De maneira informal, diz-se que um estimador é consistente quando ele tende para o verdadeiro

parâmetro na medida em que o tamanho da amostra (n) tende para infinito. Propriedades

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e

(4.18)

com = o, p.0 = 1 e pi/* = 0,5 (£ = 1, 2 e i < j = 1, 2, 3, 4). Os super-índices dos coeficientes, que indicam o número da equação, serão suprimidos quando não houver risco de confusão. Ambas as equações das variâncias foram geradas pelo mesmo padrão, dada pela expressão

com 0o = 0, 0j = 0,693, 02 = 0,549 e 03 = 0,347.

Os termos aleatórios foram gerados pela distribuição normal bivariada de variâncias unitárias e correlação pi2. Utilizaram-se duas situações: pn = 0,4 e pi2 = 0,8. As equações das médias, as equações das variâncias e os termos aleatórios foram agregados conforme as expressões gerais (4.1) e (4.2).

Experimento CCD. Realizado com três fatores, ensaiados com 8 pontos fatoriais nas combinações de x; = ±1 (i = 1, 2, 3), 8 pontos axiais em x; = ±1,682 e xj = 0 (j * i = 1, 2, 3) e 4 pontos centrais Xj = 0 (i = 1, 2, 3). Esta estrutura foi repetida três vezes (3 replicações), totalizando 60 ensaios. As equações das médias foram geradas pelas equações

As equações das variâncias e os termos aleatórios foram gerados da mesma forma do que no experimento anterior, assim como a especificação da correlação e a agregação das equações e dos termos aleatórios para a composição das respostas bivariadas.

Conforme a teoria de sistemas SUR (ver, por exemplo, Srivastava e Giles, 1987), os valores dos coeficientes das equações das médias não devem interferir no desempenho do método. Já os coeficientes' das equações das variâncias devem influenciar o desempenho do método MQG, conforme discutido no capítulo anterior. Por outro lado, a correlação entre os termos de erro das duas equações e o número de CTy, = < = exP{e o + 0 ix i + 0 2X2 + 03x 3) (4.19)

(4.20) Hy i = 3 ? ) + P (12)x1+P<2>x2 +P?>x3 (4.21) com p</> = 0 , p(/> = 1 e p ^ = 0,5 { í = 1, 2 e i < j = 1, 2, 3).

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diferentes variáveis independentes nas duas equações são fatores determinantes no sucesso do método multivariado SUR.

No processo de estimação, os modelos das variâncias foram especificados com a transformação logarítmica modificada, adotando-se c = 0,06 no experimento 24 e c = 0,08 no CCD 4 A estimação dos parâmetros foi realizada pelos três seguintes procedimentos:

1) o método SUR assumindo homocedasticidade, conforme descrito no capítulo 2; 2) o método MQG univariado e

3) o algoritmo descrito na seção 4.4 (MQG-SUR).

Para cada um dos procedimentos, avaliou-se a eficiência em relação ao método MQO univariado. Os resultados baseiam-se em 1.000 realizações simuladas de cada experimento e estão descritos nas figuras 4.2 a 4.9. O programa computacional encontra-se no apêndice.

2,0 1 ,8 1 ,6 1, 4 1 , 2 1 ,o - g Z L I I ■

I I

I

V M Il M Q GS U R M Q G - S U R 0! 02 0 3 0 4 O l2 » 2 3 O34

Fig. 4.2 - Eficiência dos métodos SUR, MQG e MQG-SUR em relação ao MQO. Experimento 24, p12 = 0,40, primeira equação.

Oi 02 0 3

A figura 4.2 mostra os níveis de eficiência na estimação de cada coeficiente da primeira equação do sistema das médias, expressão (4.17), considerando os dados gerados com p!2 = 0,40. Nota-se que o método MQG univariado foi superior ao MQO univariado (eficiência relativa superior à unidade). Isto era esperado porque as equações foram geradas com variâncias desiguais. Nota-se, também, que a eficiência da estimação por MQG em relação ao MQO não foi igual para todos os coeficientes,

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como ocorre em vários exemplos descritos na literatura (ver, por exemplo, Chatteijee e Price, 1977, p. 114). O processo de estimação multivariado SUR apresentou pouca melhora em relação ao MQO univariado, quando foi assumido homocedasticidade. Por outro lado, quando se incorporou o tratamento da heterocedasticidade no SUR (MQG-SUR), obteve-se os melhores resultados, com destaque para as estimativas dos coeficientes p4, pi2, P23 e P34, cujos fatores correspondentes não estão na segunda equação. A melhora do SUR - MQG em relação ao MQG univariado, contudo, foi modesta. 2,0 1,8 1,6 1,2 1 , 0 m R raa s u R Y SSA M Q G mm M Q G - S U R Fig. 4 0 1 0 2 0 3

3 - Eficiência dos métodos SUR, MQG e MQG-SUR em relação ao MQO. Experimento 24, p12 = 0,40, segunda equação.

A figura 4.3 mostra os resultados relativos à segunda equação (expressão 4.18). Observa-se que o método SUR clássico (equações homocedásticas) apresentou a mesma eficiência que o MQO univariado (eficiência relativa igual à unidade), enquanto o MQG univariado e o MQG-SUR apresentaram desempenhos muito parecidos. Este resultado já era esperado até certo ponto, pois no método SUR clássico, quando as variáveis independentes de uma equação B formam um subconjunto das variáveis independentes da outra equação A, o método SUR apresenta, para a equação B, os mesmos resultados do que se obteria estimando-a isoladamente (ver Srivastava e Giles, 1987, p. 104). Os resultados da simulação, neste caso, indicam que esta propriedade do modelo SUR clássico é mantida no algoritmo proposto, pelo menos aproximadamente e nas mesmas condições em que foram feitos os estudos de simulação.

As figuras 4.4 e 4.5 referem-se aos resultados de eficiência relativa das duas equações do experimento 24, com alta correlação entre os termos de erro (pj2 = 0,80).

01 02 03 04 012 023 034

Fig. 4.4 - Eficiência dos métodos SUR, MQG e MQG-SUR em relação ao MQO. Experimento 24, p12 = 0,80, primeira equação.

2,0 1,0 01 02 03 rasa suR E 2 0 M QG M QG - S U R

Fig. 4.5 - Eficiência dos métodos SUR, MQG e MQG-SUR em relação ao MQO. Experimento 24, p12 = 0,80, segunda equação.

A figura 4.4, referente à primeira equação do sistema das médias, é apresentada com escala ampliada para contemplar todos os valores de eficiência relativa. O método MQG univariado apresentou praticamente o mesmo desempenho observado na figura 4.2, onde os dados foram gerados com correlação mais fraca. Já o método SUR e, principalmente, o MQG-SUR levaram a grandes ganhos em eficiência nas estimativas dos coeficientes 04, P12, P23 e P34, cujos fatores

correspondentes não estão na segunda equação. É uma situação típica onde o algoritmo proposto deve ser aplicado. Quanto à segunda equação (figura 4.5), cujo lado direito é formado por um subconjunto das variáveis independentes da primeira equação, o processo multivariado teve desempenho levemente inferior ao univariado.

As figuras 4.6 a 4.9 referem-se ao experimento CCD, onde tem-se maior número de pontos experimentais por fator e maior número de replicações. Na teoria

clássica de SUR, o aumento do tamanho da amostra tende a favorecer o método, pois, em termos assintóticos, ele é melhor do que o MQO univariado para qualquer p)2 * 0.

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65553 S U R

BZZZ3 MQG

No documento Construção de modelos para médias e variâncias na otimização experimental de produtos e processos / (páginas 147-152)