As dificuldades dos alunos na realização de explorações e investigações

A realização de tarefas de exploração e investigação pode ser uma importante actividade educativa, e constituir uma experiência fundamental na aprendizagem dos alunos. Vários autores descrevem esta actividade como um processo rico que permite o desenvolvimento de múltiplas capacidades nos alunos, contribui para um conhecimento mais amplo de conceitos, facilita a compreensão de ideias matemáticas e é importante para uma aprendizagem significativa (e.g., Azevedo, 2009; Brocardo, 2001; Diezmann, Watters, & English, 2001; Goldenberg, 1999; Oliveira, Ponte, Segurado & Cunha, 1997).

Ao realizar uma investigação matemática é importante começar por uma exploração inicial que permita clarificar a questão ou situação proposta e colocar questões interessantes e produtivas sobre as quais se vai trabalhar. Depois é fundamental analisar alguns dados e formular conjecturas. O teste e a recolha de mais dados podem refinar essas conjecturas ou levar a que sejam refutadas, e a olhar a questão de outra forma, formulando novas conjecturas. Passando a fase do teste há que provar a sua veracidade. Durante este processo novas questões para investigar podem surgir (Ponte, Ferreira, Brunheira et al., 1999). Assim, a exploração de investigações envolve, processos de raciocínio complexos, que requerem um elevado grau de empenhamento e criatividade por parte dos alunos (Ponte & Matos, 1996).

Diversos trabalhos empíricos têm mostrado que os alunos apresentam dificuldades nas várias fases da actividade investigativa. Uma das dificuldades que eles revelam prende-se com a exploração inicial e a formulação espontânea de questões. Brocardo (2001) ao estudar a evolução de três alunos de uma turma do 8.º ano relativamente ao modo de explorar as tarefas de investigação, concluiu que os alunos tiveram dificuldade em entender a investigação como um todo, tendiam a dar resposta alínea a alínea sem as relacionar entre si. Contudo, ao longo da experiência, a autora notou que os alunos começaram a manifestar preocupação em relacionar as observações iniciais e procurar perceber o foco da investigação. A formulação de questões foi um aspecto a que os alunos não deram muita importância durante todo o estudo, segundo a autora, “depois de realizarem várias explorações iniciais, os alunos não usaram o modo interrogativo, mas sim, o modo afirmativo avançando várias conjecturas” (p. 538). Também Ponte, Ferreira, Brunheira et al. (1999) com base na análise de dados recolhidos nas aulas do projecto MPT, concluíram que os alunos não formulam explicitamente questões, nem as discutem com detalhe. Mesmo quando lhes são fornecidos pontos de partida mais ou menos explícitos, os alunos podem ter alguma dificuldade em perceber as questões mais gerais que podem emergir da situação (Ponte & Matos, 1996). A

dificuldade em formular questões é igualmente salientada por Diezmann et al. (2001) na sequência de um estudo que envolveu alunos do 1.º ciclo, na realização de investigações matemáticas. Os autores referem que foram apresentadas aos alunos situações a investigar, dando-lhes alguns exemplos de questões que poderiam ser formuladas e perante uma situação foi-lhes pedido para formularem as suas próprias questões e os alunos ao invés disso, normalmente seleccionavam um exemplo de questões que lhe tinha sido dado.

Rocha (1996) específica que a primeira dificuldade e talvez a maior, com que os alunos de uma turma do 11.º ano se depararam ao realizarem investigações matemáticas com auxílio da calculadora gráfica foi a desorientação. A autora salienta que os alunos perante uma proposta de investigação, que independentemente do seu grau de estruturação, é sempre muito menos guiada do que as que os alunos estão familiarizados, sentem-se desorientados sem saber o que fazer. A desorientação dos alunos ao realizarem investigações matemáticas é igualmente apontada por Ferreira (2007) ao estudar as atitudes dos alunos de uma turma do 8.º ano, perante a actividade de investigação.

Rocha (1996) destaca ainda a dificuldade dos alunos em estabelecerem uma estratégia de abordagem:

Pareciam sentir que tinham de dar resposta a certas perguntas que não tinham sido formuladas e a sua maior preocupação era descobrir quais seriam essas perguntas. Não lhes parecia possível que as perguntas pudessem ser as que eles quisessem formular e, muito menos, que estas pudessem não ser as mesmas para todos os grupos (p. 184).

Henriques e Ponte (2008) num trabalho que teve por base a realização de uma proposta pedagógica visando promover nos alunos a aprendizagem de conceitos e métodos fundamentais da Análise Numérica, através de uma abordagem de natureza investigativa, com alunos de duas turmas do 2.º ano dos cursos de licenciatura da Escola Naval, salientam que no início os alunos solicitavam muito a professora. Esperavam que fosse ela a dizer-lhes o que era para fazer sem se esforçarem em procurar compreender a tarefa. Os autores salientam, ainda, que a actividade dos alunos não contemplou a formulação de questões, após a exploração inicial da tarefa surgiram logo as primeiras conjecturas. Segundo Ponte e Matos (1996) isto deve-se ao carácter formal e organizado do ensino a que os alunos estão habituados, “ensinam-se respostas sem dar a mínima atenção às questões que as originaram ou à forma como foram alcançadas” (p. 123).

A formulação de conjecturas desempenha um papel importante no trabalho de investigação. As conjecturas podem surgir ao aluno de diversas formas, por observação directa de um número

finito de casos, nos quais é observado um padrão constante; por manipulação de dados; por analogia com factos conhecidos ou a partir de uma representação visual de um problema (Cañadas, Deulofeu, Figueiras, Reid & Yevdokimov, 2007). Mas, este trabalho indutivo tende muitas vezes a ficar confinado ao pensamento do aluno, não se verificando uma formulação explícita das conjecturas, como é salientado por Ponte et al. (2003) com base na análise de dados de uma investigação realizada por alunos de uma turma do 7.º ano. Também Brocardo (2001) observou que inicialmente os alunos formulavam as conjecturas apenas implicitamente, e que muitos deles só ao fim de algum tempo conseguiram entender o seu estatuto, tinham tendência a tomar as conjecturas como conclusões. A autora refere:

É muito forte nos alunos a ideia de que uma tarefa matemática implica a procura de respostas/conclusões e que a evolução para uma postura realmente investigativa em que formulam conjecturas e desenvolvem vários ciclos de confirmação ou refutação destas, é um processo demorado e que tem de ser objecto de um trabalho explícito por parte do professor (p. 540).

As conclusões obtidas por Henriques e Ponte (2008) e Ponte, Ferreira, Brunheira et al. (1999) apontam no mesmo sentido. Henriques e Ponte salientam que num dos grupos só com o trabalho continuado e com a discussão em grande grupo é que os alunos compreenderam o estatuto de uma conjectura.

Ponte, Ferreira, Brunheira et al. (1999) referem que os alunos tendem a apresentar o máximo de conjecturas possível, independentemente da sua trivialidade ou relevância. Esta constatação é também salientada por Rocha (2003) quando afirma que um dos dois alunos do 7.º ano que participou no seu estudo, em certas ocasiões com o intuito de chegar a alguma conclusão formulou conjecturas irrelevantes para a investigação. O que parece poder ser explicado pela dificuldade dos alunos em perceber o significado global da tarefa como a descoberta e validação de relações matemáticas (Ponte, Ferreira, Brunheira et al., 1999).

O teste de conjecturas parece, não colocar muitas dificuldades aos alunos. No entanto, Ponte et al. (2003) salientam que existe alguma tendência para os alunos aceitarem uma conjectura com base num número reduzido de testes. Esta tendência, de acordo com Brocardo (2001), parece estar mais relacionada com as dificuldades iniciais dos alunos em perceber as características do processo investigativo, do que propriamente com dificuldades relacionadas com a realização de testes. A autora refere que os dados recolhidos pelos alunos eram testados por eles com facilidade, o problema residia no descuido em analisar outros casos e em assumir como conclusão uma conjectura que resultava do estudo de um ou dois exemplos. Brocardo considera

que isto era reflexo das dificuldades dos alunos em compreender a não linearidade da actividade investigativa. Os alunos inicialmente mostraram tendência para encarar uma investigação como uma actividade linear que envolvia três fases: (1) recolha de dados; (2) organização desses dados e (3) análise dos dados de modo a tirar conclusão. À medida que foram adquirindo maior experiência na exploração de investigações, os alunos foram compreendendo a não linearidade do processo investigativo.

Henriques e Ponte (2008) e Ponte, Ferreira, Brunheira et al. (1999) indicam que não existe na maior parte dos alunos uma preocupação forte em testar e refinar as suas conjecturas, a não ser que lhes seja solicitado pelo professor.

A justificação e a prova das conjecturas são processos de grande relevância na actividade de investigação. As conjecturas que resistiram a sucessivos testes para serem consideradas matematicamente válidas precisam de ser justificadas com base em argumentos lógicos ou, pelo menos, plausíveis (Ponte, Ferreira, Brunheira et al., 1999). Diversos estudos têm mostrado que os alunos por si sentem pouca necessidade de justificar as suas conjecturas. Ponte, Ferreira, Brunheira et al. (1999) indicam que os alunos, de um modo geral, não sentem essa necessidade, nem parecem ter a noção do tipo de argumentos que podem utilizar para justificar uma conjectura. A percepção dos alunos em perceber a necessidade da prova não parece estar relacionada somente com as dificuldades, mas também com a sua visão da Matemática e da aprendizagem. Quando os alunos descobriam uma conjectura que lhes parecia ser verdadeira, a preocupação era comunicá-la de imediato à professora, para obterem confirmação de que a conjectura estava certa, ou então para mostrarem trabalho feito. Verificando-se, no caso de alguns alunos, uma grande dependência da professora e uma reduzida confiança em si próprios (Ponte, Ferreira, Brunheira et al., 1999). A pouca autonomia e autoconfiança dos alunos na validação das suas conjecturas é também referida por Varandas e Nunes (1999) quando descrevem uma experiência com uma turma de alunos do 10.º ano e por Rocha (1996). Esta autora menciona a necessidade dos alunos solicitarem a professora para obterem a confirmação do trabalho realizado e afirma que os alunos conseguiam discutir e defender o seu ponto de vista com os colegas, mas ao mais pequeno sinal de discordância da professora o abandonavam rapidamente. A autora indica que apesar de se ter notado alguma evolução, ao longo da realização das tarefas, os alunos tiveram dificuldade em perceber os processos envolvidos no trabalho com investigações:

Por um lado, os alunos conseguiram expressar progressivamente melhor as suas opiniões tanto por escrito como oralmente; por outro lado a professora foi-se familiarizando com o tipo de raciocínio utilizado em cada grupo e como tal,

encontrando mais facilidade na compreensão do processo desenvolvido. Não consegui, no entanto, fazer compreender aos alunos a importância desse processo, nem convencê-los de que as conjecturas que se vinham a revelar falsas não constituíam erros, mas sim uma fase do trabalho perfeitamente natural (pp. 188-189).

Rocha (2003) refere que a prova foi o processo matemático da actividade investigativa que os alunos mais evitaram e aquele em que menos evoluíram. Um dos alunos, algumas vezes omitia esta fase da investigação, optando por avançar, envolvendo-se novamente na exploração, com o intuito de formular mais conjecturas, deixando a prova para o final da sua actividade, o que levou, na maior parte das situações, à não validação das conjecturas, considerando-as, muitas vezes, como válidas. Esta conclusão é consistente com os resultados analisados por Ponte et al. (2003), em que os alunos transformavam as conjecturas em conclusão sem passarem por um processo de justificação ou prova. Estes autores consideram que, “a justificação ou prova das conjecturas é uma vertente do trabalho investigativo que tende, com alguma frequência a ser relegada para segundo plano ou até mesmo a ser esquecida, em especial nos níveis de escolaridade mais elementares” (p. 37).

No estudo de Henriques e Ponte (2008) o trabalho dos alunos de um dos grupos, não contemplou o processo de justificação das conjecturas. De acordo com os autores, a falta de hábito na procura de justificações aliada à falta de alguns conhecimentos terá contribuído para isso. Geralmente, a justificação das conjecturas pelos alunos, só era feita quando solicitada pela professora ou então pelos colegas na discussão em grande grupo. Também Fonseca (2000) salienta que a justificação e a prova tiveram uma presença fraca no trabalho dos dois alunos estudados com maior detalhe.

Brocardo (2001) refere que os alunos inicialmente “encararam a prova das suas conjecturas como uma complicação desnecessária introduzida pela professora” (p. 544). Para eles uma conjectura que tinha resistido a sucessivos testes era claramente verdadeira, não sentindo assim qualquer necessidade de a provar. Com o decorrer da experiência esta atitude foi-se alterando e numa segunda fase, apesar de não encararem a prova como um aspecto interior à própria investigação, vários alunos começaram a perceber o que significava justificar as suas conjecturas e a tentar procurar o porquê de uma relação se verificar. Contudo, esta tentativa só era feita se fosse explicitamente solicitado pela professora ou pedido no enunciado da tarefa. Numa fase final, grande parte dos alunos já tinha a noção de que era preciso pensar na prova das conjecturas que formulavam. A autora específica que “perceber a importância e o significado de estabelecer uma prova para as conjecturas que resistem a sucessivos testes se reveste de particulares dificuldades

para os alunos” (pp. 545-546). E considera que a utilização do GSP, que possibilita a realização de vários testes, dando a ideia que se estudam os casos todos e o facto de em determinadas tarefas, a prova das conjecturas que pareciam ser verdadeiras não estar ao alcance dos conhecimentos dos alunos poderão explicar, de certa forma, a dificuldade dos alunos interiorizarem a prova como parte do trabalho de investigação. De facto, De Villiers (2001) afirma que depois de os alunos terem investigado cuidadosamente uma conjectura geométrica por meio de uma variação contínua, com um software, como por exemplo o GSP, sentem pouca necessidade de adquirir maior convencimento. Porém, o autor constatou que os alunos concordam rapidamente que, “a verificação indutiva apenas confirma o resultado, não dá nenhuma percepção satisfatória ou compreensão sobre a forma como a conjectura é consequência de outros resultados conhecidos” (p. 36).

Gutiérrez (2005) refere que alguns estudos revelam que os AGD podem ser um obstáculo para os alunos compreenderem a necessidade da prova. Porém, o autor considera que esse bloqueio está relacionado com o facto da função da prova ser apresentada aos alunos apenas como verificação, ou seja, como forma de confirmar a veracidade das conjecturas e não como forma de compreender o porquê das conjecturas serem verdadeiras.

Em contrapartida, diversos estudos (e.g., Christou, Mousoulides, Pittalis, & Pitta-Pantazi, 2004; Hoyles & Jones, 1998; Jones, 2000; Marrades & Gutiérrez, 2000) têm mostrado que os programas de Geometria Dinâmica, como o Cabri e o GSP podem ajudar os alunos a entender a necessidade da prova formal. Marrades e Gutiérrez (2000) analisaram com detalhe as justificações de dois pares de alunos do ensino secundário em problemas de provas com o Cabri-Géomètre e concluíram que os alunos deste nível de ensino não podem fazer uma transição rápida do trabalho empírico para formas abstractas de justificação de conjecturas. Os autores salientam que os alunos necessitam de um período considerável de tempo a trabalharem com o Cabri para se começarem a sentir mais à vontade com justificações e provas dedutivas. Algumas vezes os alunos encontraram conjecturas correctas, mas não conseguiram prová-las porque não encontravam, ou não tinham conhecimento das propriedades geométricas envolvidas.

Balacheff (1991) numa experiência com catorze pares de alunos de 13 e 14 anos, em que lhes foi pedido para indicarem uma forma de calcular o número de diagonais de um polígono conhecido e para escreverem as suas respostas como uma mensagem para outros colegas da mesma idade, conclui que as justificações empíricas através de exemplos genéricos eram dominantes. A falta de uma ferramenta linguística eficiente para os alunos expressarem os objectos

envolvidos no processo de resolução do problema foi uma das razões para a ausência da prova a um nível mais formal. O autor salienta que a complexidade da prova formal esteve também relacionada com o reconhecimento e levantamento dos conceitos necessários. Muitos alunos sentiam a necessidade da prova, mas não tinham os conhecimentos necessários para a fazer. Por isso, o uso de um exemplo genérico parecia-lhes ser o melhor meio para justificar as suas conjecturas. O autor analisou o comportamento dos alunos quando confrontados com um contra- exemplo de uma conjectura que eles formularam e verificou que muitas vezes tendiam a considerá- lo como uma excepção que não afectava a veracidade da sua conjectura. Parece que a robustez das concepções dos alunos e a existência de um grande domínio da validade da sua conjectura leva-os a privilegiar os tratamentos que consistem em manter de lado um contra-exemplo, seja qual for o nível da prova envolvida no processo de resolução de um problema (Balacheff, 1991).

Alguns alunos acreditam que é possível ter um contra-exemplo e uma prova para uma afirmação (Stylianides & Murani, 2009). Por um lado, têm dificuldade em compreender que a prova é suficiente para garantir a não existência de contra-exemplos (Chazan, 1993) e por outro, tendem a tratar um contra-exemplo de uma conjectura como uma excepção que realmente não afecta a sua veracidade (Balacheff, 1991).

A comunicação de ideias e resultados é um aspecto importante quando se trabalha investigações na sala de aula. Mas, esta parece trazer algumas dificuldades para os alunos. Diezmann et al. (2001) salientam que embora as crianças tenham conseguido realizar as investigações propostas, elas tiveram dificuldades em comunicar as suas ideias, quer por escrito, quer oralmente. Muitas vezes precisavam de orientações para poderem registar os seus procedimentos e conclusões nos relatórios. As dificuldades associadas ao registo escrito e elaboração de relatórios são também salientadas por Ferreira (2007) e Henriques e Ponte (2008). No estudo de Ferreira os alunos limitavam-se a registar alguns algoritmos e as conclusões, não expondo os seus raciocínios. A autora considera que “escrever raciocínios e escrever os caminhos percorridos não é ainda, muito bem visto pelos alunos na disciplina de Matemática” (pp. 60-61). Henriques e Ponte referem que inicialmente os relatórios produzidos pelos alunos valorizavam, os produtos relativamente aos processos, reduzindo-se à enumeração de descobertas, sem a apresentação de procedimentos nem justificação. O que em parte resultava do facto dos alunos ainda não terem entendido os processo associados ao trabalho investigativo. Segundo os autores, no decorrer do estudo notou-se uma evolução positiva na qualidade dos relatórios, mas os alunos evidenciaram sempre dificuldades em escrever o que pensavam.

Muitas vezes os alunos têm ideias interessantes, mas revelam dificuldades em as comunicar de forma correcta e clara (Ponte, Ferreira, Brunheira et al., 1999). Estes autores salientam que na comunicação das suas conclusões os alunos utilizam termos matemáticos inadequados, embora esse uso não impeça, muitas vezes, os alunos de fazerem muitos raciocínios correctos. Em relação à comunicação e registo de ideias e de resultados, Rocha (1996) refere que os alunos são muito sintéticos fazendo apenas referência às conclusões obtidas, que muitas vezes são pouco claras devido a lacunas quer ao nível do Português quer em termos de linguagem Matemática.

No estudo de Ferreira (2005) os alunos referiram a dificuldade em explicar os resultados das explorações com o GSP ao longo da experiência. A autora indica que a necessidade de os alunos apresentarem justificações válidas para as suas conjecturas e de registarem as conclusões, fez com que se mostrassem mais reticentes em relação a este tipo de actividade. Tal como afirma Mason (1996) conseguir que os alunos escrevam sobre o seu trabalho é classicamente difícil. Poucos estão dispostos a perder tempo, voltando atrás no seu trabalho escrevendo-o.

Ponte e Matos (1996) com base num estudo efectuado com três alunos do 8.º ano na realização de tarefas de investigação num micromundo construído em LOGO consideram que as dificuldades dos alunos podem revelar-se em relação aos seus conhecimentos, processos de raciocínio ou ainda, à sua atitude perante a situação. Os alunos poderão não dispor de conhecimentos importantes para a realização da tarefa, ou não conseguir encontrar a melhor maneira de iniciar a exploração e de avaliar os resultados.

Segurado (1997) analisou com detalhe as concepções de quatro alunos do 6.º ano num estudo que envolveu a realização de tarefas de exploração e investigação e conclui que as dificuldades que os alunos apresentaram principalmente na realização das primeiras tarefas, são reveladoras das suas concepções. Para os alunos uma questão tinha apenas uma resposta e depois