇H(x) = ∇H(x(t)) ∈ L2, pois|∇H(z)| ≤ M|z|. Podemos então integrar a identidade, obtendo, para x, h∈ L2,

ˆb(x + h) = ˆb(x) +^Z ¹

0 h∇H(x), hidt + R(x, h), onde|R(x, h)| ≤ Mkhk2

L2. Isto mostra que ˆb ´e diferenci´avel com derivada em x dada por dˆb(x)(h) =

Z 1

0 h∇H(x), hidt = (∇H(x), h)L2

= (∇ˆb(x), h)L2.

e gradiente ∇ˆb(x) = ∇H(x), x ∈ L2. Então b : E → R é diferenciável e h∇b(x), yi = db(x)(y)

= dˆb(j(x))(j(y)) = (∇ˆb(j(x)), j(y))L2

= hj∗∇ˆb(j(x)), yi, onde, na ´ultima igualdade, usamos 1.12. Logo,

∇b(x) = j^∗∇ˆb(j(x)) = j^∗∇H(x). (3.10)

Lema 3.5 A aplica¸cão b : E → R é diferenciável. Seu gradiente ∇b : E → E é cont´ınuo e compacto. Além disso,

k∇b(x) − ∇b(y)k ≤ Mkx − yk e |b(x)| ≤ Mkxk2

L2 para todo x, y ∈ E. Prova.

Já vimos que b é diferenciável. Para vermos que ∇b é compacto, consideremos ∇H, que é globalmente Lipschitz, pois |∇H(z)| ≤ M|z|. Logo, leva conjuntos limitados em

conjuntos limitados. Como j∗é compacto, por 1.7, temos que∇b(x) = j∗∇H(x) também o é. Agora, k∇b(x) − ∇b(y)k1/2 = kj∗(∇H(x) − ∇H(y))k1/2 ≤ kj∗(∇H(x) − ∇H(y))k1 ≤ k∇H(x) − ∇H(y)kL2 ≤ Mkx − ykL2 ≤ Mkx − yk1/2,

onde, na igualdade, usamos a defini¸cão de∇b, na primeira e na última desigualdade, usa-mos o fato das normask · ks decrescerem, na segunda desigualdade, usamos a Proposi¸cão

1.7 e, na terceira desigualdade, |∇H(z)| ≤ M|z|.

Com isso, conclu´ımos que Φ ∈ C1(E) e ´e dado por

Φ(x) = a(x)− b(x) = kx+k2 2 − ^kx −k2 2 − Z 1 0 H(x(t))dt e gradiente ∇Φ(x) = x+− x−− j∗∇H(x).

Estamos procurando por pontos cr´ıticos de Φ em E, mas nada nos garante que estes pontos cr´ıticos sejam curvas regulares. Tal regularidade será mostrada no seguinte lema. Lema 3.6 (regularidade) Se x ∈ E é um ponto cr´ıtico de Φ, então x ∈ C∞(S1) e resolve a equa¸cão Hamiltoniana

x^′ = J∇H(x(t)), 0 ≤ t ≤ 1. (3.11)

Segue que x∈ Ω é uma solu¸cão 1-periódica. Prova.

Para mostrar que x∈ C∞(S1), provaremos primeiro que x∈ H1 e, pela Proposi¸cão 1.6, que x ∈ C(S1) e, por recorrência, x ∈ C∞(S1). Consideremos as representa¸cões de x e ∇H(x) ∈ L2 por suas expansões de Fourier em L2,

x =P ek2πJtxk

∇H(x) =P ek2πJta_k. Sendo x ponto cr´ıtico de Φ, temos para todo v ∈ E

0 = dΦ(x)(v) =h∇Φ(x), vi = h(P+− P−)x, vi − h∇b(x), vi. Mas

h∇b(x), vi = hj^∗∇H(x), vi = (∇H(x), v)L2 = Z 1

0 h∇H(x), vidt,

onde, na primeira igualdade, usamos a defini¸cão de ∇b, na segunda, 1.12 e, na terceira, a defini¸cão de (·, ·)L2. Então,

h(P+− P−)x, vi = Z 1

para todo v ∈ E. Para relacionar os coeficientes de Fourier de x e ∇H(x), usamos a fun¸c˜ao teste v(t) = ek2πJtv₀ e achamos

2πkxk = ak, k ∈ Z^∗ (3.12)

e a0 = 0. Com isso, mostramos que x ∈ H1 e, pela Proposi¸c˜ao 1.6, que x ∈ C(S1). De fato, como ∇H(x) ∈ L2,

|k|2|xk|2 =^X|k|2|ak|2

4π2|k|2 =^X|ak|2

4π2 ≤^X|ak|2 <∞.

Estando os coeficientes de x e∇H(x) relacionados, temos que ∇H(x(t)) ∈ C(S1). Ent˜ao a fun¸c˜ao ξ : R→ R definida por

ξ(t) = Z t

J∇H(x(t))dt ∈ C1(R).

Usando a rela¸c˜ao entre os coeficientes de Fourier novamente, obtemos ξ(t) = Z 1 0 J∇H(x)dt = Z 1 0 J^X k e^k2πJtakdt = Z 1 0 J^X k akcos(2πkt) + Jaksen (2πkt)dt = Z 1 0 X k Ja_kcos(2πkt)− aksen (2πkt)dt = ^X k Jak sen (2πkt) 2πk ^{+ a}^k cos(2πkt) 2πk t 0 = ^X k ek2πJtak 2πk t 0 = ^X k e^k2πJtxk t 0 = x(t)− x(0),

nos dando que x ∈ C1(S1) e é solu¸cão de x′ = J∇H(x(t)). Agora, como o lado direito da equa¸cão é C1, x∈ C2. Fazendo isso recorrentemente, obtemos que x ∈ C∞. Agora que já vimos a regularidade dos pontos cr´ıticos de Φ, queremos aqueles no qual o funcional é positivo.

Para demonstrarmos esta proposi¸cão, faremos uso do Lema Minimax (Lema 1.1). Come¸caremos agora a verificar que as hipóteses do lema são satisfeitas. A primeira delas é a condi¸cão de Palais-Smale, que será feita através do seguinte lema.

Lema 3.7 Toda seqüência xi ∈ E tal que ∇Φ(xi)→ 0 possui uma subseqüência conver-gente. Em particular, Φ satisfaz a condi¸cão de Palais-Smale.

Prova.

Suponhamos que xi é limitada. Sendo xi limitada e∇b compacto, pelo Lema 3.5, temos que∇b(xi) possui subseqüência convergente. Por hipótese,∇Φ(xi) = x⁺_i −x⁻i −∇b(xi)→ 0, então x⁺_i e x⁻_i possuem subseqüência convergente, pois a decomposi¸cão é ortogonal. Além disso, xi limitada implica x0

i ∈ R2n limitada, logo possui também subseqüência convergente. Conclu´ımos que x_i = x⁻_i + x0

i+ x⁺_i possui subseqüência convergente. Resta-nos mostrar que xi é limitada. Para tanto, usaremos o comportamento quadrático de H no infinito.

Suponha por absurdo que kxik → ∞ e constru´ımos a seq¨uˆencia yi = ^xⁱ

kxik^,

com kyik = 1. Vamos mostrar que yi possui uma subseqüência convergente e que seu limite resolve uma equa¸cão Hamiltoniana com per´ıodo T 6= 1, levando a uma contradi¸cão. Dividindo ∇Φ(xi) porkxik, obtemos

(P⁺− P−)yi− j∗ ∇H(xi) kxik

→ 0. (3.13)

Agora, como |∇H(z)| ≤ M|z| para todo z ∈ R2n, temos que ∇H(xi) kxik L2 ≤ M^kxⁱ^k^L² kxik ^{≤ M} kxik kxik ^{= M,} pois as normas dos espa¸cos Hs s˜ao crescentes. Logo ∇H(xi)

kxik ^{∈ L}

2 ´e limitada em L2.

Sendo j∗ compacto, j∗ ∇H(xi) kxik

possui subseqüência convergente. Então, por 3.13, y_i⁺ e y−

i possuem subseqüência convergente. Temos também que y0

i é limitada em R2n, pos-suindo assim subseqüência convergente. Deste modo, yi possui subseqüência convergente em E. Seja yi → y, em E e, consequentemente, yi → y, em L2.

Para vermos que y satisfaz uma equa¸c˜ao Hamiltoniana, provaremos que ∇H(xi) → ∇Q(y), onde Q(z) = (π + ε)q(z) e q(z) ´e dada por 3.3. Note que

∇H(xi) kxik ^{− ∇Q(y)} L2 ≤ ¹ kxik^k∇H(xⁱ⁾^{− ∇Q(x}ⁱ⁾^k^L² ⁺^k∇Q(yⁱ^{− y)k}^L²

Como ∇Q ´e um operador linear cont´ınuo, temos que k∇Q(yi − y)kL2 → 0. Pela

constru¸c˜ao de H, temos que |∇H(z) − ∇Q(z)| ≤ M para todo z ∈ R2n e portanto

k∇H(xi)− ∇Q(xi)kL2

kxik ^{→ 0, j´a que kx}ⁱ^{k → ∞. Logo, ∇H(x}ⁱ⁾ ^{→ ∇Q(y) em L}

2, e, usando o fato que ∇Φ(yi)→ 0, obtemos

y+− y−− j∗(∇Q(y)) = 0 e kyk = 1.

Fazendo como na demonstra¸c˜ao do Lema 3.6, temos que y ∈ C∞(S1, R2n) resolve a equa¸c˜ao

y′(t) = J∇Q(y(t)) y(0) = y(1).

Sendo y(t) = (x1(t), ..., xn(t), y1(t), ..., yn(t)), vemos que resolver a equa¸c˜ao acima ´e o mesmo que resolver os sistemas lineares

       x′ i = Kyi y′ i = Kxi xi(0) = xi(1) yi(0) = yi(1), onde K = 2(π +ε) para i = 1 e K = ^{2(π + ε)}

N2 para i = 2, ..., n. Resolvendo estes sistemas lineares, achamos solu¸cões periódicas com per´ıodo T 6= 1, que vem do fato de m(H) > π. Logo a única solu¸cão poss´ıvel é a trivial y(t) = 0, o que contradiz o fato de kyk = 1. Esta

contradi¸cão mostra que a seqüência xi é limitada.

Vamos ver agora que a segunda hipótese do Lema Minimax, referente ao fluxo da equa¸cão gradiente, é satisfeita e aproveitaremos para ver uma propriedade de compaci-dade deste fluxo que será usada na verifica¸cão da hipótese sobre o minimax.

Pelo Lema 3.5, ∇b é globalmente Lipschitz. Então ∇Φ também o é e a equa¸cão gradiente x′ =−∇Φ(x) define um fluxo global

ϕ : R× E → E, (t, x) 7→ ϕt(x) onde ϕt satisfaz    dϕt(x) dt ⁼ −∇Φ(ϕt(x)) ϕ⁰ = id

O fluxo possui a propriedade de compacidade que veremos no lema seguinte. Lema 3.8 O fluxo de x′ =−∇Φ(x) admite a representa¸c˜ao

ϕ^t(x) = e^tx⁻+ x⁰+ e^−tx⁺+ K(x, t),

onde K : R× E → E ´e cont´ınua e leva conjuntos limitados em conjuntos relativamente compactos.

Prova.

Usando o método de varia¸cão de parâmetros [24], K : R× E → E é definido por K(t, x) =

Z t

(e^t−sP⁻+ P⁰+ e^−t+sP⁺)∇b(ϕ^s(x))ds.

Vamos ver que com esta aplica¸c˜ao, o fluxo pode ser representado como no enunciado. Come¸camos chamando y(t) = e^tx⁻+ x⁰+ e^−tx⁺+ K(t, x). Derivando y, achamos y′(t) = etx−− e−tx++ (P−+ P0+ P+)∇b(ϕt(x)) = etx−− e−tx++∇b(ϕt(x)) = (P−− P+)y(t) +∇b(ϕt(x)),

com y(0) = x−+ x0+ x++ K(0, x) = 0. Fazendo ξ(t) = x(t)− ϕt(x), queremos mostrar que ξ ´e identicamente nula usando teoria de equa¸c˜oes diferenciais.

ξ′(t) = y′(t)− ^d dt^ϕ t(x) = (P−− P+)y(t) +∇b(ϕt(x)) +∇Φ(ϕt(x)) = (P−− P+)y(t) +∇b(ϕt(x)) + (P+− P−)(ϕt(x))− ∇b(ϕt(x)) = (P−− P+)(y(t)− ϕt(x)) = (P−− P+)ξ(t),

com ξ(0) = y(0)− ϕ0(x) = x− x = 0. Pela unicidade da solu¸cão, ξ(t) ≡ 0 é solu¸cão da equa¸cão e o fluxo pode ser representado por y.

Para a compacidade de K, usamos 3.10 e escrevemos K(t, s) = j^∗ Z t 0 (e^t−sP⁻+ P⁰+ e^−t+sP⁺)∇H(j(ϕ^s(x)))ds .

Como ∇H ´e globalmente Lipschitz cont´ınuo, leva conjuntos limitados em conjuntos limitados. Sendo j∗ compacto, K leva conjuntos limitados em conjuntos relativamente

compactos.

Para acharmos a fam´ılia de subconjuntos F e verificarmos a terceira e a quarta condi¸c˜oes do Lema Minimax definimos o conjunto Σ = Στ dado por

Στ ={x | x = x⁻+ x⁰+ se⁺, kx⁻+ x⁰k ≤ τ e 0 ≤ s ≤ τ}, onde τ > 0 e e+∈ E+ ´e o elemento

e+(t) = e2πJte₁ e e₁ = (1, 0, ..., 0)∈ R2n (3.14) com ke+k2 = 2π e ke+kL2 = 1. Podemos ver geometricamente o conjunto como um “cilindro”sólido de dimensão infinita cujo raio da base é igual a sua altura. O bordo de Σ é denotado por ∂Σ⊂ E−⊕ E0⊕ Re+.

Lema 3.9 Existe τ∗ > 0 tal que para τ ≥ τ∗

Φ|∂Στ ≤ 0. Prova.

Vamos dividir ∂Σ em trˆes partes como mostra a figura.

t E +E^- ⁰ t e+ (1) (2) (3) Figura 3.6: O conjunto Σ

Como a parte (1) (que representa a fronteira para s = 0) est´a contida em E−⊕ E0, kx+k2 = 0 e, pela constru¸c˜ao de H, H ≥ 0, logo

Φ|E−⊕E0 ≤ 0, pela defini¸c˜ao de Φ.

Faremos a demonstra¸cão em (2) e (3) juntas, isto é, quando s = τ e kx−+ x0k = τ respectivamente. Pela constru¸cão de H, existe γ > 0 tal que

H(z)≥ (π + ε)q(z) − γ para todo z ∈ R2n,

pois no infinito, H(z) = (π + ε)q(z) e num compacto, isto sempre ´e poss´ıvel. Ent˜ao

Φ(x) ≤ ^kx +k2 2 − ^kx −k2 2 − (π + ε) Z 1 0 q(x)dt + γ para todo x∈ E. Como x∈ Σ, podemos escrevˆe-lo x = x−+ x0+ se+, logo

Φ(x) ≤ ^kse +k2 2 − ^kx −k2 2 − (π + ε) Z 1 0 q(x⁻+ x⁰+ se⁺)dt + γ.

∈ R2n,

q(ek2πJtak) = q(akcos(2πt) + Jaksen (2πt))

= q((x1, ..., xn, y1, ..., yn) cos(2πt) + (y1, ..., yn,−x1, ...,−xn) sen (2πt)) = (x1cos(2πt) + y1sen (2πt))2+ (y1cos(2πt)− x1sen (2πt))2

+ ¹

N2 n

i=2

(xicos(2πt) + yisen (2πt))²+ (yicos(2πt)− xisen (2πt))² = x²₁+ y₁²+ ¹ N2 n X i=2 x²_i + y_i² = q(a_k)

Assim, decompondo x em x−+ x0+ x+ e lembrando que cos é uma fun¸cão par e sen é uma fun¸cão ´ımpar, vemos que

q(x) = q(x⁻+ x⁰+ x⁺) = q(x⁻) + q(x⁰) + q(x⁺). Passaremos agora a estudar suas integrais. A integral

q(x⁰) = q(x0),

pois q(x0) n˜ao depende de t, j´a que x0 ∈ R2n. Como q(x−)≥ 0, Z

q(x⁻)≥ 0. pois q(x−)≥ 0. Temos que

q(se⁺) = s² Z

q(e⁺) = s²ke⁺k²L2 = s², onde, na ´ultima igualdade, usamos 3.14. Ent˜ao

Φ(x) ≤ ^kse +k2 2 − ^kx −k2 2 − (π + ε) Z q(x−+ x0+ se+) + γ = ^s 2ke+k2 2 − ^kx −k2 2 − (π + ε) Z q(x⁻) + Z q(x⁰) + Z q(se⁺) + γ ≤ ^s 22π 2 − ^kx −k2 2 − (π + ε)q(x0)− (π + ε)s2+ γ = γ−^kx −k2 2 − (π + ε)q(x0)− εs2.

Repare que o único termo positivo é γ. Se s = τ for suficientemente grande, Φ(x)≤ 0. Se kx0k2for suficiente grande, q(x0) também será e Φ(x)≤ 0. Se kx−k2for suficiente grande, Φ(x)≤ 0. Como a decomposi¸cão é ortogonal, temos que kx−+ x0k = kx−k + kx0k, logo se kx−+ x0k = τ com τ suficientemente grande, Φ(x) ≤ 0. Acabamos de demonstrar o

lema. Veremos agora outro conjunto que nos auxiliará na verifica¸cão da quarta condi¸cão do Lema Minimax.

Seja Γ = Γα ⊂ E+ definido por

Γ ={x ∈ E+ | kxk = α}.

Podemos ver geometricamente o conjunto Γ como esferas de dimens˜ao infinita em E+. Lema 3.10 Existem α > 0 e β > 0 tais que

Φ|Γ ≥ β > 0. Prova.

Dividiremos a demonstra¸cão em três etapas. A primeira está focada no conjunto Γ, a segunda em propriedades anal´ıticas e a terceira nas propriedades de H.

Suponhamos que ^b(x)

kxk2 → 0 quando kxk → 0. Ent˜ao, como Γ ⊂ E+, o funcional fica Φ(x) = kxk2 2 − b(x) e Φ(x) kxk2 = ¹ 2 − ^b(x) kxk2 → ¹ 2

quando kxk → 0. Assim, dado ε = 1/4, existe δ > 0 tal que kxk < δ implica 1 4 ⁼ 1 2 −¹ 4 ^< Φ(x) kxk2

Tomando α suficientemente pequeno, temos que para kxk = α,

Φ(x)≥ ^α

4 ^{=: β} e a prova est´a conclu´ıda.

O que temos que provar ent˜ao ´e que b(x)

kxk2 → 0 quando kxk → 0.

Faremos isso por absurdo supondo que existe uma seq¨uˆencia x_i ∈ E e uma constante d > 0 tal que

b(x_i)

Definimos yi = ^xⁱ

kxik ^com ^kyⁱ^{k = 1. A segunda etapa consiste em mostrar que existe} uma subseqüência de yi e fun¸cões w, y ∈ L2 tais que

y_i → y em L2

yi(t) → y(t) |yi(t)| ≤ w(t)

Como yi é limitada em E e j : E → L2 é compacta, temos que yi possui uma subseqüência convergente em L2e, portanto, de Cauchy. Considerando uma subseqüência rápida de Cauchy, temos

kyi+1− yikL2 ≤ ¹ 2i, i≥ 1. Seja fn(t) = n X i=1 |yi+1(t)− yi(t)|.

Observamos que fn ∈ L2, pois yi ∈ L2 para todo i, fné monótona crescente, por defini¸cão, e kfnkL2 ≤ n X i=1 kyi+1− yikL2 ≤ n X i=1 1 2i ≤ 1.

Então, pelo Teorema da Convergência Monótona, existe f ∈ L2 tal que f_n → f em quase todo ponto. Tomando m > n, temos que

≤ f(t) − fn−1(t).

Logo yi é uma seqüência de Cauchy em R para quase todo ponto t. Seu limite é então definido por

y(t) := lim yi(t) em quase todo ponto t. Fazendo m→ ∞, temos que

|y(t) − yn(t)| ≤ f(t) − fn−1(t)≤ f(t) e, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada, yi → y em L2 e

|yi(t)| ≤ f(t) + |y(t)| =: w(t) ∈ L² Para vermos que ^b(x)

kxk2 → 0 quando kxk → 0, vamos usar novamente o Teorema da

Convergˆencia Dominada. Tomemos a defini¸c˜ao de b b(xi) kxik2 = Z 1 0 H(xi) kxik2dt.

Como H(z)≤ M|z|2,

H(xi(t))

kxik2 ≤ M^|xⁱ^(t)^|

kxik2 = M|yi(t)| ≤ Mw(t)²,

onde w(t)2 ∈ L1 é majorante. Agora, como H se anula numa vizinhan¸ca da origem junto com suas derivadas até segunda ordem e usando a fórmula de Taylor com resto de Lagrange,

H(|xi|)

kxik2 = O(|xi|) ^|xⁱ^|

kxik2 = O(|xi|)|yi(t)|² → 0 em quase todo ponto, pois xi → 0 e |yi|2 est´a majorada. Pelo Teorema da Convergˆencia Dominada,

b(xi) kxik2 = Z 1 0 H(xi) kxik2dt→ 0,

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