1.2 Elementos de Teoria da Dedu¸ c˜ ao
1.2.3 Teoremas e demonstra¸ c˜ oes
Sejam p, q, r trˆes proposi¸c˜oes das quais se sabe seguramente que p e q s˜ao proposi¸c˜oes verdadeiras. Se for poss´ıvel provar que a implica¸c˜ao
(p ∧ q) ⇒ r (1.5)
´e verdadeira (isto ´e, que da veracidade de p e de q resulta sempre a veracidade de r), ent˜ao pode argumentar-se que r ´e necessariamente verdadeira. Se,
numa contenda, as proposi¸c˜oes p e q forem aceites como verdadeiras por ambas as partes assim como a implica¸c˜ao (1.5), ent˜ao a veracidade de r resulta logicamente dos pressupostos. A uma tal proposi¸c˜ao (composta) d´a- se o nome de argumento e constitui o m´etodo usado numa discuss˜ao para convencer uma parte das raz˜oes que assistem `a outra.
De um modo mais geral, chama-se argumento a uma sequˆencia finita de proposi¸c˜oes organizadas na forma seguinte
(p1∧ p2∧ . . . ∧ pn) ⇒ q (1.6)
onde p1, p2, . . . , pn s˜ao designadas as premissas (ou hip´oteses) e q a con-
clus˜ao (ou tese). Ao fazer-se a leitura de (1.6) ´e costume inserir uma das locu¸c˜oes “portanto”, “por conseguinte”, “logo”, etc., lendo-se, por exemplo, “p1, . . . , pn, portanto, q”. Para sugerir esta leitura usa-se, fre-
quentemente, a seguinte nota¸c˜ao p1
..
. ou p1, . . . , pn/q
pn
q
Interessa distinguir entre argumentos correctos ou v´alidos e argumentos incorrectos ou inv´alidos ou falaciosos.
Defini¸c˜ao 1.11 Um argumento
p1, . . . , pn/q
diz-se correcto ou v´alido se a conclus˜ao for verdadeira sempre que as premissas p1, . . . , pnforem simultaneamente verdadeiras e diz-se incorrecto
ou inv´alido ou falacioso no caso contr´ario, isto ´e, se alguma situa¸c˜ao permitir que as premissas sejam todas verdadeiras e a conclus˜ao falsa.
Constru¸c˜ao de demonstra¸c˜oes elementares. Os matem´aticos s˜ao pes- soas muito c´epticas5. Tˆem v´arios m´etodos para resolver problemas matem´a- ticos que v˜ao desde a experimenta¸c˜ao `a tentativa e erro. Mas n˜ao se con- vencem da validade das respostas obtidas a menos que possam prov´a-las! A prova ou demonstra¸c˜ao ´e uma esp´ecie de “puzzle” para o qual n˜ao h´a
5pessoa c´eptica – pessoa que duvida de tudo, especialmente do que ´e comummente
regras de resolu¸c˜ao r´ıgidas. A ´unica regra fixa diz respeito ao produto final: todas as pe¸cas do “puzzle” devem estar encaixadas e o resultado obtido deve parecer correcto.
A demonstra¸c˜ao de teoremas ´e feita de muitas formas dependendo em geral do pr´oprio conte´udo do teorema. Os pr´oprios teoremas s˜ao formulados de muitas maneiras distintas. Uma das mais frequentes ´e a que involve uma conclus˜ao do tipo
p ⇒ q
Para demonstrar a veracidade desta implica¸c˜ao come¸ca-se por supor que p ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira para depois se concluir que ent˜ao q tamb´em ´e verdadeira. [Note-se que se p for falsa a implica¸c˜ao ´e sempre verdadeira quer q seja verdadeira quer seja falsa.] Observe-se tamb´em que desta forma se prova a validade da implica¸c˜ao p ⇒ q e n˜ao a veracidade de q. Para provar a veracidade de q seria necess´ario para al´em de provar a veracidade da implica¸c˜ao p ⇒ q que se afirmasse a veracidade de p: supor que p ´e verdadeira n˜ao ´e a mesma coisa que afirmar que p ´e verdadeira.
Exemplo 1.12 Suponha-se que a e b s˜ao n´umeros reais. Provar que se 0 < a < b ent˜ao a2< b2.
Resolu¸c˜ao: Os dados do problema s˜ao as afirma¸c˜oes a ∈ IR e b ∈ IR e o objectivo ´e o de obter uma conclus˜ao da forma p ⇒ q onde p ´e a afirma¸c˜ao 0 < a < b e q ´e a afirma¸c˜ao a2< b2. Supor que p ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira ´e equivalente a juntar
p aos dados do problema. Assim, equivalentemente, pode ter-se
hip´oteses tese a ∈ IR, b ∈ IR a2< b2
0 < a < b
A t´ecnica de demonstra¸c˜ao, neste caso, obt´em-se por compara¸c˜ao das duas desigualdades a < b e a2< b2. Multiplicando a primeira desigualdade por a (que ´e
um n´umero real positivo!) vem
a2 < ab (1.7)
e multiplicando-a agora por b (que ´e tamb´em um n´umero real positivo) vem
ab < b2 (1.8)
De (1.7) e (1.8) obt´em-se
a2 < ab < b2
e, portanto, por transitividade, a2< b2como se pretendia mostrar.
Teorema 1.13 Suponha-se que a e b s˜ao dois n´umeros reais. Se 0 < a < b ent˜ao a2< b2.
Demonstra¸c˜ao: Suponha-se que 0 < a < b. Multiplicando a desiguladade a < b pelo n´umero positivo a conclui-se que a2 < ab e, de modo semelhante,
multiplicando-a por b obt´em-se ab < b2. Ent˜ao a2 < ab < b2 e, portanto, a2 < b2
como se pretendia mostrar. Consequentemente, se 0 < a < b ent˜ao a2< b2. 2
Para provar uma implica¸c˜ao da forma p ⇒ q, muitas vezes, ´e mais f´acil supor ¬q e provar que ent˜ao se verifica ¬p obtendo-se assim
¬q ⇒ ¬p
o que, como se sabe, equivale logicamente a p ⇒ q.
Exemplo 1.14 Suponha-se que a, b e c s˜ao trˆes n´umeros reais e que a > b. Mostrar que se ac ≤ bc ent˜ao c ≤ 0.
Resolu¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao neste caso tem o seguinte esquema:
hip´oteses tese a ∈ IR, b ∈ IR, c ∈ IR ac ≤ bc ⇒ c ≤ 0
a > b
A contra-rec´ıproca da tese ´e a implica¸c˜ao
¬(c ≤ 0) ⇒ ¬(ac ≤ bc) ou seja,
c > 0 ⇒ ac > bc
e, portanto, pode realizar-se a demonstra¸c˜ao de acordo com o seguinte esquema:
hip´oteses tese a ∈ IR, b ∈ IR, c ∈ IR ac > bc
a > b c > 0
A tese resulta agora imediatamente de se multiplicar a desigualdade a > b por c > 0.
Mais formalmente, ter-se-´a
Teorema 1.15 Sejam a, b, c trˆes n´umeros reais tais que a > b. Se ac ≤ bc ent˜ao c ≤ 0.
Demonstra¸c˜ao: Far-se-´a a prova pela contra-rec´ıproca. Suponha-se c > 0. Ent˜ao multiplicando ambos os membros da desigualdade a > b por c obter-se-´a ac > bc. Consequentemente,
ac ≤ bc ⇒ c ≤ 0
como se pretendia mostrar. 2
Exerc´ıcios 1.2.5
1. Sejam A, B, C, D quatro conjuntos e suponha-se que A\B ⊆ C ∩ D e seja x ∈ A. Mostrar que se x 6∈ D ent˜ao x ∈ B.
2. Sejam a, b n´umeros reais. Mostrar que se a < b ent˜ao (a + b)/2 < b. 3. Suponha-se que x ´e um n´umero real tal que x 6= 0. Mostrar que se
3 √ x + 5 x2+ 6 = 1 x ent˜ao x 6= 8.
4. Sejam a, b, c, d n´umeros reais tais que 0 < a < b e d > 0. Provar que se ac > bd ent˜ao c > d.
As regras que permitem passar de hip´oteses feitas e resultados j´a demon- strados a novas proposi¸c˜oes s˜ao conhecidas por regras de inferˆencia. A regra de inferˆencia mais frequentemente usada, conhecida por modus po- nens, ´e a seguinte:
p ⇒ q p
q
Se forem verdadeiras a proposi¸c˜ao p e a implica¸c˜ao p ⇒ q, ent˜ao q ´e neces- sariamente verdadeira. p q p ⇒ q p ∧ (p ⇒ q) [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
A proposi¸c˜ao q ´e logicamente implicada por p e p ⇒ q o que se escreve p, p ⇒ q |= q
De um modo geral,
p1, p2, . . . , pn |= q
´e uma regra de inferˆencia se e s´o se
p1∧ p2∧ . . . ∧ pn ⇒ q
for uma tautologia.
Outras regras de inferˆencia s˜ao as seguintes:
p, p ⇒ q |= q modus ponens p ⇒ q, q ⇒ r |= p ⇒ r p ⇒ q, ¬q |= ¬p modus tollens p |= p ∨ q p ∧ q |= p p, q |= p ∧ q
Exerc´ıcios 1.2.6 Sendo p, q, r e s quatro proposi¸c˜oes dadas, estabelecer a vali- dade ou invalidade dos seguintes argumentos.
1. (¬p) ∨ q, p |= q 2. p ⇒ q, r ⇒ (¬q) |= p ⇒ (¬r) 3. (¬p) ∨ q, (¬r) ⇒ (¬q) |= p ⇒ (¬r) 4. q ∨ (¬p), ¬q |= p 5. ¬p |= p ⇒ q 6. (p ∧ q) ⇒ (r ∧ s), ¬r |= (¬p) ∨ (¬q) 7. p ⇒ q, (¬q) ⇒ (¬r), s ⇒ (p ∨ r), s |= q 8. p ∨ q, q ⇒ (¬r), (¬r) ⇒ (¬p) |= ¬(p ∧ q) 9. p ⇒ q, (¬r) ⇒ (¬q), r ⇒ (¬p) |= ¬p 10. p ⇒ (¬p) |= ¬p 11. p ∨ q, p ⇒ r, ¬r |= q 12. p, q ⇒ (¬p), (¬q) ⇒ [r ∨ (¬s)], ¬r |= ¬s 13. p ⇒ (q ∨ s), q ⇒ r |= p ⇒ (r ∨ s) 14. p ⇒ (¬q), q ⇒ p, r ⇒ p |= ¬q 15. p ⇒ q, r ⇒ s, ¬(p ⇒ s) |= q ∧ (¬r)