As Simetrias

Esta designação é-nos familiar na linguagem e na vida correntes. Todos temos a ideia de simetria. Isso pode ser visto quando nos olhamos a um espelho, por exemplo: Do outro lado, aparece-nos uma imagem simétrica de nós mesmos.

Porém, em Matemática esta noção tem um significado mais preciso e algo diferente. Uma simetria é uma operação geométrica que, depois de efectuada, deixa qualquer objecto inalterado:

«Um princípio de simetria é simplesmente uma afirmação de que algo é idêntico a partir de certos pontos de vista diferentes […]. As simetrias da Natureza chamam-se também «invariâncias» (Weinberg, 1996: 128-129).

Por exemplo, qualquer simetria rotacional de um quadrado permite-nos entender que podemos fazer girar essa figura sobre um eixo de forma a que permaneça sempre um quadrado.

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Sublinhado nosso.

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Como são 4 os ângulos segundo os quais podemos girar o quadrado para que continue a ser um quadrado chamamos a esta operação, operação de simetria Z4. Quando se trata de outra figura geométrica conhecida, por exemplo, um triângulo, o número de ângulos seria reduzido a 3 e teríamos assim uma simetria do tipo Z3.

Já quanto ao círculo, podemos fazê-lo girar de qualquer ângulo sobre o seu eixo de rotação. Assim, dizemos que se trata de um tipo de simetria U1. O círculo roda ou gira sobre si mesmo, gerando sempre um círculo para cada eixo de rotação. A pergunta (natural) que surge de imediato será esta: mas o que tem que ver isto com a Física? Sucede que na Física das partículas foi estabelecido e demonstrado que, por exemplo, o electromagnetismo funciona segundo uma simetria do tipo do círculo, ou seja U1. As partículas que isso fazem chamam-se fotões. O mesmo se passa quanto à chamada Força Nuclear forte. Aqui, as partículas responsáveis pela simetria movem-se segundo 8 eixos de rotação (Z8) e são os gluões74 que assim se movimentam. No fim, retomam a sua condição de gluões e de fotões75 para cada um dos casos.

O que tudo isto significa, em termos necessariamente muito simples, é que, depois de uma simetria de qualquer tipo, voltamos à situação inicial e, por isso falamos em invariância. Em linguagem corrente, poderíamos falar em permanência ou em constância.

É deste tipo de análises que resultam os chamados modelos-padrão, uma síntese entre considerações algorítmicas de compressibilidade e de simetria. E, por isso, também, estes modelos-padrão constituam (mais) uma esperança para a formulação de uma futura GUT.

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Gluão: O gluão é um elemento mediador, um tipo de bosão responsável pela chamada ligação ou força forte que prende os quarks nos protões e neutrões, e ambas as partículas entre si.

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Fotão: É outro bosão (agente intermediário) que liga os electrões aos núcleos dos átomos e estes, às moléculas.

É a Matemática que se encarrega, utilizando fórmulas demasiado complexas para o nosso âmbito de estudo, de estabelecer esses modelos-padrão76 que são utilizados para a compreensão do mundo subatómico.

Em termos um pouco mais rigorosos, podemos dizer que nos últimos dois séculos o conceito de Lei da Natureza começou a significar uma série de regras de como mudam as «coisas» no espaço e no tempo.

Assim, «Conhecendo o estado de um sistema aqui e agora, procuramos um

mecanismo para prever o seu estado num tempo posterior e noutros lugares» (Barrow,

1996:34).

Os princípios que regem as simetrias dão-nos algumas pistas. Em termos Físicos as simetrias implicam invariâncias ou seja, mesmo que algo mude, no fim algo nunca muda.

O estudo das invariâncias conduziu os matemáticos a um ramo da Matemática designado por Teoria de Grupos77. Isto sumariamente serve para dizermos que cada uma das leis básicas da Física corresponde a uma invariância que, por sua vez é equivalente a um conjunto de variações que formam um grupo de simetria.

No caso do nosso quadrado, continuou a ser um quadrado (invariância) não obstante termos previsto 4 eixos de rotação diferentes (conjunto de variações) e mesmo assim manteve-se igual: é um grupo de simetria.

Passemos à interpretação e análise (sumária) do significado de simetria em Física. Pensemos na 1ª Lei da Termodinâmica, por exemplo, e na invariância das leis do movimento, depois.

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O Modelo-Padrão, já estabelecido pela Física, unifica as forças Forte, Fraca e Electromagnética. Porém, infelizmente, não as pode associar à Gravidade (por enquanto). Se assim ocorresse, poderíamos estar no umbral de uma GUT.

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Um «Grupo» é uma série de variações e da correspondente invariância a elas associada. Esse «Grupo» tem de possuir três propriedades: deve existir a possibilidade de não haver variação; deve poder inverter- se o estado final para o inicial e qualquer resultado deve poder ser atingido por uma única variação. Aqui continuamos a falar de simetrias. Repare-se que na rotação das figuras geométricas propostas, apesar de haver movimento deu-se uma invariância: todas continuaram a ser as mesmas figuras.

Parecem noções muito afastadas uma da outra. Porém, como escreve Barrow,

«A conservação da energia é equivalente à invariância das leis do movimento, no que respeita às translações para trás e para a frente no tempo» (Barrow, 1996: 35).

Ou seja, dois fenómenos aparentemente dissociados aparecem como resultado de uma equivalência (ou simetria). Hoje sabe-se que cada lei em física está associada a uma lei da conservação e que a simetria das leis físicas em relação à translação espacial implica a conservação da quantidade de movimento (momento)78.

Porém, existem outras simetrias (ou invariâncias como, por exemplo, a Simetria de Gauge79). Não é este o local adequado para procedermos à análise do Teorema de Noether80 ou de qualquer outro.

O que podemos reter é que parece haver, nas aparentes e sucessivas mudanças no universo físico, algumas invariâncias (conservação) que têm servido aos físicos das partículas para desenvolverem as suas noções e suportarem teorias, que poderão vir a desembocar numa GUT.

Aliás, Barrow escreve mesmo que «A fé cega na simetria dá-nos uma receita

eficiente para a geração de teorias candidatas à explicação da interacção das partículas elementares» (idem, 37).

O mesmo autor prossegue concluindo que

«A procura da Unificação (GUT) actua, procurando fazer penetrar os diferentes padrões particulares preservados pelas várias forças da Natureza num único padrão completamente unificado no qual caibam [todos] os subpadrões» (idem 37).

Se fosse Lederman a dizer isto, certamente que resumiria tudo numa «equação final».

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Isso é-nos dito pelo Teorema de Noether.

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É o tipo de simetria que podemos aplicar a um objecto como um círculo. Qualquer que seja o ângulo de rotação, segundo um eixo que passe pelo seu centro geométrico, mantém-se sempre um círculo.

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«Uma simetria das leis da Natureza [significa que] quando fazemos determinadas mudanças do nosso ponto de vista a partir do qual observamos os fenómenos naturais, descobrimos que as leis da Natureza se não alteram» (Weinberg, 1996:129).

Isto é muitíssimo importante pois mostra-nos que as leis da Natureza se mantêm: nós é que mudamos. Aliás, o mesmo autor prossegue, escrevendo «As

simetrias que são realmente importantes na Natureza não são as simetrias das coisas mas a simetria das leis» (idem, 129).

Aliás, a própria Teoria das Cordas obedece a princípios de simetria. Ora, essa teoria representa um esforço notável que os físicos das partículas fizeram- e continuam a fazer - no seu caminho de uma, talvez, mítica «Teoria de Tudo».