Efeitos de tamanho-finito em redes de junções Josephson

Na seção 4.2 e 4.3 foram mencionados os efeitos de tamanho finito em RJJ’s. No entanto, em ausência de um campo magnético aplicado é observado uma transição de BKT, para RJJ’s. No limite termodinâmico quando uma rede com: 𝑁 → ∞ e a corrente aplicada 𝐼 → 0, tal que: 𝐼𝑁 → ∞, e a curva VI cumpre a relação 𝑉~𝐼𝛼 𝑇 , onde o expoente 𝛼 𝑇 ≥ 3 quando T<TBKT

e 𝛼 𝑇 = 1 para T>TBKT.

Porém, em muitos experimentos é observado que para redes curtas a relação mencionada acima para T<TBKT chega a ser linear quando a corrente aplicada é reduzida abaixo do valor

inicial. Uma explicação disto é devido ao campo magnético residual, induz vários vórtices livres e outro são os efeitos intrínsecos. Porém, experimentos em grandes redes mostram um comportamento não linear para T<TBKT a baixas correntes, o qual insinuaria uma relação

linear para T<TBKT, e um comportamento não linear devido ao efeito de tamanho finito.

Para este problema o comportamento do sistema é controlado por escalas de comprimento: o tamanho linear de N arranjos, o comprimento de corrente 𝜉_𝐼 = 𝐼₀/𝐼, que é o máximo tamanho de um par de vórtices ligados na presença de uma corrente I, e o comprimento de correlação

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térmica 𝜉 𝑇 , que diverge com 𝑇 → 𝑇_𝐵𝐾𝑇+ e é inifinta para 𝑇 ≤ 𝑇_𝐵𝐾𝑇. Acima de 𝑇_𝐵𝐾𝑇 𝜉 = 𝜉+ 𝑇 pode ser interpretado como o tamanho de um grande par ligado que é estável contra as

flutuações térmicas, quando pares ligados de todos os tamanhos existem para 𝑇 ≤ 𝑇_𝐵𝐾𝑇. A essencial diferença é que, para T>TBKT existe uma densidade finita dos vórtices livres devido

às excitações térmicas, permitindo uma resistividade linear 𝑅~𝜉₊−2_{, enquanto para T<T}

BKT só

existe vórtices livres devido às correntes de desligação dos pares de vórtices que permitem a relação não linear nas curvas características VI.

Assumindo uma escala para a resistividade R, a qual é consistente com a re-normalização de grupo é:

𝑉/𝐼 = 𝑒−𝑧𝑙_{ℛ 𝑁𝑒}−𝑙_{, 𝜉𝑒}−𝑙_{, 𝜉}

𝐼𝑒−𝑙, l/ln 𝜉− 4.4

Onde o expoente dinâmico z=2, e ℛ é uma função de escala desconhecida. Esta escala é familiar com muitas outras funções de escalas, com exceção da combinação 𝑙/ ln 𝜉₋, sendo uma conseqüência da relevância e irrelevância de escala no sistema. O último efeito destes é produzido pela temperatura e a corrente com uma dependência da lei de potências. Pode-se obter alguma informação a partir da escala escolhendo um valor de l para o qual a função escala ℛ pode ser calculada [120]

.

Fazendo suposições apropriadas do comportamento da função escalar desconhecida ℛ nos vários limites, todos os comportamentos esperados podem ser reproduzidos e esperamos mudanças qualitativas quando uma das relações de comprimentos é da ordem da unidade. Claro que, cálculos dinâmicos reais deveriam ser feito para determinar a forma funcional da escala l.

As equações dinâmicas para a fase e a tensão elétrica de um grão supercondutor no lugar n cumprem a conservação da carga (equação (2.13)) para cada ilha (cada grão dentro da amostra bulk representa uma ilha); portanto, podemos escrever: 𝐶𝑑𝑉_𝑑𝑡𝑛 = 𝐼0 𝑚 sin 𝜐𝑚 − 𝜐𝑛 +

𝑅−1 _𝑉

𝑚 − 𝑉𝑛

𝑚 + 𝑚 𝐼𝑚𝑛𝑡𝑕 .

A soma acima 𝑚 é feita sobre todos os vizinhos próximos do lugar n e 𝐼_𝑚𝑛𝑡𝑕 _{é a corrente do}

ruído térmico na ligação mn, satisfazendo a relação de flutuação: 𝐼_𝑖𝑗𝑡𝑕 _{𝑡 𝐼}

𝑘𝑙𝑡𝑕 𝑡′ = 2𝑇

𝑅 𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 − 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘 𝛿 𝑡 − 𝑡′ . As equações de movimento e dos potenciais no lugar n no

interior da junção são escritas da seguinte maneira:

𝑑𝜐𝐸

𝑑𝑡 =

2𝑒𝑉𝐸

127 𝑑𝜐𝐷 𝑑𝑡 = 2𝑒𝑉𝐷 ℏ , 𝐶𝑑𝑉𝐸 𝑑𝑡 = 𝐼 + 𝐼0𝑁−1 sin 𝜐𝑖 − 𝜐𝐸 𝑁 𝑖=1 + 𝑅−1𝑁−1 𝑖=1𝑁 𝑉𝑖 − 𝑉𝐸 + 𝑁𝑖=1𝐼𝑖𝐸𝑡𝑕 e, 𝐶𝑑𝑉𝐷 𝑑𝑡 = 𝐼 + 𝐼0𝑁 −1 _{sin 𝜐} 𝑖 − 𝜐𝐷 𝑁 𝑖=1 + 𝑅−1𝑁−1 𝑖=1𝑁 𝑉𝑖− 𝑉𝐷 + 𝑁𝑖=1𝐼𝑖𝐷𝑡𝑕.

Onde I é a corrente por laço injetado pelo lado esquerdo e extraído pela direita. A soma é para todos os i lugares de N ligados na rede.

M. V. Simkin e J. M. Kosterlitz mostram os resultados de suas simulações para RJJ’s quadradas com: N = 4, 8, 16, 32 e 64 para T = 0,8, 1,0, 1,1 e 1,3 com TBKT = 0,89 [120]. Os

resultados dessas simulações são mostrados na Figura 4.5, onde a relação VI para T fixo é

mostrada para diversos tamanhos da rede. Na Figura 4.5(a) é mostrado para T=0,8<TBKT. Para

esta temperatura, é esperado que 𝜉− seja pequeno relativo a todos os tamanhos da rede N. A

tensão V depende principalmente de: 𝜉𝑙/𝑁 e, para a escala proposta: 𝑉~𝜉𝑙−𝛼 𝑇 quando

𝜉𝑙 < 𝑁, e V~I quando 𝜉𝑙 > 𝑁, com uma intersecção entre os dois comportamentos quando

𝜉_𝑙/𝑁 = 𝑂 1 . Os dados da Figura 4.5(a) são completamente consistentes com esta hipótese da intersecção, tanto para o ramo não linear e ôhmico linear o comportamento acontece quando a corrente 𝐼𝑥/𝐼0 = 1/𝑁, o qual corresponde a 𝜉𝑙 = 𝑁. Essa intersecção concorda com

os dados experimentais para redes curtas, tal como é citado em [120].

A explicação teórica dessa intersecção para o comportamento ôhmico para pequenas correntes com: T<TBKT é simples. A origem da relação não linear para VI em supercondutores 2D para T<TBKT, é que pares de vórtices com separação 𝑟 > 𝜉𝑙 = 𝐼0/𝐼, são desligados por essa

corrente aplicada I com uma taxa: ~ 𝐼/𝐼₀ 2𝜋𝐾𝑅 𝑇 _{e são reformados à taxa} ~𝑛

𝑣2. No estado

fixo, essa taxa é: 𝑛_𝑣~ 𝐼/𝐼₀ 𝜋𝐾𝑅 𝑇 _{. Devido à resistividade ser:} 𝑅 = 𝑉/𝐼 ∝ 𝑛

𝑣; o qual verifica

os resultados de AHNS [106], tendo 𝛼 𝑇 = 𝜋𝐾_𝑅 𝑇 + 1. Notemos que essa relação é observada na Figura 4.5(a) que é bastante razoável com o valor do expoente 𝛼 𝑇 = 0,8 =3,8 com o resultado teórico e 4,5 em [121].

Se: 𝜉_𝑙 > 𝑁, pares de vórtices não são desligados pela corrente aplicada, disto: 𝑟 > 𝜉_𝑙, resultando uma fonte de vórtices livres por excitação térmica no sistema finito com 𝑛_𝑣 = 𝑁−𝜋𝐾𝑅 𝑇 _{, o qual fornece uma pequena resistência linear que decresce quando N aumenta.} Quando T>TBKT a escala de comprimento térmico é: 𝜉+ 𝜏 ≈ 𝜉−2𝜋 −𝜏 .

Onde: 𝜏(= 𝑇 − 𝑇_𝐵𝐾𝑇 /𝑇_𝐵𝐾𝑇) é a temperatura reduzida [106]

. Esse comprimento de correlação é muito maior que 𝜉₋ −𝜏 para o mesmo 𝜏 e não pode ser considerado pequeno com respeito à 𝜉_𝑙 o para N nessas redes.

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Para pequenas correntes aplicadas 𝐼/𝐼₀ < 1/𝜉₊, o sistema contém pares de vórtices ligados com separação 𝑟 < 𝜉₊, e também vórtices livres com densidade 𝑛_𝑣 ≈ 𝜉₊−2. A dissipação é dominada por esses vórtices livres que permitem o comportamento ôhmico em VI com

resistividade ∝ 𝑛_𝑣. Porem, para grandes correntes, 𝜉_𝑙 < 𝜉₊ a escala de comprimento da corrente controla a dissipação e é esperado um mecanismo similar de pares de vórtices desligados e re-ligação quando: 𝜏 < 0 conduzindo a 𝑉~𝐼𝛼 𝑇 _{com 1 < 𝛼 𝑇 < 3.}

Figura 4.5: Curvas características VI (i=I/I0 Vs. v=V/RI0), para redes de tamanho N= 4, 8, 16, 32 e 64. (a) T=0,8 (b) T=1,0

(c) T=1,1 (d) T=1,3. Figura extraida de [120].

Os resultados das simulações para T>TBKT são mostrados na Figura 4.5(b)-(d). É claro que

essa intersecção a partir da parte linear para a não linear das curvas VI seja governada pela

competição entre três escalas de comprimentos N, 𝜉_𝑙, 𝜉₊ 𝑇 . Para T=1,3 (Figura 4.5 (d)) é esperado que o comprimento térmico 𝜉₊ seja pequeno, por outro lado, a relação VI é

independente do tamanho da rede e os dados podem ser interpretados assumindo que: 𝜉₊< 𝑁 para todas essas redes, e a intersecção entre o comportamento linear e não linear é controlado por: 𝜉₊/𝜉_𝑙 com 𝜉₊ 𝑇 = 1,3 ~4.

Até agora os resultados da simulação de M. V. Simkin e J. M. Kosterlitz mostram que as curvas características VI de supercondutores são responsáveis pelo domínio do efeito do

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efeitos. Redes de grandes tamanhos parecem ser essenciais para fazer uma significante comparação entre a teoria e experimento ou simulações numéricas.

Qualquer rede de tamanho finito vai apresentar vórtices livres para 𝑇 ≠ 0. O atual número de vórtices livres, e o correspondente efeito sobre as propriedades de transporte elétrico da rede, dependem de uma maneira complexa do tamanho da rede e da energia do acoplamento, que depende da temperatura (isto está apresentado nos resultados experimentais, capítulo 7). Na presença de pequenas excitações externas (injeção de corrente), os vórtices livres se movimentam, criando um fluxo de fluído resistivo, e conseqüentemente, vemos uma resposta ôhmica nas curvas VI. Quando T decrementa, mais e mais vórtices chegam a ser ligados em

pares, e a magnitude do fluxo do fluído resistivo diminui.

Minnhagen et al [121] prediz uma forma ligeiramente diferente o valor de 𝛼 𝑇 =2𝜋𝐸_𝑘 𝐽 𝑇 𝐵𝑇𝜖𝑐 − 1. Recentes medidas em redes acopladas e supercondutores tipo II mostram uma boa concordância com essa expressão [122].

4.5 Transporte coletivo de pares de Cooper numa rede de junções