Na teoria assintótica, supõe-se que o tamanho da amostra tenda para infinito e, portanto, pode ser considerada aproximadamente válida para as situações em que se tem amostras grandes No presente

contexto, em que n = Mm, considera-se m fixo e M tendendo para infinito.

12 O conceito de eficiência relativa entre dois estimadores é apresentado na seção 3.1.

( m - l) /m , onde m é o número de replicações. 12 Logo, se houver apenas duas

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-i

p(j+» = p(j) + ^ e " í,,ê(J,X|X'j S x ie-Vê<j)(y; - Xi'p<j)) (2.38)

0<j+u = §ü) + ^ 2 ^ ' ) e-vê<i)(y; - x;'3(j)) 2 - 1] (2.39) Harvey (1976) compara, em termos assintóticos, o EMV com o estimador de MQO com transformação logarítmica, na estimação de 0. Observa que o EMV é bem mais eficiente, pois o termo de escala da variância do EMV é igual a 2, enquanto a variância estabilizada com a transformação logarítmica é igual a 4,9348. Por outro lado, Ferrer e Homero (1993) mostram, através de estudos de simulação do tipo Monte Cario, que o método MV pode ser inferior ao MQO com transformação logarítmica em amostras pequenas. Por exemplo, num problema de regressão simples, com amostra de tamanho 11, a estimativa do modelo da variância por MV apresentou como variância do erro o valor 6,7 e, portanto, superior ao valor estabilizado pela transformação logarítmica (4,9348). Engel e Huele (1996) fazem comentários análogos, porém não mostram os resultados.

Carroll e Ruppert (1982a) observam que os EMV são muito sensíveis (ou pouco robustos) á presença de valores discrepantes e à má especificação dos modelos funcionais da média e da variância. Em relação à presença de valores discrepantes, Carroll e Ruppert (1982b) e Giltman et al. (1986) sugerem MV ou MQG acompanhados de técnicas de estimação robustas. Observa-se, contudo, que o processo de estimação torna-se demasiadamente complexo neste caso.

Vários autores, tais como Harville (1977), Carroll e Ruppert (1988) e Verbyla (1993), sugerem embutir na equação (3.39) a perda dos graus de liberdade na estimação do modelo da média. Este método costuma ser referenciado como máxima verossimilhança restrito e produz estimativas mais precisas do que o método MV, especialmente quando o número de parâmetros é relativamente grande em relação ao número de ensaios do experimento.

Aitkin (1987), Gordon e Smyth (1989), Grego (1993) e Nelder e Lee (1998) enfatizam a utilização da metodologia dos modelos lineares generalizados (GLM) no processo de estimação conjunta dos parâmetros dos modelos da média e da variância do processo. Esta metodologia permite fazer estimativas por MV (ou MV restrita)

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para uma ampla família de distribuições de probabilidade, embora o caso em que a resposta tenha distribuição normal é citado com maior ênfase.

2.2.6 - Modelos com efeitos de locação e de dispersão

Vários autores, dentre eles Welch et al. (1990), Shoemaker et al. (1991) e Lucas (1994), fazem uso de um modelo misto para as observações considerando os fatores controláveis, xi, x2, ..., Xk, como fixos e os fatores de ruído, uh u2, ..., «l, como aleatórios. Considera-se que os principais fatores de ruído que afetam a qualidade, tais como variações não controláveis do processo, fatores ambientais e diferentes condições de uso, possam ser simulados em laboratório durante a realização do experimento. Modelando adequadamente as observações, consegue-se gerar modelos para a média e variância do processo, a partir do ajuste de uma única

equação de regressão por MQO.

Para a aplicação deste método, toma-se necessário um bom conhecimento sobre os fatores de ruído, pois considera-se que toda a parte estrutural da variância esteja contemplada nos fatores de ruído incluídos no modelo. Além disso, precisa-se conhecer a média e a variância de cada fator de ruído.

Seja o seguinte modelo, que envolve efeitos lineares dos fatores de controle e de ruído, efeitos quadráticos dos fatores de controle e interações entre fatores de controle e de ruído:

y = Po + x7?i + x’/?2x + u% + x’cp u + 8 (2.38) onde: y é a variável resposta;

Po é o termo constante;

x é o vetor de fatores controláveis;

/?i é o vetor de coeficientes dos termos lineares dos fatores controláveis;

>02 é a matriz de coeficientes dos termos quadráticos dos fatores controláveis, sendo que a diagonal principal é formada pelos coeficientes dos termos quadráticos puros e fora da diagonal principal, pelos coeficientes dos termos de interação divididos por dois (análoga à matriz B da expressão 2.19);

u é o vetor de fatores de ruído, onde supõe-se que cada elemento tenha

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t, é o vetor de coeficientes dos termos lineares dos fatores de ruído;

<p é a matriz de coeficientes dos termos de interação entre fatores controláveis e de ruído e

s é o termo de erro, assumido com média zero e variância a2

Se conveniente, pode-se também incluir termos quadráticos para os fatores de ruído e interações entre fatores controláveis e entre fatores de ruído. Contudo, conforme pondera Myers e Montgomery (1995, p. 492), o modelo apresentado satisfaz a maioria das aplicações práticas. Aplicando-se o operador de valor esperado e de variância em (2.38), tem-se os seguintes modelos para a média e para a variância do processo:

Hy =|3o + x’# + xTfex (2.39)

f

a 2, = K ’ + x » ( Ç ’ + x » , o ; + o 2 = (240) onde: o \ é o vetor de variâncias dos fatores de ruído e

a2 é a variância do termo de erro.

Observa-se na expressão (2.40) que o vetor de parâmetros ô caracteriza a relação da variância do processo com o vetor x de fatores controláveis. Isto significa, por exemplo, que, se (p = 0, então a variância não depende de x e, portanto, não se tem um problema de projeto robusto.

A estimação dos parâmetros do modelo (2.36) pode ser feita por MQO. Seja a seguinte equação de regressão obtida após a aplicação de MQO:

y =bo + x’b + x’B x + u’c + x’d u (2.41) Ao contrário dos casos anteriores, onde o modelo estimado da resposta coincidia com o modelo estimado da média do processo, a equação (2.41) agrega os dois modelos. Eles podem ser escritos através da substituição dos parâmetros das equações (2.39) e (2.40) pelas suas respectivas estimativas, dadas na equação (2.41), resultando em:

p.y - bo + x’b + x’B x (2.42)

o2 = (c’ + x ’d) (c’ + x ’d)’a2 + ô2 (2.43) onde c2 é o resíduo quadrático médio da equação de regressão (2.41).

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Shoemaker et al. (1991) comentam que a maior vantagem de se obterem as equações da média e da variância por este processo é a possibilidade de se fazerem experimentos com menor número de ensaios, pois pode-se combinar fatores de controle com fatores de ruído, ao contrário do processo usual, onde necessita-se

cruzar todos os fatores de controle com todos os fatores de ruído. Lucas (1995)

apresenta um quadro comparativo do número de ensaios necessários em cada abordagem, para diferentes projetos de experimentos. Fica evidente no artigo de Lucas que o número de ensaios, quando se usa a presente metodologia, é bem menor do que na forma clássica. Rosenbaum (1996) discute aspectos teóricos da combinação entre fatores de controle e de ruído, mostrando também como construir tais projetos experimentais a partir de confundimentos de projetos fatoriais fracionados, que são usualmente tabelados em livros textos.

Uma desvantagem da abordagem apresentada neste tópico, também apontada por Shoemaker et al. (1991), é que ela depende muito fortemente das suposições sobre o modelo. Se algum fator de ruído relevante for excluído do modelo, as equações deixam de representar adequadamente os processos. Além disso, é necessário que os engenheiros do processo conheçam as médias e variâncias dos fatores de ruído ou se faça um estudo observacional para estimá-los.

Engel e Huele (1996) sugerem substituir ô2 na equação (2.41) por uma função dos fatores do processo xi, x2, ..., Xk, obtida por um dos métodos anteriormente discutidos. Desta forma, a variância do processo seria formada pela agregação de duas equações. A primeira sendo constituída do primeiro termo de (2.41), a qual modela os efeitos dos ruídos produzidos no laboratório, e a segunda, formada pelo ajuste de um modelo de regressão entre os resíduos quadráticos (ou as variâncias amostrais) e os fatores do processo, a qual permite modelar os efeitos dos ruídos não incluídos no experimento de laboratório. O ajuste da segunda equação pode ser feito pelo método S2 (quando houver replicações) ou pelo método RQ, tal como discutido nas seções anteriores.

Wolfinger e Tobias (1998) apresentam uma extensão do modelo (2.38), incluindo também fatores aleatórios propriamente ditos. Estes fatores são aqueles cujos níveis podem ser considerados como sendo aleatoriamente selecionados de uma

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população infinita. São fatores tais como canteiros em experimentos agrícolas ou as fornadas e lotes em experimentos industriais, que entram nos experimentos devido a limitações para se considerarem, em condições idênticas, todas as combinações de níveis desejadas. Wolfinger e Tobias descrevem a função de verossimilhança deste modelo ampliado e um método para maximizá-la, permitindo-se, assim, encontrar simultaneamente todas as estimativas de interesse.

Várias aplicações têm sido realizadas com modelos que incluem os ruídos como variáveis independentes na equação de regressão da resposta. Por exemplo, Welch et al. (1990) e Welch et al. (1992) apresentam aplicações em experimentos simulados por computador, Schoemaker et al. (1991) ilustram o método em um experimento de circuitos integrados e Steiner e Hamada (1997) aplicam esta metodologia em experimentos com mistura.