Conjuntos equipotentes

Um conjunto infinito de objectos ´e certamente “maior” que um conjunto com um n´umero finito qualquer de objectos. Esta ideia, embora parecendo inteiramente correcta sob um ponto de vista meramente intuitivo, n˜ao est´a formulada em termos rigorosos. Se se tentar fazer o mesmo tipo de com- para¸c˜ao quando ambos os conjuntos s˜ao infinitos ´e, em geral, dif´ıcil (ou mesmo imposs´ıvel) dar uma resposta satisfat´oria. Por exemplo, far´a algum sentido perguntar se h´a um “maior” n´umero de frac¸c˜oes (n´umeros racionais) que de n´umeros inteiros ou se h´a mais n´umeros irracionais que racionais? Como h´a uma infinidade de cada um deles, ent˜ao a quest˜ao n˜ao ficar´a ade- quadamente formulada nestes termos antes de se ter clarificado o conceito de ser “maior” neste contexto. Ou seja, a quest˜ao que, de facto, se de- ver´a formular ´e a de saber se h´a algum m´etodo que permita comparar dois conjuntos infinitos para saber qual deles ´e o “maior”.

Uma forma de analisar este tipo de problemas poderia, em princ´ıpio, ser esta: sabe-se que IN est´a estritamente contido em Q; pode ent˜ao parecer que Q dever´a ser maior que IN. Num contexto onde fossem considerados s´o conjuntos finitos este racioc´ınio teria perfeito cabimento. Contudo nada garante que os conceitos v´alidos num tal universo (dos conjuntos finitos) se mantenham v´alidos num universo alargado que contemple conjuntos infini- tos. Ser´a o todo maior que as partes quando se trata de quantidades infini- tas? Que significado se pode atribuir, por exemplo, a metade de infinito? Gra¸cas a Georg Cantor (1845-1918), matem´atico russo/alem˜ao, podem dar- se algumas respostas a estas quest˜oes, pelo menos num certo sentido. Em particular pode estabelecer-se, por exemplo, que Q tem tantos elementos quantos IN, mas que IR tem mais elementos que IN. Para se compreenderem estas rela¸c˜oes ´e necess´ario, antes de mais, analisar a opera¸c˜ao matem´atica de contagem. Foi Cantor quem em 1870, pela primeira vez, chamou a aten¸c˜ao para a importˆancia das correspondˆencias bijectivas na procura de formas para comparar conjuntos infinitos.

Dado um n´umero m ∈ IN1 qualquer, denotar-se-´a por IN[m] a sec¸c˜ao

inicial de IN1 definida por

IN[m] = {1, 2, . . . , m}

e sendo A um conjunto qualquer, diz-se que A tem m elementos quando existe uma aplica¸c˜ao bijectiva

γ : A → IN_[m] Dados agora dois conjuntos A e B, sejam

γ : A → IN_[m], ψ : B → IN_[n]

duas bijec¸c˜oes. Se for m = n dir-se-´a, naturalmente, que os conjuntos A e B tˆem o mesmo n´umero de elementos. Neste caso, se o objectivo a atingir fosse apenas o de comparar o tamanho dos conjuntos A e B e n˜ao o de saber exactamente quantos elementos tem cada um deles, a aplica¸c˜ao

ϕ = ψ−1◦ γ : A → B

resolveria completamente o problema. De facto, visto que ψ e γ s˜ao bijec¸c˜oes, ent˜ao tamb´em ϕ ´e uma bijec¸c˜ao. Reciprocamente se existirem bijec¸c˜oes ϕ : A → B e γ : A → IN_[m] ent˜ao existe uma bijec¸c˜ao γ ◦ ϕ−1 : B → IN_[m]. Daqui resulta que, num contexto de conjuntos finitos,

dois conjuntos A e B tˆem o mesmo n´umero de elementos se existir uma bijec¸c˜ao ϕ : A → B.

A no¸c˜ao de bijec¸c˜ao pode estender-se a conjuntos quaiquer, o que permite fazer compara¸c˜oes de conjuntos arbitr´arios. Recorde-se e reescreva-se a defini¸c˜ao 2.21 j´a considerada anteriormente.

Defini¸c˜ao 2.37 (Cantor) Sejam A e B dois conjuntos arbitr´arios. A e B dir-se-˜ao conjuntos equipotentes se existir uma bijec¸c˜ao ϕ : A → B entre eles.

´

E imediato constatar que a rela¸c˜ao de equipotˆencia entre conjuntos ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. Escrever-se-´a A ∼ B para significar que A e B s˜ao equipotentes. Pode agora formalizar-se a defini¸c˜ao de conjunto finito do seguinte modo:

Defini¸c˜ao 2.38 Um conjunto A dir-se-´a finito se for vazio ou existir um n´umero m ∈ IN1 tal que A ∼ IN[m]≡ {1, 2, . . . , m}. Um conjunto que n˜ao ´e

finito dir-se-´a infinito.

Se A for um conjunto finito, o n´umero m ∈ IN tal que A ∼ IN[m] ´e, como se

sabe, o cardinal do conjunto A que se denota por card(A). O objectivo agora ´e dar um significado `a no¸c˜ao de cardinalidade no caso de conjuntos infinitos. Antes por´em considere-se o seguinte resultado:

Teorema 2.39 Todo o conjunto infinito cont´em um subconjunto equipo- tente a IN1.

Demonstra¸c˜ao: Seja A um conjunto infinito qualquer. A ´e n˜ao vazio e, portanto, possui um elemento a1∈ A. O conjunto A\{a1} ´e n˜ao vazio pois de contr´ario A

seria o conjunto finito {a1}. Consequentemente existir´a a2∈ A\{a1}; analogamente

o conjunto A\{a1, a2} n˜ao pode ser vazio e, portanto, existir´a a3 ∈ A\{a1, a2}.

Procedendo assim sucessivamente obter-se-´a um subconjunto {a1, a2, . . . .}, de

A, que ´e equipotente a IN1. 2

Este teorema revela que o conjunto IN1 ´e, de certo modo, “o mais pe-

queno conjunto infinito”, j´a que cada conjunto infinito possui um subcon- junto equipotente a IN1. Com base no Teorema 2.39 pode agora definir-se

conjunto finito (a partir da no¸c˜ao de conjunto infinito) sem exigir o conhe- cimento pr´evio do conjunto IN1. Tal defini¸c˜ao deve-se a Dedekind e tem a

forma seguinte:

Defini¸c˜ao 2.40 Um conjunto n˜ao vazio A diz-se Dedekind-finito se e s´o se para toda a aplica¸c˜ao ψ : A → A se tem que ψ ´e injectiva se e s´o se for sobrejectiva. Por conven¸c˜ao dir-se-´a tamb´em que ´e Dedekind-finito o conjunto Ø.

´

E poss´ıvel provar que s˜ao equivalentes as Defini¸c˜oes 2.38 e 2.40.

Nota 2.41 A defini¸c˜ao rigorosa de cardinalidade, que afinal serve para dar um sentido `a express˜ao “n´umero de elementos de um conjunto arbitr´ario”, n˜ao ´e simples e sai fora do ˆambito desta introdu¸c˜ao. Indicar-se-˜ao, no entanto, as propriedades b´asicas que a no¸c˜ao de cardinal de um conjunto deve satisfazer e que constituem, de certo modo, uma defini¸c˜ao axiom´atica para esta no¸c˜ao. Essas propriedades s˜ao as seguintes:

C1. Todo o conjunto A possui um cardinal associado, denotado por card(A). Reciprocamente, para cada cardinal ν existe um con- junto X tal que ν = card(X);

C2. card(A) = 0 se e s´o se A = Ø; C3. Se A ∼ IN[m] ent˜ao card(A) = m;

C4. card(A) = card(B) se e s´o se A ∼ B.

Tendo em conta o conceito de aplica¸c˜ao injectiva faz sentido a seguinte defini¸c˜ao aplic´avel a dois conjuntos A e B arbitr´arios.

Defini¸c˜ao 2.42 Dir-se-´a que card(A) ´e menor ou igual que card(B), e escreve-se card(A) ≤ card(B), se e s´o se existir uma aplica¸c˜ao injectiva de A para B. Escrever-se-´a ainda card(A) < card(B) para significar que se tem card(A) ≤ card(B) e card(A) 6= card(B).