Relações de Equivalência

Definição 2.7 Uma relação R em um conjunto é uma

relação de equivalência se ela satisfaz todas as três

propriedades a seguir:

1. Reflexividade. Para todo a E S, a R a.

2. Simetria. Para todos a, b E. S, a R b <=> b R a. 3. Transitividade. Para todos a, b, c E S, se a R b e

b R c, então a R c.

Em outras palavras, uma relação de equivalência é uma relação reflexiva, simétrica e transitiva.

E xem plo 2.41 A relação em Z definida por = é uma relação de equivalência, porque a igualdade é reflexiva, simétrica e transitiva.

A ideia de uma relação de equivalência pode parecer abstrata à primeira vista, mas você já está bastante familiarizado com um exemplo importante: frações. No ensino fundamental, você aprendeu que frações equiva­ lentes representam o mesmo número; por exemplo, 3/6 é o mesmo que 1/ 2. O próximo exemplo mostra como provar que essa noção é uma relação de equivalência no conjunto S de todos os símbolos da forma x/y, em que

x e y são números inteiros. Tenha cuidado: o conjunto S é um conjunto de símbolos, e não um conjunto de

números. Dois símbolos diferentes em S podem repre­ sentar o mesmo número; esse é o ponto da relação de equivalência.

E xem plo 2.42 Seja S o conjunto de todos os símbolos da forma x/y, em que x e y são números inteiros com

y 0. Em outras palavras, S = {x/y \ x, y E Z, y ¥■ 0}. Defina uma relação R em S da seguinte forma. Para todos os elementos x/y e z/w em S, x/y R z/w se xw =

yz. A demonstração de que R é uma relação de equiva­

lência tem três partes. D em onstração

1. Reflexividade. Suponha que x /y E S. Uma vez que

xy = yx, temos x/y R x/y.

2. Simetria. Suponha que x/y, z/w E S e que x/y R

z/w. Pela definição de R, isso significa que xw = yz,

o que é a mesma coisa que dizer zy = wx. Portanto,

3. Transitividade. Sejam x/y, z/w, pfq E S com x/y R

z/w e z/w R p/q. Então xw = yze zq = wp. Temos (xq)w = (xw)q = (yz)q = y(zq) = y(wp) = (yp)w.

Como w 0, a igualdade (xq)w = (yp) w implica que

xq = yp. Isto mostra que x/y R p/q, como exigido.

□ O próximo exemplo é um pouco menos familiar, mas note que a demonstração segue o mesmo modelo. Exem plo 2.43 Dada qualquer função / : X — > Y, deter­ mine uma relação em X da seguinte forma. Para todo a,

b E X, a R b se f(a) = f(b). A demonstração de que R

é uma relação de equivalência tem três partes: D em onstração

1. Reflexividade. Suponha que a E X. Uma vez que f é uma função bem definida, f(a) = f(a), então a R a. 2. Simetria. Suponha que a, b E X e que a R b. Pela

definição de R, isso significa que f(a) = f(b), o que é o mesmo que dizer f(b) = f(a). Portanto, b R a, como exigido.

3. Transitividade. Sejam a, í), c £ I com a R b e b R c. Então f(a) = f{b) e f(b) — f(c), de maneira que, por substituição, f(a) = J[c). Isso mostra que a R c.

□ E xem plo 2.44 Dizemos que dois computadores estão relacionados em uma rede se é possível estabelecer uma conexão de rede entre os dois (por exemplo, se é possível enviar um p in g 3 de um para o outro). A fim de fazer disso uma relação de equivalência, todo computador deve ser capaz de enviar um p in g para si mesmo (reflexivi­ dade), todo computador deve ser capaz de devolver um p in g (simetria), e todo computador deve ser capaz de passar adiante um p in g para qualquer outro computador que ele próprio consegue “pingar” (transitividade). E xem plo 2.45 Uma partição de um conjunto S é um conjunto P de subconjuntos não vazios de 5 com as seguintes propriedades.

1. Para todo a E S, existe algum conjunto X E P tal que a E X. Os elementos de P são chamados de

blocos da partição.

2. Se X, Y E P são blocos distintos, então X Pi Y = 0. Informalmente, uma partição é um jeito de dividir um conjunto em pedaços que não se sobrepõem; em um diagrama de Venn, uma partição se parece com um

3 Ping é um comando usado para testar se um computador específico está conectado a uma rede.

F ig u ra 2.17 O conjunto P — { X u X2, X3, X 4, X 5, Ae} é uma partição do conjunto S.

arranjo de paredes, em que os blocos das partições são quartos. Veja a Figura 2.17.

Suponha que P é uma partição de S. Determine uma relação em S definindo a R b se a e b pertencem ao mesmo bloco. Podemos provar que R é uma relação de equivalência.

D em onstração

1. Reflexividade. Suponha que a E S. Então a deve estar em algum bloco X, e a está evidentemente no mesmo bloco que ele mesmo. Então a R a.

2. Simetria. Suponha que a, bE Se que a R b. Portanto,

a e b estão no mesmo bloco, o que significa dizer que b e a estão no mesmo bloco. Logo, b R a.

3. Transitividade. Sejam a, b, c E S com a R b e b R c. Então, a e b estão no mesmo bloco, e b e c estão no mesmo bloco, logo a e c estão no mesmo bloco. Portanto, a R c, como exigido.

□ O Exemplo 2.45 mostra que toda partição determina uma relação de equivalência. Também é verdade que toda relação de equivalência determina uma partição. Partições e relações de equivalência são essencialmente a mesma coisa.

Teorem a 2.2 Seja R uma relação de equivalência em um

conjunto S. Para todo elemento x E S, defina Rx = {a E X\ x R a}, o conjunto de todos os elementos relacionados a x. Seja P a coleção de subconjuntos distintos de S formados desta maneira, ou seja, P = {Rx \ x E S}.

Então P é uma partição de S.

Uma prova formal desse teorema nos dá um pou­ quinho de trabalho, e iremos omitir a demonstração em nome da brevidade. Informalmente, uma demonstração como essa deve mostrar que as duas propriedades de uma partição são satisfeitas. A primeira propriedade é fácil: para todo a E S, existe um bloco contendo a, a saber, Ra. A segunda propriedade é a parte mais difícil.

tria garantem que, se dois blocos se sobrepõem, então eles devem se sobrepor por completo.

Os conjuntos Rx são chamados de classes de equi­

valência da relação de equivalência. Um conjunto S

particionado em classes de equivalência tem a seguinte aparência:

Nessa figura, os elementos a, b, c, d, e £ S são chamados de representantes da classe de equivalência. Como o nome sugere, geralmente existe uma escolha de repre­ sentantes para uma dada classe de equivalência. Pelo Teorema 2.2, classes de equivalência diferentes devem ter representantes não equivalentes.

E xem plo 2.46 Seja W o conjunto de todas as palavras na frase “Há mais coisas entre o céu e a terra, Horário, do que pode sonhar a tua vã filosofia”. Defina uma relação

R em W da seguinte forma: dadas palavras wu w2 £ W, w1 R w2 indica que a primeira letra de w1 é igual à

primeira letra de w2, não levando em conta as letras maiúsculas e minúsculas. (Exercício: mostre que isso é uma relação de equivalência.) As classes de equivalência são os conjuntos de todas as palavras começando com a mesma letra. Por exemplo, i?coisas = {coisas, céu}.