Pensamento Relacional
2.4 Relações e Equivalências
2.4.5 Aritmética Modular
Considere a relação “= mod n” do Exemplo 2.37. Para verificar que essa é uma relação de equivalência, preci samos provar que é reflexiva, simétrica e transitiva. Mostraremos a transitividade, e deixaremos a demons tração das outras duas propriedades como exercícios. Lem a 2.1 A relação “= mod n” em Z é transitiva. D em onstração Sejam a, 6, c £ Z, e suponha que a =
b mod n e b = c mod n. Isso significa que a = b + kn
e b = c + ln para alguns inteiros k e l. Substituindo a segunda equação na primeira, descobrimos que
a — (c + ln) + kn = c + (/ 4- k)n
e assim a = c mod n, como exigido para a transitivi
dade. □
O conjunto de classes de equivalência formado por essa relação de equivalência é chamado de inteiros
módulo n, eé denotado por Z/n. Usamos [&] para denotar
a classe de equivalência de [&]. Por exemplo, os elementos de Z/3 são
[0] = {... , —9, —6, —3 ,0 ,3 ,6 ,9 ,... } [1] = { ... , - 8 , -5 , -2 ,1 ,4 , 7 ,1 0 ,... } [2] = {... , - 7 , - 4 , - 1 , 2 , 5 ,8 ,1 1 ,...} .
O próximo resultado é a base da aritmética modu lar.
P rop o sição 2.1 Sejam [a] e [b] classes de equivalência em Z/n. Suponha que x £ [a] e y EL [6]. Então x + y £
[a + b] e xy & [ab].
D em o n stração Sejam [a], [6] E Z/n, e seja x £ [a] e
y EL [6]. Pela definição da relação = mod n, temos x = a + k n e y = b + l n para certos inteiros k e l. Logo,
x 4- y — (a 4- kn) + (6 + ln) — (a + b) + (k + l)n
e
xy = (a + kn)(b -I- ln) = ab 4- aln + bkn + kln2 = ab +
+ (al + bk + kln)n,
assim x 4 y = a 4 b mod n e xy = ab mod n, como exi
gido. □
O que é tão importante a respeito dessa proposição? A proposição mostra que, se somamos ou multiplicamos
representantes de classe de equivalência (independente
mente de quais escolhemos), obtemos um representante da classe de equivalência “correta”. Por exemplo, em Z/3, — 6 G [0] e 11 G [2]. Somando, —6 + 11= 5 está em [2], o valor natural para a “soma”de [0] e [2],
Em outras palavras, as operações de adição e multi plicação em classes de equivalência são bem definidas:
[a] + [6] = [a + 6] [o] • [6] = [ab].
Isso significa que podemos adicionar e multiplicar elementos em Z /n adicionando e multiplicando os números que usamos para representar a classe de equi valência. Essas são as operações de aritmética modular. Por exemplo, na aritmética modular de Z/12,
[6] + [8] = [2] porque 14 = 2 mod 12.
Geralmente representamos uma classe de equiva lência em Z /n pelo seu menor representante não nega tivo; assim, as operações de aritmética modular são,
+ 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 •”) 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 4 3 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3 4 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 2 5 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1
Figura 2.18 Tabelas de adição e multiplicação para Z/6.
na verdade, apenas operações comuns de aritmética seguidas por tomar o resto pela divisão por n.
Embora os elementos de Zfn sejam tecnicamente conjuntos de números (classes de equivalência), podemos pensar neles como um novo tipo de números com novas regras para multiplicação e adição. Algumas vezes iremos omitir os [ ] em volta desses números se o significado estiver claro pelo contexto.
Exem plo 2.47 A Figura 2.18 mostra como somamos e multiplicamos em Z /6. Note os padrões nessas tabelas. Os “números” 0 e 1 em Z /6 .somam e multiplicam da mesma forma que fazem na aritmética padrão de números inteiros; no entanto, os outros números se comportam de forma diferente. Por exemplo, 5 E Z/6 age como — 1, tanto na adição como na multiplicação. Isso reflete o fato de que [5] = [—1] como classes equivalentes em Z /6. A aritmética modular pode vir a ser bastante útil. Por exemplo, se queremos que um contador acompanhe um processo de n estágios que precisa ser repetido muitas vezes, começaríamos em [0] e adicionaríamos [1] em Zfn em cada estágio, e o contador iria percorrer n valores, repetido-se de maneira cíclica. Uma outra aplicação — os dígitos verificadores de ISBN — aparece nos exercí cios.
E x e rc íc io s 2 .4
1. Seja X = {0, 1, 2, 3, 4}. Desenhe o grafo associado à relação < em X. Esse grafo deve ser orientado ou não orientado?
2. Seja X = {0, 1, 2, 3, 4}. Defina uma relação R em
X tal que x R y s e x + y = 4. Desenhe o grafo asso
ciado a essa relação. Esse grafo deve ser orientado ou não orientado?
P a ra os Exercícios 3—6, defina uma relação no conjunto S de todas as sequências de letras: duas
sequências são relacionadas se se obtém uma a partir da outra ao inverter um par de letras adjacentes. Por exemplo, sim ism mas sim ^ mis.
3. Considere todas as sequências que você pode formar com as letras e, m, a (são seis). Desenhe o grafo cujos nós são essas seis sequências e cujas arestas repre sentam a relação Esse grafo deve ser orientado ou não orientado?
4. Encontre um caminho de Euler no grafo que você fez no Exercício 3.
5. Considere o grafo formado pela relação ±=; no conjunto de todas as sequências que você pode formar a partir das letras b, o, d, e. Este grafo possui um caminho de Euler? Sim ou não? Justifique.
6. O grafo da relação no conjunto de todas as se quências formadas a partir das letras c, e, g, o, n, h, a tem um caminho de Euler? Sim ou não? Justi fique.
7. Suponha que você quisesse modelar uma relação de equivalência com um grafo. Você usaria um grafo orientado ou não orientado? Como seriam as classes de equivalência? Explique.
8. Defina uma relação em Z por a R b se a2 = b2. (a) Prove que R é uma relação de equivalência. (b) Descreva as classes de equivalência.
9. Explique por que a relação de link entre páginas na
web no Exemplo 2.36 não é uma relação de equiva
lência. (Basta um motivo pelo qual a relação falha em ser de equivalência.)
10. Prove que a relação definida no Exemplo 2.46 é uma relação de equivalência.
11. Explique por que a relação R em {0, 1, 2} dada por
R = {(0.0), (1,1), (2,2), (0,1), (1,0), (1,2). (2.1)}
12. Seja A = {1,2}. Escreva por extenso o subconjunto de A X A definido pela relação < em A.
13. Seja X = {0, 1}.
(a) Liste (como subconjuntos de X X X) todas as relações possíveis em X.
(b) Quais relações da parte (a) são relações de equi valência?
14. Seja X um conjunto. Defina uma relação R em P(X) por
A R B & A n 5 = 0
para A, B £ P(X). Determine se essa relação é refle xiva, simétrica e/ou transitiva.
15. Seja S o conjunto de todas as províncias do Canadá. Para a, b E S, seja a R b se a e b fazem fronteira entre si. Quais propriedades de uma relação de equi valência (reflexiva, simétrica, transitiva) a relação R satisfaz?
16. Seja T o conjunto de todos os atores e atrizes de cinema. Para x, y E T, determine x R y se existe algum filme onde tanto x quanto y aparecem. Quais das propriedades de relações de equivalência R, satisfaz?
17. Seja Wo conjunto de palavras na língua portuguesa. Determine uma relação R em W por
w1 R w2 <=> wr e w2 têm uma letra em comum.
Quais das propriedades de relações de equivalência
R satisfaz? Explique.
18. Seja W o conjunto de palavras na língua portuguesa. Determine urna relação S em W por
Wj S w2 <=> w1 tem pelo menos tantas letras quanto w2.
Quais das propriedades de relações de equivalência
S satisfaz? Explique.
19. Seja X um conjunto finito. Para os subconjuntos
A, B E P(X), seja A R B se \A\ = \B\. Essa é uma
relação de equivalência em P(X). Se X = {1, 2, 3}, liste as classes de equivalência.
20. Um playground consiste em várias estruturas, algumas das quais estão conectadas por pontes. O chão está coberto de lascas de madeira. Defina uma relação no conjunto das estruturas do playground da seguinte forma: duas estruturas são relacionadas se é possível que uma criança vá de uma para outra sem andar por cima das lascas de madeira (também conhecida como a brincadeira “lava quente”).
(a) Você pode imaginar um playground para o qual isso não seria uma relação de equivalência? Explique.
(b) Suponha que essa relação é de equivalência. Na linguagem de equipamentos de playground, descreva as classes de equivalência.
21. Seja G um grafo conexo não orientado e seja V o conjunto de todos os vértices em G. Defina uma relação R em V da seguinte forma: dados vértices a,
b E V, a R b quando existe um caminho de a para b
com um número par de arestas. (Um caminho pode usar a mesma aresta mais de uma vez.) Prove que
R é uma relação de equivalência.
22. Suponha que a relação de equivalência do Exercício 21 é definida nos vértices do grafo a seguir. Quais são as classes de equivalência?
23. Lembre da definição de números pares.
Definição. Um inteiro n é par se n —2k para algum inteiro k.
Defina uma relação R em Z assim: x R y quando x +
y é par.
(a) Mostre que R é uma relação de equivalência. (b) Descreva as classes de equivalência formadas
por essa relação.
24. O Lema 2.1 afirma que a relação “= mod n” em Z é transitiva. Mostre que ela também é simétrica e reflexiva.
25. Calcule os problemas aritméticos em Z/8 a seguir. Represente sua resposta com o menor representante positivo da classe de equivalência, apropriada. (a) [3] + [7]
(b) [2] • ([4] + [5])
(c) ([3] + [4]) • ([5] + [6])
26. Para todo [x] e Z /n e todo A: E Z, podemos definir
k[x] por
k[x] = [a:] + [x] -\--- b [x] '---'
k vezes
em que o resultado é um elemento de Z/n. Dizemos que k[x] é um múltiplo de [a;].
(a) Liste todos os múltiplos de [3] em Z/9. (b) Liste todos os múltiplos de [3] em Z /8.
27. Considere a função p: Z —> Z /n definida por p(fc) =
[k]. Prove que essa função é sobrejetiva, mas não
injetiva.
28. Construa as tabelas de adição e multiplicação para Z/4.
29. Construa a tabela de multiplicação para Z / ll.
Os Exercícios 30-36 lidam com o método de usar
dígitos verificadores de números de ISBN. Antes
de 2007, todo livro disponível comercialmente rece bia um International Standard Book Number de 10 dígitos, geralmente impresso na contracapa ao lado do código de barras. O último caractere dessa sequência de 10 dígitos é um dígito especial usado para verificar erros de digitação no número de ISBN. Se os primeiros nove dígitos de um número de ISBN são ax a3 a4 0$ a6 Oj a8 Og, o décimo dígito é dado pela fórmula
a10 = (la x + 2 «2 + 3a3 + 4 o4 + 5a5 + 6<26 + 1a7 + 8a8 + Oag) mod 11,
em que a10 = X se esse valor é 10.
30. Calcule o décimo dígito do ISBN cujos primeiros nove dígitos são 039481500.
31. Suponha que ax a2 a3 a4 a5 ac a1 a8 a9 a10 é um ISBN válido. Mostre que
(la^ + 2ü2 + 3 u3 + 4<24 + 5% + 6dg + 7 o7 + 80$ + 9Og + 10a10) = 0 mod 11.
32. É 0060324814 um número de ISBN válido? *33. Mostre que o dígito verificador sempre irá detectar
o erro de trocar dois dígitos adjacentes. Ou seja, mostre que ax...ak ajt+i...a9 e av..ak+l a^.a^ têm dígitos verificadores diferentes.
*34. Mostre que o dígito verificador sempre irá detectar o erro de troca de um único dígito. Dica: A demons tração tem algo a ver com a tabela de multiplicação para Z / ll (Exercício 29).
*35. Infelizmente, havia muitos livros e os números de ISBN não eram suficientes; então, a partir de janeiro de 2007, os números de ISBN passaram a ter 13 dígitos. O esquema de dígito verificador para números de ISBN de 13 dígitos é diferente. Explique por que a modificação óbvia para o sistema antigo não irá funcionar. Ou seja, encontre uma sequência de 12 dígitos ax a2 ...a12 em que a quantidade
(la i + 2a2 + • • • 4- 12ai2) mod 14 não muda após modificarmos um único dígito.
*36. A “modificação óbvia” no Exercício 35 irá detectar o erro de troca de dois dígitos adjacentes?