As tarefas de natureza exploratória e investigativa como tarefas matemáticas

Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de descobrir, de explorar e de investigar. Só assim se pode perceber o que é a Matemática e compreender a sua função e utilidade na intervenção sobre o mundo (Braumann, 2002). Nesta perspectiva, o tipo de experiências proporcionadas aos alunos desempenham um papel relevante. A utilização de tarefas significativas poderá despertar a curiosidade e o entusiasmo dos alunos, fazendo apelo aos seus conhecimentos prévios e intuições, e envolvê-los na sua aprendizagem e na Matemática (NCTM, 2007; Ponte et al., 1997).

Vários autores têm-se debruçado sobre a natureza das tarefas na aprendizagem da Matemática (e.g., Bispo, Ramalho & Henriques, 2008; Christiansen & Walther, 1986; Ponte, 2005; Stein & Smith, 1998). Ponte et al. (1997) distinguem tarefa de actividade matemática, “as tarefas matemáticas em que os alunos se envolvem (…) proporcionam o ponto de partida para o desenvolvimento da sua actividade matemática” (p. 73). A actividade, que pode ser física ou mental, refere-se ao aluno, “àquilo que ele faz num dado contexto, podendo incluir a execução de numerosos tipos de acção” (p. 73). Quando se está envolvido numa actividade realiza-se uma determinada tarefa (Ponte, 2005). A tarefa representa, assim, o objecto da actividade dos alunos, tendo em conta a sua aprendizagem e desenvolvimento (Christiansen & Walther, 1986). Ponte et al. (1997) mencionam que a tarefa é exterior ao aluno, mas é o aluno que tem de a interpretar e ao fazê-lo pode dar origem a actividades muito diversas (ou a nenhuma), dependendo da sua disposição e do ambiente da sala de aula. De acordo com estes autores, uma tarefa envolve dois aspectos: uma dada situação de aprendizagem e um conteúdo matemático. Tanto um aspecto como o outro “devem apontar de modo sugestivo para conceitos e processos e proporcionar ao aluno uma boa oportunidade de se envolver em actividade matemática” (p. 75). Bispo et al. (2008) consideram que as tarefas matemáticas “são pretextos de interacção e colaboração entre alunos e professor, funcionando, por isso, como „motores‟ que promovem a aprendizagem e o desenvolvimento do conhecimento matemático” (p. 4).

Para Martins et al. (2002) é importante que os alunos quando trabalham conceitos matemáticos sejam confrontados com diversos tipos de tarefas, quer sejam exercícios mais orientados, quer sejam tarefas de desafio mais elevado recorrendo a um trabalho mais exploratório. É propondo “tarefas adequadas que o professor pode suscitar a actividade do aluno” (Ponte, 2005, pp. 11-12). São as tarefas e situações de aprendizagem que dão oportunidade aos alunos de se envolverem na criação da sua própria Matemática e de reflectirem sobre o seu próprio processo de

aprendizagem (Bishop & Goffree, 1986). A exploração na sala de aula, dia após dia de “diferentes tipos de tarefas conduz ao desenvolvimento de ideias implícitas nos alunos sobre a natureza da Matemática” (Stein & Smith, 1998, p. 269).

A importância da actividade desenvolvida pelos alunos, a partir de uma dada tarefa é destacada pela APM (2009), ao considerar que a “aprendizagem da Matemática é sempre produto da actividade, e se esta se reduz, por exemplo, à resolução repetitiva de exercícios para aplicação de certas fórmulas, é exactamente isto que se aprende e vai perdurar” (pp. 41-42).

Ponte (2005) considera quatro tipos de tarefas matemáticas, exercícios, problemas, tarefas de exploração e investigações, atendendo a duas dimensões fundamentais, o grau de desafio matemático e o grau de estrutura da tarefa. O grau de desafio matemático relaciona-se com a percepção da dificuldade de uma questão e varia entre os pólos de desafio reduzido e elevado e o grau de estrutura varia entre os pólos fechado e aberto. Uma tarefa fechada:

É aquela onde é claramente dito o que é dado e o que é pedido e uma tarefa aberta é a que comporta um grau de indeterminação significativo no que é dado, no que é pedido, ou em ambas as coisas (pp. 16-17).

Assim, e de acordo com o autor, os exercícios e os problemas são tarefas fechadas, distinguindo-se pelo grau de desafio, sendo os exercícios tarefas de desafio reduzido e os problemas tarefas de desafio elevado. Em contrapartida as tarefas de exploração e as investigações são tarefas abertas, tendo as investigações um grau de desafio mais elevado em relação às tarefas de exploração. Christiansen e Walther (1986) afirmam ser mais produtivo, tendo em vista as necessidades educacionais, conceber o campo das tarefas como um espectro que se estende entre dois pólos: tarefas para as quais é conhecido um procedimento completo conduzindo à solução, frequentemente chamadas exercícios e tarefas para as quais tal procedimento é desconhecido, frequentemente chamados problemas. Estes autores sublinham:

O carácter subjectivo e relativo dos problemas, no contexto de sala de aula: o que é um problema para um aluno pode não ser um problema para o seu par; e o que é um problema num nível de desenvolvimento pode ser uma tarefa de rotina num estádio posterior (p. 273).

Esta ideia é corroborada por outros autores (e.g., Abrantes 1989; Ernest 1996; Ponte, 2003a; Ponte 2005; Yeo, 2007) ao considerarem que o que é rotina para uma pessoa pode requerer uma nova abordagem por outra. Neste sentido, e tal como afirma Ponte (2005), um mesmo enunciado, pode corresponder a uma tarefa de exploração ou a um exercício, depende dos conhecimentos prévios de que o aluno dispõe. Por outro lado, é importante que a tarefa proposta

tenha significado para o aluno, de modo a emergir o desejo para a realizar (Ernest, 1996). Uma tarefa aparentemente rotineira pode tornar-se num processo de investigação e uma tarefa com características de investigação pode não conduzir a aprendizagem se o aluno não tiver interesse em explorá-la. É essencial que o aluno aceite as tarefas como parte do seu processo de aprendizagem e que a actividade educacional seja desempenhada de forma consciente. Christiansen e Walther (1986) salientam que o papel pedagógico de uma tarefa deve ser apreciado na perspectiva dos alunos (necessidades, interesses e desempenhos) e na perspectiva da interacção pretendida „à volta da tarefa‟ entre os professores e os alunos e apresentam a seguinte classificação de tarefas: tarefas rotineiras – exercícios de identificação; exercícios de algoritmos e exercícios de aplicação (problemas de palavras) e tarefas não rotineiras – Problemas de processo; problemas de pesquisa abertos e situações problemáticas.

De acordo com os autores esta separação em tarefas rotineiras e não rotineiras tem fundamento, pelo facto delas envolverem actividades e acções diferentes, dando origem a desenvolvimentos cognitivos distintos. Para vários autores, como por exemplo, Abrantes (1989), Orton e Frobisher (1996) e Ponte (2005), o valor educativo dos exercícios é claramente limitado à prática de conhecimentos já adquiridos, eles servem principalmente o propósito de consolidação de factos e técnicas. Orton e Frobisher consideram, assim, que o trabalho com tarefas rotineiras tem um contributo mínimo para a aprendizagem da Matemática, não sendo uma actividade apropriada para o desenvolvimento de novos conhecimentos. Ao contrário da resolução de problemas que é um processo pelo qual novo conhecimento pode ser descoberto. Schoenfeld (1996) refere que problemas bem escolhidos podem ser usados como ponto de partida para as discussões matemáticas, levando os alunos a pensar matematicamente.

Pólya (1995) sublinha que os alunos devem estar envolvidos em experiências matemáticas que se aproximem da actividade criativa dos matemáticos e não em procedimentos rotineiros que aniquilam o interesse e tolhem o desenvolvimento intelectual dos estudantes. Considera que se deve desafiar a curiosidade dos alunos, apresentando-lhes problemas compatíveis com os seus conhecimentos e auxiliando-os por meio de indagações estimulantes, incutindo-lhes o gosto pelo raciocínio independente e proporcionar-lhes alguns meios para alcançar este objectivo. Pelo seu lado, Gravemeijer (2005) destaca a importância de tarefas que ajudem os alunos a reinventarem a Matemática, como é o caso de problemas contextualizados que levem os alunos a construir modelos que se vão tornando uma base referencial para o nível da Matemática formal. Actividades com sentido matemático, como modelar e simbolizar, comunicar, explorar, conjecturar e provar

podem levar os alunos a envolver-se no desafio intelectual de “empurrar as fronteiras do seu próprio conhecimento” (Schoenfeld, 1996, p. 70).

Santos, Brocardo, Pires e Rosendo (2002) consideram que um ensino que incida sobre a resolução de tarefas rotineiras é desajustado e salientam que aprender Matemática deve consistir, essencialmente, em fazer Matemática:

De facto, considera-se importante que os alunos tenham oportunidades de fazer Matemática, particularmente através do trabalho com tarefas de natureza investigativa e exploratória vivendo, ao seu nível de maturidade, uma experiência com características idênticas à dos matemáticos profissionais (Santos et al., 2002, pp. 83- 84).

Também Christiansen e Walther (1986) indicam que as tarefas rotineiras, não devem ocupar um lugar central no ensino e na aprendizagem da Matemática. Na sua perspectiva, deve ser dada prioridade a processos educacionais em que os alunos estejam envolvidos, por si mesmos, em actividades de construção, exploração e resolução de problemas. Para estes autores o processo de ensino-aprendizagem da Matemática deve incluir tarefas que apoiem o desenvolvimento e uso de estratégias cognitivas relativamente às seguintes funções: investigação; inquirição; exploração; construção; argumentação racional e matematização, modelando situações externas ou internas à Matemática. Os autores sublinham que as tarefas de exploração têm: (1) um efeito cativante, uma vez que motivam e possibilitam a aprendizagem em níveis cognitivos de nível superior; (2) um efeito reactualizante no sentido em que o conhecimento e os procedimentos adquiridos se integram como ferramentas e meios necessários no desempenho de acções orientadas por finalidades e (3) um efeito produtivo pelo facto de o conhecimento e o saber fazer adquirido previamente, não serem apenas recordados para uso imediato, mas frequentemente, terem de ser moldados, modificados e desenvolvidos para se adaptarem às necessidades actuais.

Para Ponte (2005) cada tipo de tarefas desempenha um papel importante para atingir determinados objectivos curriculares. As tarefas de natureza mais acessível possibilitam aos alunos um elevado grau de sucesso, contribuindo, assim, para desenvolver a sua auto-confiança. As mais desafiantes são indispensáveis para que os alunos tenham uma efectiva experiência matemática. As de natureza mais fechada são importantes para desenvolver o raciocínio matemático nos alunos, uma vez que este raciocínio se baseia numa relação estrita e rigorosa entre dados e resultados. As de cunho mais aberto são fundamentais para o desenvolvimento de capacidades nos alunos, como a autonomia e a capacidade de lidar com situações complexas.

Ponte (2009) sublinha, porém, que as tarefas não devem ser tomadas isoladamente. Apesar de uma tarefa poder dar um contributo importante para a aprendizagem:

É o conjunto das tarefas propostas que é decisivo para que os objectivos de uma certa unidade sejam atingidos. Assim, as tarefas a propor têm de estar inter-relacionadas entre si e devem ser apresentadas aos alunos em sequências coerentes (cadeias de tarefas) de modo a proporcionar um percurso de trabalho favorável à sua aprendizagem (p. 103).

De acordo com Ernest (1996) a actividade de todos os que estão a aprender Matemática, desde que produtiva, deve envolver a formulação e a resolução de problemas. Estes são aspectos que se relacionam, de muito perto com trabalho investigativo.

A discussão dos conceitos de problema e de investigação é frequentemente difícil de conduzir, porque ambos raramente são bem definidos ou entendidos (Orton & Frobisher, 1996), todavia existe consenso em que ambos estão relacionados com a inquirição matemática (Ernest, 1996). De acordo com este autor, o conceito de investigação é problemático por duas razões. Em primeiro lugar, apesar do termo investigação ser um substantivo, ele descreve um processo: a acção de investigar; procura; inquirição; pesquisa pormenorizada. Porém, em educação matemática tem havido uma mudança de significado, é usado frequentemente num sentido mais estrito, que tende a identificar uma investigação com a questão ou situação matemática que lhe serve como ponto de partida. Assim, a mudança não só substitui o significado de toda a actividade por uma das suas componentes, como também está centrada “no professor, focando o seu controlo na „proposta de uma investigação‟ como tarefa, análoga à proposta de um problema, em contraste com uma perspectiva de investigação centrada naquele que aprende em que a actividade é conduzida por este” (Ernest, 1996, p. 29). Em segundo lugar, por se tratar de um processo gerador de novas questões, o foco da actividade muda e novas situações são geradas e exploradas, embora as investigações se possam iniciar a partir de uma questão ou situação matemática, o objectivo da inquirição é alterado por quem a conduz.

Contudo, Ernest (1996) aponta alguns aspectos que permitem caracterizar as investigações matemáticas e que as distingue de um problema, estando um deles relacionado com a formulação de questões. Num problema as questões estão formuladas à partida, já as investigações têm um ponto de partida muito menos definido, impondo-se a necessidade da formulação de questões que desencadeiem a actividade. Outro aspecto distintivo entre um problema e uma investigação relaciona-se com os seus objectivos. Num problema o objectivo está definido, cabendo ao aluno definir o caminho a seguir para chegar à solução, numa investigação parte-se à procura do

desconhecido, cabendo a quem investiga explorar todos os caminhos partindo de uma dada situação. Utilizando uma metáfora geográfica pode-se dizer que o objectivo num problema é descobrir o caminho para chegar a um determinado lugar, estando a ênfase relacionada com chegada ao destino, enquanto numa investigação “o objectivo é a viagem não o destino” (Pirie, 1987, citado em Ernest, 1996, p. 30), a ênfase está na exploração do desconhecido. A partir de uma dada situação, distintos problemas podem ser formulados e diferentes caminhos podem ser escolhidos (Love, 1996). Assim, nesta perspectiva, a resolução de problemas conduz a um processo convergente, ao contrário da exploração de uma investigação que se apresenta como um processo divergente, atendendo a que os alunos podem definir metas diferentes para prosseguir (Ernest, 1996; Yeo, 2007). Numa investigação “sendo possível concretizar de vários modos os pontos de partida, os pontos de chegada, naturalmente também podem ser diferentes” (Ponte, 2003a, p. 100). Ernest (1996) considera, ainda, que apesar dos problemas e das investigações poderem ser entendidas como abordagem pedagógica à Matemática, têm características distintas, uma vez que o papel do professor e dos alunos é diferente. Numa abordagem de resolução de problemas é o professor que formula o problema, cabendo ao aluno encontrar o caminho que o conduz à solução. Numa abordagem investigativa o professor poderá escolher a situação de partida, mas é o aluno que, em princípio, formula os problemas e as questões dentro da situação proposta e define os seus próprios caminhos.

Neste estudo as tarefas de exploração e investigação são entendidas como tarefas de cunho aberto em que é dada ênfase a processos matemáticos tais como: a formulação de questões; formulação, teste, justificação e prova de conjecturas e ainda a divulgação de resultados. Podem ter como ponto de partida uma questão ou uma situação proposta pelo professor ou pelo aluno. É de realçar que não se faz distinção entre as tarefas de natureza mais exploratória ou mais investigativa, chamando-se tarefas de exploração e investigação ou “investigações” a todas elas. Isso, porque é complicado saber à partida qual o grau de dificuldade que uma tarefa aberta terá para um certo grupo de alunos (Ponte, 2003b).

Para Braumann (2002) aprender Matemática passa por uma vertente investigativa, na qual a exploração e descoberta de estratégias são processos indispensáveis e que só se podem apreender fazendo investigação matemática. Nesta perspectiva o ensino deve ser orientado para que os alunos adquiram poder matemático, isto é, capacidades para explorar, conjecturar e raciocinar logicamente, bem como destrezas para usar uma diversidade de métodos matemáticos para resolver problemas não rotineiros (NCTM, 1991). O NCTM (1991, 1994) defende que devem ser

dadas oportunidades aos estudantes para investigar e formular questões a partir de situações problemáticas, assim como “para criar novos problemas através da modificação das condições de um dado problema” (NCTM, 1994, p. 97).

Segundo Lerman (1996) a educação matemática deve desenvolver nos alunos o sentido crítico e a capacidade de analisar situações, de estabelecer conjecturas, de formular problemas, de deduzir, de tirar conclusões e de reflectir sobre os resultados. No mesmo sentido, Love (1996) considera que os alunos devem ter oportunidade de se envolverem em actividades matemáticas que lhes permitam adoptar uma atitude crítica perante a sua aprendizagem e desenvolver a capacidade de pensar por eles próprios em Matemática.

De acordo com a APM (2009), algumas das melhores situações de aprendizagem resultam: Daquelas questões para as quais nem o professor nem os alunos conhecem os caminhos de solução, e que estão assim verdadeiramente abertas à curiosidade de todo o grupo. E das quais resultam muitas vezes processos inéditos de resolução ou mesmo pequenas descobertas (p. 46).

A importância da realização de investigações matemáticas pelos alunos tem vindo a ser defendida por vários autores (e.g., Ernest, 1996; Goldenberg, 1999; Lerman, 1996; Love, 1996; Mason, 1996; Ponte, Ferreira, Brunheira et al., 1999; Ponte et al., 2003; Santos et al., 2002) por favorecerem o envolvimento dos alunos na sua aprendizagem.

Ponte et al. (2003) afirmam que:

O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos com vista a atingir um objectivo. Esse é, precisamente, um dos aspectos fortes das investigações. Ao requerer a participação do aluno na formulação das questões a estudar, essa actividade tende a favorecer o seu envolvimento na aprendizagem (p. 23).

As explorações e investigações matemáticas podem propiciar actividades educativas importantes, no desenvolvimento e consolidação de conceitos e de ideias matemáticas e podem permitir uma visão mais ampla da Matemática, muito mais próxima da verdadeira prática do matemático (Ponte & Matos, 1996). Ao estimularem a participação dos alunos favorecendo uma aprendizagem significativa e ao proporcionarem pontos de partida diferentes facilitando o envolvimento dos alunos com diferentes níveis de competências e o reconhecimento e/ou estabelecimento de conexões, as investigações matemáticas apresentam importantes potencialidades educacionais (Santos et al., 2002). Martins et al. (2002) referem que o trabalho com investigações matemáticas pode permitir: (1) o desenvolvimento de competências matemáticas, integrando atitudes, capacidades e conhecimentos; (2) a oportunidade de abordar e

relacionar dinamicamente conteúdos matemáticos, valorizando as suas conexões e (3) uma compreensão global da natureza da actividade matemática.

As investigações matemáticas como actividades de ensino-aprendizagem ajudam a trazer para a sala de aula, o espírito da actividade matemática genuína. O aluno formula questões, estabelece conjecturas, realiza provas e refutações, justifica e apresenta resultados, argumenta e discute com os colegas e com o professor. Em particular, a exploração de investigações geométricas:

Pode também contribuir para concretizar a relação entre situações da realidade e situações matemáticas, desenvolver capacidades, tais como a visualização espacial e o uso de diferentes formas de representação, evidenciar conexões matemáticas e ilustrar aspectos interessantes da história e da evolução da matemática (Ponte et al., 2003, p. 71).

De acordo com vários autores (e.g., Ponte, Ferreira, Varandas, Brunheira & Oliveira, 1999; Martins et al., 2002) na realização de investigações matemáticas identificam-se quatro etapas. A primeira está relacionada com o reconhecimento da situação, a sua exploração inicial e a formulação de questões a investigar; a segunda refere-se ao processo de formulação de conjecturas; a terceira envolve a testagem das conjecturas e eventual reformulação e a quarta diz respeito à justificação, prova e avaliação do trabalho realizado. Martins et al. (2002) consideram que as quatro etapas são igualmente importantes, exigem tempo e não faz sentido tentar eliminar ou esquecer qualquer uma delas. Ponte (2003a) refere que cada uma destas etapas pode incluir várias actividades que são apresentadas na tabela 1.

Tabela 1 – Etapas na realização de uma investigação.

Etapas de uma investigação Actividades

Exploração e formulação de questões Identificar uma situação problemática Explorar a situação problemática Formular questões

Formulação de conjecturas Organizar dados Formular conjecturas Teste e reformulação de conjecturas Realizar testes

Refinar conjecturas Justificação e avaliação Justificar conjecturas

O autor salienta que nem sempre estas etapas seguem a ordem indicada na tabela, muitas vezes uma conjectura inicial aparece em simultâneo com a formulação das questões, o teste e validação de uma conjectura pode levar, por exemplo, à formulação de novas questões e novas conjecturas. Esta ideia é também defendida por outros autores (e.g., Brocardo, 2001; Yeo, 2007). Brocardo sublinha que a actividade investigativa envolve um ciclo marcado por vários processos matemáticos:

Que não podem ser apenas seguidos de uma forma linear e ordenada. (…) A recolha e organização de dados, a formulação e teste de conjecturas são fases do processo investigativo que devem ser percorridas tanto num sentido como noutro, sendo fundamental analisar as interacções entre elas (p. 541).

A autora usou a expressão não linearidade para resumir esta característica da actividade investigativa.

A actividade dos alunos quando se envolvem na realização de investigações matemáticas tem algum paralelo com o trabalho que os matemáticos fazem quando formulam problemas ou