Seja xtum processo de difus˜ao cuja dinˆamica ´e:
dxt= f (xt, t)dt + g(xt, t)dz . (6.16)
Suponha que yt = F (xt, t) seja uma func¸˜ao do processo anterior, sendo F (xt, t) uma func¸˜ao de classe C2(ℜ × ℜ+).
Ent˜ao ytser´a um processo de difus˜ao cuja diferencial estoc´astica ´e dada por:
dyt = Ã ∂F ∂t + f (xt, t) ∂F ∂xt + 1 2g(xt, t) ∂2F ∂x2 t ! dt + Ã g(xt, t)∂F ∂xt ! dz . (6.17)
6.9.1 Aplicac¸˜ao do Lema de Ito ao estudo do Movimento Browniano
Geom´etrico (MBG)
Considere o seguinte MBG em tempo discreto:
xt+1− xt = µxt∆t + σxtɛt √
∆t = µxt∆t + σxt∆z (6.18)
e sua generalizac¸˜ao para tempo cont´ınuo:
dxt= µxtdt + σxtdz . (6.19)
Pode-se notar que o processo yt =ln xt segue um MBA em tempo cont´ınuo:
• Como yt= y(t, xt), ent˜ao se pode calcular a seguinte express˜ao: ∂y ∂t = 0, ∂y ∂xt = 1 xt, ∂2y ∂x2t = − 1 x2t ; (6.20)
• Aplicando o lema de Ito: dyt = " µxt1 xt + 1 2σ 2x2 t à −x12 t !# dt + 1 xtσxtdz = · µ− 1 2σ 2¸dt + σdz ; (6.21)
• Logo yt segue um MBA de parˆametros µ − 12σ 2 e σ.
Aplicando-se os resultados do MBA, obt´em-se: ∆yt = ∆(ln xt) ∼ N ·µ µ− 1 2σ 2¶∆t, σ2∆t¸ . (6.22)
Supondo ln x0 conhecido, temos que:
yt=ln xt∼ N µ ln x0+ µ µ− 1 2σ 2¶T, σ2T¶ . (6.23) Como yt= lnxt, ent˜ao xt= e1/t.
Dessa forma, pode-se afirmar que xtsegue uma distribuic¸˜ao lognormal. Como ytsegue uma distribuic¸˜ao normal, ent˜ao:
E(e1/t) = eE(yt)+12var (yt) . (6.24)
Logo: E(xt) = x0eµt , (6.25) var (xt) = x2 0e2µt(e σ2t−1 ) . (6.26)
6.9.2 Intervalos de confianc¸a do Movimento Browniano Geom´etrico
Pode-se afirmar que ln xT ∼ N(ln x0+ (µ − 12σ2)T, σT).Ent˜ao, o intervalo de confianc¸a de 95% ´e representado por:
µ ln x0+ µ µ−1 2σ 2¶T − 2√T , ln x0 + µ µ−1 2σ 2¶T + 2σ√T¶ .
Al´em disso, temos que:
ln x0+ µ µ− 1 2σ 2¶T − 2σ√T ≤ ln x ≤ ln x0+ µ µ− 1 2σ 2¶T + 2σ√T . Logo: x0e(µ− 1 2σ2)T −2σ √ T ≤ xT ≤ x0e(µ− 1 2σ2)T +2σ √ T . (6.27)
6.10 Conclus˜ao
Neste cap´ıtulo foram apresentados conceitos e deduc¸˜oes matem´aticas de processos es- toc´asticos que ser˜ao ´uteis nos cap´ıtulos posteriores. Entre as deduc¸˜oes apresentadas, vale destacar a que apresenta o movimento browniano geom ´etrico, onde o incremento na
vari´avel, dividido pelo seu valor anterior, pode ser descrito como um movimento browniano
aritm ´etico. Esta definic¸˜ao ser´a utilizada no Cap´ıtulo 7 para descrever o comportamento de
uma receita e, conseq¨uentemente, a evoluc¸˜ao do fluxo de caixa livre de um empreendimento ao longo do tempo, com abordagem em tempo cont´ınuo.
OPC¸ ˜OES DE ENTRADA E SA´IDA
7.1 Introduc¸˜ao: a busca de maximizac¸˜ao de lucros em lon-
go prazo
Conforme afirma Penrose (Penrose, 2006), os administradores de firmas desejam maximizar lucros a longo prazo oriundos de investimentos na pr´opria empresa. Parece haver um paradoxo entre crescer de forma bem sucedida reeinvestindo os lucros e reembolsar os seus propriet´arios em relac¸˜ao aos capitais que estes aplicaram e assumiram riscos pelos mesmos.
Na realidade, os acr´escimos de lucros a longo prazo s˜ao equivalentes `a sua taxa de crescimento neste longo prazo. Desta forma n˜ao h´a muita importˆancia em falar sobre cresci- mento como metas alternativas das atividades de investimento da firma.
Segundo Penrose (2006) a empresa constitui simultaneamente uma organizac¸˜ao admi- nistrativa e um conjunto de recursos produtivos. A empresa concatena os seus recursos ditos pr´oprios com os recursos de terceiros como bens e servic¸os organizando-os em um ente ou agregando uma energia ou, ainda, transformando-os para serem vendidos.
A estrutura administrativa da firma ´e uma criac¸˜ao de pessoas de forma racional em que as tarefas s˜ao divididas. J´a as atividades produtivas, tamb´em de acordo com Penrose (2006), s˜ao oportunidades buscadas pelos seus acionistas ou investidores.
Por outro lado, tamb´em temos que pressupor que as empresas n˜ao cresc¸am e que ma- logros sigam-se em seq¨uˆencias tal qual ondas fazendo com que umas sigam as outras em direc¸˜ao ao fim. E ainda assim, outras sobreviver˜ao por longos per´ıodos.
A competˆencia administrativa nem sempre caminha junto com a competˆencia empresa-
rial. Sabe-se que um efeito ou outro pode ser danoso para a firma levando `a sua morte. Por competˆencias administrativas entende-se que s˜ao as habilidades de seus principais gerenciadores de mobilizarem recursos tanto financeiros como de outra natureza como m˜ao de obra etc. O chamado tino comercial pode estar presente ou n˜ao, ele que ´e a vis˜ao de neg´ocios que os mesmos possuam. Da competˆencia empresarial podemos citar substan- cialmente a capacidade da firma de aproveitar a sua energia ao m´aximo. Por energia, aqui, definimos a maximizac¸˜ao de recursos ora escassos em todos os seus ciclos de compra, venda, produc¸˜ao etc.
O conjunto destes dois entes tornam a firma uma construtora de ativos que se aproveita- dos de forma maximizada poder˜ao levar a um crescimento de seus lucros e sua expans˜ao desejados pelos seus acionistas. Ent˜ao os fatores subjetivos impulsionam o crescimento da firma suplantando os fatos objetivos, embora n˜ao s´o o desejo esteja presente mas tamb´em a sua realidade objetiva.
No entorno deste crescimento surge o investimento que busca auferir os mesmos lu- cros derivados de seu desempenho. Os investidores interessados em financiar a com- petˆencia empresarial da firma pode impulsionar rapidamente este crescimento. A confianc¸a deste investidores est´a na crenc¸a de que as suas expectativas futuras ser˜ao saciadas pelos acr´escimos de seu capital aplicados ao neg´ocio. Mas residem a´ı dois efeitos que v˜ao estar acoplados, o risco e a incerteza.
Riscos e incertezas
Na definic¸˜ao de Penrose (2006), a incerteza est´a ligada `a confianc¸a do empres´ario em suas estimativas e expectativas, e os riscos se relacionam com o resultado de uma ac¸˜ao e as poss´ıveis perdas derivadas desta ac¸˜ao.
Os riscos incluem tanto a probabilidade de perdas como o significado daquilo que vier a ser perdido. A ac¸˜ao destes riscos ocorre pelas projec¸˜oes e estimativas futuras realizadas pelas trocas de ativos presentes por um ativo futuro.
Na literatura corrente referencia-se ao princ´ıpio do risco crescente, que ´e o ato de uma dada firma ao aumentar os seus investimentos incorrer em aumento dos seus riscos em uma dada probabilidade de perda. Por este princ´ıpio o capital fica restrito por riscos crescentes.
Com riscos crescentes a ac¸˜ao do empres´ario em sua competˆencia administrativa entra em cena tentando reduzir as incertezas que surgem para tentar aumentar o plano de ex- pans˜ao e a disponibilizac¸˜ao de capital da empresa minimizando desta forma tais riscos e incertezas. Observamos que as incertezas e os riscos nem sempre andam juntos, podendo ocorrer um ou outro ou ainda os dois juntos. Numa empresa pode haver elevado n´ıvel de incerteza com baixo risco, ou ainda um alto risco com uma incerteza m´ınima, os exemplos s˜ao in´umeros. A confianc¸a pode estar vinculada `a solidez e os riscos `as ac¸˜oes nos projetos. Surge ent˜ao a importˆancia do conhecimento das informac¸˜oes que podem trazer ou n˜ao um menor grau de incerteza. Uma empresa pode aceitar consider´aveis riscos e suas avers˜oes numa crenc¸a na avaliac¸˜ao da situac¸˜ao futura dos projetos.
Os informativos financeiros, em particular as demonstrac¸˜oes cont´abeis, pouco predizem sobre os riscos futuros j´a que n˜ao abordam sobre ac¸˜oes dos administradores e seus meios que dever˜ao procurar. Os fluxos de caixas baseados em estimativas ajudam nesta predic¸˜ao mas se pronunciam muito pouco sobre riscos dos projetos.
Os investidores tˆem que se valer de alguma informac¸˜ao mais significativa para retoma- rem o grau de confianc¸a desejado e ao fazerem isto podemos dizer que apostam neste futuro desejando retorno sobre os benef´ıcios que v˜ao trazer retorno ao seu capital. Surge da´ı a necessidade destes investidores modelarem o fluxo de caixa em tempo cont´ınuo para avaliarem as aplicac¸˜oes de seus investimentos ao longo do comportamento do neg´ocio. O presente trabalho versa sobre o estudo de opc¸˜ao de entrada e opc¸˜ao de sa´ıda dos investi- mentos nos neg´ocios.