Pensamento Relacional
2.1.1 Arestas e Vértices
Na Seção 2.6, daremos uma definição matemática de um grafo, e iremos provar vários teoremas acerca dos grafos. Por ora, no entanto, pense apenas informalmente em um grafo como um diagrama de pontos, chamados vértices, conectados por retas ou curvas chamadas arestas. As arestas de um grafo podem ter setas em cima delas; nesse caso, o grafo é chamado de grafo orientado (ou
dirigido). Um grafo sem setas nas arestas é chamado de
grafo não orientado (ou não dirigido).
Quando desenhamos um grafo, não importa muito onde colocamos os vértices ou se desenhamos as arestas com curvas ou retas — o que importa é se os dois vértices dados estão conectados, ou não, por uma aresta (ou arestas).
Exem plo 2.1 0 rio Pregolia dividia a cidade prussiana de Königsberg (atual Kaliningrado, Rússia) em quatro seções, como mostra a Figura 2.2. Essas seções eram conectadas por sete pontes. Se desenhamos um vértice para cada massa de terra e uma aresta para cada ponte, podemos representar a cidade com o seguinte grafo:
F ig u ra 2.1 Uma placa de circuito de computador contém um intricado sistema de relações matemáticas. Conceitos como conectividade, interdependência e modularidade podem ser expressos na linguagem da matemática.
A
Note que existem algumas arestas duplas; essas arestas refletem a presença de duas pontes conectando o mesmo par de massas de terra.
As pontes de Königsberg inspiraram o grande mate mático do século dezoito Leonhard Euler a pensar sobre os tipos de relacionamentos expressos pelos grafos. Em março de 1736, Euler escreveu o seguinte para um colega:
Foi-me proposto um problema sobre uma ilha na cidade de Königsberg, rodeada por um rio atraves sado por sete pontes, e fui indagado se é possível alguém percorrer um caminho de modo que cada ponte seja atravessada apenas uma vez. Fui infor mado de que, até agora, ninguém demonstrou se é possível ou impossível fazer isso. Essa pergunta é tão banal, mas me pareceu digna de atenção, já que nem geometria, nem álgebra, nem mesmo a arte de contar foram suficientes para resolvê-la. [10]
Embora Euler não tenha usado notação e termino logia modernas, seu artigo sobre as pontes de Königsberg é amplamente considerado o começo da teoria moderna de grafos. [16]
2.1.2 Terminologia
A fim de trabalhar com grafos, definir alguns termos irá nos ajudar. O grau de um vértice é o número de vezes que é tocado por alguma aresta. Isso é diferente do número de arestas que o tocam, porque uma aresta pode formar um laço, como na Figura 2.3. No grafo H, o vértice a: tem grau 5. Em um grafo orientado, podemos falar do grau
de entrada (o número de arestas vindo para o vértice)
e do grau de saída (o número de arestas que saem). Na Figura 2.3, o vértice a do grafo G tem o grau de entrada 1 e o grau de saída 2.
Um caminho num grafo é uma sequência
vo>el t vl7e2,V2> ■ ■ ■ ,vn^ i,e n,vn
de vértices v{ e arestas eó tal que a aresta ef conecta os vértices ü,-_l e vt. Aqui n 5* 1. Um circuito é um caminho que termina onde começa, isto é, com v0 = vn. Um grafo não orientado é conexo se todo par de vértices pode ser conectado por um caminho. Um grafo orientado é conexo se o grafo subjacente não orientado é conexo.
Na Figura 2.3, o grafo H é conexo, e portanto o grafo
G também é. Existe um circuito no grafo H que passa
em volta de um grande quadrilátero: começa no vértice
v, segue as arestas, no sentido horário, pelos vértices w. xe z, e retorna para o vértice u N o entanto, a sequência
correspondente não é um circuito no grafo G porque a aresta de a para e vai na direção errada.
Por que precisamos de todos esses termos? Um dos motivos é que a terminologia facilita fazer descrições
precisas dos relacionamentos que os grafos definem.
Vamos dar uma outra olhada nas pontes de Königsberg. No seu artigo de 1736, Euler fez as seguintes observações (citado em [16]).
1. O número de pontes escrito ao lado das letras A,
B, C etc. soma o dobro do número total de pontes.
O motivo para isso é que, no cálculo em que toda ponte que conduz para uma área dada é contada, cada ponte é contada duas vezes, uma vez para cada uma das duas áreas que ela liga.
2. Se existem mais de duas áreas com um número ímpar de pontes, então o passeio procurado é impossível.
3. Se, entretanto, o número de pontes é ímpar para exatamente duas áreas, então o passeio é possível se ele começa em qualquer uma dessas duas áreas. 4. Se, por fim, não existirem áreas com um número
ímpar de pontes, então o passeio requerido pode ser feito começando de qualquer área.
Podemos usar a terminologia moderna para reafirmar essas observações. Vamos definir um caminho euleriano (respectivamente circuito) como um caminho (respec tivamente circuito) que usa exatamente uma vez cada aresta do grafo.
1. Em qualquer grafo, a soma dos graus dos vértices é igual ao dobro do número de arestas.
2. Se um grafo tem mais de dois vértices de grau ímpar, ele não tem um caminho euleriano.
3. Se um grafo conexo tem exatamente dois vértices v
e w de grau ímpar, então existe um caminho eule
riano de v para w.
4. Se todos os vértices de um grafo conexo têm grau par, então o grafo tem um circuito euleriano. Os vértices A, B, C e D do grafo do Exemplo 2.1 têm grau 3, 5, 3 e 3, respectivamente. Portanto (se confiamos em Euler), esse grafo não tem um caminho euleriano. Note que ainda não demos demonstrações rigorosas para nenhuma das observações de Euler, mas conseguimos declará-las de forma um pouco mais clara e concisa.