Apresentac¸˜oes e s´ınteses

O in´ıcio das apresentac¸ ˜oes ´e sempre tumultuado. Apesar das discuss˜oes terem sido rea- lizadas e das conclus˜oes anotadas no relat´orio, os alunos n˜ao se exp˜oem. A timidez e o receio de falar ´e muito grande. Quase sempre a professora tinha que pedir para os alunos comec¸arem as apresentac¸ ˜oes. Eliziˆe tentava colocar alunos diferentes para fazer as apresentac¸ ˜oes, para que todos tivessem oportunidade de falar para a turma.

durante essas apresentac¸˜oes, a professora e os demais alunos fizeram intervenc¸˜oes. Ap´os todas as apresentac¸˜oes, a professora fez uma s´ıntese do que os grupos discutiram. Nesse momento, Eliziˆe aproveitava para colocar quest˜oes que os alunos discutiram no grupo, mas n˜ao foram tra- tadas na apresentac¸˜ao, bem como para chegar a uma generalizac¸˜ao das conclus˜oes apresentadas pelos grupos.

Como as atividades foram organizadas para introduzir noc¸ ˜oes de ´algebra, era sempre poss´ıvel generalizarmos e, at´e mesmo, chegarmos a uma express˜ao matem´atica que traduzisse as con- clus˜oes do grupo. Nas primeiras atividades, essa traduc¸˜ao era proposta pela professora:

Eliziˆe Ser´a que conseguimos escrever uma regra, uma f´ormula que possa des-

crever a seq¨uˆencia?

(Notas de campo em 25/10/2005).

A situac¸˜ao que segue exemplifica como as interac¸ ˜oes entre alunos e professora aconteciam durante as apresentac¸ ˜oes. Valmir tentava explicar o racioc´ınio do grupo na Atividade 3. Eles contaram os quadrados que apareciam dentro de cada rede. Como exemplo tomemos a rede de lado trˆes palitos.

Nela podemos destacar quatorze quadrados: nove quadrados com lado medindo um palito, quatro quadrados com lado medindo dois palitos e um quadrado com lado medindo trˆes palitos.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Figura 5.13: Nove quadrados de lado um palito (Aula filmada em 08/11/2005)

Figura 5.14: Quatro quadrados de lado dois palitos (Aula filmada em 08/11/2005)

Figura 5.15: Um quadrado de lado trˆes palitos (Aula filmada em 08/11/2005)

Realizando esse processo com as cinco primeiras figuras da seq¨uˆencia, Valmir constr´oi uma tabela: 1 4 9 16 25 1 4 9 16 1 4 9 1 4 1

Tabela 5.1: Quantidade de palitos nas redes. (Aula filmada em 08/11/2005)

Mas o aluno se perde um pouco e Eliziˆe toma a palavra:

Valmir Estou enrolando aqui na explicac¸˜ao.

Eliziˆe Vamos ajudar aqui ent˜ao. Nessa primeira linha aqui ele est´a represen-

tando a quantidade de quadradinhos unit´arios que cabem nas figuras. A primeira ´e um quadradinho s´o. Na segunda s˜ao quatro quadradinhos. A terceira s˜ao nove. O pr´oximo seriam quatro por quatro: dezesseis e assim por diante. Na segunda linha ele est´a representando a quan- tidade desse quadrado de lado dois. Nesse primeiro n˜ao tem nenhum quadrado de lado dois, por isso que est´a vazio aqui. No segundo vocˆe tem um quadrado apenas. No terceiro, olha o que ele observou, aqui tem um quadrado, aqui tem outro, outro aqui e aqui. [Como na Figura

5.14.] No pr´oximo [quadrado de lado quatro] ele fez a figura e contou

tamb´em e esses quadrados deram nove. E na seguinte foram dezesseis. A terceira linha j´a vai ser os quadrados de lado trˆes. Aqui [quadrado

de lado um] n˜ao cabe nenhum e aqui [quadrado de lado dois] n˜ao cabe

nenhum, ent˜ao est˜ao vazias as duas colunas. Nesse daqui [quadrado de

lado trˆes] cabe apenas um que ele mesmo. No seguinte ele contou que

cabem quatro e no pr´oximo cabem nove. E assim por diante.[. . . ] Mas ele n˜ao conseguiu chegar a uma regra. Ele sabe que o pr´oximo aqui vai ser trinta e seis. Agora conta o que vocˆes observaram da´ı pra frente.

Valmir Se deu trinta e seis do pequeninho, vai dar. . . vinte e cinco do. . . Eliziˆe E comec¸a a repetir, 16, 9, 4. . . E o pr´oximo aqui, quantos quadradinhos

Valmir No caso s˜ao seis. . . [Nesse momento toca o sinal de t´ermino da aula, mas o aluno continua.] . . . seis vezes seis s˜ao trinta e seis. Seria sete, sete vezes sete, quarenta e nove. [E completa mais duas colunas e linhas da tabela.] 1 4 9 16 25 36 49 1 4 9 16 25 36 1 4 9 16 25 1 4 9 16 1 4 9 1 4 1

Tabela 5.2: Quantidade de palitos nas redes.

Eliziˆe Na pr´oxima aula a gente vai retomar isso aqui e ver se a gente consegue

escrever uma regra.

Alunos Nossa, que legal!

Eliziˆe ´E! Eu mesma n˜ao havia pensado da possibilidade de se contar esse tanto de quadrados ali dentro n˜ao.

(Aula filmada em 08/11/2005).

Reac¸ ˜oes como a dos alunos dizendo: “Nossa, que legal!” nos confirmavam que eles esta- vam envolvidos com a discuss˜ao e, mais ainda, que estavam gostando das atividades. Isso nos impulsionava a continuar o trabalho com investigac¸˜oes.

Uma situac¸˜ao muito comum nas apresentac¸ ˜oes ou nas s´ınteses feitas pela professora ´e que ela sempre levantava quest˜oes, envolvendo os alunos na discuss˜ao:

. . . aumentou quantos quadrados aqui? Ent˜ao, como ficar´a o pr´oximo?

Todo mundo concorda? (Aula filmada em 09/11/2005).

Nas apresentac¸˜oes da Atividade 5, Eliziˆe j´a vai direcionando para que conseguissem chegar a uma express˜ao que ajudasse a calcular o n´umero de diagonais de um pol´ıgono convexo. Ap´os as apresentac¸ ˜oes dos grupos a professora toma a palavra e faz a s´ıntese de todas as conclus˜oes, construindo junto com os alunos a equac¸˜ao que relaciona o n´umero de lados de um pol´ıgono convexo (l) com o n´umero de diagonais desse pol´ıgono (d).

Eliziˆe De cada ponto aqui [v´ertice] partem 3 a menos, porque? Vocˆe n˜ao faz

diagonal com ele mesmo, n˜ao tem jeito. . .

Eliziˆe . . . e os dois que est˜ao de lado. Ent˜ao sempre vocˆe tem que eliminar

esses 3.

Aluna ´E mesmo!

Eliziˆe Se a gente fosse escrever a f´ormula para encontrar o n´umero de diago-

nais, o que vocˆes fizeram? Pega o n´umero de lados e diminui 3, porque?

[Eliziˆe vai falando e escrevendo a express˜ao no quadro.] Partindo desse

v´ertice, n˜ao faz diagonal com ele mesmo, nem com esses dois que est˜ao ao lado dele. Ent˜ao tirando esses 3 v˜ao sobrar 2 [pent´agono]. Para qualquer um vocˆe n˜ao faz com ele mesmo e com os 2 que est˜ao ao lado dele, por isso que sempre tira 3. Com isso vocˆes v˜ao descobrir o n´umero de diagonais que saem de um v´ertice, e a´ı quantos v´ertices a gente tem? Exatamente o mesmo tanto de lados. S´o que se eu contar em todos a gente conta 2 vezes, ent˜ao, ou eu multiplico pelo n´umero de lados e di- vido por 2 depois ou eu pego o n´umero de lados e divido por 2 primeiro. Que a´ı n˜ao vai fazer diferenc¸a, o resultado vai ser o mesmo. Isso aqui ´e o que vocˆes v˜ao achar ai nos livros, como sendo a f´ormula para calcular o n´umero de diagonais de qualquer pol´ıgono convexo, e ´e o que vocˆes acabaram de descobrir.

d=(l − 3) · l

2

[Em seguida Eliziˆe faz um exemplo, calculando o n´umero de diagonais de um pol´ıgono de 50 lados.]

Eliziˆe Seria poss´ıvel calcular o n´umero de diagonais desse pol´ıgono con-

tando?

Alunos N˜ao daria nem para desenhar.

Eliziˆe Ent˜ao. Para isso que essa f´ormula vai nos servir. (Aula filmada em 05/12/2005).

As apresentac¸˜oes transcorreram no mesmo clima agrad´avel das discuss˜oes. A interac¸˜ao entre a professora Eliziˆe e os alunos e entre os pr´oprios alunos era muito boa. A maioria das apresentac¸˜oes seguiam uma mesma l´ogica: a professora convidava os grupos para iniciarem a apresentac¸˜ao, os alunos apresentavam e a professora Eliziˆe ia fazendo algumas intervenc¸˜oes nas apresentac¸ ˜oes; ao final das apresentac¸ ˜oes dos grupos, a professora apresentava uma s´ıntese da discuss˜ao. Depois da aula ou nos intervalos aproveit´avamos para conversar, mesmo infor- malmente, sobre as atividades. Essas conversas acabaram por desencadear um processo de avaliac¸˜ao das atividades de investigac¸˜ao.