Conceito de axiom´ atica

”Aqueles que se ocupam da geometria, da aritm´etica e ciˆencias desse g´enero admitem o par e o ´ımpar, as figuras, trˆes tipos de ˆ

angulos, (...) Estas coisas d˜ao-nas por sabidas, e, quando as usam como hip´oteses, n˜ao acham que ainda seja necess´ario prestar con- tas disto a si mesmos nem aos outros, uma vez que s˜ao evidentes para todos. Partindo da´ı, analisando todas as fases e, tirando consequˆencias, atingem o ponto a cuja investiga¸c˜ao se tinham abalan¸cado.”

Plat˜_{ao in Rep´ublica (VI, 510, cd)}

No in´ıcio de qualquer teoria matem´atica bem constru´ıda apresenta-se, sem explica¸c˜ao, um pequeno n´umero de termos espec´ıficos particulares: estes servir˜ao para explicar todos os outros termos espec´ıficos. Por este facto, s˜ao designados termos primitivos (da teoria em quest˜ao). O emprego de termos primitivos numa teoria matem´atica ´e indispens´avel. De facto, para explicar um termo ´e necess´ario empregar outros termos; estes, por seu turno, para serem eles pr´oprios explicados, sem entrar num ciclo vicioso, exigem o recurso a outros termos novos; e assim sucessivamente. Este processo, se n˜ao parasse nalgum ponto, conduziria a uma cadeia infinita de explica¸c˜oes (sem- pre com novos termos), o que n˜ao ´e poss´ıvel pois que ´e limitado o n´umero

de termos distintos dispon´ıveis em qualquer vocabul´ario. Evita-se esta im- possibilidade aceitando, uma vez por todas, o emprego de termos primitivos escolhidos `a priori que devem ser em pequeno n´umero e de conte´udo simples. ( ´E o que se faz em teoria dos conjuntos na qual conjunto e elemento de um conjunto n˜ao se definem, sendo considerados termos primitivos.)

Numa teoria os termos espec´ıficos que n˜ao s˜ao primitivos dizem-se ter- mos definidos. Suponha-se conhecida a lista de todos os termos primitivos de uma dada teoria. A introdu¸c˜ao de um novo termo espec´ıfico na teoria far-se-´a `a custa destes termos primitivos e de termos l´ogicos. A explica¸c˜ao assim obtida para o novo termo constitui o que se chama uma defini¸c˜ao e este termo ´e o termo definido. Assim, o primeiro termo definido, t1, ´e ex-

plicado apenas `a custa de termos primitivos (e termos l´ogicos); para definir um segundo termo, t2, podem agora empregar-se todos os termos primitivos

e o termo definido t1 (e termos l´ogicos); um terceiro termo, t3, pode ser

explicado `a custa dos termos primitivos e de todos os termos j´a definidos anteriormente, t1 e t2 (e os termos l´ogicos que forem necess´arios). Este pro-

cedimento segundo o qual uma defini¸c˜ao atribui um sentido a um termo `a custa de termos primitivos e de termos definidos anteriormente, evita o ciclo vicioso que seria o de um termo ser explicado `a custa de termos que por sua vez acabariam por ser explicados por ele pr´oprio.

A parte central de qualquer teoria matem´atica ´e constitu´ıda por enuncia- dos de proposi¸c˜oes ou senten¸cas verdadeiras (no contexto daquela teoria). Estes enunciados estabelecem as liga¸c˜oes entre os termos espec´ıficos da teo- ria. Os termos espec´ıficos e os termos l´ogicos s˜ao o material b´asico para a constru¸c˜ao daquelas afirma¸c˜oes. Tal como acontece com os termos es- pec´ıficos, podem subdividir-se as proposi¸c˜oes verdadeiras de uma teoria em duas classes:

(1) proposi¸c˜oes primitivas ou axiomas, e (2) proposi¸c˜oes derivadas ou teoremas.

Os axiomas s˜ao afirma¸c˜oes que se aceitam como verdadeiras sem qual- quer prova; s˜ao necess´arias por raz˜oes an´alogas `as expostas a prop´osito dos termos primitivos. Os axiomas s˜ao geralmente apresentados no in´ıcio de uma teoria, imediatamente a seguir aos termos primitivos e, tal como estes, s˜ao geralmente em pequeno n´umero e dotados de sentido intuitivo.

Uma vez estabelecidos os axiomas de uma teoria, novas proposi¸c˜oes po- dem ser formuladas. Agora, no entanto, para que uma proposi¸c˜ao possa ser

considerada um teorema dentro da teoria (isto ´e, seja uma proposi¸c˜ao ver- dadeira da teoria) torna-se necess´ario submetˆe-la a um teste designado por prova ou demonstra¸c˜ao. Ser˜ao teoremas as proposi¸c˜oes que satisfizerem positivamente aquele teste. Para provar uma primeira proposi¸c˜ao, p1, os

´

unicos argumentos que podem ser usados s˜ao os axiomas e as defini¸c˜oes j´a estabelecidas; se p1 decorrer logicamente destes argumentos (isto ´e, se for

demonstrada) ent˜ao transforma-se num teorema, T1. Para provar uma nova

proposi¸c˜ao, p2, podem agora usar-se n˜ao s´o os axiomas e as defini¸c˜oes esta-

belecidas mas tamb´em o teorema T1; se a proposi¸c˜ao p2 for demonstrada

ent˜ao transforma-se num teorema, T2. Este processo vai-se repetindo assim

sucessivamente tal como j´a foi referido no caso das defini¸c˜oes, isto ´e, uma demonstra¸c˜ao mostra a veracidade de uma proposi¸c˜ao por argumentos que se baseiam nos axiomas da teoria e nas defini¸c˜oes e teoremas j´a estabelecidos. Note-se que, entendendo-se que uma proposi¸c˜ao s´o ´e considerada ver- dadeira se puder ser demonstrada a partir dos axiomas da teoria e de teore- mas j´a demonstrados, isso significa que a veracidade de uma proposi¸c˜ao de- pende directamente dos axiomas da teoria sob considera¸c˜ao; uma proposi¸c˜ao pode ser um teorema numa certa teoria e n˜ao o ser noutra (por exemplo, em geometria euclidiana plana a proposi¸c˜ao

“a soma dos ˆangulos de um triˆangulo ´e igual a um ˆangulo raso” ´e um teorema, mas deixa de o ser no contexto de outras geometrias diferentes daquela). Neste sentido, numa teoria axiom´atica, a quest˜ao que se p˜oe relativamente a uma dada proposi¸c˜ao n˜ao ´e a de saber se ela traduz algum tipo de “verdade” mas sim a de saber se aquela proposi¸c˜ao ´e ou n˜ao uma consequˆencia l´ogica dos axiomas da referida teoria.