2. Fundamentos teóricos das junções Josephson
2.1 Aspectos fenomenológicos
Em 1964 Brian D. Josephson [5] mostrou que numa JJ a supercorrente† de tunelamento para uma diferença de potencial aplicada zero é dada por: 𝐼𝑆 = 𝐼𝑐sin 𝜙 , onde 𝜙 é a diferença de
fase das funções de onda nos dois supercondutores, e Ic a corrente crítica. Josephson também
prediz que: d/dt2eV /, = h/2, h é a constante de Planck e, e é a carga do elétron, V é diferença de potencial aplicada na JJ. Assim, a energia 𝜈, é igual à energia do par de Cooper que tunela a barreira. E, por último, quando um campo magnético constante é aplicado perpendicularmente a uma JJ, efeitos de interferência fazem com que a supercorrente total dependa da intensidade do campo magnético‡. Portanto, basicamente são três os fenômenos presentes numa JJ: (a) efeito Josephson dc; (b) efeito Josephson ac; (c) junções Josephson em um campo magnético.
2.1.1 Supercondutores acoplados
Consideraremos agora dois supercondutores SEs e SD separados por uma distância
macroscópica. Nesta situação as fases dos dois supercondutores podem mudar independente. Consideremos agora quando os dois supercondutores estão perto um do outro; nesta situação quase-partículas podem tunelar de um lado para o outro. Se reduzirmos ainda mais essa distância de separação entre SE e SD, então, podemos ter pares de Cooper tunelando à barreira
(tunelamento Josephson). Nesta situação o grau de liberdade é removido, devido à correlação
†
No estado supercondutor, os portadores são denominados de pares de Cooper, que se encontram em um estado quântico macroscópico descrito por: 𝜓 𝑟 , 𝑡 = 𝜓 𝑟 , 𝑡 𝑒𝑖𝜙 𝑟 ,𝑡 .
36
de fase entre os dois supercondutores, isto é, uma ordem de longo alcance é transmitida através da fronteira. Portanto, espera-se que este sistema composto por dois supercondutores e separado por uma fina barreira, seja assumido como um simples supercondutor. Este fenômeno é muitas vezes chamado de “supercondutividade fraca”, Anderson 196 [30], devido a exibir pequenos valores dos parâmetros críticos. Esta definição de Anderson pode-se considerar como a abertura deste campo na supercondutividade. Neste caso a junção estudada por Anderson foi Sn-SnxOy-Pb.
2.1.2 Tunelamento de um simples elétron
Tunelamento em materiais supercondutores inicia-se com o experimento de Giaever [6] em 1960, e em outros como Nicol, Shapiro e Smith. Estudaremos a estrutura mostrada na Figura 2.1, a qual consiste de dois filmes (metal) separados por uma barreira (dielétrico), estudando o tunelamento da corrente I com respeito à tensão na junção.
Figura 2.1: Tunelamento através da JJ e sua geometria, com largura L e W, respectivamente.
Para visualizar este processo de tunelamento, adotaremos uma representação gráfica simples em termos do diagrama de energia E e o momento k. O metal normal é representado no plano
E-k pela curva mostrada na Figura 2.2(a), a linha pontilhada corresponde à porção de baixo da
parábola que representa a energia de Fermi EF (estados eletrônicos preenchidos e semi-
preenchidos ou buracos). Esta criação do par elétron-buraco é atingida com a excitação de dois estados de energia: El = |l| e Eh = |h| respectivamente (ver Figura 2.2). Todos os estados
excitados têm energia positiva com respeito à EF. No caso de um supercondutor, todos os
pares condensados estão em torno do nível de Fermi e uma energia mínima (gap de energia) é requerida para uma excitação como se mostra na Figura 2.2(b).
37
(a) (b)
(c)
Figura 2.2: Diagrama de Momento-Energia (a) metal normal (b) metal supercondutor e (c) processo de tunelamento entre dois eletrodos metais normal.
Estas são as excitações das quase-partículas e possuem uma energia 𝐸 = 𝜀2+ ∆2 1/2. A partir disto, uma correspondência um a um entre E e é a seguinte: N(E)dE=()d; onde
N(E) e () são as densidades no estado supercondutor e normal respectivamente.
No caso de que o gap de energia seja independente da temperatura (aproximação BCS), podemos ter as seguintes aproximações para as densidades do estado:
2 2 0 E 0 E E N E N E E N E 2.1Da teoria fenomenológica proposta por Giaver e Megerle [7], a corrente tunelando 𝐼𝐸𝑠→𝐷 do
eletrodo esquerdo para a direita é dada por:
𝐼𝐸𝑠→𝐷 = 2𝜋
ℏ 𝑇 2𝑁𝐸𝑠 𝐸 𝑓𝐸𝑠 𝐸 𝑁𝐷 𝐸 1 − 𝑓𝐷 𝐸 𝑑𝐸
+∞
−∞
38
Onde fD(E)( fEs(E)) é o fator do Fermi: 𝑓𝐸𝑠 =
1 (1+𝑒
𝐸 𝑘𝐵𝑇)
, e NEs (ND) é a densidade dos estados
esquerda (direita) no metal, kB é a constante de Boltzman. |T| é o elemento da matriz de
tunelamento entre os estados de igual energia. A equação (2.2) mostra que a corrente a partir da esquerda (Es) para direita (D) é proporcional a: (i) a probabilidade de tunelamento (ii) o número de elétrons disponível da esquerda (fração dos estados preenchidos, NEsfEs) e (iii) o
número de estados possíveis da direita (fração de estados sem preencher ND(1-fD)). Trocando
os índices D e Es, podemos obter a seguinte equação análoga à (2.2).
𝐼 = 𝐼𝐸𝑠→𝐷− 𝐼𝐷→𝐸𝑠 =2𝜋
ℏ 𝑇 2𝑁𝐸𝑠 𝐸 𝑁𝐷 𝐸 𝑓𝐸𝑠 𝐸 − 𝑓𝐷 𝐸 𝑑𝐸
+∞
−∞
2.3
Se for aplicada uma tensão elétrica V na junção os níveis da energia de Fermi D e Es podem
ser relativamente deslocados com uma energia eV e assim:
𝐼 =2𝜋
ℏ 𝑇 2 𝑁𝐸𝑠 𝐸 𝑁𝐷 𝐸 𝐸 + 𝑒𝑉 𝑓𝐸𝑠 𝐸 − 𝑓𝐷 𝐸 + 𝑒𝑉 𝑑𝐸
+∞
−∞
2.4
Onde |T| é assumido independente da energia.
Consideraremos dois estados normais (metal) e, partiremos da seguinte hipótese: NEs e ND são
constantes e com densidades de estado iguais para o mesmo nível da energia de Fermi. Portanto, a corrente tunelando entre os dois metais normais é: 𝐼𝑁𝑁 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 × 𝑓 𝐸 −−∞+∞ 𝑓𝐸+𝑒𝑉𝑑𝐸.
Com 𝐼𝑁𝑁 = 𝜍𝑁𝑉. A constante N, é a condutividade no estado normal.
No plano E-k o processo de tunelamento entre os metais normais é representado na Figura 2.2(c). A transferência de um elétron da esquerda para a direita cria um buraco na esquerda e um elétron na direita.
Quando esses dois metais estão no estado supercondutor a situação é totalmente diferente. A densidade de estados é agora dada pela expressão (2.1). Portanto, a corrente de tunelamento na junção com os dois eletrodos supercondutores é dada por:
39
1/ 2 1/ 2 2 2 2 2 | | | | SS E D E E eV I const f E f E eV dE E E eV
2.5Esta integral tem que ser resolvida numericamente. Para T 0 é observada uma singularidade
logarítmica para uma corrente ISS com uma diferença de potencial: 𝑉1 = ± ΔD − ΔE /𝑒, e uma
descontinuidade finita para 𝑉2 = ± ΔD + ΔE /𝑒; esta descontinuidade está relacionada com o
gap de energia. A Figura 2.3(a) mostra o resultado da solução da equação (2.5) das curvas
características VI, e a Figura 2.3(b) mostra os resultados experimentais para esse tipo de
junção. O tunelamento de um simples elétron entre dois supercondutores é ilustrado na Figura 2.4 (a).
Figura 2.4: Processos de tunelamento de quase-partículas entre supercondutores com uma tensão de polarização dc. (a) Quebra de pares (b) Tunelamento direto da quase-partícula por excitação térmica.
(a) (b)
Figura 2.3: (a) Curva teórica característica VI de uma junção com diferentes eletrodos – supercondutores V1 = D-E/e, e V2 = D+E/e (b) Curva característica VI observada para uma junção Sn-SnxOy-Pb [8].
40
O processo mostra a destruição de um par elétron-buraco no sistema. Igualando as energias envolvidas nos estados, inicial e final dado por: 2𝑒𝑉 = 𝐸𝐸𝑠+ 𝑒𝑉 + 𝐸𝐷, a mínima energia para a qual o processo é possível é dada por: 𝑒𝑉 = ΔD + ΔEs. Para T > 0, ou na presença de
partículas injetadas (a partir de uma fonte de corrente) a um eletrodo supercondutor. A relação entre a tensão aplicada e a energia da quase-partícula nos estados inicial e final é: 𝑒𝑉 = ΔD − ΔEs.
O mínimo valor de V neste caso é zero. Quando 𝑉 = ± ΔD + ΔEs /𝑒, a densidade de estados
nos dois supercondutores com: EE = Es e ED = D, resultam numa singularidade logarítmica
na curva característica VI (Figura 2.3).