1.4 Algebras de Boole ´
2.1.3 Aritm´ etica dos n´ umeros naturais
A aritm´etica dos n´umeros naturais baseia-se em duas opera¸c˜oes: a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao. Nenhuma destas opera¸c˜oes recebe uma men¸c˜ao expl´ıcita na Axiom´atica de Dedekind-Peano o que significa que as mesmas podem ser definidas em termos das no¸c˜oes j´a introduzidas. Tal modo de proceder apresenta, no entanto, um acr´escimo de dificuldades pelo que se adoptar´a aqui o ponto de vista que consiste em introduzir as defini¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao em IN de forma axiom´atica podendo depois deduzir-se toda a aritm´etica dos n´umeros naturais fazendo repetido apelo ao princ´ıpio da indu¸c˜ao matem´atica.
A adi¸c˜ao de n´umeros naturais ´e uma opera¸c˜ao interna, denotada pelo s´ımbolo +, que ´e definida recursivamente por
A1 ∀n[ n ∈ IN ⇒ [ n + 0 = n ] ],
A2 ∀n,m[ m, n ∈ IN ⇒ [ n + suc(m) = suc(n + m) ] ]
podendo mostrar-se que existe uma e s´o uma opera¸c˜ao interna definida sobre IN que satisfa¸ca A1 e A2.
Podem agora provar-se novas propriedades satisfeitas pelos elementos de IN partindo apenas das proposi¸c˜oes aceites como verdadeiras at´e este momento.
Teorema 2.2 A adi¸c˜ao em IN ´e associativa.
Demonstra¸c˜ao: Seja X o conjunto de n´umeros definido por
X ≡ {p ∈ IN : ∀m,n[ m, n ∈ IN ⇒ [ (m + n) + p = m + (n + p) ] ]}
Como de A1 resulta (m + n) + 0 = m + n = m + (n + 0), para todo o m, n ∈ IN tem-se ent˜ao que
Seja agora q arbitrariamente fixado em X. Da defini¸c˜ao de X tem-se que (m + n) + q = m + (n + q), para todos m, n ∈ IN e, portanto, tendo em conta A2, a hip´otese de indu¸c˜ao e novamente A2, vem para todos os m, n ∈ IN0
(m + n) + suc(q) = suc ((m + n) + q) = suc (m + (n + q))
= m + suc(n + q) = m + (n + suc(q))
o que mostra que suc(q) ∈ X. Isto ´e
∀q[ q ∈ X ⇒ suc(q) ∈ X ] (2.2)
De (2.1) e (2.2), tendo em conta o axioma N5, resulta que X = IN e que, portanto, para todos os n´umeros m, n, p ∈ IN
(m + n) + p = m + (n + p)
o que prova o teorema. 2
Teorema 2.3 A adi¸c˜ao em IN ´e comutativa.
Demonstra¸c˜ao: (a) Demonstrar-se-´a antes de mais que qualquer que seja m ∈ IN0
se tem 0 + m = m + 0. Seja M ≡ {m ∈ IN : 0 + m = m + 0}. Como 0 + 0 = 0 + 0 tem-se imediatamente que
0 ∈ M (2.3)
Seja agora p um elemento arbitrariamente fixado em M. Da defini¸c˜ao de M vem ent˜ao que 0 + p = p + 0 e portanto, atendendo a A2, hip´otese de indu¸c˜ao e A1 sucessivamente, vem
0 + suc(p) = suc(0 + p) = suc(p + 0) = suc(p) = suc(p) + 0
o que mostra que suc(p) ∈ M. Ent˜ao
∀p[ p ∈ M ⇒ suc(p) ∈ M ] (2.4)
e de (2.3) e (2.4), tendo em conta o axioma N5, resulta que M = IN0 ou, o que ´e
o mesmo, que
0 + m = m + 0
qualquer que seja m ∈ IN.
(b) Para demonstrar a comutatividade no caso geral torna-se necess´ario provar, antes de mais, os seguintes resultados preliminares:
Demonstra¸c˜ao: Seja S ≡ {s ∈ IN : suc(s) = 1 + s}. Visto que, por defini¸c˜ao, se tem 1 = suc(0) ent˜ao, tendo em conta A1, vem suc(0) = 1 + 0, o que mostra que
0 ∈ S (2.5)
Seja agora m ∈ S qualquer. Da defini¸c˜ao de S vem suc(m) = 1 + s e portanto, tendo em conta A2, obt´em-se
suc (suc(m)) = suc(1 + m) = 1 + suc(m)
o que mostra que
∀m[ m ∈ S ⇒ suc(m) ∈ S ] (2.6)
De (2.5) e (2.6) resulta S = IN. 2 Lema 2.5 ∀m[m ∈ IN ⇒ [ m + 1 = 1 + m ] ].
Demonstra¸c˜ao: Da al´ınea (a) do teorema tem-se que qualquer que seja m ∈ IN m + 0 = 0 + m e, portanto, tendo em conta o axioma N2, vem suc(m+0) = suc(0+m), donde por A2 m+suc(0) = 0+suc(m), ou seja, atendendo ao Lema 2.4 e `a parte (a) do teorema,
m + 1 = 0 + suc(m) = suc(m) + 0 = suc(m) = 1 + m
o que prova o lema. 2
Seja agora o conjunto X definido por X ≡ {n ∈ IN : ∀m [ m ∈ IN ⇒ [ m + n =
n + m ] ]}. De (a) resulta
0 ∈ X. (2.7)
Seja p ∈ X qualquer. Ent˜ao, pela defini¸c˜ao de X, tem-se para todo m ∈ IN que m + p = p + m e portanto tendo em conta resultados anteriores, vem sucessivamente
m + suc(p) = suc(m + p)
= suc(p + m) = p + suc(m)
= p + (1 + m) = (p + 1) + m = suc(p) + m
o que significa que
∀p[ p ∈ X ⇒ suc(p) ∈ X ] (2.8)
De (2.7) e (2.8) e tendo em conta o axioma N5 resulta que X = IN, o que por seu lado completa a demonstra¸c˜ao do teorema. 2
A multiplica¸c˜ao de n´umeros naturais ´e uma opera¸c˜ao interna, denotada pelo s´ımbolo · (ou mais frequentemente por simples justaposi¸c˜ao) que se define recursivamente por
M1 ∀n[ n ∈ IN ⇒ [ n · 0 = 0 ] ]
M2 ∀n,m [ m, n ∈ IN ⇒ [ n · suc(m) = n · m + n ],
sendo, tamb´em neste caso, poss´ıvel provar que existe uma e uma s´o opera¸c˜ao interna definida sobre IN0 que satisfa¸ca M1 e M2.
Teorema 2.6 A multiplica¸c˜ao em IN ´e distributiva `a direita relativamente `
a adi¸c˜ao, isto ´e,
m(n + p) = mn + mp quaisquer que sejam os n´umeros m, n, p ∈ IN.
Demonstra¸c˜ao: Seja X o conjunto de n´umeros definido por
X ≡ {p ∈ IN : ∀m,n[m, n ∈ IN ⇒ [ m(n + p) = mn + mp ] ]}.
Tendo em conta A1 e M1 tem-se para todos m, n ∈ IN que m(n + 0) = mn = mn + 0 = mn + m0 o que mostra que
0 ∈ X. (2.9)
Seja agora q ∈ X arbitrariamente fixado. Ent˜ao quaisquer que sejam os n´umeros m, n ∈ IN, vem m(n+q) = mn+mq e, portanto, tendo em conta A2, M2, a hip´otese de indu¸c˜ao e o teorema 2.2, obt´em-se sucessivamente
m(n + suc(q)) = m · suc(n + q) = m(n + q) + m = (mn + mq) + m = mn + (mq + m) = mn + m · suc(q)
donde resulta que
∀q[ q ∈ X ⇒ suc(q) ∈ X ] (2.10)
De (2.9) e (2.10), tendo em conta o axioma N5, conclui-se que X = IN, ficando
provado o teorema. 2
Teorema 2.7 A multiplica¸c˜ao em IN ´e associativa.
Demonstra¸c˜ao: Seja X o conjunto de n´umeros definido por
X ≡ {p ∈ IN : ∀m,n[ m, n ∈ IN ⇒ [ (mn)p = m(np) ] ]}
Ent˜ao, visto que quaisquer que sejam m, n ∈ IN, atendendo a M1, se tem, (mn)0 = 0 = m · 0 = m(n · 0) conclui-se que
Seja q um elemento qualquer de X. Pela defini¸c˜ao de X ent˜ao tem-se que (mn)q = m(nq) quaisquer que sejam m, n ∈ IN e portanto, atendendo a M2, hip´otese de indu¸c˜ao e ao teorema 2.6, tem-se sucessivamente
(mn) · suc(q) = (mn)q + mn = m(nq) + mn = m(nq + n) = m(n · suc(q))
o que prova que
∀q [ q ∈ X ⇒ suc(q) ∈ X ] (2.12)
De (2.11) e (2.12), atendendo ao axioma N5 obt´em-se X = IN, ficando provado,
deste modo, o teorema. 2
Teorema 2.8 A multiplica¸c˜ao em IN ´e distributiva `a esquerda relativamente `
a adi¸c˜ao, isto ´e,
(m + n)p = mp + np quaisquer que sejam os n´umeros m, n, p ∈ IN.
Demonstra¸c˜ao: Seja X o conjunto de n´umeros definido por
X ≡ {p ∈ IN : ∀m,n[m, n ∈ IN ⇒ [(m + n)p = mp + np ] ]}
De A1 e M1 tem-se, quaisquer que sejam m, n ∈ IN, que (m + n)0 = 0 = 0 + 0 = m0 + n0 o que mostra que
0 ∈ X (2.13)
Seja agora q ∈ X qualquer. Ent˜ao, da defini¸c˜ao de X, tem-se que (m + n)q = mq + nq e, portanto, tendo em conta M2, hip´otese de indu¸c˜ao, teoremas 2.2 e 2.3, sucessivamente, vem
(m + n) · suc(q) = (m + n)q + (m + n) = (mq + nq) + (m + n) = mq + (nq + (m + n)) = mq + ((nq + n) + m) = mq + (n · suc(q) + m) = mq + (m + n · suc(q)) = (mq + m) + n · suc(q) = m · suc(q) + n · suc(q)
o que mostra que
∀q [ q ∈ X ⇒ suc(q) ∈ X ] (2.14)
De (2.13) e (2.14), atendendo ao axioma N5, X = IN, ficando o teorema completa-
mente demonstrado. 2
Demonstra¸c˜ao: (a) - Provar-se-´a em primeiro lugar que qualquer que seja m ∈ IN se tem 0m = m0. Seja M ≡ {m ∈ IN0: 0m = m0}. Como 0 · 0 = 0 · 0 ent˜ao tem-se
imediatamente que
0 ∈ M (2.15)
Seja n ∈ M qualquer. Ent˜ao da defini¸c˜ao de M resulta que 0 · n = n · 0 e portanto, tendo em conta M1 e M2, a hip´otese de indu¸c˜ao o lema 2.4 e o teorema 2.8, vem sucessivamente
0 · suc(n) = 0 · n + 0
= n · 0 + 1 · 0 = (n + 1) · 0 = suc(n) · 0 donde resulta
∀n[ n ∈ M ⇒ suc(n) ∈ M ] (2.16)
Consequentemente de (2.15) e (2.16) e axioma N5 fica completamente provada a afirma¸c˜ao em (a).
(b) - Para demonstrar o caso geral torna-se necess´ario provar primeiramente o seguinte resultado preliminar
Lema 2.10 Qualquer que seja m ∈ IN tem-se 1 · m = m.
Demonstra¸c˜ao: Seja M o conjunto de n´umeros M ≡ {m ∈ IN : 1 · m = m}. De M1 resulta que 1 · 0 = 0 e portanto
0 ∈ M (2.17)
Seja n ∈ M qualquer. Ent˜ao da defini¸c˜ao de M tem-se que 1 · n = n e portanto tendo em conta tamb´em M2 vem 1 · suc(n) = 1 · n + 1 = n + 1 = suc(n), o que mostra que
∀n[ n ∈ M ⇒ suc(n) ∈ M ] . (2.18)
De (2.17) e (2.18) e axioma N5 fica provado o lema. 2 Seja agora X o conjunto de n´umeros definido por
X ≡ {n ∈ IN : [ ∀m[ m ∈ IN ⇒ [ m · n = n · m ] ]}
De (a) tem-se imediatamente
0 ∈ X. (2.19)
Seja p ∈ X qualquer. Ent˜ao da defini¸c˜ao de X tem-se que mp = pm qualquer que seja m ∈ IN. Consequentemente, de M2, lema 2.10, hip´otese de indu¸c˜ao, lema 2.4 e teorema 2.8, vem
m · suc(p) = mp + m
= pm + 1 · m = (p + 1)m = suc(p) · m o que significa que
∀p[ p ∈ X ⇒ suc(p) ∈ X ] (2.20)