O programa computacional encontra-se no apêndice.

152

Pela mesma razão citada anteriormente, o termo constante no argumento da função exponencial de (5.9) foi substituído pela estimativa do erro quadrático médio. As equações (5.8) e (5.9) formam as equações da média e da variância do processo, respectivamente.

5 .3 -ESTUDO DE CASO N2 2: O EXEMPLO DA CATAPULTA

Luner (1994) ilustra o uso do planejamento de experimentos num processo de melhoria da qualidade, utilizando-se de uma pequena catapulta construída com propósitos didáticos (ver fig. 5.8).

Na definição do problema, o autor especifica que a catapulta deve arremessar projéteis a uma distância de 80 polegadas com alto grau de precisão.9 Além disso, deve ser robusta quanto a diferentes tipos de projéteis e outros possíveis ruídos. Com base no conhecimento do processo da catapulta, foram selecionados três fatores considerados críticos para a sua finalidade. Estes fatores são apresentados na tabela 5.4.

Tabela 5.4 - Fatores controláveis do processo usados no estudo experimental.

Fator Amplitude máxima

comprimento do braço (xi) 0,32 - 3,68 polegadas ângulo de parada (x2) 30 - 90°

altura do pivô (x3) 2,5 - 5,5 polegadas

153

Considerou-se, também, que a catapulta deveria ser pouco sensível (robusta) a variações de projéteis, donde utilizou-se um fator de ruído, z, com três níveis (três tipos de bolas usadas como projéteis). O experimento foi realizado sob um projeto central composto (CCD), constituído por 8 pontos fatoriais, 6 axiais e 6 centrais. Em cada ponto experimental deste projeto, foram realizadas três observações, relativas aos diferentes níveis do fator de ruído z. A ordem dos ensaios foi aleatória. A resposta, y, foi definida como a distância, em polegadas, entre a base da catapulta e o local onde o projétil atinge o chão. A tabela 5.5 mostra os resultados do experimento.

Tabela 5.5 - Projeto experimental e resultados do experimento da catapulta.

#

fatores controláveis (níveis codificados) níveis do fato rd e ruído e a resposta

Xi X2 N II CO N h 1 -1 -1 -1 39 34 42 2 -1 -1 1 80 71 91 3 -1 1 -1 52 44 45 4 -1 1 1 97 68 60 5 1 -1 -1 60 53 68 6 1 -1 1 1 1 3 1 0 4 127 7 1 1 - 1 78 64 65 8 1 1 1 1 3 0 7 9 7 5 9 -1 ,6 8 2 0 0 59 51 60 1 0 1 ,6 8 2 0 0 115 102 1 1 7 1 1 0 -1 ,6 8 2 0 50 4 3 57 12 0 1 ,6 8 2 0 88 4 9 4 3 1 3 0 0 -1 ,6 8 2 54 5 0 60 14 0 0 1 ,6 8 2 122 109 119 15 0 0 0 87 7 8 89 16 0 0 0 86 7 9 85 17 0 0 0 88 81 87 18 0 0 0 89 82 87 19 0 0 0 86 7 9 88 2 0 0 0 0 88 7 9 90 Fonte. Limer(1994).

5.3.1 - Ajuste inicial do modelo da média

Luner (1994) construiu o modelo da média do processo com base nas médias amostrais, calculadas sobre os níveis do fator de ruído. Isto, segundo o autor, elimina a variação provocada pelo ruído z, a qual não precisa ser considerada ao avaliar a média do processo. Neste trabalho, contudo, o modelo será estimado diretamente das observações, como sugerido, por exemplo, por Myers e Montgomery (1995).

Especificou-se um modelo quadrático completo e fizeram-se, inicialmente, as estimações dos parâmetros pelo método dos mínimos quadrados ordinários (MQO).

154

A tabela 5.6 apresenta as estimativas dos coeficientes e as tabelas 5.7 e 5.8 apresentam estatísticas que permitem uma análise global do modelo ajustado. Estes resultados foram obtidos pelo procedimento rsreg do SAS.

Tabela 5.6 - Construção de um modelo para a média do processo da catapulta: ajuste de um modelo quadrático completo por MQO.

term o e s t i m a t i v a do c o e f i c i e n t e e r r o pad rão . t 0 Pt c o n s t a n t e 8 4, 95 2 , 5 2 33, 66 0, 000 X l 13, 88 1, 67 8 , 2 9 0 , 0 0 0 x 2 0, 62 1, 67 0 , 3 7 0 , 7 1 2 x 3 1 8 , 6 4 1 , 6 7 1 1 , 1 3 0 , 0 0 0 x i2 - 0 , 7 0 1, 63 - 0 , 42 0, 670 X2 2 - 1 0 , 9 5 1, 63 - 6 , 7 2 0, 000 x 3‘ - 0 , 1 1 1, 63 - 0 , 0 7 0, 947 X i X2 - 1 , 7 9 2 , 1 9 - 0 , 82 0 , 4 1 7 X1 X 3 1 , 2 1 2 , 1 9 0, 55 0, 583 X2 X 3 - 5 , 38 2 , 1 9 - 2 , 4 6 0 , 0 1 8 Fo(9. 50) = 27.27 (Pf = 0,000) R2 = 0.831

Siglas: to valor da estatística t sob a hipótese de que o coeficiente é nulo;

Pt nível descritivo de significância (teste t bilateral);

R2 coeficiente de determinação e

Fo(., .)valor da estatística F sob a hipótese de que todos os coeficientes são nulos, com indicação dos graus de liberdade.

Tabela 5.7 - Avaliação do modelo especificado: verificação de falta de ajuste.

s i f c f i e t S i â è r ï ï soma de quad rad os Fo 1 1 1v^íPf‘W1 1 8 Í f a l t a de a j u s t e 5 433 0 , 7 3 4 0, 602 e r r o puro 45 5309 t o t a l 50

Siglas: F0 valor da estatística F sob Ho e

Pf nível descritivo de significância.

Tabela 5.8 - Avaliação do modelo especificado: decomposição

r e g r e s s ã o g r a u s de l ib e r d a d e , soma. de j « qu ad rad os ■ : p F term o s com Xi 4 8030 17, 48 0,000 term o s com x 2 4 5973 1 3 , 0 0 0,000 term o s com x 3 4 14969 32, 58 0,000 l i n e a r 3 22153 6 4 , 2 9 0,000 q u a d r á t ic a 3 5231 1 5 , 1 8 0,000 i n t e r a ç õ e s 3 805 2 , 3 4 0, 085 c o m p le ta 9 2 8190 : 2 7 , 2 7 0 , 0 0 0

Siglas: F0 valor da estatística F sob a hipótese de que o conjunto de coeficientes é nulo (na

regressão linear assume-se que a constante já faz parte do modelo e nas regressões quadrática e de interações assume-se, também, que os termos lineares estejam incluídos no modelo) e

155

Conforme as estatísticas da tabela 5.6, o modelo apresentou alto coeficiente de determinação (R2 = 0,831) e a maioria dos coeficientes mostraram-se significativos. A tabela 5.7 mostra que o modelo de segunda ordem é suficiente, pois não há evidência de falta de ajuste. A tabela 5.8 indica que os termos lineares e quadráticos puros são fundamentais na especificação deste modelo, enquanto as interações poderiam ser excluídas caso a aplicação exigisse um modelo bastante parcimonioso. Além disso, esta tabela também mostra que todos os fatores em estudo são relevantes, sejam através dos efeitos lineares, quadráticos ou de interação com outros fatores.

Com a presente análise e considerando que um modelo quadrático completo pode ser interpretado como uma aproximação de segunda ordem da verdadeira superfície de resposta, optou-se por considerar todos os termos no modelo. A figura 5.9 apresenta a análise de resíduos do modelo apresentado na tabela 5.6. Os gráficos foram construídos com o programa computacional Statistica, versão 5.0.

Valores preditos vs. resíduos Gráfico de probabilidade normal dos resíduos

Fig. 5.9 - Análise de resíduos do modelo da média. Estimação por MQO.

Os gráficos da figura 5.9 mostram a presença de alguns pontos discrepantes. Uma análise destes pontos revelam que três deles pertencem a um mesmo ponto experimental, sendo duas observações com resíduos negativos e uma com resíduo positivo. Assim, a exclusão destes pontos, além de deixar os dados desbalanceados, pode eliminar informações relevantes a cerca da variância do processo. Outro fato que levou a decisão de manter tais pontos é que a estimação por MQG, a ser feita

156

posteriormente, reduz a influência de pontos discrepantes na estimação dos parâmetros do modelo.10

5.3.2 - Ajuste inicial do modelo da variância

Como o modelo da média ajustou-se adequadamente aos dados, com o teste F de falta de ajuste acusando nível descritivo de significância superior a 0,50 (pp - 0,602), podem-se usar os resíduos quadráticos como as medidas primárias para o estabelecimento do modelo da variância do processo. Observa-se, também, que a medida agregada de variância, definida pela expressão (3.33), atribui peso nulo para as variâncias amostrais e peso um para os resíduos quadráticos médios. Os resíduos quadráticos médios, êf (i = 1, 2, ..., 20), foram calculados ao longo dos pontos experimentais, sendo que no ponto central calculou-se um resíduo quadrático médio para cada trinca de ensaios. A tabela 5.9 apresenta os valores calculados dos êf (i = 1, 2, ..., 20), considerando a correção da perda dos graus de liberdade no modelo da média, conforme a expressão (2.31).

Tabela 5.9 - Resíduos quadráticos médios calculados sobre os níveis do ruído.

# êf # êf # êf # êf 1 3 7 , 3 0 5 6 1 1 7 , 1 4 9 11 5 1 , 6 8 8 16 1 2 , 8 7 5 2 8 7 , 3 1 8 7 5 9 , 9 1 5 12 5 3 0 , 1 7 4 17 1 0 , 2 7 3 3 2 5 , 3 9 1 8 8 4 9 , 0 3 6 13 2 3 , 5 7 4 18 1 0 , 3 4 7 4 3 2 7 , 2 1 9 9 3 1 , 2 8 4 14 3 9 , 3 0 2 19 1 6 , 1 6 2 5 5 7 , 6 0 1 10 8 6 , 9 6 7 15 2 4 , 3 1 6 20 2 4 , 7 7 9

A equação de regressão foi feita em termos do log(êf + c ê 2). O valor de c foi calculado pela expressão (3.28), com A = 0, D = 1 e F = 0, obtendo-se c = 0,08. Os valores de A e D baseiam-se no projeto de experimentos em questão e o valor F foi arbitrado (corresponde ao coeficiente de maior magnitude no modelo da variância, assumido, inicialmente, com valor igual a 0,7).

10 Verificou-se, também, que apesar dos pontos serem discrepantes, eles não são muito influentes na estimação dos parâmetros. O cálculo da estatística D de Cook revela valores sempre abaixo de 0,31. Myers e Montgomery (1995, p. 50) consideram críticas as observações com valores de D acima de um.

157

A tabela 5.10 apresenta as estimativas dos parâmetros de um modelo quadrático completo para a variância.

Tabela 5.10 - Construção de um modelo para a variância do processo da catapulta: ajuste por MQO de um modelo quadrático completo com ____________ transformação logarítmica modificada._____________ ______________

estimativa do coeficiente erro _{!«St8|8rtlll88i®}- -t: V-~' '-Í 'v - to Pt c o n s t a n t e 1 4 , 8 0 - - X i 0 , 2 7 0 , 1 3 2 , 0 8 0 , 0 6 5 x 2 0 , 4 8 0 , 1 3 3 , 6 9 0 , 0 0 4 x 3 0 , 5 0 0 , 1 3 3 , 81 0 , 0 0 3 X l 2 0 , 3 9 0 , 1 3 3 , 05 0 , 0 1 2 x 22 0 , 7 6 0 , 1 3 6 , 01 0 , 0 0 0 X 32 0 , 2 3 0 , 1 3 1 , 81 0 , 1 0 0 X l X 2 0 , 1 2 0 , 1 7 0 , 7 3 0 , 4 8 2 X 1X 3 0 , 02 0 , 1 7 0 , 1 2 0 , 9 0 9 X 2X 3 0 , 4 3 0 , 1 7 2 , 5 1 0 , 0 3 1 F0(9, 10) = 9,16 (Pf = 0,001) R2 = 0,892 _---

1 Neste termo, a estimativa de MQO foi substituída pelo logaritmo da estimativa do erro quadrático médio, log(ê).

As estatísticas da tabela 5.10 mostram um modelo significativo para a variância, com a maioria dos coeficientes significativamente diferentes de zero. Testes do tipo F, assim como feitos no modelo da média (tabela 5.8) poderiam ser realizados para se tentar um modelo mais simples para a variância, mas optou-se por considerar o modelo quadrático completo. Poder-se-iam, também, usar as estimativas iniciais dos coeficientes para reavaliar o valor de c da transformação logarítmica utilizada, mas verifica-se que o coeficiente de maior magnitude tem valor próximo de 0,7, como foi inicialmente arbitrado. Logo, neste caso em particular, não é necessário alterar a transformação. A figura 5.10 apresenta a análise de resíduos deste modelo.

Valores preditos vs. resíduos Gráfico de probabilidade normal dos resíduos

Fig. 5.10 - Análise de resíduos do modelo da variância. Estimação por MQO após transformação logarítmica modificada.

158

A distribuição dos resíduos (figura 5.10) mostra-se razoável. O resíduo com maior magnitude não se encontra numa das extremidades do eixo dos valores preditos. Logo, não há motivos para excluí-lo.

5.3.3 - Estimação conjunta dos parâmetros dos modelos da média e da variância

Com os modelos da média e da variância especificados como superfícies de resposta de segundo grau, procedeu-se a estimação conjunta dos parâmetros utilizando-se MQG para o modelo da média e MQO com transformação logarítmica para o modelo da variância, conforme discutido na seção 5.1.2. As tabelas 5.11 e 5.12 apresentam os resultados após duas iterações e as figuras 5.11 e 5.12 mostram a análise dos resíduos destes modelos, em termos das variáveis transformadas. O programa computacional encontra-se no apêndice.

Tabela 5.11 - Modelo final para a média do processo da catapulta.

t e r m o e s t i m a t i v a do c o e f i c i e n t e e r r o p a d r ã o t 0 ' :- Pt c o n s t a n t e 8 4 , 88 1 , 08 7 8 , 4 8 0 , 0 0 0 X l 1 4 , 8 1 1 , 3 2 1 1 , 2 0 0 , 0 0 0 x 2 0 , 1 9 1 , 7 7 0 , 1 0 0 , 9 1 7 x 3 1 9 , 04 1 , 4 2 1 3 , 4 5 0 , 0 0 0 X l 2 - 0 , 6 7 1 , 0 3 - 0 , 6 5 0 , 5 2 0 x 22 - 1 1 , 5 7 1 , 4 5 - 1 , 9 9 0 , 0 0 0 x 32 0 , 5 8 1 , 0 2 0 , 5 7 0 , 5 7 3 X i X 2 0 , 1 1 1 , 68 0 , 0 7 0 , 9 4 8 X 1 X 3 2 , 8 9 1 , 6 6 1 , 7 4 0 , 0 8 8 X 2x 3 - 4 , 6 6 1 , 8 6 - 2 , 5 1 0 , 0 1 5 F0 (9, 50) = 182,67 (pp = 0,000) R2= 0,970

Valores preditos vs. resíduos Gráfico de probabilidade normal dos resíduos

159

Tabela 5.12 - Modelo final para a variância do processo da catapulta. Estatísticas em ____________ termos do modelo exponencial._____ ___________________________

" t e r m o e s t i m a t i v a do c o e f i c i e n t e e r r o p a d r ã o Pt c o n s t a n t e 4 , 80 - - - Xi 0 , 3 2 0 , 1 4 2 , 2 1 0 , 0 5 1 x2 0 , 51 0 , 1 4 3 , 5 9 0 , 0 0 5 x3 0 , 5 8 0 , 1 4 4 , 0 4 0 , 0 0 2 x i2 0 , 3 1 0 , 1 4 2 , 2 5 0 , 0 4 8 X22 0 , 7 2 0 , 1 4 5 , 2 1 0 , 0 0 0 X32 0 , 2 4 0 , 1 4 1 , 7 0 0 , 1 2 0 X i X 2 0 , 0 9 0 , 1 9 0 , 5 0 0 , 6 2 7 X 1 X 3 - 0 , 08 0 , 1 9 - 0 , 4 3 0 , 6 7 6 X 2 X 3 0 , 3 6 0 , 1 9 1 , 9 6 0 , 0 7 9 F0(9, 10) = 7,74 (Pf = 0,002) R2 = 0,874

1 Neste termo, a estimativa de MQO foi substituída pelo logaritmo da estimativa do erro quadrático médio, log(ê).

Valores preditos vs. resíduos 0.8

-0,8

' 1 ,2,5 3,0 3 ,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7 ,0

valores preditos

Fig. 5.12 - Análise de resíduos do modelo final da variância, construído com os resíduos do modelo

da média, o qual foi ajustado por MQG.

Comparando o modelo final da média (tabela 5.11) com o modelo inicial (tabela 5.6), verifica-se que os coeficientes não tiveram grandes alterações, contudo a qualidade do ajuste do modelo parece bem melhor no modelo final, obtido por MQG. A razão F0 aumentou de 27 para 182 e o coeficiente R2 aumentou de 0,83 para 0,97.

r • 2

Ressalta-se, porém, que a comparação entre os dois modelos pelas estatísticas Fo e R deve ser feita com cautela, pois são calculadas sob diferentes métricas. Em termos gráficos, a figura 5.11 mostra uma distribuição dos resíduos bem melhor comportada do que a figura 5.9. Observa-se que os resíduos apresentados na figura 5.11 foram calculados com os pesos usados no MQG. Com estas informações, pode-se ter melhor garantia da equação produzida pelo método MQG do que a gerada pelo método MQO.

Os modelos da variância, construídos com os resíduos do modelo da média ajustado por MQO (tabela 5.10) e por MQG (tabela 5.12), apresentaram-se bem

Gráfico de probabilidade normal dos resíduos

-0,4 0,0

160

parecidos, tanto em termos dos coeficientes estimados quanto nos gráficos dos resíduos (figuras 5.10 e 5.12). Os valores das estatísticas F0 e R2, contudo, ficaram levemente reduzidas no segundo caso. Considerando, porém, que o método MQG produziu um modelo da média aparentemente mais adequado do que o método MQO, parece razoável admitir que um modelo da variância baseado nos resíduos do MQG é mais confiável.

Em resumo, tem-se, então, as seguintes equações para representar a média e a variância do processo da catapulta:

j i y = 8 4 , 8 8 + 1 4,8 1x i + 0,1 9X2 + 1 9,0 4X3 - 0,6 7x i2 - 1 1,5 7x 22 + 0,5 8X32 + 0 ,1 IX 1X 2 + 2,8 9X-|X3 - 4,66X2X3

(5.10)

Ô2 = exp{4,80 + 0,32xi + 0,51x2 + 0,58X3 + 0,31xi2 + 0,72x22 + 0,24xs2 + 0,09xix2 - 0,08X1X3 + 0,36x2x3>

(5.11) A tabela 5.13 mostra uma análise comparativa da qualidade do ajuste do modelo (5.11) com outros procedimentos bastante utilizados. Estes outros procedimentos baseiam-se nas variâncias amostrais, calculadas sobre os níveis do fator de ruído. Portanto, 20 variâncias amostrais calculadas sobre 3 observações (S2, i = 1, 2,..., 20), correspondentes a cada linha da tabela 5.6. Foram usadas três transformações nas variâncias amostrais: a logarítmica padrão, a raiz quadrada e a logarítmica modificada com c = 0,08. A transformação logarítmica padrão é a mais comum neste tipo de problema, a raiz quadrada foi utilizada por Luner (1994) e a última foi proposta neste trabalho.

Tabela 5.13 - Comparação de procedimentos para estabelecer modelos para a variância, considerando os dados ___________ do experimento da catapulta._______________ transformação R2 Fo log(Sf) 0,854 6,47 0,857 6 , 6 8 log(S2+ c S 2) 0,857 6,64 log ( ê f + c ê 2)* 0,892 9,16 log(ê2+ c I 2f 0,874 7,74

ê ; representam resíduos gerados por MQO.

161

Comparando as três primeiras linhas da tabela 5.13, verifica-se melhor adequação das transformações ^Jsf e log( S2 + c S2). Quando se planeja um modelo para a variância propriamente dita, a transformação raiz quadrada cria alguns problemas, pois a sua transformação inversa (potência quadrática), realizada após o processo de estimação dos parâmetros, produz um modelo com termos do tipo xi x2 ou xix2x3, que são difíceis de serem interpretados na prática. Modelos para a variância propriamente dita são relevantes quando se busca a otimização através da função perda quadrática, bastante comum na engenharia da qualidade. Luner (1994) utilizou a metodologia da superfície de resposta dual, onde um modelo para o desvio padrão do processo é suficiente (ver seção 2.4).

A tabela 5.13 também mostra que as melhores adequações foram obtidas com modelos construídos a partir dos resíduos. 11 Ressalta-se, porém, que modelos baseados nos resíduos dependem da adequação do modelo da média do processo. Na abordagem desenvolvida neste trabalho, esta adequação é garantida com a medida agregada de variância, definida pela expressão (3.33).