Teoria de Ramsey $

O Exemplo 4.34 mostra que não importa como as cores das arestas de G estão misturadas, sempre haverá um triângulo monocromático. Este exemplo ilustra um fenô­ meno geral: não importa o quão desordenada esteja alguma coisa, sempre haverá alguma pequena parte dela com algum tipo de ordem. O teorema a seguir (que não iremos demonstrar) afirma isso matematicamente. Teorema 4.9 (Ramsey) Para quaisquer números inteiros

positivos r, k e l, existe um número inteiro positivo n tal que, se X é um conjunto com n elementos e cada subconjunto de X com k elementos é colorido com uma dentre r cores, então existe um subconjunto U Ç X com l

F ig u ra 4.9 O grafo completo em seis vértices.

elementos tal que todos seus subconjuntos de k elementos são da mesma cor.

Dados r, k e l, o número de Ramsey R (r, k, l) é o menor n que satisfaz a conclusão do teorema. No Exemplo 4.34, as arestas no grafo representam todos os subconjuntos com dois elementos do conjunto X dos seis vértices. Portanto temos k = 2 e n = 6. Uma vez que existem duas cores, r = 2. O triângulo monocromático corresponde a um subconjunto U com três elementos, portanto l = 3. O exemplo mostra que, para um conjunto com seis elementos, sempre haverá um subconjunto de três elementos de X cujos subconjuntos de dois elementos são todos da mesma cor. Em outras palavras, o exemplo estabelece que R(2, 2, 3) ^ 6. Nos exercícios, você irá mostrar que vale a igualdade mostrando que n — 5 vértices não são suficientes para satisfazer a conclusão do teorema.

E x e rc íc io s 4 .3

1. Demonstre o Teorema 4.4. 2. Demonstre o Teorema 4.5.

3. Seja G o grafo completo em n vértices. Em outras palavras, G é o grafo simples com n vértices no qual todo vértice compartilha uma aresta com todos os outros vértices.

(a) Explique por que existe uma bijeção entre o conjunto de todos os pares (não ordenados) de vértices em G eo conjunto de todas as arestas de G.

(b) Use a parte (a) para contar o número de arestas de G (em termos de n).

4. A grade 8 X 24 a seguir é dividida em quadrados 1 unidade por 1 unidade.

A

O menor caminho possível de A para B nessa grade tem comprimento de 32 unidades. A figura mostra um caminho como esse. Seja X o conjunto de todos os caminhos de A para B com 32 unidades de comprimento.

(a) Existe uma bijeção entre X e o conjunto Y de todas as cadeias nos símbolos 0 e 1 com 8 uns e 24 zeros. Descreva uma tal função, e explique por que ela é uma bijeção.

(b) Calcule |A|, o número de caminhos de 32 unidades de A para B.

5. Por que não existe algo como uma “função um-para- n”, para n > 1?

6. A figura a seguir consiste em 7 linhas horizontais e 13 linhas verticais. O objetivo deste problema é contar o número de retângulos (quadrados são um tipo de retângulo, mas segmentos de reta não).

Seja V o conjunto de todos os conjuntos de duas linhas verticais, e seja H o conjunto de todos os conjuntos de duas linhas horizontais. Seja R o conjunto de todos os retângulos na figura. Defina uma função / : R — » V X H por

A _________ c

{{AB,CD},{AC,BD}).

B D

(a) Explique por que / é bem definida. (b) Explique por que f é injetiva. (c) Explique por que f é sobrejetiva.

(d) Calcule \R\, o número de retângulos na figu­ ra.

(e) A figura anterior contém 7 • 13 = 91 pontos de interseção. Seja P o conjunto de todos os conjuntos {A, Y} de dois pontos de interseção. Suponha que tentamos contar R definindo uma função g : R — > P que associa a um retân­ gulo o conjunto contendo seus vértices inferior esquerdo e superior direito:

A _________ C

J U {B, C}.

B D

Explique por que g não é uma bijeção.

7. Seja S um conjunto de n números. Seja X o conjunto de todos os subconjuntos de S de tamanho k, e seja

Y o conjunto de todas as fc-uplas ordenadas (s1} s2,

..., sk) tal que sx < s2 < ... < sk. Ou seja,

X = {{sl5 s2, •••> I si ^ S e todos os sts são distintos}, e

Y = {(sl5 s2, ..., sk) | st G S e sj < % < ... < sk}.

(a) Defina uma bijeção / : X — > Y. Explique por que / é injetiva e sobrejetiva.

(b) Determine |A| e |Y|.

8. Seja X um conjunto com n elementos, e seja V{X)

o conjunto das suas partes.

(a) Descreva uma bijeção

f - . V { X ) ^ S

em que S é o conjunto de todas as cadeias de ?vdígitos binários.

(b) Use essa bijeção para calcular |'P(A)|. *(c) Seja Pk Ç P(X) o conjunto de todos os subcon­

juntos de X com k elementos, para 0 < k ^

n. A restrição

f \ Pk : Ph — > S

é injetiva. Qual é a imagem de / 1^?

*(d) Quantos elementos estão na imagem de / 1 ? 9. Quantas maneiras existem de rearranjarmos as

letras em EXPLOSÃO?

10. Quantas maneiras existem de rearranjarmos as letras em BANANA?

11. Quantas maneiras existem de rearranjarmos as letras em BALACOBACO?

12. Use a bijeção definida no Exemplo 2.30, Capítulo 2, para contar o número de pontos de interseção na Figura 4.10, sem contar os pontos sobre o círculo.

F ig u ra 4.10 Quantos pontos de interseção existem na figura? Veja o Exercício 12.

13. Considere um diagrama com n retas, em que cada uma cruza com todas as outras, mas não existem três retas passando por um mesmo ponto. Aqui está um exemplo com n — 5.

Seja Y o conjunto de todos os pontos de interseção, e seja X o conjunto de todos os conjuntos de duas retas. Ou seja,

X = {{f, li} | k e l2 são retas distintas no

diagrama}.

Defina uma função / : X — » Y colocando f({lx, 4}) igual ao ponto em que lx e 4 interceptam.

(a) Explique por que f é injetiva. (b) Explique por que f é sobrejetiva.

(c) Quantos pontos de interseção existem? Dê sua resposta em termos de n.

14. Suponha que você tem oito quadrados de vidro colorido, todos em cores diferentes, e que você gostaria de fazer um vitral retangular no formato de uma grade 2 X 4 .

De quantas maneiras diferentes você pode fazer isso, levando em conta a simetria? (Note que qual­ quer padrão pode ser rodado 180°, virado verti­ calmente ou virado horizontalmente. Você deve contar todos esses possíveis resultados como o mesmo vitral.)

15. Suponha que você tem quatro quadrados de vidro colorido, todos em cores diferentes, e você deseja fazer um vitral quadrado 2 X 2 . Quantos vitrais diferentes podem ser feitos? (Cuidado: um quadrado tem mais simetrias do que um retângulo.)

16. Um certo jogo de tabuleiro usa peças feitas de um material plástico colorido transparente. Cada peça se parece com

em que cada uma das quatro regiões diferentes é de uma cor diferente: vermelho, verde, amarelo,

azul, laranja ou roxo. Quantas peças diferentes desse tipo podem ser encontradas no jogo? 17. Um jogo de tabuleiro diferente também usa peças

feitas de um material plástico colorido transpa­ rente. Nesse jogo, cada peça se parece com

em que cada uma das cinco regiões diferentes é de uma cor diferente: vermelho, verde, amarelo, azul, laranja ou roxo. Quantas peças diferentes desse tipo podem ser encontradas no jogo?

18. Na véspera de uma eleição, uma estação de rádio é forçada a tocar 20 anúncios de campanhas em sequên­ cia. Desses 20 anúncios, 15 são para o candidato do Partido Conservador, e 5 são para o candidato do Par­ tido Trabalhista. Prove que a estação deve tocar, em algum momento, pelo menos três anúncios dos Conservadores em sequência. Use o princípio gene­ ralizado do compartimento no pombal para justi­ ficar a sua resposta.

19. Explique por que, em uma classe de 36 alunos, sempre haverá um grupo de pelo menos 6 que nasceram no mesmo dia da semana.

20. Seja G um grafo simples com dois ou mais vértices. Demonstre que existe um par de vértices em G com o mesmo grau.

21. Seja A A B C um triângulo equilátero cujos lados têm dois centímetros de comprimento. Prove que é impossível posicionar cinco pontos dentro do triân­ gulo sem que dois deles estejam a um centímetro um do outro.

22. Uma pequena faculdade oferece 250 classes dife­ rentes. Duas classes não podem se encontrar ao mesmo tempo na mesma sala, é claro. Existem doze horários diferentes em que as classes podem ocorrer. Qual o número mínimo de salas de aula necessárias para acomodar todas as classes? *23. Use o princípio do compartimento no pombal para

explicar por que todo número racional tem uma expansão decimal que ou termina ou se repete. No caso em que um número racional m /n tem uma expansão decimal que se repete, encontre um limite superior (em termos do número inteiro n) no número de dígitos na parte que se repete. (Dica: No problema de divisão

considere os possíveis restos em cada passo do algo­ ritmo de divisão.)

24. Suponha que 100 bilhetes de loteria são distribuídos em sequência aos 100 primeiros convidados que chegam a uma festa. Desses 100 bilhetes, somente 12 são bilhetes ganhadores. O princípio generali­ zado do compartimento no pombal garante que deve haver pelo menos l bilhetes perdedores em sequência. Encontre l.

25. Mostre que R(2, 2, 3) > 5 colorindo as arestas do grafo completo em cinco vértices com vermelho e verde de tal forma que nenhum circuito triangular tenha arestas de uma única cor.

*26. Mostre que, se as arestas do grafo completo em oito vértices são coloridas de vermelho e verde, então existe um circuito ou de três ou de quatro arestas da mesma cor.